《解一元一次方程》優(yōu)秀教案模板
一、教學(xué)目標
(一).知識與技能
會(huì )利用合并同類(lèi)項解一元一次方程.
(二).過(guò)程與方法
通過(guò)對實(shí)例的分析，體會(huì )一元一次方程作為實(shí)際問(wèn)題的數學(xué)模型的作用.
(三).情感態(tài)度與價(jià)值觀(guān)
開(kāi)展探究性學(xué)習，發(fā)展學(xué)習能力.
二、重、難點(diǎn)與關(guān)鍵
(一).重點(diǎn)：會(huì )列一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題，并會(huì )合并同類(lèi)項解一元一次方程.
(二).難點(diǎn)：會(huì )列一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題.
(三).關(guān)鍵：抓住實(shí)際問(wèn)題中的數量關(guān)系建立方程模型.
三、教學(xué)過(guò)程
(一)、復習提問(wèn)
1.敘述等式的兩條性質(zhì).
2.解方程：4(x- )=2.
解法1：根據等式性質(zhì)2，兩邊同除以4，得：
x- =
兩邊都加 ，得x= .
解法2：利用乘法分配律，去掉括號，得：
4x- =2
兩邊同加 ，得4x=
兩邊同除以4，得x= .
(二)、新授
公元825年左右，中亞細亞數學(xué)家阿爾、花拉子米寫(xiě)了一本代數書(shū)，重點(diǎn)論述怎樣解方程.這本書(shū)的拉丁文譯本取名為《對消與還原》.對消與還原是什么意思呢?讓我們先討論下面內容，然后再回答這個(gè)問(wèn)題.
問(wèn)題1：某校三年級共購買(mǎi)計算機140臺，去年購買(mǎi)數量是前年的2倍，今年購買(mǎi)數量又是去年的2倍，前年這個(gè)學(xué)校購買(mǎi)了多少臺計算機?
分析：設前年這個(gè)學(xué)校購買(mǎi)了x臺計算機，已知去年購買(mǎi)數量是前年的2倍，那么去年購買(mǎi)2x臺，又知今年購買(mǎi)數量是去年的2倍，則今年購買(mǎi)了22x(即4x)臺.
題目中的相等關(guān)系為：三年共購買(mǎi)計算機140臺，即
前年購買(mǎi)量+去年購買(mǎi)量+今年購買(mǎi)量=140
列方程：x+2x+4x=140
如何解這個(gè)方程呢?
2x表示2x，4x表示4x，x表示1x.
根據分配律，x+2x+4x=(1+2+4)x=7x.
這樣就可以把含x的項合并為一項，合并時(shí)要注意x的系數是1，不是0.
下面的框圖表示了解這個(gè)方程的具體過(guò)程：
x+2x+4x=140
合并
7x=140
系數化為1
x=20
由上可知，前年這個(gè)學(xué)校購買(mǎi)了20臺計算機.
上面解方程中合并起了化簡(jiǎn)作用，把含有未知數的項合并為一項，從而達到把方程轉化為ax=b的形式，其中a、b是常數.
例：某班學(xué)生共60分，外出參加種樹(shù)活動(dòng)，根據任何的不同，要分成三個(gè)小組且使甲、乙、丙三個(gè)小組人數之比是2：3：5，求各小組人數.
分析：這里甲、乙、丙三個(gè)小組人數之比是2：3：5，就是說(shuō)把總數60人分成10份，甲組人數占2份，乙組人數占3份，丙組人數占5份，如果知道每一份是多少，那么甲、乙、丙各組人數都可以求得，所以本題應設每一份為x人.
問(wèn)：本題中相等關(guān)系是什么?
答：甲組人數+乙組人數+丙組人數=60.
解：設每一份為x人，則甲組人數為2x人，乙組人數為3x人，丙組為5x人，列方程：
2x+3x+5x=60
合并，得10x=60
系數化為1，得x=6
所以2x=12，3x=18，5x=30
答：甲組12人，乙組18人，丙組30人.
請同學(xué)們檢驗一下，答案是否合理，即這三組人數的比是否是2：3：5，且這三組人數之和是否等于60.
(三)、鞏固練習
1.課本第89頁(yè)練習.
(1)x=3.
(2)可以先合并，也可以先把方程兩邊同乘以2.
