高中數學(xué) 基本不等式 的證明示范教案 新人教A版必修5高三
在日常生活或是工作學(xué)習中，要用到證明的情況還是蠻多的，證明是可供核驗事實(shí)的憑證。想必許多人都在為如何寫(xiě)好證明而煩惱吧，以下是小編收集整理的高中數學(xué) 基本不等式 的證明示范教案 新人教A版必修5高三，歡迎閱讀與收藏。
在前兩節課的研究當中，學(xué)生已掌握了一些簡(jiǎn)單的不等式及其應用，并能用不等式及不等式組抽象出實(shí)際問(wèn)題中的不等量關(guān)系，掌握了不等式的一些簡(jiǎn)單性質(zhì)與證明，研究了一元二次不等式及其解法，學(xué)習了二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規劃問(wèn)題。本節課的研究是前三大節學(xué)習的延續和拓展。另外，為基本不等式的應用墊定了堅實(shí)的基礎，所以說(shuō)，本節課是起到了承上啟下的作用。本節課是通過(guò)讓學(xué)生觀(guān)察第２４屆國際數學(xué)家大會(huì )的會(huì )標圖案中隱含的相等關(guān)系與不等關(guān)系而引入的通過(guò)分析得出基本不等式，然后從三種角度對基本不等式展開(kāi)證明及對基本不等式展開(kāi)一些簡(jiǎn)單的應用,進(jìn)而更深一層次地從理性角度建立不等觀(guān)念。教師應作好點(diǎn)撥，利用幾何背景，數形結合做好歸納總結、邏輯分析，并鼓勵學(xué)生從理性角度去分析探索過(guò)程，進(jìn)而更深層次理解基本不等式，鼓勵學(xué)生對數學(xué)知識和方法獲得過(guò)程的探索，同時(shí)也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣，
根據本節課的教學(xué)內容，應用觀(guān)察、類(lèi)比、歸納、邏輯分析、思考、合作交流、探究，得出基本不等式，進(jìn)行啟發(fā)、探究式教學(xué)并使用投影儀輔助。
教學(xué)重點(diǎn)
1、創(chuàng )設代數與幾何背景，用數形結合的思想理解基本不等式；
2、從不同角度探索基本不等式的證明過(guò)程；
3、從基本不等式的證明過(guò)程進(jìn)一步體會(huì )不等式證明的常用思路。
教學(xué)難點(diǎn)
1、對基本不等式從不同角度的探索證明；
2、通過(guò)基本不等式的證明過(guò)程體會(huì )分析法的證明思路。
教具準備 多媒體及課件
三維目標
一、知識與技能
1、創(chuàng )設用代數與幾何兩方面背景，用數形結合的思想理解基本不等式；
2、嘗試讓學(xué)生從不同角度探索基本不等式的證明過(guò)程；
3、從基本不等式的證明過(guò)程進(jìn)一步體會(huì )不等式證明的常用思路，即由條件到結論，或由結論到條件。
二、過(guò)程與方法
1、采用探究法，按照聯(lián)想、思考、合作交流、邏輯分析、抽象應用的方法進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)；
2、教師提供問(wèn)題、素材，并及時(shí)點(diǎn)撥，發(fā)揮老師的主導作用和學(xué)生的主體作用；
3、將探索過(guò)程設計為較典型的具有挑戰性的問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生去積極思考，從而培養他們的數學(xué)學(xué)習興趣。
三、情感態(tài)度與價(jià)值觀(guān)
1、通過(guò)具體問(wèn)題的解決，讓學(xué)生去感受、體驗現實(shí)世界和日常生活中存在著(zhù)大量的不等量關(guān)系并需要從理性的角度去思考，鼓勵學(xué)生用數學(xué)觀(guān)點(diǎn)進(jìn)行歸納、抽象，使學(xué)生感受數學(xué)、走進(jìn)數學(xué)，培養學(xué)生嚴謹的數學(xué)學(xué)習習慣和良好的思維習慣；
