二次函數的圖象教案
2.4二次函數＝ax2+bx+c的圖象
本節課在二次函數＝ax2和＝ax2+c的圖象的基礎上，進(jìn)一步研究＝a(x-h)2和＝a(x-h)2+的圖象，并探索它們之間的關(guān)系和各自的性質(zhì)．旨在全面掌握所有二次函數的圖象和性質(zhì)的變化情況．同時(shí)對二次函數的研究，經(jīng)歷了從簡(jiǎn)單到復雜，從特殊到一般的過(guò)程：先是從＝x2開(kāi)始，然后是＝ax2，＝ax2+c，最后是＝a(x-h)2，＝a(x-h)2+，＝ax2+bx+c．符合學(xué)生的認知特點(diǎn)，體會(huì )建立二次函數對稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標公式的必要性．
在教學(xué)中，主要是讓學(xué)生自己動(dòng)手畫(huà)圖象，通過(guò)自己的觀(guān)察、交流、對比、概括和反思[
等探索活動(dòng)，使學(xué)生達到對拋物線(xiàn)自身特點(diǎn)的認識和對二次函數性質(zhì)的理解．并能利用它的性質(zhì)解決問(wèn)題．
2.4二次函數＝ax2+bx+c的圖象（一）
教學(xué)目標
(一)教學(xué)知識點(diǎn)[
1．能夠作出函數=a(x-h)2和＝a(x-h)2+的圖象，并能理解它與＝ax2的圖象的關(guān)系．理解a，h，對二次函數圖象的影響．
2．能夠正確說(shuō)出=a(x-h)2+圖象的開(kāi)口方向、對稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標．
(二)能力訓練要求
1．通過(guò)學(xué)生自己的探索活動(dòng)，對二次函數性質(zhì)的研究，達到對拋物線(xiàn)自身特點(diǎn)的認識和對二次函數性質(zhì)的理解．
2．經(jīng)歷探索二次函數的圖象的作法和性質(zhì)的過(guò)程，培養學(xué)生的探索能力．
(三)情感與價(jià)值觀(guān)要求
1．經(jīng)歷觀(guān)察、猜想、總結等數學(xué)活動(dòng)過(guò)程，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀(guān)點(diǎn)．
2．讓學(xué)生學(xué)會(huì )與人合作，并能與他人交流思維的過(guò)程和結果．
教學(xué)重點(diǎn)[:Wz5u.c]
1．經(jīng)歷探索二次函數＝ax2+bx+c的圖象的作法和性質(zhì)的過(guò)程．
2．能夠作出=a(x-h)2和=a(x-h)2+的圖象，并能理解它與＝ax2的圖象的關(guān)系，理解a、h、對二次函數圖象的影響．
3．能夠正確說(shuō)出＝a(x-h)2+圖象的開(kāi)口方向、對稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標．
教學(xué)難點(diǎn)
能夠作出＝a(x-h)2和＝a(x-h)2+的圖象，并能夠理解它與＝ax2的圖象的關(guān)系，理解a、h、對二次函數圖象的影響．
教學(xué)方法
探索——比較——總結法．
教具準備
投影片四張
第一張：(記作2．4．1 A)
第二張：(記作2．4．1 B)
第三張：(記作2．4．1 C)
第四張：(記作2．4．1 D)
教學(xué)過(guò)程
�、瘢畡�(chuàng )設問(wèn)題情境、引入新課
[師]我們已學(xué)習過(guò)兩種類(lèi)型的二次函數，即=ax2與=ax2+c，知道它們都是軸對稱(chēng)圖形，對稱(chēng)軸都是軸，有最大值或最小值．頂點(diǎn)都是原點(diǎn)．還知道＝ax2+c的圖象是函數=ax2的圖象經(jīng)過(guò)上下移動(dòng)得到的，那么=ax2的圖象能否左右移動(dòng)呢?它左右移動(dòng)后又會(huì )得到什么樣的函數形式，它又有哪些性質(zhì)呢?本節課我們就來(lái)研究有關(guān)問(wèn)題．
�、颍抡n講解
一、比較函數＝3x2與＝3(X-1)2的圖象的性質(zhì)．
投影片：(2．4 A)
(1)完成下表，并比較3x2和3(x-1)2的值，
它們之間有什么關(guān)系?
X-3-2-101234
3x2
3(x-1)2
(2)在下圖中作出二次函數＝3(x-1)2的圖象．你是怎樣作的?
(3)函數＝3(x-1)2的圖象與=3x2的圖象有什么關(guān)系?它是軸對稱(chēng)圖形嗎?它的'對稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標分別是什么?
(4)x取哪些值時(shí)，函數＝3(x-1)2的值隨x值的增大而增大?x取哪些值時(shí)，函數＝3(x-1)2的值隨x值的增大而減小?
