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正弦函數、余弦函數圖像教案及反思
篇一：正弦函數、余弦函數圖像教案及反思
教材分析
三角函數是基本初等函數之一，是描述周期現象的重要數學(xué)模型，是函數大家庭的一員。除了基本初等函數的共性外，三角函數也有其個(gè)性的特征，如圖像、周期性、單調性等，所以本節內容有著(zhù)承上啟下的作用；另外，學(xué)習完三角函數的定義之后，必然要研究其性質(zhì)，而研究函數的性質(zhì)最常用、最形象直觀(guān)的方法就是作出其圖像，再通過(guò)圖像研究其性質(zhì)。由于正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)已經(jīng)從“形”的角度描述了三角函數,因此利用單位圓中的三角函數線(xiàn)畫(huà)正弦函數圖象是一個(gè)自然的想法.當然,我們還可以通過(guò)三角函數的定義、三角函數值之間的內在聯(lián)系性等來(lái)作圖,從畫(huà)出的圖形中觀(guān)察得出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn),得到“五點(diǎn)法”畫(huà)正弦函數、余弦函數的簡(jiǎn)圖. 教學(xué)目標
1.通過(guò)簡(jiǎn)諧振動(dòng)實(shí)驗演示,讓學(xué)生對函數圖像有一些直觀(guān)的感知,形成正弦曲線(xiàn)的初步認識,進(jìn)而探索正弦曲線(xiàn)準確的作法,養成善于發(fā)現、善于探究的良好習慣.學(xué)會(huì )遇到新問(wèn)題時(shí)善于調動(dòng)所學(xué)過(guò)的知識,較好地運用新舊知識之間的聯(lián)系,提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.
2.通過(guò)本節學(xué)習,理解正弦函數、余弦函數圖象的畫(huà)法.借助圖象變換,了解函數之間的內在聯(lián)系.通過(guò)三角函數圖象的三種畫(huà)法:描點(diǎn)法、幾何法、五點(diǎn)法,體會(huì )用“五點(diǎn)法”作圖給我們學(xué)習帶來(lái)的好處,并會(huì )熟練地畫(huà)出一些較簡(jiǎn)單的函數圖象.
3.通過(guò)本節的學(xué)習,讓學(xué)生體會(huì )數學(xué)中的圖形美,體驗善于動(dòng)手操作、合作探究的學(xué)習方法帶來(lái)的成功愉悅.滲透由抽象到具體的思想,加深數形結合思想的認識,理解動(dòng)與靜的辯證關(guān)系,樹(shù)立科學(xué)的辯證唯物主義觀(guān). 重點(diǎn)難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn):正弦函數、余弦函數的圖象.
教學(xué)難點(diǎn):將單位圓中的正弦線(xiàn)通過(guò)平移轉化為正弦函數圖象上的點(diǎn);正弦函數與余弦函數圖象間的關(guān)系.
教學(xué)用具：多媒體教學(xué)、幾何畫(huà)板軟件、ppt控件 教學(xué)過(guò)程 導入新課
1.(復習導入)首先復習相關(guān)準備知識：三角函數、三角函數線(xiàn)。遇到一個(gè)新的函數,非常自然的是畫(huà)出它的圖象,觀(guān)察圖象的形狀,看看有什么特殊點(diǎn),并借助圖象研究它的性質(zhì),如:值域、單調性、奇偶性、最大值與最小值等.我們也很自然的想知道y=sinx與y=cosx的圖象是怎樣的呢?回憶我們是如何畫(huà)出它們圖象的(列表描點(diǎn)法:列表、描點(diǎn)、連線(xiàn))?
