《最大公約數》教學(xué)設計
一 指導思想
人教版與蘇教版教材中對最大公約數認識的編排順序是相同的：分別找出兩個(gè)數的約數→比較，生成公約數、最大公約數的概念→會(huì )求兩個(gè)數的最大公約數→應用（最大）公約數知識解決實(shí)際問(wèn)題，引導學(xué)生在做數學(xué)中創(chuàng )造數學(xué)——《最大公約數》教學(xué)設計與思考。
沿這種思路設計教學(xué)，學(xué)生對新知的接受常是被動(dòng)的，并且也只能達成“知識與技能”單一教學(xué)目標。數學(xué)課程標準“強調從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應用的過(guò)程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對數學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力，情感態(tài)度與價(jià)值觀(guān)等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展�！痹谶@新的教學(xué)理念指導下，怎樣結合學(xué)生的實(shí)際生活，在運用知識解決問(wèn)題的實(shí)踐操作中，經(jīng)歷知識產(chǎn)生過(guò)程，萌發(fā)創(chuàng )造新知需要，并完成對新知的建構呢？
二 教學(xué)設計
1．觀(guān)察——感知生活數學(xué)
學(xué)習約數與倍數之后，布置學(xué)生回家觀(guān)察客廳或臥室，也可到廣場(chǎng)上，看看所貼的地板磚數是否正好為整數塊數（沒(méi)有切割）。如果是，沿著(zhù)長(cháng)鋪了多少塊？沿著(zhù)寬鋪了多少塊？測量一方磚的邊長(cháng)和房間的長(cháng)、寬，方磚的邊長(cháng)與房間的長(cháng)、寬分別是什么關(guān)系？
2．思考——理解數學(xué)問(wèn)題
課堂教學(xué)伊始，投影出貼了地板磚的長(cháng)方形廣場(chǎng)平面圖。學(xué)生能夠用約數、倍數知識解釋課前觀(guān)察到的數學(xué)問(wèn)題：長(cháng)方形廣場(chǎng)的長(cháng)是方磚邊長(cháng)的m倍，寬是方磚邊長(cháng)的n倍。也可以說(shuō)方磚的邊長(cháng)既是長(cháng)方形長(cháng)的約數，又是長(cháng)方形寬的約數。與師生交流之后，再出示一個(gè)新的問(wèn)題：我們學(xué)校的畫(huà)廊高1.2米（12分米），長(cháng)是3米（30分米），美術(shù)組的同學(xué)想在上面正好貼滿(mǎn)大小相同的正方形裝飾畫(huà)，這種裝飾畫(huà)的邊長(cháng)應為多少分米（取整數）？會(huì )有幾種不同的正方形？
3．實(shí)驗——建構數學(xué)模型
學(xué)生在對畫(huà)廊設計問(wèn)題處于憤悱狀態(tài)之時(shí)，老師借用長(cháng)方形紙作示范引導：這是一張長(cháng)15cm，寬10cm的長(cháng)方形紙，我們可以把它設想為縮小后的校園畫(huà)廊，（當然也可以想象為客廳或廣場(chǎng)的地面）老師在這張長(cháng)方形紙上設計了兩種不同的小正方形，（實(shí)物投影出示另一張畫(huà)了方格的長(cháng)方形紙）其中一面的小正方形邊長(cháng)為1cm，另一面的小正方形邊長(cháng)為5cm，它們同樣整分了這張長(cháng)方形紙而無(wú)剩余。想一想，小正方形邊長(cháng)除了1cm和5cm以外，還會(huì )有其它整厘米數嗎？根據剛才自己的理解，請拿出課前準備好的一張長(cháng)12cm、寬8cm的長(cháng)方形紙，仿效老師的做法，設計能正好整分這個(gè)長(cháng)方形紙的小正方形，在紙上畫(huà)一畫(huà)，看一看有幾種不同的畫(huà)法設計，再想一想其中有什么規律？
