數學(xué)實(shí)驗的教育價(jià)值論文
本期《江蘇教育》刊登了4篇數學(xué)實(shí)驗教學(xué)的文章。這4篇文章既是對近年來(lái)數學(xué)實(shí)驗教學(xué)系列課題研究的一個(gè)概括性回顧和總結，也是對這個(gè)課題研究的反思和前瞻。腳踏實(shí)地、堅持不懈,這個(gè)初中數學(xué)實(shí)驗教學(xué)團隊闖出了一條路，開(kāi)拓了一個(gè)教學(xué)領(lǐng)域，形成了江蘇初中數學(xué)教育一道亮麗的風(fēng)景線(xiàn)，其意義遠勝過(guò)閉門(mén)造車(chē)、書(shū)齋造文式的高談闊論。
四篇文章由讀者自品其味，這里筆者對數學(xué)實(shí)驗的教育價(jià)值再作一番思考。
一、數學(xué)實(shí)驗:學(xué)習認知發(fā)展的有效途徑
第一，從學(xué)生的認知發(fā)展分析。數學(xué)實(shí)驗是指通過(guò)動(dòng)手動(dòng)腦“做”數學(xué)的一種數學(xué)學(xué)習活動(dòng)，是學(xué)生運用有關(guān)工具(如紙張、剪刀、模型、測量工具、作圖工具以及計算機等），在數學(xué)思維活動(dòng)的參與下進(jìn)行的一種以人人參與的實(shí)際操作為特征的數學(xué)驗證或探究活動(dòng)[1]。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生首先要對實(shí)驗對象進(jìn)行細致觀(guān)察，實(shí)驗對象可能是實(shí)物，也可能是文字、符號、圖形信息，觀(guān)察就是要辨析對象變化的特征，提出變化前后可能的因果關(guān)系猜想，這一過(guò)程以空間想象為支撐。其次，通過(guò)觀(guān)察，去除無(wú)關(guān)因素和表面信息，抽象概括出對象在數量或圖形方面的本質(zhì)特征。因此,數學(xué)實(shí)驗的過(guò)程包括了觀(guān)察、空間想象、概括等思維活動(dòng)。而空間想象、概括這些認知要素最終會(huì )形成能力,從這個(gè)角度分析可以看到，數學(xué)實(shí)驗與空間想象能力、概括能力就產(chǎn)生了直接的因果關(guān)系。
皮亞杰認為，認知發(fā)展的過(guò)程是一個(gè)內在結構連續的組織和再組織過(guò)程，過(guò)程的進(jìn)行是連續和經(jīng)常的,但它造成的結果是不連續的，因此發(fā)展具有階段性。因而我們需要關(guān)心學(xué)生的概括能力、空間想象能力的關(guān)鍵發(fā)展期在什么階段。其實(shí),這個(gè)問(wèn)題北京師范大學(xué)教授林崇德先生做了深入研究。他把概括能力分為四個(gè)等級:第I級為數字概括水平;第II級為初步本質(zhì)概括水平；第III級為形式運算概括水平;第IV級為辯證抽象概括水平。初中一年級學(xué)生是第II級水平,初中二年級學(xué)生是中學(xué)階段概括能力發(fā)展中的第一個(gè)轉折點(diǎn)，但仍是第II級水平占優(yōu)勢,經(jīng)過(guò)初中三年級過(guò)渡，高中一年級概括能力又是一個(gè)顯著(zhù)的變化，第III級水平占優(yōu)勢p]。這項研究表明，初中階段是學(xué)生概括能力發(fā)展的一個(gè)關(guān)鍵期。
同樣,林崇德等人對空間想象能力也做了研究。將空間想象能力分為三個(gè)水平。第I級水平：由形狀簡(jiǎn)單的實(shí)物想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實(shí)物的形狀，通過(guò)整體形狀來(lái)認識二維或三維的幾何圖形,分析出簡(jiǎn)單幾何圖形的特征。第II級水平.?能夠由較復雜的圖形分解出簡(jiǎn)單的、基本的圖形，在基本圖形中找出基本元素及其關(guān)系，并能夠將圖形及其特征聯(lián)系起來(lái)，根據條件作出或畫(huà)出圖形。