三角形的角平分線(xiàn)

　　教學(xué)目標：

　　1、理解三角形的內外角平分線(xiàn)定理；

　　2、會(huì )證明三角形的內外角平分線(xiàn)定理；

　　3、通過(guò)對定理的證明，學(xué)習幾何證明方法和作輔助線(xiàn)的方法；

　　4、培養邏輯思維能力。

　　教學(xué)重點(diǎn)：

　　1、幾何證明中的證法分析；

　　2、添加輔助線(xiàn)的方法。

　　教學(xué)難點(diǎn)：

　　如何添加有用的輔助線(xiàn)。

　　教學(xué)關(guān)鍵：

　　抓住相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行教學(xué)。

　　教學(xué)方法：

　　“四段式”教學(xué)法，即讀、議、講、練。

　　一、閱讀課本，注意問(wèn)題

　　1、復習舊知識，回答下列問(wèn)題

　�、僭诘妊�三角形中，怎樣從等邊得出等角？又怎樣從等角得出等邊？請畫(huà)圖說(shuō)明。

　�、谳o助線(xiàn)的作法中，除了過(guò)兩個(gè)點(diǎn)連接一條線(xiàn)段外，最常見(jiàn)的就是過(guò)某個(gè)已知點(diǎn)作某條已知直線(xiàn)的平行線(xiàn)。平行線(xiàn)有哪些性質(zhì)？

　�、墼鯓优袛鄡蓚�(gè)三角形是相似的？相似三角形最基本的性質(zhì)是什么？

　�、軒缀巫C明中怎樣構造有用的相似三角形？

　　2、閱讀課本，弄清楚教材的內容，并注意教材上是怎樣講的。

　　提示：課本上在這一節講了三角形的內外角平分線(xiàn)定理，每個(gè)定理各講了一種證明方法。為了敘述定理的需要，課本上還講了線(xiàn)段的內分點(diǎn)和外分點(diǎn)兩個(gè)概念。最后用一個(gè)例題來(lái)說(shuō)明怎樣運用三角形的內外角平分線(xiàn)定理。閱讀時(shí)要注意課本上有關(guān)問(wèn)題的敘述、分析以及作輔助線(xiàn)的方法。通過(guò)適當的聯(lián)想和猜測，找出一些課本上尚未出現的新的證明方法。

　　3、注意下列問(wèn)題：

　�、湃鐖D，等腰中，頂角的平分線(xiàn)交底邊于，那么，圖中出現的相等線(xiàn)段是xxx即xxx。通過(guò)比較得到。

　�、迫绻�上面問(wèn)題中的換成任意三角形，即右圖的，平分，交于，那么，是不是還成立？請同學(xué)們用刻度尺量一量線(xiàn)段的長(cháng)度，計算，然后再比較（小的誤差忽略不計）。

　�、侨�角形的內角平分線(xiàn)定理說(shuō)的是什么意思？課本上是怎樣寫(xiě)已知、求證的？

　�、日n本上是怎樣進(jìn)行分析、證明的？都用了哪些學(xué)過(guò)的知識？證明的根據是什么？

　�、烧n本上證明的過(guò)程中是怎樣作輔助線(xiàn)的？這樣作輔助線(xiàn)的目的是什么？

　�、蔬^(guò)、、三點(diǎn)能不能作出有用的輔助線(xiàn)？如果能，輔助線(xiàn)應該怎樣作？各能作出幾條？

　�、司妥鞒龅妮o助線(xiàn)，怎樣尋找證明的思路和方法？分析的過(guò)程中用到了哪些知識？

　�、棠隳懿荒茴�(lèi)似地敘述三角形的外角平分線(xiàn)定理？

　�、突卮鹁毩曋械牡谝活}。

　�、慰偨Y證明方法和作輔助線(xiàn)的方法。

　�、献⒁鈨确贮c(diǎn)和外分點(diǎn)兩個(gè)概念及其應用。

　　4、閱讀指導叢書(shū)《平面幾何》第二冊。

　�、抛⒁廨o助線(xiàn)中平行線(xiàn)的作法，通過(guò)對圖、、的觀(guān)察分析，找出解決問(wèn)題的證明方法。

　�、茀矔�(shū)利用正弦定理中的面積公式來(lái)證明三角形的內角平分線(xiàn)定理，既把有關(guān)的知識聯(lián)系起來(lái)、拓展了解題思路，又為我們提供了一種比較簡(jiǎn)單的解決問(wèn)題的方法，值得我們借鑒。要注意三角形面積的幾種不同的計算方法。

