混沌分形研究課程論文

　　《非線(xiàn)性物理》課程論文

　　混沌分形研究

　　摘 要：本文介紹分形理論的產(chǎn)生與發(fā)展現狀，讓初學(xué)者了解這一非線(xiàn)性科學(xué)中的又一角色在我們認識復雜世界的思維過(guò)程中的重要性，讓我們再一次看到自然界的混沌性。希望更多的有志青年投入到貫穿各個(gè)領(lǐng)域的非線(xiàn)性科學(xué)的研究中。

　　非線(xiàn)性 分形理論概述 分形理論是當今世界十分風(fēng)靡和活躍的新理論、新學(xué)科。分形的概念是美籍數學(xué)家曼德布羅特(B.B.Mandelbort)首先提出的。1967年他在美國權威的《科學(xué)》雜志上發(fā)表了題為《英國的海岸線(xiàn)有多長(cháng)?》的著(zhù)名論文。海岸線(xiàn)作為曲線(xiàn)，其特征是極不規則、極不光滑的，呈現極其蜿蜒復雜的變化。我們不能從形狀和結構上區分這部分海岸與那部分海岸有什么本質(zhì)的不同,這種幾乎同樣程度的不規則性和復雜性,說(shuō)明海岸線(xiàn)在形貌上是自相似的，也就是局部形態(tài)和整體形態(tài)的相似。在沒(méi)有建筑物或其他東西作為參照物時(shí),在空中拍攝的100公里長(cháng)的海岸線(xiàn)與放大了的10公里長(cháng)海岸線(xiàn)的兩張照片，看上去會(huì )十分相似。事實(shí)上，具有自相似性的形態(tài)廣泛存在于自然界中，如：連綿的山川、飄浮的云朵、巖石的斷裂口、布朗粒子運動(dòng)的軌跡、樹(shù)冠、花菜、大腦皮層……曼德布羅特把這些部分與整體以某種方式相似的形體稱(chēng)為分形 (fractal)。1975年,他創(chuàng )立了分形幾何學(xué)(fractal geometry)。在此基礎上，形成了研究分形性質(zhì)及其應用的科學(xué)，稱(chēng)為分形理論 (fractal theory)。

　　分形理論既是非線(xiàn)性科學(xué)的前沿和重要分支，又是一門(mén)新興的橫斷學(xué)科。作為一種方法論和認識論，其啟示是多方面的：一是分形整體與局部形態(tài)的相似，啟發(fā)人們通過(guò)認識部分來(lái)認識整體，從有限中認識無(wú)限；二是分形揭示了介于整體與部分、有序與無(wú)序、復雜與簡(jiǎn)單之間的新形態(tài)、新秩序；三是分形從一特定層面揭示了世界普遍聯(lián)系和統一的圖景。

　　分行理論：

　　自相似原則：線(xiàn)性分形又稱(chēng)為自相似分型。自相似原則和迭代生成原則是分形理論的重要原則。它表征分形在通常的幾何變換下具有不變性,即標度無(wú)關(guān)性。由自相似性是從不同尺度的對稱(chēng)出發(fā),也就意味著(zhù)遞歸。分形形體中的自相似性可以是完全相同,也可以是統計意義上的相似。標準的自相似分形是數學(xué)上的抽象,迭代生成無(wú)限精細的結構,如科契(Koch)雪花路線(xiàn)、謝爾賓斯基(Sierpinski)地毯曲線(xiàn)等。這種有規分形只是少數,絕大部分分形是統計意義上的無(wú)規分形。 這里再進(jìn)一步介紹分形的分類(lèi)，根據自相似性的程度，分形可以分為有規分形和無(wú)規分形，有規分形是指具體有嚴格的'自相似性，即可以通過(guò)簡(jiǎn)單的數學(xué)模型來(lái)描述其相似性的分形，比如三分康托集、Koch曲線(xiàn)等；無(wú)規分形是指具有統計學(xué)意義上的自相似性的分形，比如曲折連綿的海岸線(xiàn)，漂浮的云朵等。

　　分維作用：分維，作為分形的定量表征和基本參數，是分形理論的又一重要原則。分維，又稱(chēng)分形維或分數維，通常用分數或帶小數點(diǎn)的數表示。長(cháng)期以來(lái)人們習慣于將點(diǎn)定義為零維，直線(xiàn)為一維，平面為二維，空間為三維，愛(ài)因斯坦在相對論中入時(shí)間維，就形成四維時(shí)空。對某一問(wèn)題給予多方面的考慮，可建立高維空間，但都是整數維。在數學(xué)上，把歐氏空間的幾何對象連續地拉伸、壓縮、扭曲，維數也不變，這就是拓撲維數。然而，這種傳統的維數觀(guān)受到了挑戰。曼德布羅特曾描述過(guò)一個(gè)繩球的維數：從很遠的距離觀(guān)察這個(gè)繩球，可看作一點(diǎn)(零維)；從較近的距離觀(guān)察，它充滿(mǎn)了一個(gè)球形空間(三維)；再近一些，就看到了繩子(一維)；再向微觀(guān)深入，繩子又變成了三維的柱，三維的柱又可分解成一維的纖維。那么，介于這些觀(guān)察點(diǎn)之間的中間狀態(tài)又如何呢？

