競賽題平方數解法與推廣的分析論文

　　競賽題平方數解法與推廣的分析論文

　　一、選題依據（背景與意義、國內外研究現狀與發(fā)展趨勢）

　　在某種程度上，數學(xué)的整個(gè)對象就是在原來(lái)似乎混沌占統治地位的地方創(chuàng )造秩序，從無(wú)序和混沌之中抽取出結構和不變量。所以，把無(wú)序的數字轉化為有序的模型，這才是數學(xué)家乃至所有數學(xué)愛(ài)好者所追求的。

　　平方數，也叫完全平方數或正方形數，是可以寫(xiě)成整數的二次方的數。它是一種很“完美”的數，有關(guān)于它有許多很有序的規律，至今為止，已經(jīng)有很多的數學(xué)愛(ài)好者樂(lè )此不疲地去研究它，而且也得出了不少有趣而且有用的結論。至今為止，平方數的一些基本的性質(zhì)。例如，性質(zhì)1：完全平方數的末位數只能是0,1,4,5,6,9。性質(zhì)2：奇數的平方的個(gè)位數字為奇數，十位數字為偶數。等等。

　　還有很多著(zhù)名的數學(xué)家長(cháng)久以來(lái)樂(lè )此不疲地研究平方數，也把它的有關(guān)知識作為一種工具用于證明、計算其他定理、命題。例如，意大利著(zhù)名的數學(xué)家Lagrange，他在整數論上也有有關(guān)平方數的Lagrange定理：任何一個(gè)正整數都可寫(xiě)成四個(gè)平方數之和。并且在證明中他運用了歐拉恒等式：若則

　　此類(lèi)例子還有很多，在此不一一列舉了。

　　本論文是對一道有關(guān)平方數的競賽題的解法與推廣，我的目標是從無(wú)序的題目中找出有序的、有規律的結果，從而體會(huì )數學(xué)的規律美。過(guò)程主要是猜想——計算機輔助驗證——數學(xué)方法證明。

　　猜想在一般的觀(guān)念里，似乎是具有一定的偶然性，但實(shí)際上，猜想要靠長(cháng)期積累下來(lái)的對數學(xué)的直覺(jué)和經(jīng)驗形成一種敏銳的洞察力和技巧。這是一個(gè)長(cháng)期的過(guò)程。

　　數學(xué)題不一定單純地做出答案就行了，很多情況下還可以更深入地研究，挖掘出它的背景，進(jìn)行再推廣、再發(fā)散。很多看似簡(jiǎn)單的數學(xué)題其背后的內容卻是十分豐富的，需要有心人去探討研究，這樣才能真正深刻的理解。有些計算量相當大的數學(xué)題應用筆算和一般的計算器已經(jīng)不能滿(mǎn)足需求，這時(shí)我們要借助計算機，利用程序設計來(lái)解�，F在我就要解一道有關(guān)于平方數的競賽題，由于計算量相當的大，筆算和一般的計算器已經(jīng)不能滿(mǎn)足需求，所以我通過(guò)在VisualBasic6.0環(huán)境下對算法進(jìn)行分析和驗證，驗證結論的正確性。

　　那些最初表現為令人懷疑的東西，只有經(jīng)過(guò)某種思維過(guò)程后，再通過(guò)起批準和保證作用的證明，才能最終表現為無(wú)可置疑的真理。證明通過(guò)揭示事物的核心而增強理解，是數學(xué)的力量。

　　二、研究目標與主要內容（含論文提綱）

　　研究目標：本論文主要研究型如平方數的結構，我們知道，，，，等關(guān)于的結果是無(wú)序的，而對于，先關(guān)于n代入幾個(gè)數，例如，，，，……，由此猜想：，并且這個(gè)結果可以用數學(xué)歸納法證明，所以是有序的。再進(jìn)一步可得，關(guān)于的輸出結果也是有序的。在競賽數學(xué)中經(jīng)常出現有關(guān)平方數的一些問(wèn)題，因此系統研究型如平方數，當取什么值時(shí)，其結果是有序的，既有理論價(jià)值又有應用價(jià)值。

