直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程教學(xué)困惑解惑與感悟教育論文
一、問(wèn)題提出
在上到必修2第三章《直線(xiàn)與方程》時(shí)，我們學(xué)校同年級教文科的一位新教師問(wèn)我“直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程要不要上”？對于她問(wèn)這個(gè)問(wèn)題的原因我可以理解，甚至有同感，教給學(xué)生干嗎呢？理由一：既然已經(jīng)學(xué)了點(diǎn)斜式方程，直接由直線(xiàn)上的兩點(diǎn)、求出直線(xiàn)的斜率，再由直線(xiàn)的點(diǎn)斜式不就把方程求出來(lái)了嘛。理由二：兩點(diǎn)式方程結構復雜，即使教給學(xué)生，學(xué)生也未必能記住，如果記錯了還不如不教，得不償失。理由三：兩點(diǎn)式方程限制條件多，垂直于坐標軸的直線(xiàn)不能用兩點(diǎn)式來(lái)表示。正巧，我們學(xué)校和海鹽高級中學(xué)、平湖當湖中學(xué)期中考試時(shí)是三校聯(lián)考的，到平湖當湖中學(xué)去商討期中考試的范圍時(shí)，借此機會(huì )我也拿這個(gè)問(wèn)題請教了兩所學(xué)校的備課組長(cháng)，一致認為直線(xiàn)的兩點(diǎn)式該弱化處理，學(xué)生容易算錯。種種理由顯示直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程似乎沒(méi)有“立足之地”了。在新課標下到底如何定位、把握直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程的教學(xué)呢？
二、課前分析
1.學(xué)情分析
在初中，學(xué)生學(xué)了一點(diǎn)平面幾何的知識，那時(shí)他們還僅限于圖形的處理。到了高中從《直線(xiàn)與方程》、《圓與方程》到選修1-1《圓錐曲線(xiàn)》這三章他們開(kāi)始接觸解析幾何。解析幾何的本質(zhì)就是用代數方法研究圖形的幾何性質(zhì)，體現了數形結合的重要數學(xué)思想。在《直線(xiàn)與方程》這一章中，以平面直角坐標系為平臺，給直線(xiàn)插上方程的“翅膀”，通過(guò)直線(xiàn)的方程研究直線(xiàn)之間的位置關(guān)系：平行、垂直，以及兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式等等。
從幾何直觀(guān)到代數表示從代數表示到幾何直觀(guān)
�。ń⒅本�(xiàn)的方程）（通過(guò)方程研究幾何性質(zhì)和度量）
直線(xiàn)的方程起了一個(gè)“橋梁”的作用。直線(xiàn)的方程重要性不言而喻了。
2.兩點(diǎn)式本身的優(yōu)點(diǎn)分析
直線(xiàn)的兩點(diǎn)式體現了“兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)”這一樸素的數學(xué)理念；斜率不存在時(shí)的直線(xiàn)方程可用兩點(diǎn)式的變形寫(xiě)出，向直線(xiàn)的一般式方程完成過(guò)渡；研究?jì)牲c(diǎn)式方程的目的不是說(shuō)這種形式比較簡(jiǎn)單或是好用，兩點(diǎn)式方程起著(zhù)承上啟下的作用，它保持了知識的完整性和系統性，在思想與方法層面上，對學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力的培養應該有好處；兩點(diǎn)式方程的表達式工整，結構優(yōu)美，如果設它等于一個(gè)參數，馬上可以得到直線(xiàn)的參數方程，為將來(lái)選修模塊中的直線(xiàn)的參數方程做了鋪墊，這是其它方程所不能代替的。
如果按照點(diǎn)斜式的程度來(lái)上這節課的話(huà)，會(huì )不會(huì )真的“上了還不如不上”呢？帶著(zhù)這個(gè)困惑我決定進(jìn)行一次“詳細上這堂課”的教學(xué)嘗試。
三、上課實(shí)錄
因為上節課學(xué)過(guò)了直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式，所以我上課一開(kāi)始給出了一道小練習：已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn),求直線(xiàn)的方程.讓學(xué)生獨立當場(chǎng)完成。做完之后我統計了一下，用點(diǎn)斜式方法來(lái)求的占，還有的同學(xué)是用初中學(xué)過(guò)的待定系數設求一次函數的方法。前者用時(shí)較短，后者用時(shí)較長(cháng)�？吹竭@個(gè)結果，我基本心中有數，故意不做點(diǎn)評我開(kāi)始了新課的教學(xué)。
