反比例函數的教學(xué)設計
知識技能目標
1.理解反比例函數的圖象是雙曲線(xiàn),利用描點(diǎn)法畫(huà)出反比例函數的圖象,說(shuō)出它的性質(zhì);
2.利用反比例函數的圖象解決有關(guān)問(wèn)題.
過(guò)程性目標
1.經(jīng)歷對反比例函數圖象的觀(guān)察、分析、討論、概括過(guò)程，會(huì )說(shuō)出它的性質(zhì);
2.探索反比例函數的圖象的性質(zhì),體會(huì )用數形結合思想解數學(xué)問(wèn)題.
教學(xué)過(guò)程
一、創(chuàng )設情境
上節的練習中，我們畫(huà)出了問(wèn)題1中函數的圖象，發(fā)現它并不是直線(xiàn).那么它是怎么樣的曲線(xiàn)呢?本節課，我們就來(lái)討論一般的反比例函數(k是常數，k≠0)的圖象，探究它有什么性質(zhì).
二、探究歸納
1.畫(huà)出函數的圖象.
分析畫(huà)出函數圖象一般分為列表、描點(diǎn)、連線(xiàn)三個(gè)步驟，在反比例函數中自變量x≠0.
解1.列表：這個(gè)函數中自變量x的取值范圍是不等于零的一切實(shí)數，列出x與y的對應值：
2.描點(diǎn)：用表里各組對應值作為點(diǎn)的坐標，在直角坐標系中描出在京各點(diǎn)點(diǎn)(-6,-1)、(-3,-2)、(-2,-3)等.
3.連線(xiàn)：用平滑的曲線(xiàn)將第一象限各點(diǎn)依次連起來(lái)，得到圖象的第一個(gè)分支;用平滑的曲線(xiàn)將第三象限各點(diǎn)依次連起來(lái)，得到圖象的另一個(gè)分支.這兩個(gè)分支合起來(lái)，就是反比例函數的圖象.
上述圖象，通常稱(chēng)為雙曲線(xiàn)(hyperbola).
提問(wèn)這兩條曲線(xiàn)會(huì )與x軸、y軸相交嗎?為什么?
學(xué)生試一試：畫(huà)出反比例函數的圖象(學(xué)生動(dòng)手畫(huà)反比函數圖象，進(jìn)一步掌握畫(huà)函數圖象的.步驟).
學(xué)生討論、交流以下問(wèn)題，并將討論、交流的結果回答問(wèn)題.
1.這個(gè)函數的圖象在哪兩個(gè)象限?和函數的圖象有什么不同?
2.反比例函數(k≠0)的圖象在哪兩個(gè)象限內?由什么確定?
3.聯(lián)系一次函數的性質(zhì)，你能否總結出反比例函數中隨著(zhù)自變量x的增加，函數y將怎樣變化?有什么規律?
反比例函數有下列性質(zhì)：
(1)當k>0時(shí)，函數的圖象在第一、三象限，在每個(gè)象限內，曲線(xiàn)從左向右下降，也就是在每個(gè)象限內y隨x的增加而減少;
(2)當k<0時(shí)，函數的圖象在第二、四象限，在每個(gè)象限內，曲線(xiàn)從左向右上升，也就是在每個(gè)象限內y隨x的增加而增加.
注1.雙曲線(xiàn)的兩個(gè)分支與x軸和y軸沒(méi)有交點(diǎn);
2.雙曲線(xiàn)的兩個(gè)分支關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱(chēng).
以上兩點(diǎn)性質(zhì)在上堂課的問(wèn)題1和問(wèn)題2中反映了怎樣的實(shí)際意義?
在問(wèn)題1中反映了汽車(chē)比自行車(chē)的速度快，小華乘汽車(chē)比騎自行車(chē)到鎮上的時(shí)間少.
在問(wèn)題2中反映了在面積一定的情況下,飼養場(chǎng)的一邊越長(cháng),另一邊越小.
三、實(shí)踐應用
例1若反比例函數的圖象在第二、四象限，求m的值.
分析由反比例函數的定義可知：,又由于圖象在二、四象限，所以m+1<0，由這兩個(gè)條件可解出m的值.
解由題意，得解得.
例2已知反比例函數(k≠0)，當x>0時(shí)，y隨x的增大而增大，求一次函數y=kx-k的圖象經(jīng)過(guò)的象限.
