簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規劃教案
簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規劃教案
教學(xué)目標
鞏固二元一次不等式和二元一次不等式組所表示的平面區域，能用此來(lái)求目標函數的最值．
重點(diǎn)難點(diǎn)
理解二元一次不等式表示平面區域是教學(xué)重點(diǎn)．
如何擾實(shí)際問(wèn)題轉化為線(xiàn)性規劃問(wèn)題，并給出解答是教學(xué)難點(diǎn)．
教學(xué)步驟
【新課引入】
我們知道，二元一次不等式和二元一次不等式組都表示平面區域，在這里開(kāi)始，教學(xué)又翻開(kāi)了新的一頁(yè)，在今后的學(xué)習中，我們可以逐步看到它的運用．
【線(xiàn)性規劃】
先討論下面的問(wèn)題
設，式中變量x、y滿(mǎn)足下列條件
�、偾髗的最大值和最小值．
我們先畫(huà)出不等式組①表示的平面區域，如圖中內部且包括邊界．點(diǎn)（0，0）不在這個(gè)三角形區域內，當時(shí)，，點(diǎn)（0，0）在直線(xiàn)上．
作一組和平等的直線(xiàn)
可知，當l在的右上方時(shí)，直線(xiàn)l上的點(diǎn)滿(mǎn)足．即，而且l往右平移時(shí)，t隨之增大，在經(jīng)過(guò)不等式組①表示的三角形區域內的點(diǎn)且平行于l的直線(xiàn)中，以經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（5，2）的直線(xiàn)l，所對應的t最大，以經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)，所對應的t最小，所以
在上述問(wèn)題中，不等式組①是一組對變量x、y的約束條件，這組約束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式，所以又稱(chēng)線(xiàn)性約束條件．
是欲達到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，叫做目標函數，由于又是x、y的解析式，所以又叫線(xiàn)性目標函數，上述問(wèn)題就是求線(xiàn)性目標函數在線(xiàn)性約束條件①下的最大值和最小值問(wèn)題．
線(xiàn)性約束條件除了用一次不等式表示外，有時(shí)也有一次方程表示．
一般地，求線(xiàn)性目標函數在線(xiàn)性約束條件下的最大值或最小值的問(wèn)題，統稱(chēng)為線(xiàn)性規劃問(wèn)題，滿(mǎn)足線(xiàn)性約束條件的解叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域，在上述問(wèn)題中，可行域就是陰影部分表示的三角形區域，其中可行解（5，2）和（1，1）分別使目標函數取得最大值和最小值，它們都叫做這個(gè)問(wèn)題的最優(yōu)解．
【應用舉例】
例1 解下列線(xiàn)性規劃問(wèn)題：求的最大值和最小值，使式中的x、y滿(mǎn)足約束條件
解：先作出可行域，見(jiàn)圖中表示的區域，且求得．
作出直線(xiàn)，再將直線(xiàn)平移，當的平行線(xiàn)過(guò)B點(diǎn)時(shí)，可使達到最小值，當的平行線(xiàn)過(guò)C點(diǎn)時(shí)，可使達到最大值．
通過(guò)這個(gè)例子講清楚線(xiàn)性規劃的步驟，即：
第一步：在平面直角坐標系中作出可行域；
第二步：在可行域內找出最優(yōu)解所對應的點(diǎn)；
第三步：解方程的最優(yōu)解，從而求出目標函數的最大值或最小值．
例2 解線(xiàn)性規劃問(wèn)題：求的最大值，使式中的x、y滿(mǎn)足約束條件．
解：作出可行域，見(jiàn)圖，五邊形OABCD表示的平面區域．
作出直線(xiàn)將它平移至點(diǎn)B，顯然，點(diǎn)B的坐標是可行域中的最優(yōu)解，它使達到最大值，解方程組得點(diǎn)B的坐標為（9，2）．
這個(gè)例題可在教師的指導下，由學(xué)生解出．在此例中，若目標函數設為，約束條件不變，則z的最大值在點(diǎn)C（3，6）處取得．事實(shí)上，可行域內最優(yōu)解對應的點(diǎn)在何處，與目標函數所確定的直線(xiàn)的斜率有關(guān)．就這個(gè)例子而言，當的斜率為負數時(shí)，即時(shí)，若（直線(xiàn)的斜率）時(shí)，線(xiàn)段BC上所有點(diǎn)都是使z取得最大值（如本例）；當時(shí)，點(diǎn)C處使z取得最大值（比如：時(shí)），若，可請同學(xué)思考．
