《垂直于弦的直徑》的課程教學(xué)設計
第一課時(shí) （一）
教學(xué)目標 ：
�。�1）理解圓的軸對稱(chēng)性及垂徑定理的推證過(guò)程；能初步應用垂徑定理進(jìn)行計算和證明；
�。�2）進(jìn)一步培養學(xué)生觀(guān)察問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；
�。�3）通過(guò)圓的對稱(chēng)性，培養學(xué)生對數學(xué)的審美觀(guān)，并激發(fā)學(xué)生對數學(xué)的熱愛(ài)。
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：
重點(diǎn)：
�、俅箯蕉ɡ砑皯�；
�、趶母行缘嚼硇缘膶W(xué)習能力。
難點(diǎn)：垂徑定理的證明。
教學(xué)學(xué)習活動(dòng)設計：
（一）實(shí)驗活動(dòng)，提出問(wèn)題：
1、實(shí)驗：讓學(xué)生用自己的方法探究圓的對稱(chēng)性，教師引導學(xué)生努力發(fā)現：圓具有軸對稱(chēng)、中心對稱(chēng)、旋轉不變性。
2、提出問(wèn)題：老師引導學(xué)生觀(guān)察、分析、發(fā)現和提出問(wèn)題。
通過(guò)演示實(shí)驗觀(guān)察感性理性引出垂徑定理。
（二）垂徑定理及證明：
已知：在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，CDAB，垂足為E。
求證：AE=EB， =， =。
證明：連結OA、OB，則OA=OB。又∵CDAB，直線(xiàn)CD是等腰△OAB的對稱(chēng)軸，又是⊙O的對稱(chēng)軸。所以沿著(zhù)直徑CD折疊時(shí)，CD兩側的兩個(gè)半圓重合，A點(diǎn)和B點(diǎn)重合，AE和BE重合， 、 分別和 、 重合。因此，AE=BE， =， =。從而得到圓的一條重要性質(zhì)。
垂徑定理：平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。
組織學(xué)生剖析垂徑定理的條件和結論：
CD為⊙O的直徑，CDAB AE=EB，
為了運用的方便，不易出現錯誤，將原定理敘述為：
�、龠^(guò)圓心；
�、诖怪庇谙�；
�、燮椒窒�；
�、芷椒窒宜鶎Φ膬�(yōu)��；
�、萜椒窒宜鶎Φ牧踊�。
加深對定理的理解，突出重點(diǎn)，分散難點(diǎn)，避免學(xué)生記混。
（三）應用和訓練
例1、已知在⊙O中，弦AB的長(cháng)為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑。
分析：要求⊙O的半徑，連結OA，只要求出OA的長(cháng)就可以了，因為已知條件點(diǎn)O到AB的距離為3cm，所以作OEAB于E，而AE=EB= AB=4cm。此時(shí)解Rt△AOE即可。
解：連結OA，作OEAB于E。
則AE=EB。
∵AB=8cm，AE=4cm。
又∵OE=3cm，
在Rt△AOE中，
�。╟m）。
⊙O的半徑為5 cm。
說(shuō)明：①學(xué)生獨立完成，老師指導解題步驟；②應用垂徑定理計算：涉及四條線(xiàn)段的長(cháng)：弦長(cháng)a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h
關(guān)系：r =h+d； r2 =d2 + （a/2）2
例2、 已知：在以O為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點(diǎn)。求證AC=BD。（證明略）
說(shuō)明：此題為基礎題目，對各個(gè)層次的學(xué)生都要求獨立完成。
練習1：教材P78中練習1，2兩道題。由學(xué)生分析思路，學(xué)生之間展開(kāi)評價(jià)、交流。
指導學(xué)生歸納：①構造垂徑定理的基本圖形，垂徑定理和勾股定理的結合是計算弦長(cháng)、半徑、弦心距等問(wèn)題的常用方法；②在圓中解決弦的有關(guān)問(wèn)題經(jīng)常作的輔助線(xiàn)弦心距。
（四）小節與反思
教師組織學(xué)生進(jìn)行：
知識：
�。�1）圓的軸對稱(chēng)性；
�。�2）垂徑定理及應用。
方法：
�。�1）垂徑定理和勾股定理有機結合計算弦長(cháng)、半徑、弦心距等問(wèn)題的方法，構造直角三角形；
