用數學(xué)的思維方式教數學(xué)論文

　　數學(xué)的概念和定理比較多，而且比較抽象，數學(xué)的證明要進(jìn)行邏輯推理，做數學(xué)題需要掌握概念、定理和方法，這些使得不少學(xué)生感到數學(xué)比較難學(xué)。通常的數學(xué)教學(xué)一開(kāi)始給出數學(xué)概念的定義，接著(zhù)寫(xiě)出有關(guān)的定理，然后對定理進(jìn)行證明。這種教學(xué)方式可以讓學(xué)生學(xué)到數學(xué)的概念和定理，可以訓練學(xué)生的邏輯推理能力。但是學(xué)生不知道概念是怎么提出來(lái)的，不知道定理是怎么發(fā)現的，因此培養不出學(xué)生的創(chuàng )新能力。本人根據四十多年的教學(xué)和科研工作的經(jīng)驗，用數學(xué)的思維方式教數學(xué)就可以既使數學(xué)比較好學(xué)，又可以在教學(xué)的過(guò)程中培養學(xué)生的創(chuàng )新能力。

　　數學(xué)的思維方式是一個(gè)全過(guò)程：觀(guān)察客觀(guān)現象，抓住主要特征，抽象出概念；提出要研究的問(wèn)題，運用“解剖麻雀”、直覺(jué)、歸納、類(lèi)比、聯(lián)想和邏輯推理等進(jìn)行探索，猜測可能有的規律；經(jīng)過(guò)深入分析，只使用公理、定義和已經(jīng)證明了的定理進(jìn)行邏輯推理來(lái)嚴密論證，揭示出事物的內在規律，從而使紛繁復雜的現象變得井然有序。

　　用數學(xué)的思維方式教數學(xué)，我們的主要做法有以下幾點(diǎn)。

　　1.觀(guān)察客觀(guān)現象自然而然地引出概念，講清楚為什么要引進(jìn)這些概念

　　線(xiàn)性空間的概念是高等代數中最重要的概念之一。我們讓學(xué)生觀(guān)察幾何空間（以定點(diǎn)0為起點(diǎn)的所有向量組成的集合）中有加法和數量乘法運算，并且滿(mǎn)足8條運算法則；向量的坐標是3元有序實(shí)數組，為了用坐標來(lái)做向量的加法和數量乘法運算，很自然地在所有3元有序實(shí)數組組成的集合R3中引進(jìn)加法和數量乘法運算，并且也滿(mǎn)足8條運算法則。幾何空間是3維空間，時(shí)一空空間是4維空間。有沒(méi)有維數大于4的空間？為了對數域K上的n元線(xiàn)性方程組直接從系數和常數項判斷它有沒(méi)有解和有多少解，從矩陣的初等行變換把線(xiàn)性方程組的增廣矩陣化成階梯形矩陣可以判斷線(xiàn)性方程組的解的情況受到啟發(fā)，很自然地在所有n元有序數組組成的集合Kn中引進(jìn)加法和數量乘法運算，并且也滿(mǎn)足8條運算法則。Kn就是一個(gè)n維空間。我們抓住幾何空間，R3，Kn的共同的主要特征：“有加法和數量乘法運算，并且滿(mǎn)足8條運算法則”，便自然而然地引出了線(xiàn)性空間的概念。為了使線(xiàn)性空間為數學(xué)、自然科學(xué)和社會(huì )科學(xué)的研究提供廣闊天地，需要把線(xiàn)性空間的結構搞清楚。

　　幾何空間的結構是，任意取定3個(gè)不共面的向量，空間中任一向量都可以由它們線(xiàn)性表出，并且表示方式唯一。由此受到啟發(fā)，對于線(xiàn)性空間V，如果有一族向量S使得V中每一個(gè)向量都可以由S中有限多個(gè)向量線(xiàn)性表出，并且S是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的（這保證了表法唯一），那么稱(chēng)S是V的一個(gè)基�；�是研究線(xiàn)性空間的結構的第一條途徑。