2.(物理實(shí)驗導入)視頻觀(guān)看“簡(jiǎn)諧運動(dòng)”實(shí)驗.得到一條曲線(xiàn),它就是簡(jiǎn)諧運動(dòng)的圖象.物理中把簡(jiǎn)諧運動(dòng)的圖象叫做“正弦曲線(xiàn)”或“余弦曲線(xiàn)”.有了上述實(shí)驗,你對正弦函數、余弦函數的圖象是否有了一個(gè)直觀(guān)的印象?畫(huà)函數的圖象,最基本的方法是我們以前熟知的列表描點(diǎn)法,但不夠精確.下面我們利用正弦線(xiàn)畫(huà)出比較精確的正弦函數圖象. 推進(jìn)新課
新知探究 提出問(wèn)題
問(wèn)題①:作正弦函數圖象的各點(diǎn)的縱坐標都是查三角函數表得到的數值,由于對一般角的三角函數值都是近似值,不易描出對應點(diǎn)的精確位置.我們如何得到任意角的三角函數值并用線(xiàn)段長(cháng)(或用有向線(xiàn)段數值)表示x角的三角函數值?怎樣得到函數圖象上點(diǎn)的兩個(gè)坐標的準確數據呢?簡(jiǎn)單地說(shuō),就是如何得到y=sinx,x∈［0,2π］的精確圖象呢?
問(wèn)題②:如何得到y=sinx,x∈R時(shí)的圖象?
對問(wèn)題①,第一步,可以想象把單位圓圓周剪開(kāi)并12等分,再把x軸上從0到2π這一段分成12等份.由于單位圓周長(cháng)是2π,這樣就解決了橫坐標問(wèn)題.過(guò)⊙O1上的各分點(diǎn)作x軸的垂線(xiàn),就可以得到對應于0、2π等角的正弦線(xiàn),這樣就解決了縱坐標問(wèn)題(相6432當于“列表”).第二步,把角x的正弦線(xiàn)向右平移,使它的起點(diǎn)與x軸上的點(diǎn)x重合,這就得到了函數對(x,y)(相當于“描點(diǎn)”).第三步,再把這些正弦線(xiàn)的終點(diǎn)用平滑曲線(xiàn)連接起來(lái),我們就得到函數y=sinx在［0,2π］上的一段光滑曲線(xiàn)(相當于“連線(xiàn)”).如圖1所示(這一過(guò)程用課件演示,讓學(xué)生仔細觀(guān)察怎樣平移和連線(xiàn)過(guò)程.然后讓學(xué)生動(dòng)手作圖,形成對正弦函數圖象的感知).這是本節的難點(diǎn),教師要和學(xué)生共同探討
對問(wèn)題②,因為終邊相同的角有相同的三角函數值,所以函數y=sinx在x∈[2kπ,2(k+1)π],k∈Z且k≠0上的圖象與函數y=sinx在x∈[0,2π]上的圖象的形狀完全一致,只是位置不同.于是我們只要將函數y=sinx,x∈[0,2π］的圖象向左、右平行移動(dòng)(每次2π個(gè)單位長(cháng)度),就可以得到正弦函數y=sinx,x∈R的圖象.(這一過(guò)程用課件處理,讓同學(xué)們仔細觀(guān)察整個(gè)圖的形成過(guò)程,感知周期性)
操作結果、總結提煉:①利用正弦線(xiàn),通過(guò)等分單位圓及平移即可得到y=sinx,x∈［0,2π］的圖象. ②左、右平移,每次2π個(gè)長(cháng)度單位即可. 提出問(wèn)題
如何畫(huà)出余弦函數y=cosx,x∈R的圖象?你能從正弦函數與余弦函數的關(guān)系出發(fā),利用正弦函數圖象得到余弦函數圖象嗎?
意圖:如果再用余弦線(xiàn)作余弦函數的圖象那太麻煩了,根據已學(xué)的知識,教師引導學(xué)生觀(guān)察誘導公式,思考探究?jì)蓚�(gè)函數之間的關(guān)系,通過(guò)怎樣的坐標變換可得到余弦函數圖象?讓學(xué)生從函數解析式之間的關(guān)系思考,進(jìn)而學(xué)習通過(guò)圖象變換畫(huà)余弦函數圖象的方法.讓學(xué)生動(dòng)手做一做,體會(huì )正弦函數圖象與余弦函數圖象的異同,感知兩個(gè)函數的整體形狀,為下一步學(xué)習正弦函數、余弦函數的性質(zhì)打下基礎. 討論結果:
把正弦函數y=sinx,x∈R的圖象向左平移個(gè)單位長(cháng)度即可得到余弦函數圖象
正弦函數y=sinx,x∈R的圖象和余弦函數y=cosx,x∈R的圖象分別叫做正弦曲線(xiàn)和余弦曲線(xiàn)點(diǎn).