2、學(xué)習過(guò)程中，通過(guò)對問(wèn)題的探究思考，廣泛參與，培養學(xué)生嚴謹的思維習慣，主動(dòng)、積極的學(xué)習品質(zhì)，從而提高學(xué)習質(zhì)量；
3、通過(guò)對富有挑戰性問(wèn)題的解決，激發(fā)學(xué)生頑強的探究精神和嚴肅認真的科學(xué)態(tài)度，同時(shí)去感受數學(xué)的應用性，體會(huì )數學(xué)的奧秘、數學(xué)的簡(jiǎn)潔美、數學(xué)推理的嚴謹美，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣。
教學(xué)過(guò)程
導入新課
探究：上圖是在北京召開(kāi)的第24屆國際數學(xué)家大會(huì )的會(huì )標，會(huì )標是根據中國古代數學(xué)家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車(chē)，代表中國人民熱情好客，你能在這個(gè)圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？
�。ń處熡猛队皟x給出第24屆國際數學(xué)家大會(huì )的會(huì )標，并介紹此會(huì )標是根據中國古代數學(xué)家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車(chē)，代表中國人民熱情好客。通過(guò)直觀(guān)情景導入有利于吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習熱情，并增強學(xué)生的愛(ài)國主義熱情）
推進(jìn)新課
師 同學(xué)們能在這個(gè)圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？如何找？
�。ǔ领o片刻）
生 應該先從此圖案中抽象出幾何圖形。
師 此圖案中隱含什么樣的幾何圖形呢？哪位同學(xué)能在黑板上畫(huà)出這個(gè)幾何圖形？
�。ㄕ垉晌煌瑢W(xué)在黑板上畫(huà)。教師根據兩位同學(xué)的板演作點(diǎn)評）
�。ㄆ渲兴膫�(gè)直角三角形沒(méi)有畫(huà)全等，不形象、直觀(guān)。此時(shí)教師用投影片給出隱含的規范的幾何圖形）
師 同學(xué)們觀(guān)察得很細致，抽象出的幾何圖形比較準確。這說(shuō)明，我們只要在現有的基礎上進(jìn)一步刻苦努力，發(fā)奮圖強，也能作出和數學(xué)家趙爽一樣的成績(jì)。
�。ù藭r(shí)，每一位同學(xué)看上去都精神飽滿(mǎn)，信心百倍，全神貫注地投入到本節課的學(xué)習中來(lái)）
�。圻^(guò)程引導］
師 設直角三角形的兩直角邊的長(cháng)分別為a、b，那么，四個(gè)直角三角形的面積之和與正方形的面積有什么關(guān)系呢？
生 顯然正方形的面積大于四個(gè)直角三角形的面積之和。
師 一定嗎？
�。ù蠹引R聲：不一定，有可能相等）
師 同學(xué)們能否用數學(xué)符號去進(jìn)行嚴格的推理證明，從而說(shuō)明我們剛才直覺(jué)思維的`合理性？
生 每個(gè)直角三角形的面積為，四個(gè)直角三角形的面積之和為2ab。正方形的邊長(cháng)為，所以正方形的面積為a2+b2，則a2+b2≥2ab。
師 這位同學(xué)回答得很好，表達很全面、準確，但請大家思考一下，他對a2+b2≥2ab證明了嗎？
生 沒(méi)有，他仍是由我們剛才的直觀(guān)所得，只是用字母表達一下而已。
師 回答得很好。
�。ㄓ械耐瑢W(xué)感到迷惑不解）