　　幾何空間中給了過(guò)定0的一個(gè)平面和過(guò)定點(diǎn)0與n相交的一條直線(xiàn)1。在n上取兩個(gè)不共線(xiàn)的向量dpd2,在1上取一個(gè)非零向量d3，則^丸是幾何空間的一個(gè)基。于是幾何空間的每一個(gè)向量可以唯一地表示成n上的一個(gè)向量與1上的一個(gè)向量的和。由此引出了線(xiàn)性空間V的子空間的直和的概念；猜測并且證明了線(xiàn)性空間V等于它的若干個(gè)子空間％,…，Vm的直和當且僅當％的一個(gè)基Vm的一個(gè)基合起來(lái)是V的一個(gè)基。直和分解是研究線(xiàn)性空間的結構的第二條途徑。

　　幾何空間的每一個(gè)向量對應于它在給定的一個(gè)基下的坐標是幾何空間到R3的一個(gè)雙射，并且它保持加法和數量乘法運算。由此受到啟發(fā)，引出了線(xiàn)性空間的同構的概念；猜測并且證明了數域K上的n維線(xiàn)性空間都與Kn同構。線(xiàn)性空間的同構是研究線(xiàn)性空間的結構的第三條途徑。

　　幾何空間J中給了過(guò)定點(diǎn)0的一個(gè)平面&，則與％平行或重合的所有平面給出了幾何空間J的一個(gè)劃分。由此受到啟發(fā)，數域K上的線(xiàn)性空間V中，給了一個(gè)子空間W，在V上建立一個(gè)二元關(guān)系：13?a當且僅當13-aGW。容易證明這是V上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。于是所有等價(jià)類(lèi)組成的集合就給出了V的一個(gè)劃分，這個(gè)集合也稱(chēng)為V對于W的商集，記作V/W。在V/W中可以規定加法和數量乘法運算，并且滿(mǎn)足8條運算法則，從而V/W成為數域K上的一個(gè)線(xiàn)性空間，稱(chēng)它為V對于W的商空間。幾何空間J中與過(guò)定點(diǎn)0的平面&平行或重合的所有平面組成的集合是J對于A(yíng)的商空間。過(guò)點(diǎn)0作與&相交的一條直線(xiàn)1，則把與&平行或重合的每一個(gè)平面對應于這個(gè)平面與1的交點(diǎn)是商空間J/&到直線(xiàn)1的一個(gè)雙射，并且它保持加法和數量乘法運算，從而商空間J/&與直線(xiàn)1同構。于是

　　dim(J/兀0)=dim1=1=3-2=dimJ-dim兀0.

　　由此受到啟發(fā)，我們猜測并且證明了對于數域K上的n維線(xiàn)性空間V有

　　dim(V/W)=dimV-dimW.

　　這使得我們可以利用數學(xué)歸納法證明線(xiàn)性空間中有關(guān)被商空間繼承的性質(zhì)的結論。

　　在商空間J/&中取一個(gè)基令1是過(guò)點(diǎn)0且方向為兩的直線(xiàn)，則J=7TQ?1。由此受到啟發(fā)，我們猜測并且證明了對于數域K上的線(xiàn)性空間V和它的一個(gè)子空間W，如果商空間V/W有一個(gè)基Pi+W，…，pt+w,令U是由V中的向量組p!,…，pt生成的子空間，那么V=W?U，并且p!,…，pt是U的一個(gè)基。這表明只要商空間V/W是有限維的，并且知道了商空間V/W的一個(gè)基，那么線(xiàn)性空間V就有一個(gè)直和分解式。

　　上述兩方面表明商空間是研究線(xiàn)性空間的結構的第四條途徑。

　　2.提出要研究的問(wèn)題，探索并且論證可能有的規律

　　高等代數研究的一個(gè)重要問(wèn)題是對于域F上n維線(xiàn)性空間V上的線(xiàn)性變換A，能不能找到V的一個(gè)基，使得A在此基下的矩陣具有最簡(jiǎn)單的形式？

　　如果能找到V的一個(gè)基使得線(xiàn)性變換A在此基下的矩陣是對角矩陣，那么稱(chēng)A可對角化。直接計算可得，A可對角化的充分必要條件是A有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量。由此可得，A可對角化的充分必要條件是V能分解成A的特征子空間的直和：…?V、，其中,▽&是A的全部不同的特征值。

