圓有關(guān)的比例線(xiàn)段教案設計
教學(xué)建議
1、教材分析
(1)知識結構
(2)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
重點(diǎn)：相交弦定理及其推論，切割線(xiàn)定理和割線(xiàn)定理.這些定理和推論不但是本節的重點(diǎn)、本章的重點(diǎn)，而且還是中考試題的熱點(diǎn);這些定理和推論是重要的工具性知識，主要應用與圓有關(guān)的計算和證明.
難點(diǎn)：正確地寫(xiě)出定理中的等積式.因為圖形中的線(xiàn)段較多，學(xué)生容易混淆.
2、教學(xué)建議
本節內容需要三個(gè)課時(shí).第1課時(shí)介紹相交弦定理及其推論，做例1和例2.第2課時(shí)介紹切割線(xiàn)定理及其推論，做例3.第3課時(shí)是習題課，講例4并做有關(guān)的練3.
(1)教師通過(guò)教學(xué)，組織學(xué)生自主觀(guān)察、發(fā)現問(wèn)題、分析解決問(wèn)題，逐步培養學(xué)生研究性學(xué)習意識，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習熱情;
(2)在教學(xué)中，引導學(xué)生觀(guān)察猜想證明應用等學(xué)習，教師組織下，以學(xué)生為主體開(kāi)展教學(xué)活動(dòng).
第1課時(shí)：相交弦定理
教學(xué)目標 ：
1.理解相交弦定理及其推論，并初步會(huì )運用它們進(jìn)行有關(guān)的簡(jiǎn)單證明和計算;
2.學(xué)會(huì )作兩條已知線(xiàn)段的比例中項;
3.通過(guò)讓學(xué)生自己發(fā)現問(wèn)題，調動(dòng)學(xué)生的思維積極性，培養學(xué)生發(fā)現問(wèn)題的能力和探索精神;
4.通過(guò)推論的推導，向學(xué)生滲透由一般到特殊的思想方法.
教學(xué)重點(diǎn)：
正確理解相交弦定理及其推論.
教學(xué)難點(diǎn) ：
在定理的敘述和應用時(shí)，學(xué)生往往將半徑、直徑跟定理中的線(xiàn)段搞混，從而導致證明中發(fā)生錯誤，因此務(wù)必使學(xué)生清楚定理的提出和證明過(guò)程，了解是哪兩個(gè)三角形相似，從而就可以用對應邊成比例的結論直接寫(xiě)出定理.
教學(xué)活動(dòng)設計
(一)設置學(xué)習情境
1、圖形變換：(利用電腦使AB與CD弦變動(dòng))
�、僖龑W(xué)生觀(guān)察圖形，發(fā)現規律：D，B.
�、谶M(jìn)一步得出：△APC∽△DPB.
.
�、廴绻麑D形做些變換，去掉AC和BD，圖中線(xiàn)段 PA，PB，PC，PO之間的關(guān)系會(huì )發(fā)生變化嗎?為什么?
組織學(xué)生觀(guān)察，并回答.
2、證明：
已知：弦AB和CD交于⊙O內一點(diǎn)P.
求證：PAPB=PCPD.
(A層學(xué)生要訓練學(xué)生寫(xiě)出已知、求證、證明;B、C層學(xué)生在老師引導下完成)
(證明略)
(二)定理及推論
1、相交弦定理： 圓內的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線(xiàn)段長(cháng)的積相等.
結合圖形讓學(xué)生用數學(xué)語(yǔ)言表達相交弦定理：在⊙O中;弦AB，CD相交于點(diǎn)P，那么PAPB=PCPD.
2、從一般到特殊，發(fā)現結論.
對兩條相交弦的位置進(jìn)行適當的調整，使其中一條是直徑，并且它們互 相垂直如圖，AB是直徑，并且ABCD于P.
提問(wèn)：根據相交弦定理，能得到什么結論?
指出：PC2=PAPB.
請學(xué)生用文字語(yǔ)言將這一結論敘述出來(lái)，如果敘述不完全、不準確.教師糾正，并板書(shū).
推論 如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的'兩條線(xiàn)段的比例中項.
3、深刻理解推論：由于圓是軸對稱(chēng)圖形，上述結論又可敘述為：半圓上一點(diǎn)C向直徑AB作垂線(xiàn)，垂足是P，則PC2=PAPB.