第III級水平:能夠由基本圖形組合成較復雜的圖形，能夠想象幾何圖形的運動(dòng)和變化，會(huì )形象地揭示問(wèn)題的本質(zhì)。研究結果表明，中學(xué)生空間想象能力發(fā)展的年齡特征表現在：每一級水平的空間想象能力都是隨著(zhù)學(xué)生年級的升高而呈現上升發(fā)展的趨勢。其中，初二學(xué)生的空間想象能力在第1、11級水平上，與初一學(xué)生相同水平層次上的能力相比較，并沒(méi)有太大的進(jìn)步。初三年級學(xué)生在前兩級水平上有一個(gè)飛速發(fā)展，這表明初中二年級是空間想象能力迅速發(fā)展的關(guān)鍵期。由于初中二年級的數學(xué)課程中大大豐富了?面幾何的內容，因此經(jīng)過(guò)初二一年的學(xué)習，初中三年級學(xué)生的空間想象能力獲得了一個(gè)質(zhì)的飛躍發(fā)展。
上述研究為初中階段開(kāi)展數學(xué)實(shí)驗提供了學(xué)習心理學(xué)方面的依據。在初中學(xué)生概括能力和空間想象能力發(fā)展的關(guān)鍵期，數學(xué)實(shí)驗的介人會(huì )促進(jìn)這兩種能力的發(fā)展，符合學(xué)生的認知發(fā)展規律。
第二，從“具身認知”理論分析�！熬呱碚J知”是一種將認知和身體聯(lián)系起來(lái)的理論，其核心觀(guān)點(diǎn)是:認知、思維、記憶、學(xué)習、情感和態(tài)度等是身體作用于環(huán)境的活動(dòng)而塑造出來(lái)的。從根本上講，心智是一種身體經(jīng)驗，身體的物理體驗制約了心智活動(dòng)的性質(zhì)和特征[3]。認知心理學(xué)認為，心智是對符號性表征的加工和操縱,認知在本質(zhì)上是發(fā)生于大腦中樞的'符號運算，身體的作用只是提供刺激和執行指令。與認知心理學(xué)不同具身認知”理論還認為，身體的結構和性質(zhì)決定了認知的種類(lèi)和特性。認知是身體的認知，而身體的結構和性質(zhì)又是進(jìn)化的產(chǎn)物，是環(huán)境塑造出來(lái)的。這意味著(zhù)認知、身體和環(huán)境是一個(gè)緊密的聯(lián)合體。思維與身體密不可分，如影隨形地相伴而行,沒(méi)有離身的思維，思維活動(dòng)過(guò)程中各種信息都是來(lái)源于身體的各項相應的感官通道的擷取與初步組織，而思維的動(dòng)力與能量的取得，也離不開(kāi)作為物質(zhì)的身體健康狀況的承載，就是說(shuō)，發(fā)生認識離不開(kāi)身體的支撐。事實(shí)上，杜威的“從做中學(xué)”就是踐行“具身認知”理論的典范，因為這一學(xué)習方式建立了學(xué)習者的認知與身體動(dòng)作之間的聯(lián)系，以身體的動(dòng)作來(lái)促進(jìn)思維的發(fā)展。
數學(xué)實(shí)驗是學(xué)習者通過(guò)對實(shí)驗工具的操作，抽象概括出事物的數量特征和圖形特征的學(xué)習方式，它改變傳統數學(xué)教學(xué)“先學(xué)后做”為“先做后學(xué)”或者“在做中學(xué)”的模式，樹(shù)立了一種新的教學(xué)范式，這種教學(xué)的“反叛”在具身認知理論中找到了支持。
二、數學(xué)實(shí)驗:教學(xué)過(guò)程完善性的必要補充
長(cháng)期以來(lái)，由于定位于基礎知識和基本技能的考試評價(jià)導向作用，使一條完整的教學(xué)鏈遭到了破壞。
我們把當下的數學(xué)教學(xué)稱(chēng)為知識教學(xué)，其特征為：重理論輕實(shí)踐、重結果輕過(guò)程、重知識輕能力、重證實(shí)輕證偽、重訓練輕理解。表現為：要求學(xué)生掌握書(shū)本知識而不顧及這些知識與現實(shí)的聯(lián)系，要求學(xué)生只是掌握知識的結果而不追問(wèn)這些知識的結果從何而來(lái)又向何而去，要求學(xué)生記住知識的外殼而不挖掘知識內在的思想方法，要求學(xué)生以虔誠的心態(tài)證實(shí)和接受真理而不去辨析謬誤和體驗產(chǎn)生真理的艱辛，要求學(xué)生能夠解決大量數學(xué)練習而不理解數學(xué)的本源性問(wèn)題……本質(zhì)上，知識的教學(xué)不是一種文化教學(xué)。