提出問(wèn)題 問(wèn)題①:以上方法作圖,雖然精確,但不太實(shí)用,自然我們想尋求快捷地畫(huà)出正弦函數圖象的方法.你認為哪些點(diǎn)是關(guān)鍵性的點(diǎn)? 問(wèn)題②:你能確定余弦函數圖象的關(guān)鍵點(diǎn),并作出它在［0,2π］上的圖象嗎? 活動(dòng):對問(wèn)題①,教師可引導學(xué)生從圖象的整體入手觀(guān)察正弦函數的圖象,發(fā)現在［0,2π］上有五個(gè)點(diǎn)起關(guān)鍵作用,只要描出這五個(gè)點(diǎn)后,函數y=sinx在［0,2π］上的圖象的形狀就基本上確定了.這五點(diǎn)如下: (0,0),(3,1),(π,0),(,-1),(2π,0).
因此,在精確度要求不太高時(shí),我們常常先找出這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn),然后用光滑的曲線(xiàn)將它們連接起來(lái),就可快速得到函數的簡(jiǎn)圖.這種近似的“五點(diǎn)(畫(huà)圖)法”是非常實(shí)用的,要求熟練掌握.
對問(wèn)題②,引導學(xué)生通過(guò)類(lèi)比,很容易確定在［0,2π］上起關(guān)鍵作用的五個(gè)點(diǎn),并指導學(xué)生通過(guò)描這五個(gè)點(diǎn)作出在［0,2π］上的圖象. 討論結果:①略. ②關(guān)鍵點(diǎn)也有五個(gè),它們是:(0,1),(3,0),(π,-1),(,0),(2π,1).
學(xué)生練習鞏固：1。用五點(diǎn)法作出函數y=sinx在［0,2π］上的圖象；2. 用五點(diǎn)法作出函數y=cosx
在［0,2π］上的圖象 應用示例
例1 畫(huà)出下列函數的簡(jiǎn)圖 (1)y=1+sinx,x∈[0,2π];(2)y=-cosx,x∈[0,2π]描點(diǎn)并將它們用光滑的曲線(xiàn)連接起來(lái)
課堂小結
以提問(wèn)的方式,先由學(xué)生反思學(xué)習內容并回答,教師再作補充完善.
1.怎樣利用“周而復始”的特點(diǎn),把區間［0,2π］上的圖象擴展到整個(gè)定義域的?
2.如何利用圖象變換從正弦曲線(xiàn)得到余弦曲線(xiàn)?
這節課學(xué)習了正弦函數、余弦函數圖象的畫(huà)法.除了它們共同的代數描點(diǎn)法、幾何描點(diǎn)法之外,余弦函數圖象還可由平移交換法得到.“五點(diǎn)法”作圖是比較方便、實(shí)用的方法,應熟練掌握.數形結合思想、運動(dòng)變化觀(guān)點(diǎn)都是學(xué)習本課內容的重要思想方法.