分析由于反比例函數(k≠0)，當x>0時(shí)，y隨x的增大而增大，因此k<0，而一次函數y=kx-k中，k<0，可知，圖象過(guò)二、四象限，又-k>0，所以直線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方.
解因為反比例函數(k≠0)，當x>0時(shí)，y隨x的增大而增大，所以k<0，所以一次函數y=kx-k的圖象經(jīng)過(guò)一、二、四象限.
例3已知反比例函數的圖象過(guò)點(diǎn)(1,-2).
(1)求這個(gè)函數的解析式，并畫(huà)出圖象;
(2)若點(diǎn)A(-5,m)在圖象上，則點(diǎn)A關(guān)于兩坐標軸和原點(diǎn)的對稱(chēng)點(diǎn)是否還在圖象上?
分析(1)反比例函數的圖象過(guò)點(diǎn)(1,-2)，即當x=1時(shí)，y=-2.由待定系數法可求出反比例函數解析式;再根據解析式，通過(guò)列表、描點(diǎn)、連線(xiàn)可畫(huà)出反比例函數的圖象;
(2)由點(diǎn)A在反比例函數的圖象上，易求出m的值，再驗證點(diǎn)A關(guān)于兩坐標軸和原點(diǎn)的對稱(chēng)點(diǎn)是否在圖象上.
解(1)設：反比例函數的解析式為：(k≠0).
而反比例函數的圖象過(guò)點(diǎn)(1,-2)，即當x=1時(shí)，y=-2.
所以，k=-2.
即反比例函數的解析式為：.
(2)點(diǎn)A(-5,m)在反比例函數圖象上，所以，
點(diǎn)A的坐標為.
點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱(chēng)點(diǎn)不在這個(gè)圖象上;
點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱(chēng)點(diǎn)不在這個(gè)圖象上;
點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對稱(chēng)點(diǎn)在這個(gè)圖象上;
例4已知函數為反比例函數.
(1)求m的值;
(2)它的圖象在第幾象限內?在各象限內，y隨x的增大如何變化?
(3)當-3≤x≤時(shí)，求此函數的最大值和最小值.
解(1)由反比例函數的定義可知：解得，m=-2.
(2)因為-2<0，所以反比例函數的圖象在第二、四象限內，在各象限內，y隨x的增大而增大.
(3)因為在第個(gè)象限內，y隨x的增大而增大，
所以當x=時(shí)，y最大值=;
當x=-3時(shí)，y最小值=.
所以當-3≤x≤時(shí)，此函數的最大值為8，最小值為.
例5一個(gè)長(cháng)方體的體積是100立方厘米，它的長(cháng)是y厘米，寬是5厘米，高是x厘米.
(1)寫(xiě)出用高表示長(cháng)的函數關(guān)系式;
(2)寫(xiě)出自變量x的取值范圍;
(3)畫(huà)出函數的圖象.
解(1)因為100=5xy,所以.
(2)x>0.
(3)圖象如下：
說(shuō)明由于自變量x>0,所以畫(huà)出的反比例函數的圖象只是位于第一象限內的一個(gè)分支.
四、交流反思
本節課學(xué)習了畫(huà)反比例函數的圖象和探討了反比例函數的性質(zhì).
1.反比例函數的圖象是雙曲線(xiàn)(hyperbola).
2.反比例函數有如下性質(zhì)：
(1)當k>0時(shí)，函數的圖象在第一、三象限，在每個(gè)象限內，曲線(xiàn)從左向右下降，也就是在每個(gè)象限內y隨x的增加而減少;
(2)當k<0時(shí)，函數的圖象在第二、四象限，在每個(gè)象限內，曲線(xiàn)從左向右上升，也就是在每個(gè)象限內y隨x的增加而增加.
五、檢測反饋
1.在同一直角坐標系中畫(huà)出下列函數的圖象：
(1);(2).
2.已知y是x的反比例函數，且當x=3時(shí)，y=8,求：
(1)y和x的函數關(guān)系式;
(2)當時(shí)，y的值;
(3)當x取何值時(shí)，?
3.若反比例函數的圖象在所在象限內，y隨x的增大而增大，求n的值.
4.已知反比例函數經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,-m)和B(n,2n)，求：
(1)m和n的值;
(2)若圖象上有兩點(diǎn)P1(x1,y1)和P2(x2,y2)，且x1<0<x2，試比較y1和y2的大小.
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