[師]請大家先自己填表，畫(huà)圖象，思考每一個(gè)問(wèn)題，然后互相討論，總結．
[生](1)第二行從左到右依次填：27．12，3，0，3， 12，27，48；第三行從左到右依次填48，27，12，3，0，3， 12，27．
(2)用描點(diǎn)法作出＝3(x-1)2的圖象，如上圖．
(3)二次函數)＝3(x-1)2的圖象與=3x2的圖象形狀相同，開(kāi)口方向也相同，但對稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標不同，＝3(x-1)2的圖象的對稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=1，頂點(diǎn)坐標是(1，0)．
(4)當x>1時(shí)，函數＝3(x-1)2的值隨x值的增大而增大，x<1時(shí)，＝3(x-1)2的值隨x值的增大而減�。�
[師]能否用移動(dòng)的觀(guān)點(diǎn)說(shuō)明函數=3x2與=3(x-1)2的圖象之間的關(guān)系呢?
[生]=3(x-1)2的圖象可以看成是函數)＝3x2的圖象整體向右平移得到的.
[師]能像上節課那樣比較它們圖象的性質(zhì)嗎?
[生]相同點(diǎn)：
a.圖象都中拋物線(xiàn)，且形狀相同，開(kāi)口方向相同．
b. 都是軸對稱(chēng)圖形．
c．都有最小值，最小值都為0．
d．在對稱(chēng)軸左側，都隨x的增大而減�。趯ΨQ(chēng)軸右側，都隨x的增大而增大．
不同點(diǎn)：
a．對稱(chēng)軸不同,＝3x2的對稱(chēng)軸是軸＝3(x-1)2的對稱(chēng)軸是x＝1．
b. 它們的位置不問(wèn)．[:Wz5u.c]
c. 它們的頂點(diǎn)坐標不同． ＝3x2的頂點(diǎn)坐標為(0，0),＝3(x-1)2的頂點(diǎn)坐標為(1，0)，
聯(lián)系：
把函數=3x2的圖象向右移動(dòng)一個(gè)單位，則得到函數＝3(x-1)2的圖像．
二、做一做
投影片：(2．4．1 B)
在同一直角坐標系中作出函數＝3(x-1)2和＝3(x-1)2+2的圖象．并比較它們圖象的性質(zhì)．
[生]圖象如下
它們的圖象的性質(zhì)比較如下：
相同點(diǎn)：
a．圖象都是拋物線(xiàn)，且形狀相同，開(kāi)口方向相同．
b. 都足軸對稱(chēng)圖形，對稱(chēng)軸都為x＝1．
c. 在對稱(chēng)軸左側，都隨x的增大而減小，在對稱(chēng)軸右側，都隨x的增大而增大．
不同點(diǎn)：
a．它們的頂點(diǎn)不同，最值也不同.＝3(x-1)2的頂點(diǎn)坐標為(1．0)，最小值為0．＝3(x-1)2+2的頂點(diǎn)坐標為(1，2)，最小值為2．
b. 它們的位置不同．
聯(lián)系：
把函數=3(x-1)2的圖象向上平移2個(gè)單位，就得到了函數＝3(x-1)2+2的圖象．
三、總結函數=3x2，=3(x-1)2，＝3(x-1)2+2的圖象之間的關(guān)系．
[師]通過(guò)上畫(huà)的討論，大家能夠總結出這三種函數圖象之間的關(guān)系嗎?
[生]可以．
二次函數＝3x2，=3(x-1)2，=3(x-1)2+2的圖象都是拋物線(xiàn)．并且形狀相同，開(kāi)口方向相同，只是位置不同，頂點(diǎn)不同，對稱(chēng)軸不同，將函數＝3x2的圖象向右平移1個(gè)單位，就得到函數=3(x-1)2的圖象；再向上平移2個(gè)單位，就得到函數=3(x-1)2+2的圖象．
[師]大家還記得＝3x2與＝3x2-1的圖象之間的關(guān)系嗎?
[生]記得，把函數=3x2向下平移1個(gè)平位，就得到函數＝3x2-1的圖象．
[師]你能系統總結一下嗎?