師：前面我們已經(jīng)探索了確定直線(xiàn)位置的幾何要素有哪些？
生眾：兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)。
師：對。還有嗎？
生：已知一個(gè)點(diǎn)和傾斜角。
師：很好。傾斜角和斜率都表示直線(xiàn)的傾斜程度，所以已知一個(gè)點(diǎn)和直線(xiàn)的斜率也可以確定一條直線(xiàn)。已知直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)和它的斜率（或傾斜角）可以求出直線(xiàn)的方程為，我們把這個(gè)方程稱(chēng)為直線(xiàn)的點(diǎn)斜式，那么已知直線(xiàn)過(guò)了兩個(gè)點(diǎn)怎么求直線(xiàn)的方程呢？比如開(kāi)頭那個(gè)小練習，我們可以怎么做呢？
讓兩個(gè)學(xué)生起立作答。對于這兩種做法我都給予了肯定。那么已知直線(xiàn)上兩點(diǎn)求直線(xiàn)方程有沒(méi)有更快捷的方法呢？我們一起探討吧。
師：已知、，如何求直線(xiàn)的方程？
生1：先求出直線(xiàn)的斜率，再寫(xiě)出直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程：。
師：能不能變形？上式的形式不便于記憶及應用，可以把上式進(jìn)行變形，使它的形式比較對稱(chēng)和美觀(guān)，能夠體現數學(xué)之美。你認為什么形式更美觀(guān)些？
生2：。
師：這是等價(jià)變形嗎？?jì)蛇叧詴r(shí)，必須。
生3：。
師：同理時(shí)才為等價(jià)變形。我們可以用方程
表示過(guò)兩點(diǎn)、的直線(xiàn)方程了。這個(gè)方程形式體現了“對稱(chēng)美”，突出了兩點(diǎn)的坐標，根據直線(xiàn)所過(guò)的兩點(diǎn)的坐標可以立即寫(xiě)出直線(xiàn)的方程，所以我們就把這個(gè)形式的方程就叫做直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程，簡(jiǎn)稱(chēng)兩點(diǎn)式。
師：注意到方程后面的兩個(gè)限制條件，兩點(diǎn)式方程不能表示哪些直線(xiàn)呢？
生：當時(shí)，直線(xiàn)傾斜角是90°，當時(shí)，直線(xiàn)的傾斜角是0°。這兩種直線(xiàn)不能用兩點(diǎn)式方程表示。
師：真聰明。那這兩種直線(xiàn)就沒(méi)有方程嗎？
生：有的。當，直線(xiàn)傾斜角是90°時(shí)，直線(xiàn)垂直于軸，直線(xiàn)上的每一點(diǎn)橫坐標都是，所以可用表示。同理當，直線(xiàn)的傾斜角是0°時(shí)，直線(xiàn)可用方程表示。
師：非常好。直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程不能表示垂直于坐標軸的直線(xiàn)，就如同直線(xiàn)的點(diǎn)斜式不能表示斜率不存在的直線(xiàn)一樣，有點(diǎn)殘缺美。但是有沒(méi)有辦法彌補這點(diǎn)小遺憾呢？把直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程怎么變一變就能表示平面上的任意一條直線(xiàn)？ 生4：分式化成整式，去分母。沒(méi)有分母它就沒(méi)有限制條件了。
師：真的太棒了。對角相乘把方程化為就可以了。
書(shū)上之所以不化成這種形式，是為了講究和諧美和對稱(chēng)美。以后大家在直接使用兩點(diǎn)式求直線(xiàn)方程時(shí)，可要看清楚兩個(gè)點(diǎn)的坐標喲，能不能用兩點(diǎn)式表示才是關(guān)鍵。
�。ê竺婢褪抢}講解和練習的鞏固，在此省略。）
通過(guò)課堂上學(xué)生熱烈的討論探究以及例題講解、課后練習的鞏固，我發(fā)現教學(xué)前的困惑，基本消除了。上完了《直線(xiàn)的一般式》之后，我觀(guān)察學(xué)生的作業(yè)，再碰到已知兩點(diǎn)求直線(xiàn)的方程時(shí)，他們用的.多的還是直線(xiàn)方程的兩點(diǎn)式。不用擔心學(xué)生會(huì )算錯，要算錯的話(huà)不管什么方法都會(huì )算錯。結構復雜也不是問(wèn)題，一節課的探究下來(lái)，對結構也是理解的比較清楚了。通過(guò)這節課的備課、教學(xué)，我發(fā)現教科書(shū)給了我們一個(gè)新觀(guān)念、新方法，也為數學(xué)教學(xué)提供了新思路。