　　對于不可對角化的線(xiàn)性變換A，它的最簡(jiǎn)單形式的矩陣表示是什么樣子？從A的特征子空間的定義受到啟發(fā)，引出A的不變子空間的概念。類(lèi)比A可對角化的充分必要條件是V能分解成A的特征子空間的直和，我們去探索：如果V能分解成A的不變子空間的直和，那么在每個(gè)不變子空間中取一個(gè)基，它們合起來(lái)是V的一個(gè)基，A在此基下的矩陣是一個(gè)分塊對角矩陣。于是解決A的最簡(jiǎn)單形式的矩陣表示的問(wèn)題分為兩步。

　　第一步去尋找A的非平凡不變子空間，使得它們的和是直和，并且等于V。利用“如果V上的線(xiàn)性變換B與A可交換，那么B的核KerB是A的不變子空間”這個(gè)結論，對于域F上的任意一個(gè)一元多項式f(x)，不定元x用A代入，得到的f(A)與A可交換，從而Kerf(A)是A的不變子空間。fjx)與f2(x)滿(mǎn)足什么條件才能使Kerfi(A)+Kerf2(A)是直和呢？這只要Ker4(八)門(mén)Kerf2(A)=0?直覺(jué)猜測若fjx)與f2(x)互素，是否有可能滿(mǎn)足這個(gè)要求？此時(shí)存在u(x),v(x)eFW使得u(x)f2(x)=1。于是不定元X用A代入便得到u(A)_+,講)=1.

　　從而若eeKerfi(A)nKerf2(A)，貝ijP=IP=u(A)fi(A)P+v(A)f2(A)13=0。因此

　　Kerf]_(A)flKerf2(A)=0，從而Ker(A)+Kerf2(A)是直和。這個(gè)和等于什么呢？從上面的恒等變換I的分解式受到啟發(fā)，令任取aGKerf(A),有

　　a=Ia=U(A)fi(A)a+v(A)f2(A)a.

　　令a廣V(A)f2(A)a，a2=u(A)f1(A)a，則a=aa2,JLf1(A)a^=0,f2(A)a2=0。因此Kerf(A)=Kerf^A)?Kerf2(A)。由此受到啟發(fā)，設fi(x),…，fs(x)eF[x],且它們兩兩互素，令fOOzfJx)…fs(X)，則用數學(xué)歸納法可以證明Kerf(A)=Kerfx(A)?...?Kerfs(A).

　　由于KerO=V，因此若f(x)使得f(A)=0，貝ljV=Kerfi(A)?…?Kerfs(A).

　　這就把V分解成了A的若干個(gè)非平凡不變子空間的直和。

　　域F上的一個(gè)一元多項式f(；x)如果使得f(A)=0，那么稱(chēng)f(；x)是A的一個(gè)零化多項式。容易證明域F上的n維線(xiàn)性空間V上的任一線(xiàn)性變換A都有零化多項式。還可以證明線(xiàn)性變換A的特征多項式就是A的一個(gè)零化多項式。事物的臨界狀態(tài)往往決定事物的本質(zhì)。于是我們考慮A的所有非零的零化多項式中次數最低且首項系數為1的多項式m(；A)，稱(chēng)它為A的最小多項式。如果m(A)在F[A]中的標準分解式為m(2)=(A-Al)k---(A-A^)ls,那么V=Ker(A-I)*i?…?Ker(A-XSI)^.

　　記Wj=Ker((A-XjI)1)，則V=?...?Ws。于是在Wj中取一個(gè)基，j=1,2,…，s,它們合起來(lái)是V的一個(gè)基，A在此基下的矩陣A是一個(gè)分塊對角矩陣AsdiagfAi,…,As}，其中Aj是A在Wj上的限制A|Wj在Wj的上述基下的矩陣。

　　第二步工作是在Wj中找一個(gè)合適的基，使得A|Wj在此基下的矩陣Aj具有最簡(jiǎn)單的形式。由于V=VW?...?Ws，因此可以證明A的最小多項式m(A)是A|Wj的最小多項式mj(A)，j=1,2,…,s，的最小公倍式。利用這個(gè)結論和唯一因式分解定理可以得出，A|Wj的最小多項式從而A|Wj=XjI+Bj，其中Bj是Wj上的冪零變換，其冪零指數為lj。于是只要在Wj中找到一個(gè)合適的基使得Bj在此基下的矩陣Bj具有最簡(jiǎn)單的形式，則A|Wj在此基下的矩陣Aj,I+Bj也就最簡(jiǎn)單了。這樣問(wèn)題歸結為去研究?jì)缌阕儞Q的最簡(jiǎn)單形式的矩陣表示。