　　論文提綱：首先，尋找可能的取值。當n取比較小的值時(shí)，可以采用筆算的方法來(lái)計算結果、找尋規律，但當n取比較大的值時(shí)，發(fā)現計算量相當大，用筆算和一般的計算器已經(jīng)遠遠不能滿(mǎn)足需求，這時(shí)就會(huì )想到借助計算機輔助計算，利用程序設計來(lái)解。我采用的是VisualBasic（簡(jiǎn)稱(chēng)VB）這種常見(jiàn)的程序設計語(yǔ)言。一種語(yǔ)言就是一種思想。經(jīng)過(guò)計算發(fā)現當取任意正整數，而時(shí)，都可以產(chǎn)生有序的結果。

　　找規律：當時(shí)，；

　　當時(shí)，；

　　當時(shí)，；

　　當時(shí)，；

　　當時(shí)，；

　　當時(shí)，；

　　當時(shí)，；

　　當時(shí)，；

　　當時(shí)，……

　　由此可猜想得出：的一個(gè)有序的結果。同樣道理，、也可得出有序的結果，也可發(fā)現、、、、的結果沒(méi)有一定的規律可尋。猜想在一般的觀(guān)念里，似乎是具有一定的偶然性，但實(shí)際上，猜想要靠長(cháng)期積累下來(lái)的對數學(xué)的直覺(jué)和經(jīng)驗形成一種敏銳的洞察力和技巧。這是一個(gè)長(cháng)期的過(guò)程。

　　然后，利用計算機輔助計算驗證預期結果對某些初值的正確性。

　　最后，利用數學(xué)方法給出嚴謹的論證，而我所采用的論證方法是簡(jiǎn)單易懂的數學(xué)歸納法。

　　三、擬采取的研究方法、研究手段及技術(shù)路線(xiàn)、實(shí)驗方案等

　　利用文獻研究法與理論研究法，通過(guò)圖書(shū)館、書(shū)店、網(wǎng)絡(luò )等途徑對平方數相關(guān)各方面的資料進(jìn)行查閱、研究、歸納、總結。理論與實(shí)踐研究法相結合。先是通過(guò)對一些簡(jiǎn)單的n值進(jìn)行觀(guān)察，再用筆算和計算器進(jìn)行初步計算，根據已得的結果，推廣到極大的n值，進(jìn)行理論上的猜想，然后運用計算機輔助（VisualBasic）這種常見(jiàn)的程序設計語(yǔ)言計算驗證，最后證明猜想的結果。

　　四、研究的整體方案與工作進(jìn)度安排（內容、步驟、時(shí)間）

　　進(jìn)度安排：

　　序號時(shí)間內容

　　112.1-2.14明確選題并完成文獻綜述和外文資料翻譯

　　22.14-2.28完成開(kāi)題報告并舉行開(kāi)題報告會(huì )

　　33.1-3.20完成計算、實(shí)驗和繪圖，并完成論文的引言部分

　　43.20-3.30完成論文的初稿

　　53.30-4.20指導教師閱讀審看并修改，完成終稿

　　64.20-4.30論文答辯，學(xué)生材料上交教務(wù)科

　　75.1-5.15教務(wù)科材料匯總整理上

　　五、研究的預期目標及主要特點(diǎn)

　　預期目標：在某種程度上，數學(xué)的整個(gè)對象就是在原來(lái)似乎混沌占統治地位的地方創(chuàng )造秩序，從無(wú)序和混沌之中抽取出結構和不變量。所以，把無(wú)序的數字轉化為有序的模型，這才是數學(xué)家乃至所有數學(xué)愛(ài)好者所追求的。本論文就是研究一種平方數，從一種無(wú)序的結果轉化為有序的、有規律的結果。

　　主要特點(diǎn)：進(jìn)行大膽的猜想，運用計算機輔助計算幫助驗證結果，得出的結論很有規律性。

　　六、指導教師意見(jiàn)：

　　指導教師簽名：

　　年月日

　　七、教研室或系審核意見(jiàn)：

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