師 這樣的敘述不能代替證明。這是同學(xué)們在解題時(shí)經(jīng)常會(huì )犯的錯誤。實(shí)質(zhì)上，對文字性語(yǔ)言敘述證明題來(lái)說(shuō)，他只是寫(xiě)出了已知、求證，并未給出證明。
�。ㄓ械耐瑢W(xué)竊竊私語(yǔ)，確實(shí)是這樣，并沒(méi)有給出證明）
師 請同學(xué)們繼續思考，該如何證明此不等式，即a2+b2≥2ab。
生 采用作差的方法，由a2+b2-2ab=(a-b)2，∵(a-b)2是一個(gè)完全平方數，它是非負數，即(a-b)2≥0，所以可得a2+b2≥2ab。
師 同學(xué)們思考一下，這位同學(xué)的證明是否正確？
生 正確。
�。劢處熅v］
師 這位同學(xué)的證明思路很好。今后，我們把這種證明不等式的思想方法形象地稱(chēng)之為“比較法”，它和根據實(shí)數的基本性質(zhì)比較兩個(gè)代數式的大小是否一樣。
生 實(shí)質(zhì)一樣，只是設問(wèn)的形式不同而已。一個(gè)是比較大小，一個(gè)是讓我們去證明。
師 這位同學(xué)回答得很好，思維很深刻。此處的比較法是用差和0作比較。在我們的數學(xué)研究當中，還有另一種“比較法”。
�。ń處煷颂幍脑O問(wèn)是針對學(xué)生已有的知識結構而言）
生 作商，用商和“1”比較大小。
師 對。那么我們在遇到這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，何時(shí)采用作差，何時(shí)采用作商呢？這個(gè)問(wèn)題讓同學(xué)們課后去思考，在解決問(wèn)題中自然會(huì )遇到。
�。ù颂幵O置疑問(wèn)，意在激發(fā)學(xué)生課后去自主探究問(wèn)題，把探究的思維空間切實(shí)留給學(xué)生）
�。酆献魈骄浚�
師 請同學(xué)們再仔細觀(guān)察一下，等號何時(shí)取到。
生 當四個(gè)直角三角形的直角頂點(diǎn)重合時(shí)，即面積相等時(shí)取等號。
�。▽W(xué)生的思維仍建立在感性思維基礎之上，教師應及時(shí)點(diǎn)撥）
師 從不等式a2+b2≥2ab的證明過(guò)程能否去說(shuō)明。
生 當且僅當(a-b)2=0，即a=b時(shí)，取等號。
師 這位同學(xué)回答得很好。請同學(xué)們看一下，剛才兩位同學(xué)分別從幾何圖形與不等式兩個(gè)角度分析等號成立的條件是否一致。
�。ù蠹引R聲）一致。
�。ù颂幰庠趶娀瘜W(xué)生的直覺(jué)思維與理性思維要合并使用。就此問(wèn)題來(lái)講，意在強化學(xué)生數形結合思想方法的應用）
板書(shū)：
一般地，對于任意實(shí)數a、b，我們有a2+b2≥2ab，當且僅當a=b時(shí)，等號成立。
�。圻^(guò)程引導］
師 這是一個(gè)很重要的不等式。對數學(xué)中重要的結論，我們應仔細觀(guān)察、思考，才能挖掘出它的內涵與外延。只有這樣，我們用它來(lái)解決問(wèn)題時(shí)才能得心應手，也不會(huì )出錯。
�。ㄍ瑢W(xué)們的思維再一次高度集中，似乎能從不等式a2+b2≥2ab中得出什么。此時(shí)，教師應及時(shí)點(diǎn)撥、指引）
師 當a＞0,b＞0時(shí)，請同學(xué)們思考一下，是否可以用a、b代替此不等式中的a、b。
生 完全可以。
師 為什么？
生 因為不等式中的a、b∈R。
師 很好，我們來(lái)看一下代替后的結果。
板書(shū)：
即 (a＞0,b＞0)。
師 這個(gè)不等式就是我們這節課要推導的基本不等式。它很重要，在數學(xué)的研究中有很多應用，我們常把叫做正數a、b的算術(shù)平均數，把ab叫做正數a、b的幾何平均數，即兩個(gè)正數的算術(shù)平均數不小于它們的幾何平均數。
�。ù颂幰庠谝饘W(xué)生的重視，從不同的角度去理解）
師 請同學(xué)們嘗試一下，能否利用不等式及實(shí)數的基本性質(zhì)來(lái)推導出這個(gè)不等式呢？