　　設B是域F上的r維線(xiàn)性空間W上的一個(gè)冪零變換，其冪零指數為1，用Wo表示B的屬于特征值0的特征子空間。對于任意aGW且a#0，一定存在正整數t使得Bta=0，而B(niǎo)t-ia乒0。于是Bt-ici,Ba,a線(xiàn)性無(wú)關(guān)，從而它是子空間的一個(gè)基。我們把稱(chēng)為B-強循環(huán)子空間，其中Bt_1aeW0。B在上的限制在基Bt_1a,Ba,a下的矩陣是一個(gè)Jordan塊，其主對角元全為0。我們探索W是否能分解成若干個(gè)B-強循環(huán)子空間的直和？若能夠這樣分解，則由每個(gè)B-強循環(huán)子空間的第一個(gè)基向量組成的向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)；又的一個(gè)基中每個(gè)向量都屬于某個(gè)B-強循環(huán)子空間，因此我們猜測W能分解成dmiWo個(gè)B-強循環(huán)子空間的直和。我們利用商空間對于研究線(xiàn)性空間的結構的兩個(gè)方面，用數學(xué)歸納法證明了這個(gè)猜測是真的。從而在每個(gè)B-強循環(huán)子空間中取上述這樣的基，它們合起來(lái)是W的一個(gè)基，B在此基下的矩陣為由若干個(gè)Jordan塊組成的分塊對角矩陣，稱(chēng)它為B的Jordan標準形。進(jìn)而得到：域F上的n維線(xiàn)性空間V上的線(xiàn)性變換A如果它的最小多項式m(；入）在F[A]中能分解成一次因式的乘積，那么存在V的一個(gè)基，使得A在此基下的矩陣為由若干個(gè)Jordan塊組成的分塊對角矩陣，稱(chēng)它為A的Jordan標準形。由于主對角元為的t級Jordan塊的最小多項式為(X-Xj)1,因此根據“分塊對角矩陣A=diag{Al5…,As}的最小多項式m(人）是Aj的最小多項式mj(A)，j=1,2,…，s，的最小公倍式”便得到，如果A有Jordan標準形J，那么J的最小多項式m(人）是一次因式的'乘積，m(A)也是A的最小多項式。從而如果A的最小多項式)在F[A]中的標準分解式有次數大于1的不可約因式，那么A沒(méi)有Jordan標準形。我們用類(lèi)比的方法證明了此時(shí)A有有理標準形。這樣我們就徹底解決了域F上n維線(xiàn)性空間V上的線(xiàn)性變換A的最簡(jiǎn)單形式的矩陣表示的問(wèn)題。

　　3.通過(guò)“解剖麻雀”，講清楚數學(xué)的深刻理論是怎么想出來(lái)的

　　伽羅瓦在1829?1831年間徹底解決了一元n次方程是否可用根式求解的問(wèn)題。他給出了方程可用根式求解的充分必要條件，創(chuàng )立了深刻的理論（后人稱(chēng)之為伽羅瓦理論），由此引發(fā)了代數學(xué)的革命性變化。古典代數學(xué)以研究方程的根為中心。伽羅瓦理論創(chuàng )立以后，代數學(xué)轉變?yōu)橐匝芯扛鞣N代數系統的結構及其態(tài)射（即保持運算的映射）為中心，由此創(chuàng )立了近世代數學(xué)（也稱(chēng)為抽象代數學(xué)）。

　　我們在近世代數課的教學(xué)中，通過(guò)“解剖麻雀”，講清楚伽羅瓦理論是怎么想出來(lái)的�？紤]4次一般方程

　　x4+px2+q=0,(1)

　　其中p,q是兩個(gè)無(wú)關(guān)不定元。方程(1)的系數所屬的域為Q[p,q]的分式域Q(p,q)，簡(jiǎn)記作K，把K稱(chēng)為方程(1)的系數域。方程(1)有4個(gè)根：