[生]將函數＝3x2的圖象向下移動(dòng)1個(gè)單位，就得到了函數=3x2-1的圖象，向上移動(dòng)1個(gè)單位，就得到函數＝3x2+1的圖象；將＝3x2的圖象向右平移動(dòng)1個(gè)單位，就得到函數＝3(x-1)2的圖象：向左移動(dòng)1個(gè)單位，就得到函數=3(x+1)2的圖象；由函數＝3x2向右平移1個(gè)單位、再向上平移2個(gè)單位，就得到函數＝3(x-1)2+2的圖象．
[師]下面我們就一般形式來(lái)進(jìn)行總結．
投影片：(2．4．1 C)
一般地，平移二次函數=ax2的圖象便可得到二次函數為=ax2+c，＝a(x-h)2，=a(x-h)2+的圖象．
(1)將＝ax2的圖象上下移動(dòng)便可得到函數=ax2+c的圖象，當c>0時(shí)，向上移動(dòng)，當c<0時(shí)，向下移動(dòng)．
(2)將函數＝ax2的圖象左右移動(dòng)便可得到函數=a(x-h)2的圖象，當h>0時(shí)，向右移動(dòng)，當h<0時(shí)，向左移動(dòng)．
(3)將函數＝ax2的圖象既上下移，又左右移，便可得到函數＝a(x-h)+的圖象．
因此，這些函數的圖象都是一條拋物線(xiàn)，它們的開(kāi)口方向，對稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標與a，h，的值有關(guān)．
下面大家經(jīng)過(guò)討論之后，填寫(xiě)下表：
=a(x-h)2+開(kāi)口方向對稱(chēng)軸頂點(diǎn)坐標
a＞0
a＜0
四、議一議
投影片：(2，4．1 D)
(1)二次函數=3(x+1)2的圖象與二次函數＝3x2的圖象有什么關(guān)系?它是軸對稱(chēng)圖形嗎?它的對稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標分別是什么?
(2)二次函數=-3(x-2)2+4的圖象與二次函數=-3x2的圖象有什么關(guān)系?它是軸對稱(chēng)圖形嗎?它的對稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標分別是什么?
(3)對于二次函數＝3(x+1)2，當x取哪些值時(shí)，的值隨x值的增大而增大?當x取哪些值時(shí)，的值隨x值的增大而減小?二次函數＝3(x+1)2+4呢?
[師]在不畫(huà)圖象的情況下，你能回答上面的問(wèn)題嗎?
[生](1)二次函數＝3(x+1)2的圖象與＝3x2的圖象形狀相同，開(kāi)口方向也相同，但對稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標不同，=3(x+1)2的圖象的對稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=-1，頂點(diǎn)坐標是(-1，0)．只要將＝3x2的圖象向左平移1個(gè)單位，就可以得到=3(x+1)2的圖象．
(2)二次函數＝-3(x-2)2+4的圖象與＝-3x2的圖象形狀相同，只是位置不同，將函數＝-3x2的圖象向右平移2個(gè)單位，就得到=-3(x-2)2的圖象，再向上平移4個(gè)單位，就得到=-3(x-2)2+4的圖象=-3(x-2)2+4的圖象的對稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=2，頂點(diǎn)坐標是(2，4)．
(3)對于二次函數=3(x+1)2和＝3(x+1)2+4，它們的對稱(chēng)軸都是x＝-1，當x<-1時(shí)，的值隨x值的增大而減��；當x>-1時(shí)，的值隨x值的增大而增大．
�、螅n堂練習
隨堂練習
�、簦n時(shí)小結
本節課進(jìn)一步探究了函數=3x2與＝3(x-1)2，＝3(x-1)2+2的圖象有什么關(guān)系，對稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標分別是什么這些問(wèn)題．并作了歸納總結．還能利用這個(gè)結果對其他的函數圖象進(jìn)行討論．
�、酰n后作業(yè)
習題2．4
�、觯顒�(dòng)與探究
二次函數= (x+2)2-1與= (x-1)2+2的圖象是由函數＝ x2的圖象怎樣移動(dòng)得到的?它們之間是通過(guò)怎樣移動(dòng)得到的?
解：＝ (x+2)2-1的圖象是由= x2的圖象向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位得到的，＝ (x-1)2+2的圖象是由= x2的圖象向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到的．
�。� (x+2)2-1的圖象向右平移3個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到= (x-1)2+2的圖象．
�。� (x-1)2+2的圖象向左平移3個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位得到＝ (x+2)2-1的圖象．
板書(shū)設計
4．2．1 二次函數＝ax2+bx+c的圖象(一) 一、1. 比較函數＝3x2與＝3(x-1)2的
圖象和性質(zhì)(投影片2．4．1 A)
2．做一做(投影片2．4．1 B)
3．總結函數＝3x2，=3(x-1)2= 3(x-1)2+2的圖象之間的關(guān)系(投影片2．4．1 C)
4．議一議(投影片2．4．1 D)
二、課堂練習
1．隨堂練習
2．補充練習
三、課時(shí)小結
四、課后作業(yè)
備課資料
參考練習
在同一直角坐標系內作出函數=- x2,=- x2-1,=- (x+1)2-1的圖象，并討論它們的性質(zhì)與位置關(guān)系．
解：圖象略
它們都是拋物線(xiàn)，且開(kāi)口方向都向下；對稱(chēng)軸分別為軸軸，直線(xiàn)x=-1；頂點(diǎn)坐標分別為(0，0)，(0，-1)，(-1，-1)．
=- x2的圖象向下移動(dòng)1個(gè)單位得到=- x2-1 的圖象；=- x2的圖象向左移動(dòng)1個(gè)單位，向下移動(dòng)1個(gè)單位，得到＝- (x+1)2-1的圖象．
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