二元一次不等式與簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規劃問(wèn)題測試題介紹
一、選擇題
1.(若滿(mǎn)足約束條件 ，則的最小值是( ).
A. B. C. D.
考查目的：考查線(xiàn)性規劃的有關(guān)概念和求解方法，考查數形結合思想.
答案：A.
解析：約束條件對應的可行域為內部(包括邊界)，其中，，，∴.
2. (2010浙江理)若實(shí)數滿(mǎn)足不等式組，且的最大值為9，則實(shí)數( ).
A. B. C.1 D.2
考查目的：考查二元一次不等式組的平面區域，以及簡(jiǎn)單的轉化思想和數形結合的思想.
答案：C.
解析：將最大值轉化為目標函數表示的直線(xiàn)在軸上的截距，將等價(jià)為斜率的倒數，作出前兩個(gè)不等式表示的平面區域為兩條直線(xiàn)的斜上方區域，由題意可知，直線(xiàn)應與此區域圍成一個(gè)三角形區域，所以必有，且目標函數在直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)處取得最大值，因此，解得.
3.給出如圖所示的平面區域，其中.若使目標函數取得最大值的最優(yōu)解有無(wú)窮多個(gè)，則的值是( ).
A. B. C.2 D.
考查目的：考查線(xiàn)性規劃問(wèn)題、直線(xiàn)的'斜率公式等基礎知識，考查數形結合和分析判斷能力.
答案：B.
解析：目標函數表示斜率為的直線(xiàn)，是該直線(xiàn)在軸上的截距. 因為目標函數取得最大值的最優(yōu)解有無(wú)窮多個(gè)，所以直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)的邊或邊(邊所在直線(xiàn)斜率不存在). 若經(jīng)過(guò)邊，則取得最小值，不合題意；該直線(xiàn)經(jīng)過(guò)邊時(shí)，取得最大值，此時(shí)，線(xiàn)段上的點(diǎn)都是最優(yōu)解，所以，.
二、填空題
4.(2009山東文)某公司租賃甲、乙兩種設備生產(chǎn)兩類(lèi)產(chǎn)品，甲種設備每天能生產(chǎn)類(lèi)產(chǎn)品5件和類(lèi)產(chǎn)品10件，乙種設備每天能生產(chǎn)類(lèi)產(chǎn)品6件和類(lèi)產(chǎn)品20件. 已知設備甲每天的租賃費為200元，設備乙每天的租賃費為300元，現該公司至少要生產(chǎn)類(lèi)產(chǎn)品50件，類(lèi)產(chǎn)品140件，則所需租賃費最少為_(kāi)_________元.
考查目的：考查線(xiàn)性規劃問(wèn)題在實(shí)際中的應用.
答案：2300.
解析：設生產(chǎn)甲種設備需要天，生產(chǎn)乙種設備需要天，該公司所需租賃費為元，則，根據題意得線(xiàn)性約束條件為，即:.作出可行域(圖略).由的幾何意義可知，當對應的直線(xiàn)過(guò)兩直線(xiàn)的交點(diǎn)(4，5)時(shí)，目標函數取得最小值2300元.
5.(2012上海文)滿(mǎn)足約束條件的目標函數的最小值是 .
考查目的：考查線(xiàn)性規劃問(wèn)題、作圖能力和數形結合思想.
答案：.
解析：根據題意得，或，或，或，其可行域為平行四邊形及其內部區域，如圖所示. 目標函數表示斜率為1的直線(xiàn)，由的幾何意義可知，當該直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)有最小值，此時(shí).
6.(2012江蘇卷)已知正數滿(mǎn)足則的取值范圍是 .
考查目的：考查線(xiàn)性規劃問(wèn)題、直線(xiàn)的斜率概念與公式、導數的幾何意義、直線(xiàn)的方程等基礎知識，以及等價(jià)轉化思想與數形結合思想.
答案：.
解析：條件，可化為.設，，則題目轉化為：已知滿(mǎn)足，求的取值范圍.
作出可行域如圖所示(陰影部分)，的幾何意義為陰影部分內的點(diǎn)與原點(diǎn)連線(xiàn)的斜率. 求出的過(guò)原點(diǎn)的切線(xiàn)方程為，易知切點(diǎn)位于之間，∴的最小值為.∵，∴的最大值為，因此的取值范圍為，即的取值范圍是.
三、解答題
7.某工廠(chǎng)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，計劃每天每種產(chǎn)品的生產(chǎn)量不少于15噸，已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1噸需煤9噸，電力4千瓦時(shí)，勞力3個(gè)；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1噸需煤4噸，電力5千瓦時(shí)，勞力10個(gè)；甲產(chǎn)品每噸的利潤為7萬(wàn)元，乙產(chǎn)品每噸的利潤為12萬(wàn)元；但每天用煤不超過(guò)300噸，電力不超過(guò)200千瓦時(shí)，勞力只有300個(gè). 問(wèn)每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少?lài)�，才能使利潤總額達到最大？
考查目的：考查線(xiàn)性規劃問(wèn)題、應用數學(xué)知識解決實(shí)際問(wèn)題的能力.
答案：20，24.
解析：設每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為噸、噸，利潤總額為萬(wàn)元，根據題意，得線(xiàn)性約束條件為，目標函數為.作出可行域如圖所示.作直線(xiàn)，并將其向可行域平移. 由的幾何意義可知，當平移至經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，目標函數取得最大值.
解方程組，可得點(diǎn)坐標為，∴(萬(wàn)元).
答：每天應生產(chǎn)甲產(chǎn)品20噸，乙產(chǎn)品24噸，才能使利潤總額達到最大，為428萬(wàn)元.
8.(2010廣東理)某營(yíng)養師要為某個(gè)兒童預定午餐和晚餐. 已知一個(gè)單位的午餐含12個(gè)單位的碳水化合物6個(gè)單位的蛋白質(zhì)和6個(gè)單位的維生素C；一個(gè)單位的晚餐含8個(gè)單位的碳水化合物，6個(gè)單位的蛋白質(zhì)和10個(gè)單位的維生素C. 另外，該兒童這兩餐需要的營(yíng)養中至少含64個(gè)單位的碳水化合物，42個(gè)單位的蛋白質(zhì)和54個(gè)單位的維生素C.
如果一個(gè)單位的午餐、晚餐的費用分別是2.5元和4元，那么要滿(mǎn)足上述的營(yíng)養要求，并且花費最少，應當為該兒童分別預定多少個(gè)單位的午餐和晚餐？
考查目的：考查二元一次不等式組表示的平面區域、線(xiàn)性規劃問(wèn)題等基礎知識和方法，考查數形結合能力和應用數學(xué)知識解決實(shí)際問(wèn)題的能力.
答案：4個(gè)單位的午餐、3個(gè)單位的晚餐.
解析：設該兒童分別預訂個(gè)單位的午餐和晚餐，共花費元，則.根據題意得，線(xiàn)性約束條件為，即.作出可行域如圖所示，并作出直線(xiàn).由的幾何意義可知，當將平移至經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，目標函數取得最小值.
由方程組可求得恰好為整點(diǎn)，此時(shí).
答：應當為該兒童預訂4個(gè)單位的午餐和3個(gè)單位的晚餐，既能滿(mǎn)足營(yíng)養要求，又可使花費最少.
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