　　.._|-P+VP2-4q.._|-p+Vp2-4qX1_a]2，X22，

　　.._|-p-VP2-4q.._|-p-VP2-4qX3_a]2，X42'

　　這表明方程(1)可用根式求解。我們來(lái)仔細分析方程(1)可用根式求解的過(guò)程。先要開(kāi)平方Vp2-4q，把它記作d，則d2eK，但是d不屬于K.令K(d)={a+bdIa,beK},則K(d)是一個(gè)域，稱(chēng)它為K

　　添加d得到的域，記作&。接著(zhù)要開(kāi)平方

　　把它記作4，則42eK1；$K2=Ki(dO。還要

　　開(kāi)平方把它記作4，則I2ek2，$k3=k2

　　(d2)。于是

　　xi=x2=-<!]_,x3=d2,x4=_d2.從而x1;x2,x3,x4GK3。因此在K3[x]中多項式x4

　　+px2+q可以分解成一次因式的乘積，從而&是x4+pX2+q的分裂域，并且有KgKicK2cK3o由此抽象出下述概念：

　　設f(x)是域F上次數大于0且首項系數為1的多項式，并且f(x)的分裂域為E，如果存在一

　　個(gè)域LgE，且有FgFr+1=L，

　　其中Fi+1=Fi(di),且dinieFii=l,…,r，那么方程f(x)=0稱(chēng)為在域F上是根式可解的。

　　于是按照上述定義方程(1)是根式可解的�，F在來(lái)探索為什么方程(1)是根式可解的。觀(guān)察方程(1)的4個(gè)根，發(fā)現它們之間有系數屬于K的下述關(guān)系：

　　X]+X。-0?X3+X4-0.(2)

　　把x^x^x^xdii成的集合記作Q={1,2,3,4}。在4元對稱(chēng)群54中，有且只有下述8個(gè)置換保持(2)式成立：

　　(1),(12),(34),(12)(34),(13)(24),

　　(14)(23),(1423),(1324),

　　它們組成的集合0是54的一個(gè)子群，稱(chēng)它為方程

　　(1)關(guān)于域K的群。

　　方程(1)的4個(gè)根其系數屬于1^的關(guān)系除了

　　(2)式外還有：

　　Xi2-x32=d,X12-x42=d,x22-x42=d,x22-x32=d,(3)

　　G中保持⑶式成立的所有置換組成的集合H1={⑴,(12),(34),(12)(34)}是G的一個(gè)子群，稱(chēng)它為方程(1)關(guān)于域A的群。

　　方程(1)的4個(gè)根其系數屬于&的關(guān)系除了(2)、（3)式外還有：

　　x廠(chǎng)x2=2dl5(4)

　　札中保持(4)式成立的所有置換組成的集合比={(1),(34)}是札的一個(gè)子群，稱(chēng)它為方程(1)關(guān)于域&的群。

　　方程(1)的4個(gè)根其系數屬于&的關(guān)系除了(2)、（3)、（4)式外還有：

　　x3-x4=2d2,(5)

　　H2中保持⑶式成立的所有置換組成的集合丨是4的一個(gè)子群，稱(chēng)它為方程⑴關(guān)于域k3的群。

　　由于指數為2的子群是正規子群，因此1^是G的正規子群，比是札的正規子群，士是比的正規子群。又有G/Hi,H1/H2,H2/H3都是交換群，因此G是可解群。由此猜測有下述結論：

　　方程根式可解的判別準則：在特征為0的域F上的方程f(x)=0根式可解的充分必要條件是

　　這個(gè)方程關(guān)于域F的群是可解群。

　　為了論證這個(gè)猜測，我們繼續“解剖麻雀”。方程(1)關(guān)于域K的群G中每個(gè)元素0保持方程(1)的根之間其系數屬于K的全部代數關(guān)系不變，從而0保持K的任一元素不變，即。在K上的限制是K上的恒等變換。由于&是多項式x4+px2+q的分裂域，即&是包含方程(1)的全部根X1;X2,X3,X4的最小的域，且d=Xi2-X32,d1=x1,d2=X3，以及oes4，因此0引起了k3到自身的一個(gè)雙射。還可以證明。引起的這個(gè)映射(仍記作0)保持K3的加法和乘法運算，因此0是K3的一個(gè)自同構。于是引出一個(gè)概念：

