函數插值教學(xué)設計論文范本
一、函數插值實(shí)驗教學(xué)設計
函數插值理論在數值分析中是非常重要的一個(gè)知識點(diǎn)，也是離散函數逼近的重要方法。其原理是利用插值法，可在離散數據的基礎上得到一條連續函數通過(guò)全部已知數據點(diǎn)，進(jìn)而可以估算出其他節點(diǎn)處的近似值。插值方法主要有拉格朗日插值、牛頓插值、分段線(xiàn)性插值、樣條插值等，其理論煩瑣，但是又非常重要，它是數值積分理論的重要理論基礎。插值方法很多，如何在理論和實(shí)驗教學(xué)中讓學(xué)生掌握各個(gè)方法的原理，以及每個(gè)插值方法使用的注意事項，是擺在教師面前的難題。課堂注重理論，實(shí)驗注重做法，在實(shí)驗教學(xué)中，筆者認為應該在加強課堂理論學(xué)習的基礎上，實(shí)驗要注重如何讓學(xué)生鞏固課堂學(xué)習的成果，把插值的原理和特點(diǎn)通過(guò)設計的算例讓學(xué)生自己描繪出來(lái)。學(xué)生通過(guò)實(shí)驗全面認識各個(gè)插值理論的優(yōu)缺點(diǎn)，為以后數值積分的學(xué)習打下基礎。為此，在插值實(shí)驗這一節，我們?yōu)閷W(xué)生設計了一個(gè)比較實(shí)驗，通過(guò)每一對有特點(diǎn)的算例的比較，讓學(xué)生在比較中獲得各個(gè)插值方法的使用注意事項和具體的操作方法，知道什么可以做什么不能做，并且獲得對插值的全新認識。實(shí)驗的首要任務(wù)是編程，利用MATLAB數學(xué)軟件結合課堂學(xué)到的理論公式編寫(xiě)拉格朗日插值和牛頓插值的程序。盡管MATLAB有內置的命令實(shí)現拉格朗日插值，但是學(xué)生無(wú)法通過(guò)內置命令掌握拉格朗日插值理論公式，并且由于通過(guò)MATLAB編程實(shí)現拉格朗日插值和牛頓插值比較容易，所以還是要求學(xué)生通過(guò)理論公式獨立編程，以加深對理論公式的記憶和理解。在編程的基礎上，要求學(xué)生利用編寫(xiě)的程序完成以下對比實(shí)驗。
1.從函數y=sin（x），x∈（-2π，2π）中等距離取5個(gè)點(diǎn)，要求學(xué)生分別利用拉格朗日插值和牛頓插值進(jìn)行求插值函數的操作
觀(guān)察利用兩個(gè)插值原理求出來(lái)的插值函數有何異同。2.從多項式y=x4+x3+x2+x+1中等距離取5個(gè)點(diǎn)，要求學(xué)生利用拉格朗日插值方法進(jìn)行插值操作，觀(guān)察獲得的插值函數和原函數有何異同。3.提示學(xué)生對函數y=sin（x），x∈（-2π，2π）的5點(diǎn)拉格朗日插值效果不好，若要提高插值效果，將節點(diǎn)個(gè)數增加到11個(gè)，將插值效果進(jìn)行比較。4.在上例的基礎上，讓學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖比較函數f（x）=11+25x2，x∈（-1，1）的5點(diǎn)拉格朗日插值和11點(diǎn)拉格朗日插值效果。提示學(xué)生可以進(jìn)一步增加節點(diǎn)個(gè)數，觀(guān)察得出的圖形。5.利用分段插值的方法，對函數（fx）=11+25x2，x∈（-1，1）進(jìn)行11點(diǎn)插值，與11點(diǎn)拉格朗日插值的插值效果比較。6.保留拉格朗日插值方法，取消等距節點(diǎn)，提示學(xué)生利用[-1，1]上的切比雪夫多項式的零點(diǎn)（切比雪夫點(diǎn)）xk=cos（2k-1）π2（n+1）--，k=1，2，…，n+1對以上兩個(gè)函數進(jìn)行拉格朗日插值，與等距節點(diǎn)的插值效果進(jìn)行比較。我們希望學(xué)生做完以上案例后不但能順利完成結果的獲得，而且還能利用課堂學(xué)到的理論知識分析得到的結果，這些結果都是課堂上講解的理論知識的數值例子，能做出來(lái)，會(huì )分析，這是對學(xué)生的鍛煉，也能提高學(xué)生的動(dòng)手能力和學(xué)習積極性。以下我們對以上案例進(jìn)行分析。1.通過(guò)案例1，學(xué)生得到結果后能了解到，在相同的節點(diǎn)條件下，利用拉格朗日插值和牛頓插值得到的插值多項式是一樣的，這與課堂的理論分析完全一致。這個(gè)結果是學(xué)生自己完成實(shí)驗后得到的，與課堂理論分析結合，學(xué)生更能理解兩種插值的相同之處。而通過(guò)編寫(xiě)兩個(gè)插值方法的MATLAB程序，學(xué)生既可以學(xué)習編程，還可以掌握兩者達到同一目的的不同之處。