�。�2）在因中解決與弦有關(guān)問(wèn)題經(jīng)常作的輔助線(xiàn)弦心距；
�。�3）為了更好理解垂徑定理，一條直線(xiàn)只要滿(mǎn)足
�、龠^(guò)圓心；
�、诖怪庇谙�；則可得
�、燮椒窒�；
�、芷椒窒宜鶎Φ膬�(yōu)��；
�、萜椒窒宜鶎Φ牧踊�。
（五）作業(yè)
教材P84中11、12、13。
第二課時(shí) （二）
教學(xué)目標 ：
�。�1）使學(xué)生掌握垂徑定理的兩個(gè)推論及其簡(jiǎn)單的應用；
�。�2）通過(guò)對推論的探討，逐步培養學(xué)生觀(guān)察、比較、分析、發(fā)現問(wèn)題，概括問(wèn)題的能力。促進(jìn)學(xué)生創(chuàng )造思維水平的發(fā)展和提高
�。�3）滲透一般到特殊，特殊到一般的辯證關(guān)系。
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：
重點(diǎn)：
�、俅箯蕉ɡ淼膬蓚�(gè)推論；
�、趯ν普摰奶骄糠椒�。
難點(diǎn)：垂徑定理的推論1。
學(xué)習活動(dòng)設計：
（一）分解定理（對定理的剖析）
1、復習提問(wèn)：定理：平分這條弦，并且平分弦所對應的兩條弧。
2、剖析：
�。ń處熤笇В�
（二）新組合，發(fā)現新問(wèn)題：（A層學(xué)生自己組合，小組交流，B層學(xué)生老師引導）
�。òㄔɡ�，一共有10種）
（三）探究新問(wèn)題，歸納新結論：
�。�1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦對應的兩條弧。
�。�2）弦的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦對應的兩條弧。
�。�3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。
�。�4）圓的兩條平行線(xiàn)所夾的弧相等。
（四）鞏固練習：
練習1、平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧這句話(huà)對嗎？為什么？
�。ㄔ谕普�1（1）中，為什么要附加不是直徑這一條件。）
練習2、填空：在⊙O中，
�。�1）若MNAB，MN為直徑，則________，________，________；
�。�2）若AC=BC，MN為直徑，AB不是直徑，則則________，________，________；
�。�3）若MNAB，AC=BC，則________，________，________；
�。�4）若 =，MN為直徑，則________，________，________。
�。ù祟}目的：鞏固定理和推論）
（五）應用、反思
例、四等分 。
�。ˋ層學(xué)生自主完成，對于其他層次的學(xué)生在老師指導下完成）
教材P80中的第3題圖，是典型的錯誤作。
此題目的：是引導學(xué)生應用定理及推論來(lái)平分弧的方法，通過(guò)學(xué)生自主操作培養學(xué)生的動(dòng)手能力；通過(guò)與教材P80中的第3題圖的對比，加深學(xué)生對感性知識的認識及理性知識的理解。培養學(xué)生的思維能力。
（六）小結：
知識：垂徑定理的兩個(gè)推論。
能力：
�、偻普摰难芯糠椒�；
�、谄椒只〉淖鲌D。
（七）作業(yè) ：
第三課時(shí)
垂徑定理及推論在解題中的應用
教學(xué)目的：
�、乓髮W(xué)生掌握垂徑定理及其推論，會(huì )解決有關(guān)的證明，計算問(wèn)題。
�、婆囵B學(xué)生嚴謹的邏輯推理能力；提高學(xué)生方程思想、分類(lèi)討論思想的應用意識。
�、峭ㄟ^(guò)例4（趙州橋）對學(xué)生進(jìn)行愛(ài)國主義的教育；并向學(xué)生滲透數學(xué)來(lái)源于實(shí)踐，又反過(guò)來(lái)服務(wù)于實(shí)踐的辯證唯物主義思想
教學(xué)重點(diǎn)：垂徑定理及其推論在解題中的應用
教學(xué)難點(diǎn) ：如何進(jìn)行輔助線(xiàn)的添加
教學(xué)內容：
（一）復習
1垂徑定理及其
推論1：對于一條直線(xiàn)和一個(gè)圓來(lái)說(shuō)，具備下列五個(gè)條件中的任何個(gè)，那么也具有其他三個(gè)：