3.課后請同學(xué)們利用三角函數線(xiàn)（把單位圓8等分）來(lái)作出正弦函數圖象？（思考為什么要進(jìn)行8等分）
教學(xué)反思：
這節課從整體上看，比較圓滿(mǎn)完成了既定的教學(xué)目標：正弦函數、余弦函數的圖像，以及掌握五點(diǎn)法，利用五點(diǎn)法作出函數的圖像，注意函數之間的內在聯(lián)系。學(xué)生掌握了三角函數的定義之后，自然而然就會(huì )去研究函數的性質(zhì)，而研究函數的性質(zhì)一般從函數的圖像入手，本節課學(xué)生的動(dòng)手操作要求較高，需要學(xué)生在練習本上畫(huà)圖；這節課從教學(xué)過(guò)程看，邏輯行強，過(guò)渡比較自然，幻燈片制作精美，特別是幾何畫(huà)板的控件，讓學(xué)生能夠直觀(guān)看到圖像的變化趨勢，還有電子白板的靈活運用，可以使用新建屏幕頁(yè)，讓學(xué)生看到我們老師如何操作，給學(xué)生示范。
當然，在教學(xué)中也存在一些問(wèn)題：前面復習回顧的內容用時(shí)過(guò)多，導致后面的時(shí)間有些緊，例題可以講一個(gè)詳細的，后面讓學(xué)生完成；正弦函數的圖像分析透徹之后，對于余弦函數可以略講。
篇二：教學(xué)設計與反思
一、教學(xué)內容分析
本節內容是高一數學(xué)必修4（蘇教版）第三章《三角恒等變換》第一節的內容，重點(diǎn)放在兩角差的余弦公式的推導和證明上，其次是利用公式解決一些簡(jiǎn)單的三角函數問(wèn)題。 在學(xué)習本章之前，已經(jīng)學(xué)習了三角函數及向量的有關(guān)知識，從而為溝通代數、幾何與三角函數的聯(lián)系提供了重要的工具。本章我們將使用這些工具探討三角函數值的運算。本節內容不僅是推導正弦和（差）角公式、正切和（差）角公式及倍角公式的基礎，對于三角變換，三角恒等式的證明，三角函數式的化簡(jiǎn)、求值等三角問(wèn)題的解決有重要的支撐作用，而且其推導過(guò)程本身就具有重要的教育價(jià)值。
二、學(xué)生學(xué)習情況分析
本節課的主要內容是“兩角差的余弦公式的推導及證明”，用到的工具有“單位圓中三角函數的定義”和“平面向量數量積的定義及坐標表示”，都屬于基礎知識，內容簡(jiǎn)單，容易理解和接受。但是在向量法證明的過(guò)程中，向量夾角的范圍是[0，π]，與兩角差α-β的范圍不一致，學(xué)生對角的范圍說(shuō)明不清，是本節課的難點(diǎn)。
三、設計思想
教學(xué)理念：以“研究性學(xué)習”為載體，培養學(xué)生自主學(xué)習、小組合作的能力。
教學(xué)原則：注重學(xué)生自主學(xué)習與探究能力的培養，體現學(xué)生個(gè)性的發(fā)展與小組合作共性的融合。
教學(xué)方法：先學(xué)后教，小組合作，師生互動(dòng)。
四、教學(xué)目標
知識與技能：了解用向量法推導兩角差的余弦公式的過(guò)程，掌握兩角和（差）的余弦公式并能運用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角函數式的化簡(jiǎn)、求值。
過(guò)程與方法：自主探究?jì)山遣畹挠嘞夜降谋憩F形式，經(jīng)歷用向量的數量積推導兩角差的余弦公式的過(guò)程，并能獨立利用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化歸思想在三角變換中的作用。
情感態(tài)度與價(jià)值觀(guān)：體驗和感受數學(xué)發(fā)現和創(chuàng )造的過(guò)程，感悟事物之間普遍聯(lián)系和轉化的關(guān)系。
五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
重點(diǎn)：兩角差的余弦公式的推導及證明。
難點(diǎn)：引入向量法證明兩角差的余弦公式及兩角差范圍的說(shuō)明。