4．總結——創(chuàng )造數學(xué)新知
學(xué)生完成上一步操作以后，投影展示學(xué)生設計的作品，（會(huì )有三種不同的設計：小正方形的邊長(cháng)分別為1cm、2cm、4cm）引導學(xué)生表述自己的想法，交流發(fā)現規律：因為小正方形要正好整分大長(cháng)方形，那么，小正方形的邊長(cháng)既要能整除大長(cháng)方形的長(cháng)，也要能整除長(cháng)方形的寬。也就是說(shuō)小正方形的邊長(cháng)數1、2、4、既是12的約數，也是8的約數。同理，1和5既是15的約數，也是10的約數。
至此，通過(guò)鋪方磚的生活常識及幾何中長(cháng)、正方形關(guān)系的設計操作，學(xué)生實(shí)際上已初步感知和理解了公約數的存在及其在生活中的應用。此時(shí)，再引導學(xué)生通過(guò)命名的形式抽象出新的數學(xué)概念—公約數：請你根據1、2、4分別與12和8共有的關(guān)系給這幾個(gè)數取一個(gè)新的名稱(chēng)，師板書(shū)：1、2、4是12和8的（ ），待學(xué)生大都滿(mǎn)意之后再板書(shū)：4是12和8的（ ）。
板書(shū)設計如下：(單位：厘米)
1是10的約數，也是15的約數 1是12的約數，也是8的約數
5是10的約數，也是15的約數 2是12的.約數，也是8的約數
4是12的約數，也是8的約數
1、5是15和10的( 公約數 ) 1、2、4是12和8的(公約數 )
5是15和10的( 最大公約數 ) 4是12和8的(最大公約數)
5．應用——解決實(shí)際問(wèn)題
先解決畫(huà)廊的裝飾畫(huà)設計，再解答小明分蛋糕的疑難：小明過(guò)生日的時(shí)候，媽媽給他訂了一個(gè)大的長(cháng)方體蛋糕，長(cháng)42 cm、寬30 cm、高24 cm，小明想把它均勻地切成大小相同的正方體后，再送給每一位客人，他怎樣切才能使蛋糕盡可能大一些？至少可以切成多少塊？
三 教學(xué)反思
1．重視數學(xué)思想——使數學(xué)學(xué)習終身受益
日本著(zhù)名數學(xué)教育家米山國藏指出：“作為知識的數學(xué)出校門(mén)不到兩年可能就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的是數學(xué)的精神，數學(xué)的思想、研究的方法和著(zhù)眼點(diǎn)等，這些隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們終身受益，小學(xué)數學(xué)教案《引導學(xué)生在做數學(xué)中創(chuàng )造數學(xué)——《最大公約數》教學(xué)設計與思考》�！睆倪@個(gè)教學(xué)的設計中我們可以看到，教學(xué)中不只是讓學(xué)生接受一個(gè)概念知識或一種求最大公約數的方法；不只是注重數學(xué)形式層面的教學(xué)，而是更重視數學(xué)發(fā)現層面的教學(xué)，即讓學(xué)生在經(jīng)歷“數學(xué)家”解決問(wèn)題的過(guò)程中去理解、去感受一種數學(xué)的思想和觀(guān)念──數學(xué)化思想。學(xué)生先是感知地板磚中隱含的數學(xué)，會(huì )用約數、倍數知識解釋簡(jiǎn)單的生活現象，進(jìn)而思考并嘗試解決畫(huà)廊內裝飾畫(huà)的設計，學(xué)生自然會(huì )聯(lián)想到地板磚中數學(xué)知識。但是，從解釋到應用設計，在沒(méi)有學(xué)習公約數的情況下會(huì )存在較大的難度。于是，創(chuàng )設了做數學(xué)的空間。讓他們在設計正方形的過(guò)程中，逐漸感知公約數的存在，建立了解決這種問(wèn)題的數學(xué)模型。再反思與總結，引導學(xué)生自己創(chuàng )造了“公約數”與“最大公約數”的概念。