若再連結AC，BC，則在圖中又出現了射影定理的基本圖形，于是有：
PC2=PAAC2=APCB2=BPAB
(三)應用、反思
例1 已知圓中兩條弦相交，第一條弦被交點(diǎn)分為12厘米和16厘米兩段，第二條弦的長(cháng)為32厘米，求第二條弦被交點(diǎn)分成的兩段的長(cháng).
引導學(xué)生根據題意列出方程并求出相應的解.
例2 已知：線(xiàn)段a，b.
求作：線(xiàn)段c，使c2=ab.
分析：這個(gè)作圖求作的形式符合相交弦定理的推論的形式，因此可引導學(xué)生作出以線(xiàn)段a十b為直徑的半圓，仿照推論即可作出要求作的線(xiàn)段.
作法：口述作法.
反思：這個(gè)作圖是作兩已知線(xiàn)段的比例中項的問(wèn)題，可以當作基本作圖加以應用.同時(shí)可啟發(fā)學(xué)生考慮通過(guò)其它途徑完成作圖.
練習1 如圖，AP=2厘米，PB=2.5厘米，CP=1厘米，求CD.
變式練習：若AP=2厘米，PB=2.5厘米，CP，DP的長(cháng)度皆為整數.那么CD的長(cháng)度是 多少?
將條件隱化，增加難度，提高學(xué)生學(xué)習興趣
練習2 如圖，CD是⊙O的直徑，ABCD，垂足為P，AP=4厘米，PD=2厘米.求PO的長(cháng).
練習3 如圖：在⊙O中，P是弦AB上一點(diǎn)，OPPC，PC 交⊙O于C. 求證：PC2=PAPB
引導學(xué)生分析：由APPB，聯(lián)想到相交弦定理，于是想到延長(cháng) CP交⊙O于D，于是有PCPD=PAPB.又根據條件OPPC.易 證得PC=PD問(wèn)題得證.
(四)小結
知識：相交弦定理及其推論;
能力：作圖能力、發(fā)現問(wèn)題的能力和解決問(wèn)題的能力;
思想方法：學(xué)習了由一般到特殊(由定理直接得到推論的過(guò)程)的思想方法.
(五)作業(yè)
教材P132中 9，10;P134中B組4(1).
第2課時(shí) 切割線(xiàn)定理
教學(xué)目標 ：
1.掌握切割線(xiàn)定理及其推論，并初步學(xué)會(huì )運用它們進(jìn)行計算和證明;
2.掌握構造相似三角形證明切割線(xiàn)定理的方法與技巧，培養學(xué)生從幾何圖形歸納出幾何性質(zhì)的能力
3.能夠用運動(dòng)的觀(guān)點(diǎn)學(xué)習切割線(xiàn)定理及其推論，培養學(xué)生辯證唯物主義的觀(guān)點(diǎn).
教學(xué)重點(diǎn)：
理解切割線(xiàn)定理及其推論，它是以后學(xué)習中經(jīng)常用到的重要定理.
教學(xué)難點(diǎn) ：
定理的靈活運用以及定理與推論問(wèn)的內在聯(lián)系是難點(diǎn).
教學(xué)活動(dòng)設計
(一)提出問(wèn)題
1、引出問(wèn)題：相交弦定理是兩弦相交于圓內一點(diǎn).如果兩弦延長(cháng)交于圓外一點(diǎn)P，那么該點(diǎn)到割線(xiàn)與圓交點(diǎn)的四條線(xiàn)段PA，PB，PC，PD的長(cháng)之間有什么關(guān)系?(如圖1)
當其中一條割線(xiàn)繞交點(diǎn)旋轉到與圓的兩交點(diǎn)重合為一點(diǎn)(如圖2)時(shí)，由圓外這點(diǎn)到割線(xiàn)與圓的兩交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(cháng)和該點(diǎn)的切線(xiàn)長(cháng)PA，PB，PT之間又有什么關(guān)系?
2、猜想：引導學(xué)生猜想出圖中三條線(xiàn)段PT，PA，PB間的關(guān)系為PT2=PAPB.
3、證明：
讓學(xué)生根據圖2寫(xiě)出已知、求證，并進(jìn)行分析、證明猜想.