在《教育部關(guān)于全面深化課程改革，落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的意見(jiàn)》中，明確界定了“核心素養”，即學(xué)生應具備的適應終身發(fā)展和社會(huì )發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力。突出強調個(gè)人修養、社會(huì )關(guān)愛(ài)、家國情懷，更加注重自主發(fā)展、合作參與、創(chuàng )新實(shí)踐。這種新的導向無(wú)疑是對以知識和技能為教學(xué)目標的一種批判，必將會(huì )使人們產(chǎn)生對教學(xué)本質(zhì)的重新理解，還原教學(xué)的完整過(guò)程。
教學(xué)的完整鏈應當包括三個(gè)階段：怎么來(lái)的？是什么？怎么去的？第一階段，“怎么來(lái)的”指教師要引導學(xué)生思考：為什么要學(xué)習這個(gè)知識？產(chǎn)生這個(gè)知識的緣由是什么？這個(gè)知識是如何生成的？它與其他知識有什么關(guān)系？要解決這幾個(gè)問(wèn)題，教師就必須揭示知識產(chǎn)生的過(guò)程和在產(chǎn)生知識的過(guò)程中出現的曲折。顯然，知識的過(guò)程因素、知識的證偽因素、知識的實(shí)踐因素都會(huì )在教學(xué)的這一階段介人，同時(shí)還會(huì )有數學(xué)文化元素的滲透，這個(gè)教學(xué)階段為發(fā)展學(xué)生的數學(xué)核心素養起著(zhù)奠基性作用。第二階段，“是什么”指對教師幫助學(xué)生對知識結果的理解，包括利用知識解決數學(xué)本身的問(wèn)題和解決一些現實(shí)生活中的問(wèn)題。知識的理論因素、知識的結果因素、知識的證實(shí)因素會(huì )在這一階段介人，這個(gè)教學(xué)階段為發(fā)展學(xué)生的數學(xué)核心素養起著(zhù)夯實(shí)性作用。第三階段，“怎么去的”指教師要啟發(fā)學(xué)生思考知識會(huì )向什么方向發(fā)展，在這個(gè)知識基礎上會(huì )生成什么新的知識。這一階段需要反思性思維、批判性思維、創(chuàng )新性思維的參與，需要猜想、證偽、證實(shí)等方法的并用，這個(gè)教學(xué)階段在發(fā)展學(xué)生的數學(xué)核心素養過(guò)程中起著(zhù)關(guān)鍵性作用。
這個(gè)教學(xué)鏈中，數學(xué)實(shí)驗擔當了重要的角色，它的亮相主要是在第一階段和第三階段。數學(xué)實(shí)驗教學(xué)摒棄了只重視教學(xué)第二階段的傳統做法，是對教學(xué)過(guò)程完善性的必要補充。
三、數學(xué)實(shí)驗:課程資源開(kāi)發(fā)的豐富源泉
數學(xué)課程資源可以分為外顯素材性資源、外顯條件性資源、內隱素材性資源、內隱條件性資源。外顯素材性資源主要指以文字、語(yǔ)言、符號、圖形、圖表等在教材或媒體上顯示的知識，反映的是外顯的、靜態(tài)的結果型知識。外顯條件性資源指課程實(shí)施的人力、物力和財力資源，主要涉及設施、媒介和環(huán)境。例如圖書(shū)館、博物館、大眾傳播系統、網(wǎng)絡(luò )、校內外教師資源等均屬于外顯條件性資源。內隱素材性資源是指不以文本形式顯性表述的，潛藏于顯性知識深層的隱性知識。具體地說(shuō)，包括數學(xué)知識的文化元素、數學(xué)知識的過(guò)程元素、數學(xué)知識的邏輯元素、數學(xué)知識的背景元素等。內隱條件性資源主要指教師根據對素材性課程資源的理解，結合外顯條件性資源去構建的適合學(xué)生學(xué)習的課堂環(huán)境。