隨堂練習
1．求的最小值，使式中的滿(mǎn)足約束條件
2．求的最大值，使式中滿(mǎn)足約束條件
答案：1．時(shí)，．
2．時(shí)，．
總結提煉
1．線(xiàn)性規劃的概念．
2．線(xiàn)性規劃的問(wèn)題解法．
布置作業(yè)
1．求的最大值，使式中的滿(mǎn)足條件
2．求的最小值，使滿(mǎn)足下列條件
答案：1．
2．在可行域內整點(diǎn)中，點(diǎn)（5，2）使z最小，
探究活動(dòng)
利潤的線(xiàn)性規劃
�。蹎�(wèn)題］某企業(yè)1997年的利潤為5萬(wàn)元，1998年的利潤為7萬(wàn)元，1999年的利潤為81元，請你根據以上信息擬定兩個(gè)不同的利潤增長(cháng)直線(xiàn)方程，從而預2001年企業(yè)的利潤，請問(wèn)你幫該企業(yè)預測的利潤是多少萬(wàn)？
�。鄯治觯菔紫葢紤]在平面直角坐標系中如何描述題中信息：“1997年的利潤為5萬(wàn)元，1998年的利潤為7萬(wàn)元，1999年的利潤為8萬(wàn)元”，在確定這三點(diǎn)坐標后，如何運用這三點(diǎn)坐標，是僅用其中的兩點(diǎn)，還是三點(diǎn)信息的綜合運用，運用時(shí)要注意有其合理性、思考的方向可以考慮將通過(guò)特殊點(diǎn)的直線(xiàn)、平行某個(gè)線(xiàn)段的直線(xiàn)、與某些點(diǎn)距離最小的直線(xiàn)作為預測直線(xiàn)等等．
建立平面直角坐標系，設1997年的利潤為5萬(wàn)元對應的點(diǎn)為（0，5），1998年的利潤為 7萬(wàn)元及1999年的利潤為 8萬(wàn)元分別對應點(diǎn)（1，7）和（2，8），那么
�、偃魧⑦^(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)作為預測直線(xiàn)，其方程為：，這樣預測2001年的利潤為13萬(wàn)元．
�、谌魧⑦^(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)作為預測直線(xiàn)，其方程為：，這樣預測2001年的利潤為11萬(wàn)元．
�、廴魧⑦^(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)作為預測直線(xiàn)，其方程為：，這樣預測2001年的利潤為10萬(wàn)元．
�、苋魧⑦^(guò)及線(xiàn)段的中點(diǎn)的直線(xiàn)作為預測直線(xiàn)，其方程為：，這樣預測2001年的利潤為11．667萬(wàn)元．
�、萑魧⑦^(guò)及的重心（注：為3年的年平均利潤）的直線(xiàn)作為預測直線(xiàn)，其方程為：，這樣預測2001年的利潤為11．667萬(wàn)元．
�、奕魧⑦^(guò)及的重心的直線(xiàn)作為預測直線(xiàn)，其方程為：，這樣預測2001年的利潤為10．667萬(wàn)元．
�、呷魧⑦^(guò)且以線(xiàn)段的斜率為斜率的直線(xiàn)作為預測直線(xiàn)，則預測直線(xiàn)的方程為：，這樣預測2001年的利潤為9萬(wàn)元．
�、嗳魧⑦^(guò)且以線(xiàn)段的斜率為斜率的直線(xiàn)作為預測直線(xiàn)，則預測直線(xiàn)的方程為：，這樣預測2001年的利潤為11.5萬(wàn)元.
�、崛魧⑦^(guò)點(diǎn)且以線(xiàn)段的斜率為斜率的直線(xiàn)，作為預測直線(xiàn)，則預測直線(xiàn)的方程為；，這樣預測2001年的利潤為12萬(wàn)元．
�、馊魧⑦^(guò)且以線(xiàn)段的斜率與線(xiàn)段的斜率的平均數為斜率的直線(xiàn)作為預測直線(xiàn)，則預測直線(xiàn)的方程為：，這樣預測2001年的利潤為12萬(wàn)元．
如此這樣，還有其他方案，在此不—一列舉．
�。鬯伎迹荩�1）第⑤種方案與第④種方案的結果完全一致，這是為什么？
�。�2）第⑦種方案中，的現實(shí)意義是什么？
�。�3）根據以上的基本解題思路，請你思考新的方案．如方案⑥中，過(guò)的重心，找出以為斜率的直線(xiàn)中與兩點(diǎn)的距離的平方和最小的直線(xiàn)作為預測直線(xiàn)．
�。�4）根據以上結論及你自己的答案估計一下利潤的范圍，你預測的利潤頻率出現最多的是哪一個(gè)值？你認為將你預測的結論作怎樣的處理，使之得到的利潤預測更為有效？如果不要求用線(xiàn)性預測，你能得出什么結果？
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