2.通過(guò)上例可得出拉格朗日插值和牛頓插值結果
一樣的結論，所以對四次多項式y=x4+x3+x2+x+1進(jìn)行5點(diǎn)插值只需利用拉格朗日插值即可。學(xué)生可通過(guò)得到的結果和圖形知道，其實(shí)得到的插值多項式就是原來(lái)的四次多項式本身，原函數和插值多項式兩者的誤差為零。這個(gè)結論可以提示學(xué)生通過(guò)拉格朗日插值理論的誤差公式解釋和分析，從而復習和掌握拉格朗日插值誤差公式。
3.通過(guò)案例1得到的插值多項式的圖形對比原函數圖形
一般來(lái)說(shuō)函數的5點(diǎn)插值的逼近效果還是不理想的，誤差比較大。若要提高逼近效果，首先讓學(xué)生通過(guò)實(shí)驗觀(guān)察提高節點(diǎn)個(gè)數對插值的逼近效果的影響。所以設計了一個(gè)對比實(shí)驗讓學(xué)生對兩個(gè)函數進(jìn)行高次插值。通過(guò)實(shí)驗結果的觀(guān)察可知，對于函數y=sin（x），x∈（-2π，2π），11點(diǎn)的.插值逼近效果在整個(gè)區間上都比5點(diǎn)插值效果好，幾乎和原函數重合了提高插值次數達到了良好的效果。而對于龍格函數f（x）=11+25x2，x∈（-1，1），高次插值出現了龍格現象，即區間中間部分逼近效果非常好，而區間兩邊出現非常大的震蕩。通過(guò)這兩個(gè)案例的比較分析，讓學(xué)生自己總結出光靠增加節點(diǎn)個(gè)數提高插值的逼近效果不可行，需要另找辦法。龍格現象是插值理論的重要知識點(diǎn)，在課堂教學(xué)中學(xué)生對該現象只停留在理論上，通過(guò)該實(shí)驗案例的分析，學(xué)生在自己做出龍格現象圖形的時(shí)候，能加深對龍格現象和拉格朗日插值的缺點(diǎn)的理解。而對于學(xué)生普遍會(huì )存在疑問(wèn)，龍格現象只是龍格函數的特有現象嗎？y=sin（x），x∈（-2π，2π）不會(huì )出現龍格現象嗎？可提示學(xué)生繼續對沒(méi)有出現龍格現象的函數增加插值節點(diǎn)，觀(guān)察龍格現象是否是所有函數的共有特點(diǎn)，并且這可以留作實(shí)驗作業(yè)讓學(xué)生課后自己完成。
4.此案例提供一個(gè)提高逼近效果的方法，就是分段插值
利用分段插值，可以在增加節點(diǎn)個(gè)數的情況下，保持插值次數不增加，從而保證的插值效果。學(xué)生通過(guò)此案例可以理解為什么介紹完整體插值后還需要講解分段插值，老師在以后介紹數值積分中的復化積分公式的時(shí)候，進(jìn)行比較講解。5.通過(guò)切比雪夫點(diǎn)的插值案例，提示學(xué)生分段插值不是提高逼近效果的唯一方法，通過(guò)改變節點(diǎn)的選取，把原來(lái)的等距節點(diǎn)變?yōu)閰^間上正交多項式的零點(diǎn)，可以在增加節點(diǎn)個(gè)數，讓拉格朗日插值的逼近效果也相應提高而不會(huì )出現龍格現象。這個(gè)案例可以和以后數值積分中的高斯求積公式配合，讓學(xué)生了解正交多項式的零點(diǎn)在函數逼近方面的重要應用。并且在介紹完[-1，1]上的切比雪夫點(diǎn)插值后，可以預留作業(yè)，讓學(xué)生在其他區間上尋找正交多項式零點(diǎn)進(jìn)行拉格朗日插值，讓學(xué)生對正交多項式理論加深印象，為以后數值積分的高斯求積公式的介紹鋪墊。
二、結束語(yǔ)
本文介紹了在數值分析實(shí)驗教學(xué)中引入比較教學(xué)法，通過(guò)在函數插值實(shí)驗中設計的幾對比較案例，讓學(xué)生在完成實(shí)驗過(guò)程中經(jīng)比較加深理解和掌握理論課上介紹的知識。課堂理論教學(xué)讓學(xué)生聽(tīng)與看獲得理論知識，實(shí)驗教學(xué)強調學(xué)生做，讓學(xué)生在做的過(guò)程中獲得比在課堂聽(tīng)更多的知識和操作方法，也是把學(xué)到的知識用到實(shí)際中關(guān)鍵的一步。通過(guò)在學(xué)生中進(jìn)行的教學(xué)試驗，學(xué)生在一個(gè)綜合設計性實(shí)驗（4課時(shí)）中，在有MATLAB基礎的前提下，完全能從編寫(xiě)程序，學(xué)會(huì )程序的操作開(kāi)始，獨立完成以上比較實(shí)驗，并且能針對每個(gè)比較實(shí)驗的案例，給出合理的理論分析，達到良好的教學(xué)效果。
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