數學(xué)實(shí)驗材料本身是屬于內隱性課程資源，開(kāi)發(fā)這些資源需要教師對知識的產(chǎn)生、知識之間的聯(lián)系、知識中包含的數學(xué)思想方法等有深入的理解，對其進(jìn)行教學(xué)法層面的再加工，形成實(shí)驗設計。由于這些要素都沒(méi)有在教材中明確寫(xiě)出，需要教師自己開(kāi)發(fā)，因此屬于一種內隱性資源。另一方面，一旦把這些資源開(kāi)發(fā)出來(lái)，它們就變成了外顯素材性資源，例如，“初中數學(xué)實(shí)驗的理論與實(shí)踐研究”課題組開(kāi)發(fā)的《義務(wù)教育教科書(shū)?數學(xué)實(shí)驗手冊》(共5冊）就是外顯素材性資源。數學(xué)實(shí)驗材料的開(kāi)發(fā)是對內隱素材性資源的挖掘，開(kāi)發(fā)后形成的結果又是外顯素材性資源’即從課程體系來(lái)看，數學(xué)實(shí)驗兼有外顯和內隱雙重課程資源的性質(zhì)。
初中數學(xué)中許多內容都與數學(xué)實(shí)驗有內在的聯(lián)系，大體上可以分為以下幾種情形：
(1)由具體到一般的問(wèn)題。從具體到一般去發(fā)現規律的過(guò)程往往可以介人實(shí)驗，實(shí)驗就是對個(gè)別現象的處理，然后推廣到一般情形。例如，“數字黑洞”是一種數字游戲，通常從一個(gè)整數或一組整數出發(fā)，按某種規定的計算法則，反復進(jìn)行同一種操作程序，最終都會(huì )回到一個(gè)數值上，這個(gè)數值就像宇宙中的黑洞一樣將任何數字牢牢吸住。這是從特殊到一般發(fā)現結論的過(guò)程。
(2)代數問(wèn)題的幾何解釋。代數問(wèn)題幾何化，使抽象變?yōu)橹庇^(guān),可視化往往帶來(lái)實(shí)驗的契機。這方面的例子非常多。例如,將兩個(gè)邊長(cháng)為1個(gè)單位長(cháng)度的正方形，分別沿對角線(xiàn)剪開(kāi)，得到的4個(gè)等腰直角三角形拼成1個(gè)大正方形，這個(gè)大正方形的面積為2，邊長(cháng)a是一個(gè)無(wú)理數。請在數軸上表示出無(wú)理數a。
(3)幾何圖形變換問(wèn)題。通過(guò)平移、對折、旋轉、壓縮等幾何變換,能夠發(fā)現新的問(wèn)題。其中，如何變換本身就是數學(xué)實(shí)驗。(4)通過(guò)計算數據發(fā)現規律的問(wèn)題。例如，通過(guò)計算、擲骰子、操作Excel等活動(dòng)，引導學(xué)生從具體的幾個(gè)有限小數、無(wú)限循環(huán)小數出發(fā)認識無(wú)限不循環(huán)小數，感受到無(wú)限不循環(huán)小數是客觀(guān)存在的�？傊�，數學(xué)實(shí)驗為數學(xué)課程資源的開(kāi)發(fā)提供了豐富的源泉。
開(kāi)發(fā)數學(xué)實(shí)驗材料，需要教師對數學(xué)知識有深刻的理解，能透視作為結果性知識背后的實(shí)驗成分，需要教師有洞察力和創(chuàng )造力。因此，開(kāi)發(fā)數學(xué)實(shí)驗材料這種內隱性課程資源，同時(shí)能對數學(xué)實(shí)驗進(jìn)行恰當的設計，是提升教師自身數學(xué)素養、促進(jìn)專(zhuān)業(yè)發(fā)展的一條有效途徑。另一方面，把開(kāi)發(fā)出來(lái)的外顯性數學(xué)實(shí)驗文本應用于教學(xué)實(shí)踐，對于提高學(xué)生的學(xué)習興趣，發(fā)展學(xué)生的數學(xué)核心素養又有直接的推動(dòng)作用。這就是數學(xué)實(shí)驗表現出來(lái)的特殊課程資源的功能。
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