　　設域E包含域F，域E的一個(gè)自同構如果在F上的限制是F上的恒等變換，那么把它稱(chēng)為域E的一個(gè)F-自同構。容易看出，域E的所有F-自同構組成的集合對于映射的乘法成為一個(gè)群，稱(chēng)它為E在F上的伽羅瓦群，記作Gal(E/F)。

　　于是。eGal(K3/K)，從而GcGal(K3/K)。反之，任給TGGal(K3/K)，由于X^X2,X3,X4兩兩不等，因此t可以看成是D={1,2,3,4}上的一個(gè)置換，并且t保持方程(1)的根之間其系數屬于K的全部代數關(guān)系不變，從而TGG。因此G=Gal(K3/K)。同理，&=Gal(K3/K±)，H2=Gal(K3/K2)，H3=Gal(K3/K3)。這樣我們看到了一個(gè)有趣的事情：

　　KcKicK2cK3,

　　Gal(K3/K)^Gal(K3/K±)^Gal(K3/K2)^Gal(K3/K3).

　　設G是域E的一個(gè)自同構群，E中被G的每個(gè)元素保持不動(dòng)的元素組成的集合是E的一個(gè)子域，稱(chēng)它為G的不動(dòng)域，記作Inv(G)。

　　設域E包含域F，則稱(chēng)E是F上的域擴張，記作E/F;E的包含F的任一子域稱(chēng)為E/F的中間域。在上述例子中，Gal(K^K)的不動(dòng)域恰好是K，Gal(K3/Ki)的不動(dòng)域恰好是&，Gal(K3/K2)的不動(dòng)域恰好是&，Gal(&/K3)的不動(dòng)域恰好是K3，由此引出一個(gè)概念：

　　如果域擴張E/F的伽羅瓦群Gal(E/F)的不動(dòng)域恰好是F，那么稱(chēng)E/F為一個(gè)伽羅瓦擴張。從上述有趣的事情我們猜測有下述結論：

　　設E/F為一個(gè)有限伽羅瓦擴張，記G=Gal(E/F)，則在E/F的所有中間域組成的集合與G的所有子群組成的集合之間存在一個(gè)一一對應：中間域K對應于Gal(E/K)，子群H對應于它的不動(dòng)域Inv(H)，Inv(Gal(E/K))=K;這個(gè)一一對應是反包含的，即

　　KicK2^Gal(E/Ki)^Gal(E/K2).

　　伽羅瓦發(fā)現并且證明了這個(gè)結論，現在稱(chēng)它為伽羅瓦基本定理（這里沒(méi)有寫(xiě)出伽羅瓦基本定理的其它3個(gè)結論）。伽羅瓦運用這個(gè)基本定理證明了方程根式可解的判別準則。