�。ù藭r(shí)，同學(xué)們信心十足，都說(shuō)能。教師利用投影片展示推導過(guò)程的填空形式）
要證：，①
只要證a+b≥2，②
要證②，只要證：a+b-2≥0，③
要證③，只要證：④
顯然④是成立的，當且僅當a=b時(shí)，④中的等號成立，這樣就又一次得到了基本不等式。
�。ù颂幰蕴羁盏男问�,突出體現了分析法證明的關(guān)鍵步驟，意在把思維的時(shí)空切實(shí)留給學(xué)生，讓學(xué)生在探究的基礎上去體會(huì )分析法的證明思路，加大了證明基本不等式的探究力度）
�。酆献魈骄浚�
老師用投影儀給出下列問(wèn)題。
如圖，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn)，AC=a,BC=b。過(guò)點(diǎn)C作垂直于A(yíng)B的弦DD′，連結AD、BD。你能利用這個(gè)圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎？
�。ū竟澱n開(kāi)展到這里，學(xué)生從基本不等式的證明過(guò)程中已體會(huì )到證明不等式的常用方法，對基本不等式也已經(jīng)很熟悉，這就具備了探究這個(gè)問(wèn)題的知識與情感基礎）
�。酆献魈骄浚�
師 同學(xué)們能找出圖中與a、b有關(guān)的線(xiàn)段嗎？
生 可證△ACD ∽△BCD,所以可得。
生 由射影定理也可得。
師 這兩位同學(xué)回答得都很好，那ab與分別又有什么幾何意義呢？
生表示半弦長(cháng)，表示半徑長(cháng)。
師 半徑和半弦又有什么關(guān)系呢？
生 由半徑大于半弦可得。
師 這位同學(xué)回答得是否很?chē)烂埽?/p>
生 當且僅當點(diǎn)C與圓心重合，即當a=b時(shí)可取等號，所以也可得出基本不等式 (a＞0,b＞0)。
課堂小結
師 本節課我們研究了哪些問(wèn)題？有什么收獲？
生 我們通過(guò)觀(guān)察分析第24屆國際數學(xué)家大會(huì )的會(huì )標得出了不等式a2+b2≥2ab。
生 由a2+b2≥2ab,當a＞0，b＞0時(shí)，以、分別代替a、b，得到了基本不等式 (a＞0,b＞0)。進(jìn)而用不等式的性質(zhì)，由結論到條件，證明了基本不等式。
生 在圓這個(gè)幾何圖形中我們也能得到基本不等式。
�。ù颂�，創(chuàng )造讓學(xué)生進(jìn)行課堂小結的機會(huì )，目的是培養學(xué)生語(yǔ)言表達能力，也有利于課外學(xué)生歸納、總結等學(xué)習方法、能力的提高）
師 大家剛才總結得都很好，本節課我們從實(shí)際情景中抽象出基本不等式。并采用數形結合的思想，賦予基本不等式幾何直觀(guān)，讓大家進(jìn)一步領(lǐng)悟到基本不等式成立的條件是a＞0，b＞0，及當且僅當a=b時(shí)等號成立。在對不等式的證明過(guò)程中，體會(huì )到一些證明不等式常用的思路、方法。以后，同學(xué)們要注意數形結合的思想在解題中的靈活運用。
布置作業(yè)
活動(dòng)與探究：已知a、b都是正數，試探索, ,,的大小關(guān)系，并證明你的結論。
分析：（方法一）由特殊到一般，用特殊值代入，先得到表達式的大小關(guān)系，再由不等式及實(shí)數的性質(zhì)證明。
�。ǚ椒ǘ﹦�(chuàng )設幾何直觀(guān)情景。設AC=a,BC=b，用a、b表示線(xiàn)段ＣＥ、ＯＥ、ＣＤ、ＤＦ的長(cháng)度，由ＣＥ＞ＯＥ＞ＣＤ＞ＤＦ可得。
板書(shū)設計
基本不等式的證明
一、實(shí)際情景引入得到重要不等式
a2＋b2≥2ab
二、定理
若a＞0，b＞0
課后作業(yè)：
證明過(guò)程探索：
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