具體解法如下：
解法1：合并，得( + )x=7
即 2x=7
系數化為1，得x=
解法2：兩邊同乘以2，得x+3x=14
合并，得 4x=14
系數化為1，得 x=
(3)合并，得-2.5x=10
系數化為1，得x=-4
2.補充練習.
(1)足球的表面是由若干個(gè)黑色五邊形和白色六邊形皮塊圍成的，黑白皮塊的數目比為3：5，一個(gè)足球的表面一共有32個(gè)皮塊，黑色皮塊和白色皮塊各有多少?
(2)某學(xué)生讀一本書(shū)，第一天讀了全書(shū)的多2頁(yè)，第二天讀了全書(shū)的少1頁(yè)，還剩23頁(yè)沒(méi)讀，問(wèn)全書(shū)共有多少頁(yè)?(設未知數，列方程，不求解)
解：(1)設每份為x個(gè)，則黑色皮塊有3x個(gè)，白色皮塊有5x個(gè).
列方程 3x+2x=32
合并，得 8x=32
系數化為1，得 x=4
黑色皮塊為43=12(個(gè))，白色皮塊有54=20(個(gè)).
(2)設全書(shū)共有x頁(yè)，那么第一天讀了( x+2)頁(yè)，第二天讀了( x-1)頁(yè).
本問(wèn)題的相等關(guān)系是：第一天讀的量+第二天讀的量+還剩23頁(yè)=全書(shū)頁(yè)數.
列方程： x+2+ x-1+23=x.
四、課堂小結
初學(xué)用代數方法解應用題，感到不習慣，但一定要克服困難，掌握這種方法，掌握列一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟，其中找等量關(guān)系是關(guān)鍵也是難點(diǎn)，本節課的兩個(gè)問(wèn)題的相等關(guān)系都是：總量=各部分量的和.這是一個(gè)基本的相等關(guān)系.
合并就是把類(lèi)型相同的項系數相加合并為一項，也就是逆用乘法分配律，合并時(shí)，注意x或-x的系數分別是1，-1，而不是0.
五、作業(yè)布置
1.課本第93頁(yè)習題3.2第1、3(1)、(2)、4、5題.
2.選用課時(shí)作業(yè)設計.
合并同類(lèi)項習題課(第2課時(shí))
一、解方程.
1.(1)3x+3-2x=7; (2) x+ x=3;
(3)5x-2-7x=8; (4) y-3-5y= ;
(5) - =5; (6)0.6x- x-3=0.
二、解答題.
2.育紅小學(xué)現有學(xué)生320人，比1995年學(xué)生人數的 少150人，問(wèn)育紅小學(xué)1995年學(xué)生人數是多少?
3.甲、乙兩地相距460千米，A、B兩車(chē)分別從甲、乙兩地開(kāi)出，A車(chē)每小時(shí)行駛60千米，B車(chē)每小時(shí)行駛48千米.
(1)兩車(chē)同時(shí)出發(fā)，相向而行，出發(fā)多少小時(shí)兩車(chē)相遇?
(2)兩車(chē)相向而行，A車(chē)提前半小時(shí)出發(fā)，則在B車(chē)出發(fā)后多少小時(shí)兩車(chē)相遇?相遇地點(diǎn)距離甲地多遠?
4.甲、乙二人從A地去B地，甲步行每小時(shí)走4千米，乙騎車(chē)每小時(shí)比甲多走8千米，甲出發(fā)半小時(shí)后乙出發(fā)，恰好二人同時(shí)到達B地，求A、B兩地之間的距離.
5.一條環(huán)形跑道長(cháng)400米，甲練習騎自行車(chē)，平均每分鐘行駛550米;乙練習長(cháng)跑，平均每分鐘跑250米，兩人同時(shí)、同地、同向出發(fā)，經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，兩人首次相遇?
答案:
一、1.(1)x=4 (2)x=4 (3)x=-5 (4)x=- (5)x=30 (6)x=11
二、2.705人，設育紅小學(xué)1995年學(xué)生人數為x人，列方程320= x-150.
3.(1)4 小時(shí)，設出發(fā)后x小時(shí)相遇，列方程60x+48x=460.
(2)3 小時(shí)，設B車(chē)開(kāi)出后x小時(shí)兩車(chē)相遇，列方程60 +60x+48x=460.
4.3千米，設A、B兩地間的距離為x千米， - = .
5.1 分鐘，設經(jīng)過(guò)x分鐘兩人首次相遇，列方程550x-250x=400.