分析：要證PT2=PAPB， 可以證明，為此可證以 PAPT為邊的三角形與以PT，BP為邊的三角形相似，于是考慮作輔助線(xiàn)TP，PB.(圖3).容易證明PTA=B又P，因此△BPT∽△TPA，于是問(wèn)題可證.
4、引導學(xué)生用語(yǔ)言表達上述結論.
切割線(xiàn)定理 從圓外一點(diǎn)引圓的切線(xiàn)和割線(xiàn)，切線(xiàn)長(cháng)是這點(diǎn)到割線(xiàn)與圓交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(cháng)的比例中項.
(二)切割線(xiàn)定理的推論
1、再提出問(wèn)題：當PB、PD為兩條割線(xiàn)時(shí)，線(xiàn)段PA，PB，PC，PD之間有什么關(guān)系?
觀(guān)察圖4，提出猜想：PAPB=PCPD.
2、組織學(xué)生用多種方法證明：
方法一：要證PAPB=PCPD，可證此可證以PA，PC為邊的三角形和以PD，PB為邊的三角形相似，所以考慮作輔助線(xiàn)AC，BD，容易證明PAC=D，P，因此△PAC∽△PDB. (如圖4)
方法二：要證，還可考慮證明以PA，PD為邊的三角形和以PC、PB為邊的三角形相似，所以考慮作輔助線(xiàn)AD、CB.容易證明D，又P. 因此△PAD∽△PCB.(如圖5)
方法三：引導學(xué)生再次觀(guān)察圖2，立即會(huì )發(fā)現.PT2=PAPB，同時(shí)PT2=PCPD，于是可以得出PAPB=PCPD.PAPB=PCPD
推論：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線(xiàn)，這一點(diǎn)到每條割線(xiàn)與圓的交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(cháng)的積相等.(也叫做割線(xiàn)定理)
(三)初步應用
例1 已知：如圖6，⊙O的割線(xiàn)PAB交⊙O于點(diǎn)A和B，PA=6厘米，AB=8厘米， PO=10.9厘米，求⊙O的半徑.
分析：由于PO既不是⊙O的切線(xiàn)也不是割線(xiàn)，故須將PO延長(cháng)交⊙O于D，構成了圓的一條割線(xiàn)，而OD又恰好是⊙O的半徑，于是運用切割線(xiàn)定理的推論，問(wèn)題得解.
(解略)教師示范解題.
例2 已知如圖7，線(xiàn)段AB和⊙O交于點(diǎn)C，D，AC=BD，AE，BF分別切⊙O于點(diǎn)E，F，
求證：AE=BF.
分析：要證明的兩條線(xiàn)段AE，BF均與⊙O相切，且從A、B 兩點(diǎn)出發(fā)引的割線(xiàn)ACD和BDC在同一直線(xiàn)上，且AC=BD，AD=BC. 因此它們的積相等，問(wèn)題得證.
學(xué)生自主完成，教師隨時(shí)糾正學(xué)生解題過(guò)程中出現的錯誤，如AE2=ACCD和BF2=BDDC等.
鞏固練習：P128練習1、2題
(四)小結
知識：切割線(xiàn)定理及推論;
能力：結合具體圖形時(shí)，應能寫(xiě)出正確的等積式;
方法：在證明切割線(xiàn)定理和推論時(shí)，所用的構造相似三角形的方法十分重要，應注意很好地掌握.
(五)作業(yè) 教材P132中，11、12題.
探究活動(dòng)
最佳射門(mén)位置
國際足聯(lián)規定法國世界杯決賽階段，比賽場(chǎng)地長(cháng)105米，寬68米，足蠣趴?.32米，高2.44米，試確定邊鋒最佳射門(mén)位置(精確到l米).
分析與解 如圖1所示.AB是足球門(mén)，點(diǎn)P是邊鋒所在的位置.最佳射門(mén)位置應是使球員對足球門(mén)視角最大的位置，即向P上方或下方移動(dòng)，視角都變小，因此點(diǎn)P實(shí)際上是過(guò)A、B且與邊線(xiàn)相切的圓的切點(diǎn)，如圖1所示.即OP是圓的切線(xiàn)，而OB是圓的割線(xiàn).
故 ，又 ，
OB=30.34+7.32=37.66.
OP=(米).
注：上述解法適用于更一般情形.如圖2所示.△BOP可為任意角
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