　　二、互相討論，解答疑點(diǎn)

　　1、上面提出的問(wèn)題，希望大家獨立思考、獨立完成。根據已有的思路和線(xiàn)索，參照課本上的方法進(jìn)行分析。

　　2、思考中實(shí)在是有困難的同學(xué)，可以和周?chē)�的同學(xué)互相討論，發(fā)表看法；也可以請老師幫助、提示或指點(diǎn)。

　　3、把同學(xué)之間討論的結果，整理成一個(gè)完整的證明過(guò)程，寫(xiě)出每一步證明的根據。最后，適當地總結一些解題的經(jīng)驗和方法。

　　三、講評糾正，整理內容

　　1、把學(xué)生討論的結果歸納出來(lái)，加以補充說(shuō)明，糾正錯誤后進(jìn)行適當的分類(lèi)總結，點(diǎn)明證題法中的要點(diǎn)。

　�、僮C明比例式的依據是平行截割定理的推論，因此，我們作的輔助線(xiàn)都是平行線(xiàn)。

　�、趶纳鲜鰩追N證明方法可以看出，證明的關(guān)鍵在于通過(guò)作輔助線(xiàn)把某些線(xiàn)段“移動(dòng)”到適當的位置，以便根據平行截割定理的推論得出所要的結論。

　�、圯o助平行線(xiàn)的作法，只能是過(guò)xxx三點(diǎn)分別作不過(guò)、三點(diǎn)的邊（線(xiàn)段）的平行線(xiàn)，和另一條邊（線(xiàn)段）的延長(cháng)線(xiàn)相交，構成一個(gè)等腰三角形，達到“移動(dòng)”的目的。

　　2、整理教學(xué)內容

　　⑴線(xiàn)段的內分點(diǎn)和外分點(diǎn)

　�。á。┒�義：

　�、僭诰�(xiàn)段上，把線(xiàn)段分成兩條線(xiàn)段的點(diǎn)叫做這條線(xiàn)段的內分點(diǎn)。

　�、谠诰�(xiàn)段的延長(cháng)線(xiàn)上的點(diǎn)叫做這條線(xiàn)段的外分點(diǎn)。

　�。áⅲ┡e例

　　點(diǎn)在線(xiàn)段上，把線(xiàn)段分成了和兩條線(xiàn)段，所以，點(diǎn)是線(xiàn)段的內分點(diǎn)，線(xiàn)段和叫做點(diǎn)內分線(xiàn)段所得的兩條線(xiàn)段。

　　點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(cháng)線(xiàn)上，和、兩個(gè)端點(diǎn)構成了、兩條線(xiàn)段，所以，點(diǎn)是線(xiàn)段的外分點(diǎn)，線(xiàn)段和叫做點(diǎn)外分線(xiàn)段所得的兩條線(xiàn)段。

　�。á＃�條件

　�、賰确贮c(diǎn)的條件：a）在已知線(xiàn)段上；

　　b）把已知線(xiàn)段分成另外兩條線(xiàn)段。

　�、谕夥贮c(diǎn)a）在已知線(xiàn)段的延長(cháng)線(xiàn)上；

　　b）和已知線(xiàn)段的兩端點(diǎn)構成另外的兩條線(xiàn)段。

　�。áぃ┨厥馇闆r

　　a）線(xiàn)段的中點(diǎn)是不是線(xiàn)段的內分點(diǎn)？?jì)确贮c(diǎn)是不是線(xiàn)段的中點(diǎn)？

　　b）線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)是不是線(xiàn)段的內分點(diǎn)？?jì)确贮c(diǎn)是不是線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)？

　　c）一條已知線(xiàn)段有幾個(gè)中點(diǎn)？有幾個(gè)黃金分割點(diǎn)？有幾個(gè)內分點(diǎn)？幾個(gè)外分點(diǎn)？