　　4.抓住主線(xiàn)，全局在胸，科學(xué)地安排講授體系

　　高等代數課程的主線(xiàn)是研究線(xiàn)性空間及其態(tài)射（即線(xiàn)性映射）。為了自然而然地引出線(xiàn)性空間的概念，《高等代數》（丘維聲著(zhù)，科學(xué)出版社）的第一章講線(xiàn)性方程組的解法和解的情況的判定;第二章講行列式，給出了n個(gè)方程的n元線(xiàn)性方程組有唯一解的充分必要條件；第三章為了對數域K上的n元線(xiàn)性方程組直接從系數和常數項判斷它有沒(méi)有解和有多少解，在所有n元有序數組組成的集合Kn中引進(jìn)加法和數量乘法運算，它們滿(mǎn)足8條運算法則，我們抓住幾何空間，Kn的共同的主要特征自然而然地引出了線(xiàn)性空間的概念，然后去研究線(xiàn)性空間的結構。講完線(xiàn)性空間之后，一種講法是立即講線(xiàn)性映射。但是研究線(xiàn)性映射一方面是從映射的角度講線(xiàn)性映射的運算，線(xiàn)性映射組成的集合的結構，以及線(xiàn)性映射的核與像；另一方面是研究線(xiàn)性映射的矩陣表示，特別是研究線(xiàn)性變換的最簡(jiǎn)單形式的矩陣表示。因此我們在第四章講矩陣的運算，既為研究線(xiàn)性映射打下基礎，又為信息時(shí)代迅速崛起的離散數學(xué)中應用越來(lái)越廣泛的矩陣加強了矩陣的分塊、矩陣的打洞的訓練。為了研究線(xiàn)性變換的最簡(jiǎn)單形式的矩陣表示，需要用到一元多項式環(huán)的通用性質(zhì)，因此我們在第五章講一元多項式環(huán)的結構及其通用性質(zhì)，并且水到渠成地引出了環(huán)和域的概念。第六章講線(xiàn)性映射（包括線(xiàn)性變換和線(xiàn)性函數）。為了在線(xiàn)性空間中引進(jìn)度量概念，第七章講雙線(xiàn)性函數，并且用到研究二次型上。第八章講具有度量的線(xiàn)性空間，以及與度量有關(guān)的變換。第九章講n元多項式環(huán)。

　　解析幾何課程的主線(xiàn)是研究幾何空間的線(xiàn)性結構和度量結構，在此基礎上并且用變換的觀(guān)點(diǎn)研究圖形的性質(zhì)和分類(lèi)。

　　近世代數課程的主線(xiàn)是研究代數系統（群，環(huán)，域，模）的結構及其態(tài)射（即保持運算的映射）。群論的主線(xiàn)是群同態(tài)；環(huán)論的主線(xiàn)是環(huán)的理想；域論的主線(xiàn)是域擴張，其目標是伽羅瓦理論。

　　5.精心設計板書(shū)，清晰現思維過(guò)程

　　例如，我在講了線(xiàn)性空間V的子空間的交與和的概念后，一邊講述，一邊板書(shū)如下：

　　[板書(shū)第1行，預留11個(gè)字的空位]設％,V2是數域K上線(xiàn)性空間V的有限維子空間，則[講述]有％與?2的和與交；[板書(shū)第2行，在每個(gè)子空間前面預留3個(gè)字母的空位]Vi+v2Viv2Vinv2[講述]%+v2是不是有限維的？如果是，它的維數與mn4的維數有什么關(guān)系？

　　[在板書(shū)第2行的每個(gè)子空間前面上填寫(xiě)3個(gè)字母]

　　(11111(3^+V2)dimV±dimV2dim(ViHV2)

　　[講述]讓我們解剖一個(gè)“麻雀”：幾何空間中，設與7T2是過(guò)定點(diǎn)0的兩個(gè)相交平面，在板書(shū)第1，2行的右側畫(huà)圖，本文就不畫(huà)了]

　　[一邊講述，一邊在圖上繼續畫(huà)]幾何空間中，任意一個(gè)向量a可以表示成a=a±+a2，其中a2eji：2。于是％+?等于幾何空間。又%n712是過(guò)定點(diǎn)0的一條直線(xiàn)，因此

　　[在圖下方板書(shū)]dim(ji：i+jt2)=3=2+2-1=dimjt!+dimjt2-fljt2)-

　　[講述]由此我們猜測對于線(xiàn)性空間V的有限維子空間V2有下述結論：

　　[在板書(shū)第2行上填寫(xiě)]dim(+V2)=dim+dimV2-dim(ViHV2)

　　[講述]下面我們來(lái)證明這個(gè)猜測是真的。

　　[板書(shū)證明過(guò)程，本文就不寫(xiě)出了]

　　[講述]這樣我們得到了子空間的交與和的維數公式：

　　[在板書(shū)第1行預留的11個(gè)字的空位上填寫(xiě)]定理1(子空間的維數公式）設％,%是數域K上線(xiàn)性空間V的有限維子空間，則這樣講課和板書(shū)是提出了問(wèn)題，引導學(xué)生去探索，從幾何空間的例子，猜測出子空間的維數公式，然后才去證明。這有利于培養學(xué)生的創(chuàng )新能力。

　　以上是我們在幾十年的教學(xué)中用數學(xué)的思維方式教數學(xué)的一些做法，與老師們交流。

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