解一元一次方程
──移項(第3課時(shí))
一、教學(xué)內容
課本第89頁(yè)至第91頁(yè).
二、教學(xué)目標
(一).知識與技能
理解移項法，并知道移項法的依據，會(huì )用移項法則解方程.
(二).情感態(tài)度與價(jià)值觀(guān)
鼓勵學(xué)生自主探索與合作交流，發(fā)展思維策略，體會(huì )方程的應用價(jià)值.
三、重、難點(diǎn)與關(guān)鍵
(一).重點(diǎn)：運用方程解決實(shí)際問(wèn)題，會(huì )用移項法則解方程.方程的各項應包括前面的符號
(二).難點(diǎn)：對立相等關(guān)系.
(三).關(guān)鍵：理解移項法則的依據，以及尋找問(wèn)題中的等量關(guān)系.
四、教學(xué)過(guò)程 (一)、復習提問(wèn)
1.運用方程解決實(shí)際問(wèn)題的.步驟是什么?
2.解方程： + =10.
(二)、新授
問(wèn)題2：把一些圖書(shū)分給某班學(xué)生閱讀，如果每人分3本，則剩余20本;如果每人分4本，則還缺25本，這個(gè)班有多少學(xué)生?
分析：設這個(gè)班有x名學(xué)生，根據第一種分法，分析已知量和未知量間的關(guān)系.
1.每人分3本，那么共分出多少本?(3x本)
2.共分出3x本和剩余的20本，可知道什么?
答：這批書(shū)共有(3x+20)本.
根據第二種分法，分析已知量與未知量之間的關(guān)系.
3.每人分4本，那么需要分出多少本?(4x本)
4.需要分出4x本和還缺少25本那么這批書(shū)共有多少本?
答：這批書(shū)共有(4x-25)本.
這批書(shū)的總數有幾種表示法?它們之間有什么關(guān)系?本題哪個(gè)相等關(guān)系可以作為列方程的依據?
這批書(shū)的總數是一個(gè)定值(不變量)表示它的兩個(gè)式子應相等.
根據這一相等關(guān)系，列方程：
3x+20=4x-25
本題還可以畫(huà)示意圖，幫助我們分析：
從示意圖中容易得到這批書(shū)的總數與分出書(shū)、剩下書(shū)的關(guān)系是：
這批書(shū)的總數=3x+30
這批書(shū)的總數與需要分出的書(shū)的數量、還缺少書(shū)的數量關(guān)系是：
這批書(shū)的總數=4x-25
根據兩種分法，這批書(shū)的總數是相等的.
所以，列方程3x+20=4x-25.
注意變化中的不變量，尋找隱含的相等關(guān)系，從本題列方程的過(guò)程，可以發(fā)現：表示同一個(gè)量的兩個(gè)不同式子相等.
思考：方程3x+20=4x-25的兩邊都含有x的項(3x與4x)，也都含有不含字母的常數項(20與-25)怎樣才能使它轉化為x=a(常數)的形式呢?
要使方程右邊不含x的項，根據等式性質(zhì)1，兩邊都減去4x，同樣，把方程兩邊都減去20，方程左邊就不含常數項20，即
3x+20 -4x-20 =4x-25 -4x-20
即 3x-4x=-25-20
將它與原來(lái)方程比較，相當于把原方程左邊的+20變?yōu)?20后移到方程右邊，把原方程右邊的4x變?yōu)?4x后移到左邊.
像上面那樣，把等式一邊的某項變號后移到另一邊，叫做移項.
方程中的任何一項都可以在改變符號后，從方程的一邊移到另一邊，即可以把方程等號右邊的項改變符號后移到等號的左邊，也可以把方程左邊的項改變符號后移到方程的右邊，注意要先變號后移項，別忘了變號.
下面的框圖表示了解這個(gè)方程的具體過(guò)程.
3x+20=4x-25
移項
3x-4x=-25-20
合并
-x=-45
系數化為1
x=46
由此可知這個(gè)班共有45個(gè)學(xué)生.
思考：上面解方程中移項起了什么作用?
答：移項使方程中含x的項歸到方程的同一邊(左邊)，不含x的項即常數項歸到方程的另一邊(右邊)，這樣就可以通過(guò)合并把方程轉化為x=a形式.
在解方程時(shí)，要弄清什么時(shí)候要移項，移哪些項，目的是什么?