數學(xué)化思想觀(guān)念是指用數學(xué)眼光去認識和處理周?chē)挛锘驍祵W(xué)問(wèn)題，可以培養學(xué)生良好的“用數學(xué)”意識，使數學(xué)關(guān)系成為學(xué)生的一種思維模式。而我們的課堂中，大多還是圍繞知識就事論事，沒(méi)有從形成學(xué)生思維模式的角度去展開(kāi)知識形成和問(wèn)題解決的思維過(guò)程，去注重現代的數學(xué)思想，去隱含重要的數學(xué)方法，這樣，學(xué)生學(xué)到的只是知識的堆砌，沒(méi)有自主的發(fā)展和對數學(xué)本質(zhì)的領(lǐng)悟。
2．注重學(xué)習體驗——讓課堂煥發(fā)生命活力
撲面而來(lái)的新基礎教育課程改革的浪潮強列地震撼著(zhù)知識為本的傳統課堂教學(xué)，關(guān)注生活、關(guān)愛(ài)學(xué)生、關(guān)照生命等極具時(shí)代氣息的教學(xué)理念呼喚著(zhù)以人為本的課堂。
注意學(xué)習過(guò)程中的感悟、體驗是本節課設計的又一重點(diǎn) 。觀(guān)察、測量中感悟生活中的教學(xué)；對長(cháng)方形紙中小方格設計的探索；總結、反思中感知公約數的存在；解決較復雜的分蛋糕問(wèn)題時(shí)體會(huì )公約數的作用。教學(xué)中的各個(gè)環(huán)節，都較好地發(fā)揮了學(xué)生的主體作用，在動(dòng)手操作與設計中建構了新舊知識的聯(lián)系。經(jīng)歷了從現實(shí)生活中抽象出(最大)公約數的概念，在做數學(xué)的過(guò)程中體驗了數學(xué)的真實(shí)意義。
華師大葉瀾教授提出了“教育的生命基礎”理論，主張“教育具有提升人的生命價(jià)值和創(chuàng )造人的精神生命的意義，對生命潛能的開(kāi)發(fā)和發(fā)展需要的滿(mǎn)足，教育具有不可替代的重要責任�！币詫W(xué)生的經(jīng)驗與活動(dòng)為基礎，以學(xué)生的積極參與、身心投入為前提，以學(xué)生的自主體驗為核心的注重學(xué)生體驗的教學(xué)活動(dòng)，能夠提升學(xué)生的生命質(zhì)量，促進(jìn)學(xué)生和諧發(fā)展。如果教學(xué)過(guò)程僅是師生間簡(jiǎn)單的知識“授一受”過(guò)程，剝奪學(xué)生對知識的主體性體驗，必然使他們養成被動(dòng)而不是主動(dòng)的，依賴(lài)而不是獨立的，接受而不是創(chuàng )造的體驗。那就會(huì )喪失了求知的欲望、體驗的沖動(dòng)和創(chuàng )造的才能，課堂學(xué)習中學(xué)生的生命意義就無(wú)從體現。所以《數學(xué)課程標準》中，把目標區分為知識技能目標和過(guò)程性目標，而過(guò)程性目標中的“經(jīng)歷、體驗、探索”也可理解為學(xué)生的體驗過(guò)程。體現了《標準》對學(xué)生在數學(xué)思考、解決問(wèn)題、以及情感與態(tài)度等方面要求的同時(shí)，隱含了對學(xué)生生命質(zhì)量的關(guān)注和重視。
3．開(kāi)發(fā)教學(xué)資源——師生同為資源創(chuàng )生的主體
教材只是供教學(xué)使用的一種材料，不是一成不變的經(jīng)典。面對新課程標準，教師要有強烈的課程資源開(kāi)發(fā)意識，不僅自己能針對學(xué)習內容開(kāi)發(fā)出有利學(xué)生學(xué)習和發(fā)展的新材料，而且要善于引導學(xué)生去尋找和發(fā)現身邊的數學(xué)學(xué)習資源。在本節課的教學(xué)中，除了教師提示的臥室(廣場(chǎng))地板磚，畫(huà)廊設計、分蛋糕之外，學(xué)生也列舉了許多類(lèi)似的現象：教室內水磨石地面，銀行墻壁上的方形面磚，家中客廳頂部木質(zhì)方塊的裝飾……學(xué)生在資源的識別與解釋中，逐步掌握了(最大)公約數的知識，為今后創(chuàng )造性的運用知識打下了良好的基礎。
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