　　顯然，并沒(méi)有繩球從三維對象變成一維對象的確切界限。數學(xué)家豪斯道夫年提出了連續空間的概念，也就是空間維數是可以連續變化的，它可以是整數也可以是分數，稱(chēng)為豪斯道夫維數。記作Df，一般的表達式為：K=LDf，也作K=(1/L)-Df，取對數并整理得Df=lnK/lnL，其中L為某客體沿其每個(gè)獨立方向皆擴大的倍數，K為得到的新客體是原客體的倍數。顯然，Df在一般情況下是一個(gè)分數。因此，曼德布羅特也把分形定義為豪斯道夫維數大于或等于拓撲維數的集合。英國的海岸線(xiàn)為什么測不準？因為歐氏一維測度與海岸線(xiàn)的維數不一致。根據曼德布羅特的計算，英國海岸線(xiàn)的維數為1.26。有了分維，海岸線(xiàn)的長(cháng)度就確定了。

　　幾種典型的分形：

　　三分康托集：

　　1883年，德國數學(xué)家康托(G.Cantor)提出了如今廣為人知的三分康托集。三分康托集是很容易構造的，然而，它卻顯示出許多最典型的分形特征。它是從單位區間出發(fā) 。

　　區間不斷地去掉部分子區間的過(guò)程

　　三分康托集的構造過(guò)程 構造出來(lái)的(如右圖)。其詳細構造過(guò)程是：第一步，把閉區間[0，1]平均分為三段，去掉中間的 1/3 部分段，則只剩下兩個(gè)閉區間[0，1/3]和[2/3，1]。第二步，再將剩下的兩個(gè)閉區間各自平均分為三段，同樣去掉中間的區間段，這時(shí)剩下四段閉區間：[0，1/9]，[2/9，1/3]，

　　[2/3，7/9]和[8/9，1]。第三步，重復刪除每個(gè)小區間中間的 1/3 段。如此不斷的分割下去， 最后剩下的各個(gè)小區間段就構成了三分康托集。 三分康托集的 Hausdorff維數是0.6309。 

　　1904年，瑞典數學(xué)家柯郝構造了 “Koch曲線(xiàn)”幾何圖形。Koch曲線(xiàn)大于一維，具有無(wú)限的長(cháng)度，但是又小于二維，并且生成的圖形的面積為零。它和三分康托集一樣，是一個(gè)典型的分形。根據分形的次數不同，生成的Koch 曲線(xiàn)也有很多種，比如三次 Koch 曲線(xiàn)，四次 Koch 曲線(xiàn)等。下面以三次 Koch 曲線(xiàn)為例，介紹 Koch 曲線(xiàn)的構造方法。

　　依此類(lèi)推。

　　三次Koch曲線(xiàn)的構造過(guò)程主要分為三大步驟：第一步，給定一個(gè)初始圖形——一條線(xiàn)段；第二步，將這條線(xiàn)段中間的 1/3 處向外折起；第三步，按照第二步的方法不斷的把各段線(xiàn)段中間的 1/3 處向外折起。這樣無(wú)限的進(jìn)行下去，最終即可構造出Koch曲線(xiàn)。其圖例構造過(guò)程如右圖所示(迭代了 6 次的圖形)。Julia 集

　　分形理論的發(fā)展

　　分形理論自從誕生之后就得到了迅速的發(fā)展，并在自然科學(xué)、社會(huì )科學(xué)、思維科學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域都獲得了廣泛的應用。如今，分形和分維的概念早已從最初所指的形態(tài)上具有自相似性質(zhì)的幾何對象這種狹義分形，擴展到了在結構、功能、信息、時(shí)間上等具有自相似性質(zhì)的廣義分形。人們在自然、社會(huì )、思維等各個(gè)領(lǐng)域都發(fā)現了分形現象，出現了諸如分形物理學(xué)、分形生物學(xué)、分形結構地質(zhì)學(xué)、分形地震學(xué)、分形經(jīng)濟學(xué)、分形人口學(xué)等，發(fā)現了材料學(xué)、化學(xué)、天文學(xué)中的分形及思維分形、情報分形等等。