　�。á。┒ɡ恚喝�角形的內角平分線(xiàn)分對邊所得的兩條線(xiàn)段與夾這個(gè)角的兩邊對應成比例。

　�。áⅲ┮阎�：中，平分，交于。

　　求證：xxx。

　�。á＃┖�(jiǎn)單分析

　　從結論來(lái)考慮，橫著(zhù)看，兩個(gè)比的前項、在中，兩個(gè)比的后項、在中。按照相似三角形的性質(zhì)，只要∽，那么，結論就是成立的。但是，與不是一對相似三角形，所以，不可能用相似三角形來(lái)證明。豎著(zhù)看，有和，事實(shí)上，不成一個(gè)三角形。若是從“平行線(xiàn)分兩條線(xiàn)段所得的.線(xiàn)段對應成比例”（平行截割定理的推論）來(lái)考慮，顯然，圖中也沒(méi)有平行線(xiàn)。因此，要想得到結論，只有把其中的某條線(xiàn)段進(jìn)行適當的移動(dòng)，使其構成相似三角形的對應邊，或者成為兩條直線(xiàn)上被平行線(xiàn)截得的對應線(xiàn)段。這樣，我們就確定了輔助線(xiàn)的作法以平行線(xiàn)為主。

　　例如，把線(xiàn)段繞著(zhù)它的端點(diǎn)旋轉適當的角度到圖中的位置（即的延長(cháng)線(xiàn)）。由于旋轉不改變線(xiàn)段的長(cháng)度，所以，從旋轉情況可得。由于平分，所以，連接后可以證明。因此，實(shí)際證明時(shí)，一般都敘述為“過(guò)點(diǎn)作交的延長(cháng)線(xiàn)于”。不管是哪種說(shuō)法，其結果都是一樣的。類(lèi)似地，我們還可以把線(xiàn)段繞著(zhù)它的端點(diǎn)旋轉適當的角度到端點(diǎn)落在線(xiàn)段的延長(cháng)線(xiàn)上，同樣也可以證明。

　�。áぃ┳C法提要

　�、僮C法一：如上圖，過(guò)點(diǎn)作交的延長(cháng)線(xiàn)于，可以得到：a）（為什么？）；b）（為什么？）。通過(guò)等量代換便可以得到結論。同樣，過(guò)點(diǎn)作的平行線(xiàn)和邊的延長(cháng)線(xiàn)相交，也可以證得結論，證明的方法是完全一樣的。

　�、谧C法二：如右圖，過(guò)點(diǎn)作交的延長(cháng)線(xiàn)于，可以得到：a）（為什么？）；b）（為什么？）。通過(guò)等量代換便可以得到所要的結論。同樣，過(guò)點(diǎn)作的平行線(xiàn)和的延長(cháng)線(xiàn)相交，也可以得到結論，證明的方法是完全一樣的。

　�、圩C法三：如右圖，過(guò)點(diǎn)作交于，可以得到：a）（為什么？）；b）（為什么？）；c)。通過(guò)等量代換便可以得到所要的結論。同樣，過(guò)點(diǎn)作的平行線(xiàn)和相交，也可以得到結論，證明的方法是完全一樣的。

　�、茏C法四：如下頁(yè)圖，過(guò)點(diǎn)作交于，根據三角形的面積公式可得：xxx

　　又根據正弦定理的面積公式有：

　　通過(guò)比較就可以得到：所要的結論。

　�。á。┒ɡ恚喝�角形的外角平分線(xiàn)外分對邊所得的兩條線(xiàn)段與夾這個(gè)角的兩邊對應成比例。

　�。áⅲ┮阎�：中，是的一個(gè)外角，平分，交的延長(cháng)線(xiàn)于。

　　求證：xxx。

　�。á＃┖�(jiǎn)單分析：（類(lèi)同內角平分線(xiàn)定理的分析方法）

　�。áぃ┳C法提要；（類(lèi)同內角平分線(xiàn)定理的分析方法）

　　四、小結全節，練習鞏固

　　1、小結

　�、艃蓚�(gè)定理

　�。á。┤�角形的內角平分線(xiàn)定理

　�。áⅲ┤�角形的外角平分線(xiàn)定理

　�、谱C明方法

　　分為四大類(lèi)共七種方法。

　　2、練習

　�、沤滩�，2、3兩題。

　�、蒲a充題：

　�、佼�(huà)任意一個(gè)三角形的某個(gè)角的內外角平分線(xiàn)，說(shuō)明內外角平分線(xiàn)之間的關(guān)系，證明你的結論。

　�、诋�(huà)等腰三角形的外角平分線(xiàn)，說(shuō)明外角平分線(xiàn)和底邊之間的關(guān)系，證明你的結論。

　　3、作業(yè)

　　教材，17、18兩題。

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