解方程時(shí)經(jīng)常要合并和移項，前面提到的古老的代數書(shū)中的對消和還原，指的就是合并和移項.
如果把上面的問(wèn)題2的條件不變，這個(gè)班有多少學(xué)生改為這批書(shū)有多少本?你會(huì )解嗎?試試看.
解法1：從原問(wèn)題的解答中，已求的這個(gè)班有45個(gè)學(xué)生，只要把x=45代入3x+20(或4x-25)就可以求得這批書(shū)的總數為：
345+20=135+20=155(本)
解法2：如果不先求學(xué)生數，直接設這批書(shū)共有x本，又如何布列方程?這時(shí)該用哪個(gè)相等關(guān)系列方程呢?
這批書(shū)共有x本，余下20本，共分出(x-20)本，每人分3本，可以分給 人，即這個(gè)班共有 人.
這批書(shū)有x本，每人分4本，還缺少25本，共需要(x+25)本，可以分給 人，即這個(gè)班共有 人.
這個(gè)班的人數是一個(gè)定值，表示它的兩個(gè)式子應相等，根據這個(gè)相等關(guān)系列方程.
= (你會(huì )解這個(gè)方程嗎?)
即 - = +
移項，得 - = +
合并，得 =
系數化為1，得x=155.
答：這批書(shū)共有155本.
(三)、鞏固練習
1.課本第91頁(yè)練習.
(1)解：移項，得6x-4x=-5+7
合并，得 2x=2
系數化為1，得x=1
(2)解：移項，得 x- x=6
合并，得- x=6
系數化為1，得x=-24
2.補充練習.
下列移項對不對?如果不對，錯在哪里?應當怎樣改正?
(1)從3x+6=0得3x=6;
(2)從2x=x-1得到2x-x=1;
(3)從2+x-3=2x+1得到2-3-1=2x-x.
解：(1)錯，移項忘了要變號，應改為3x=-6.
(2)錯.原方程中的-1仍然在方程右邊，并沒(méi)有移項，所以不要變號，應改為2x-x-=-1.
(3)正確.
四、課堂小結
1.列一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是審題、讀懂題意和找相等關(guān)系，今天解決的這個(gè)問(wèn)題的相等關(guān)系不明顯，隱含在問(wèn)題中，表示同一個(gè)量的兩個(gè)式子是相等.這個(gè)相等關(guān)系可以作列方程的依據.
2.正確理解移項法則，移項中常犯的錯誤是忘記變號，還要注意移項與在方程的一邊交換兩項的位置有本質(zhì)區別，移項的依據是等式性質(zhì)，在方程的一邊交換兩項的位置是根據交換律.
五、作業(yè)布置
1.課本第93頁(yè)至第94頁(yè)習題3.2第2、3(3)(4)、6、7、8題.
2.選用課時(shí)作業(yè)設計.
移項習題課(第4課時(shí))
一、填空題.
1.在方程的兩邊加上或減去同一項，相當于把原方程中的項______后，從方程的一邊移到另一邊，這種變形叫做________，其依據是________，移項要注意_____.
2.在方程的一邊交換兩項的位置______改變項的符號，而移項______改變符號.
3.解方程x+21=36得x=________;由10x-3=9得x=______.
二、判斷題.(對的打，錯的打)
4.移項就是把方程中的某一項移到等號的另一邊.( )
5.從6x=1，移項，得x=1-6，x=-5. ( )
6.由方程-4+x=7移項得x=7-4. ( )
三、解方程.
7.(1)8=7-2y; (2) = - ;
(3)5x-2=7x+8; (4)1- x=3x+ ;
(5)2x- =- +2; (6)- x+6=4x+1;
(7) -x=0.5x-3.
四、解答題.
8.設m=3x-2，n=-2x+3，當x為何值時(shí)m=n?
9.甲糧倉存糧1000噸，乙糧倉存糧798噸，現要從兩個(gè)糧倉中運走212噸糧食，使兩倉庫剩余的糧食數量相等，那么應從這兩個(gè)糧倉各運出多少?lài)?
答案：
一、1.合并 移項 合并同類(lèi)項 變號 2.不 要 3.15 1.2
二、4. 5. 6.
三、7.(1)y=- (2)x= (3)x=-5 (4)x=-
(5)x=1 (6)x= (7)x=3
四、8.x=1 9.207，5，設從甲糧倉運出x噸，1000-x=798-(212-x)
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