　　人們現在已經(jīng)認識到分形理論所揭示的自相似現象和混沌、破碎現象在客觀(guān)世界中是普遍存在的。

　　分形的概念和思想現正在被人們抽象為一種科學(xué)方法論，這就是分形方法論。它的內容主要包括以下兩點(diǎn)：第一，以分形客體的部分和整體之間的自相似性為銳利的武器，通過(guò)認識部分來(lái)反映和認識整體，以及通過(guò)認識整體來(lái)把握和深化對部分的認識；第二，運用分形理論的思想和方法，從無(wú)序中發(fā)現有序，揭示雜亂、破碎、混沌等極不規則的復雜現象內部所蘊涵的規律。

　　分形方法論從本質(zhì)上看也是一種系統方法，研究分形現象需要系統的觀(guān)點(diǎn)和方法。分形方法論的產(chǎn)生是屬于清算還原論、倡導系統方法論這一科學(xué)發(fā)展總趨勢的產(chǎn)物，它是復雜性。

　　研究的一個(gè)方面軍，是近30多年來(lái)提出的處理復雜性的理論方案之一。分形學(xué)理論和自組織理論、混沌理論密切相關(guān)，它與混沌理論及孤子理論被人們譽(yù)為現代非線(xiàn)性科學(xué)的三大前沿。

　　分形理論的企業(yè)經(jīng)濟學(xué)觀(guān)點(diǎn)外延：人類(lèi)社會(huì )不同的階層具有自相似的結構，僅此而言，非線(xiàn)性問(wèn)題的研究對社會(huì )的進(jìn)步與發(fā)展有著(zhù)積極的推動(dòng)作用。隨著(zhù)知識經(jīng)濟時(shí)代的到來(lái)，非線(xiàn)性科學(xué)在各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域內將得到更為廣泛的應用與發(fā)展，特別是企業(yè)組織在網(wǎng)絡(luò )經(jīng)濟環(huán)境下的變革方面尤為突出。凱思斯學(xué)派認為，社會(huì )商品產(chǎn)量N完全由社會(huì )有效需求所決定，此為決定論的觀(guān)點(diǎn)。分形論則認為，社會(huì )總產(chǎn)出與社會(huì )總需求的關(guān)系是非常復雜的。它們的關(guān)系可能是周期性的，也可能是出現某中混沌局面。對于當前國際金融風(fēng)暴的形式下，該混沌現象直接影響到企業(yè)組織的發(fā)展與優(yōu)化。

　　分形理論的管理學(xué)應用： 管理科學(xué)是一門(mén)綜合性學(xué)科，其內涵十分豐富。它不僅涉及到生產(chǎn)關(guān)系與上層建筑，也涉及到生產(chǎn)力的組織與應用。近年來(lái)，由于城市的快速發(fā)展.隨之而來(lái)的是社會(huì )治安、交通擁擠、環(huán)境污染、人口控制、能源緊缺等一系列問(wèn)題。用分形論原理管理城市是近年來(lái)崛起的管理科學(xué)中的一個(gè)分支。城市建筑、道路分布、商業(yè)網(wǎng)點(diǎn)布局、生活服務(wù)設施建設、信息告訴公路建設等在一定程度上滿(mǎn)足了分形結構的研究理論范疇。在管理科學(xué)領(lǐng)域內，其組織建設、管理方法與手段等方面都表現出一定的層次、結構、功能和信息的相似性。從最底層管理到最高層管理、從局部到整體、從政務(wù)與科技管理到經(jīng)濟財務(wù)管理，也都體現著(zhù)一定的自相似性�？梢哉J為，在知識經(jīng)濟社會(huì )里，分形理論將成為管理科學(xué)的基礎。 分形理論的管理學(xué)應用：管理科學(xué)是一門(mén)綜合性學(xué)科，其內涵十分豐富。它不僅涉及到生產(chǎn)關(guān)系與上層建筑，也涉及到生產(chǎn)力的組織與應用。近年來(lái)，由于城市的快速發(fā)展.隨之而來(lái)的是社會(huì )治安、交通擁擠、環(huán)境污染、人口控制、能源緊缺等一系列問(wèn)題。用分形論原理管理城市是近年來(lái)崛起的管理科學(xué)中的一個(gè)分支。城市建筑、道路分布、商業(yè)網(wǎng)點(diǎn)布局、生活服務(wù)設施建設、信息告訴公路建設等在一定程度上滿(mǎn)足了分形結構的研究理論范疇。在管理科學(xué)領(lǐng)域內，其組織建設、管理方法與手段等方面都表現出一定的層次、結構、功能和信息的相似性。從最底層管理到最高層管理、從局部到整體、從政務(wù)與科技管理到經(jīng)濟財務(wù)管理，也都體現著(zhù)一定的自相似性�？梢哉J為，在知識經(jīng)濟社會(huì )里，分形理論將成為管理科學(xué)的基礎。

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