四、課后反思
1、研讀課標，準確定位教學(xué)目標
新課標準提出：“高中數學(xué)應該返璞歸真，努力揭示數學(xué)概念的發(fā)展過(guò)程和本質(zhì)，使學(xué)生理解數學(xué)概念的逐步形成的過(guò)程，體會(huì )蘊含其中的思想方法；教學(xué)中要注意溝通各個(gè)部分內容之間的聯(lián)系，通過(guò)類(lèi)比、聯(lián)想、知識的遷移和應用等方式，使學(xué)生體會(huì )知識之間的有機聯(lián)系，感受數學(xué)的整體性，進(jìn)一步理解數學(xué)的本質(zhì)，提高解決問(wèn)題的能力�！�
課程標準是教學(xué)的依據，務(wù)必認真、反復地研讀，深刻領(lǐng)會(huì )、把握課程標準的精神，領(lǐng)悟新課改的理念。教學(xué)必須以課程標準為“綱”，孰輕孰重，清清楚楚，才能切實(shí)地貫徹新課改的精神和課標的理念。
通過(guò)兩點(diǎn)式方程的教學(xué)，使學(xué)生認識到“兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)”這一樸素的數學(xué)文化理念；讓學(xué)生知道直線(xiàn)的方程有五種形式，增強了知識的系統性，擴大了學(xué)生的視野。教學(xué)中讓學(xué)生分析方程的不同，以便于學(xué)生形成批判性的思維習慣；通過(guò)分析兩點(diǎn)式方程的結構，讓學(xué)生體會(huì )到數學(xué)的對稱(chēng)美。達成以上目標只需十幾分鐘，如果放棄這么好的一個(gè)教學(xué)時(shí)機，對學(xué)生的終生發(fā)展會(huì )留有遺憾。
2、研讀教材，準確把握教學(xué)目標
教科書(shū)是解讀課程標準的范本。它凝聚著(zhù)編者對課標的準確理解的心血，蘊藏著(zhù)豐富的數學(xué)教育內涵，體現著(zhù)數學(xué)的科學(xué)性和編排的合理性、藝術(shù)性。作為一線(xiàn)教師只有研讀教科書(shū)，才能準確把握教學(xué)目標，悟出教科書(shū)的精髓，發(fā)揮教科書(shū)的教育作用。
在人教A版中，直線(xiàn)的斜截式和截距式是通過(guò)兩道例題的形式給出的，在課標中明確提到“根據確定直線(xiàn)位置的幾何要素，探索并掌握直線(xiàn)方程的幾種形式（點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式），體會(huì )斜截式與一次函數的關(guān)系�！苯滩牡木帉�(xiě)者在編寫(xiě)教材時(shí)的良苦用心可見(jiàn)一斑。我們只有不斷對教材中的每個(gè)細節深入研究，領(lǐng)悟教材編寫(xiě)者的意圖，才是真正的“用教材”，才能提高個(gè)人的教學(xué)水平，才能真正把課堂教學(xué)落到實(shí)處。
3、研究學(xué)法，提高效率、貫徹理念
對于高中生來(lái)說(shuō)，多進(jìn)行一些學(xué)法指導，在教學(xué)時(shí)盡可能遵循方法和知識雙重走向，讓學(xué)生體驗教科書(shū)分段設計、分層推進(jìn)的策略，學(xué)會(huì )自主探究、合作交流的學(xué)習方式，為后續學(xué)習提出一個(gè)模式，學(xué)生自然而然地適應高中數學(xué)的學(xué)習。
在這節直線(xiàn)的兩點(diǎn)式教學(xué)課中，老師著(zhù)眼于“引”，啟發(fā)學(xué)生“探”，把“引”和“探”有機地結合起來(lái)，采用探究、討論的教學(xué)方式，通過(guò)問(wèn)題激發(fā)學(xué)生求知欲，使學(xué)生主動(dòng)參與直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程的探索、應用活動(dòng)。
通過(guò)這一節“直線(xiàn)的兩點(diǎn)式”的教學(xué)前的課前困惑、上課解惑、課后反思。筆者深刻地感悟到：教學(xué)就是一種過(guò)程的經(jīng)歷、一種過(guò)程的體驗、一種過(guò)程的感悟。
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