�、� 直線(xiàn)過(guò)圓心 ；
�、� 垂直于弦 ；
�、� 平分弦 ；
�、� 平分弦所對的優(yōu)弧 ；
�、� 平分弦所對的劣弧�？珊�(jiǎn)記為：知2推3
推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。
2應用垂徑定理及其推論計算（這里不管什么層次的學(xué)生都要自主研究）
涉及四條線(xiàn)段的長(cháng)：弦長(cháng)a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h關(guān)系：r =h+d ； r2 =d2 + （a/2）2
3常添加的輔助線(xiàn)：（學(xué)生歸納）
�、� 作弦心距 ；
�、� 作半徑 �！獦嬙熘苯侨切�
4可用于證明：線(xiàn)段相等、弧相等、角相等、垂直關(guān)系；同時(shí)為圓中的計算、作圖提供依據。
�。ǘ⿷美}：（讓學(xué)生分析，交流，解答，老師引導學(xué)生歸納）
例1、1300多年前，我國隋代建造的趙州石拱橋的`橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦的長(cháng)）為37.4米，拱高（弧中點(diǎn)到弦的距離，也叫弓形的高）為7.2米，求橋拱的半徑（精確到0.1米）。
說(shuō)明：
�、賹W(xué)生進(jìn)行愛(ài)國主義的教育；
�、趹妙}的解題思路：實(shí)際問(wèn)題（轉化，構造直角三角形）數學(xué)問(wèn)題。
例2、已知：⊙O的半徑為5 ，弦AB∥CD ，AB =6 ，CD =8 。求：AB與CD間的距離。（讓學(xué)生畫(huà)圖）
解：分兩種情況：
�。�1）當弦AB、CD在圓心O的兩側
過(guò)點(diǎn)O作EFAB于E，連結OA、OC，
又∵AB∥CD，EFCD。（作輔助線(xiàn)是難點(diǎn)，學(xué)生往往作OEAB，OFAB，就得EF=OE+OF，錯誤的結論）
由EF過(guò)圓心O，EFAB，AB =6，得AE=3，
在Rt△OEA中，由勾股定理，得
同理可得：OF=3
EF=OE+OF=4+3=7。
�。�2）當弦AB、CD在圓心O的同側
同（1）的方法可得：OE=4，OF=3。
說(shuō)明：
�、俅祟}主要是滲透分類(lèi)思想，培養學(xué)生的嚴密性思維和解題方法：確定圖形分析圖形數形結合解決問(wèn)題；
�、谂囵B學(xué)生作輔助線(xiàn)的方法和能力。
例3、 已知：AB是⊙O的弦，半徑OC∥AB ，AB=24 ，OC =15 。求：BC的長(cháng)。
解：（略，過(guò)O作OEAE于E ，過(guò)B作BFOC于F ，連結OB。BC =）
說(shuō)明：通過(guò)添加輔助線(xiàn)，構造直角三角形，并把已知與所求線(xiàn)段之間找到關(guān)系。
（三）應用訓練：
P8l中1題。
在直徑為650mm的圓柱形油槽內裝入一些油后。截面如圖所示，若油面寬AB=600mm，求油的最大深度。
學(xué)生分析，教師適當點(diǎn)撥。
分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高，弓形的高是半徑與圓心O到弦的距離差，從而不難看出它與半徑和弦的一半可以構造直角三角形，然后利用垂徑定理和勾股定理來(lái)解決。
（四）小結：
1 垂徑定理及其推論的應用注意指明條件。
2 應用定理可以證明的問(wèn)題；注重構造思想，方程思想、分類(lèi)思想在解題中的應用。
（五）作業(yè) ：教材P84中15、16題，P85中B組2、3題。
探究活動(dòng)
直線(xiàn)MN與⊙O交于點(diǎn)A、B，CD是⊙O的直徑，CEMN于E，DFMN于F，OHMN于H。
�。�1）線(xiàn)段AE、BF之間存在怎樣的關(guān)系？線(xiàn)段CE、OH、DF之間滿(mǎn)足怎樣的數量關(guān)系？并說(shuō)明理由。
�。�2）當直線(xiàn)CD的兩個(gè)端點(diǎn)在MN兩側時(shí)，上述關(guān)系是否仍能成立？如果不成立，它們之間又有什么關(guān)系？并說(shuō)明理由。
�。ù鸢柑崾荆海�1）AE=BF，CE+DF=2OH，（2）AE=BF仍然成立，CE+DF=2OH不能成立。CE、DF、OH之間應滿(mǎn)足）
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