六、教學(xué)程序設計
1.情境創(chuàng )設，課上展示。
課前探究：
課上展示：請同學(xué)們展示一下課前所得到的結果吧。
設計意圖：課前以問(wèn)題串的形式給學(xué)生指明研究方向。問(wèn)題層層遞進(jìn)，從特殊到一般，使學(xué)生的研究具有一定的坡度性。既讓學(xué)生容易上手，又讓學(xué)生在研究過(guò)程中慢慢深入與提高。
主要目的：讓學(xué)生自主發(fā)現兩角差的余弦公式的表達形式。
通過(guò)課上展示，學(xué)生把課下研究出來(lái)的成果與全班同學(xué)共享，產(chǎn)生共鳴，為進(jìn)一步研究?jì)山遣畹挠嘞夜阶龊脺蕚�，同時(shí)增強表達能力及自信心。
2.合作探究，小組展示。
探究一：兩角差的余弦公式的推導
問(wèn)題4：?jiǎn)?wèn)題2中我們所得到的結論對于任意角還成立嗎？你能證明嗎？
問(wèn)題5：觀(guān)察我們得到結論的形式，你能聯(lián)想到什么呢？
探究二：兩角和的余弦公式的推導
問(wèn)題6：你能根據差角的余弦公式推導出和角的余弦公式嗎？
問(wèn)題7：比較差角的余弦公式與和角的余弦公式，它們在結構上有何異同點(diǎn)？
通過(guò)小組展示，各個(gè)小組之間產(chǎn)生思維的碰撞，迸出火花，得到新的靈感與智慧。從而培養學(xué)生團結協(xié)作與小組合作的能力。
3.鞏固知識，例題講解。
例1：利用兩角和與差的余弦公式證明下列誘導公式：
例3：化簡(jiǎn)cos100°cos40°+sin80°sin40°
設計意圖：教師對各小組展示內容做適當點(diǎn)評，并且對“向量法證明的優(yōu)點(diǎn)”，“向量法證明過(guò)程的完善”，“向量法中向量夾角與兩角差的范圍的統一”做簡(jiǎn)要講解。
例1，例2都是公式的直接應用。例1讓學(xué)生體會(huì )誘導公式將余弦的和差角公式推導出正弦的和差角公式，為下節課埋下伏筆。例2中根據cos15°的值求sin15°的值，tan15°的值的過(guò)程都是為推導正弦和差公式，正切和差公式做鋪墊。
變式將例2中具體的角變成抽象的角，利用同角三角函數公式求解。在由sinα的值求cosα的值或由cosβ的值求sinβ的值時(shí)，要注意根據角的范圍確定三角函數值的符號。 例3：是公式的逆用，培養學(xué)生逆向思維的能力，讓學(xué)生對公式結構再認識。
4.提升總結，鞏固練習。
提升總結：針對上面的3個(gè)例題，談?wù)勀銓W(xué)到了什么？
�。�2）利用兩角和差的余弦公式求值時(shí)，應注意觀(guān)察、分析題設和公式的結構特點(diǎn)，從整體上把握公式，靈活的運用公式。
�。�3）在解題過(guò)程中，要注意角的范圍，確定三角函數值的符號，以防增根、漏根。 設計意圖：主要以學(xué)生總結為主，老師做適當點(diǎn)評及補充。
七、教學(xué)反思
本節課主要以學(xué)生的自主學(xué)習、小組合作為主，充分發(fā)揮了學(xué)生的自主探究能力和團隊協(xié)作能力，提高了學(xué)生發(fā)現問(wèn)題、探究問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。情境創(chuàng )設中利用三個(gè)問(wèn)題讓學(xué)生在課前提前熟悉本節課所學(xué)的內容“是什么”，“我能得到哪些結論”，調動(dòng)了學(xué)生的思維與學(xué)習的積極性，激發(fā)了學(xué)生的求知欲。但是
但是如果給出圖像，則又會(huì )限制數學(xué)優(yōu)秀的學(xué)生的解題思路與方法，這對矛盾是由學(xué)生的差異所決定的。教師在課堂上應指導、啟發(fā)學(xué)生，注意教學(xué)的示范性，明確解題的規范性，實(shí)現學(xué)生在學(xué)習過(guò)程中知識的跨越�？傊�，教學(xué)有法，教無(wú)定法，貴在得法，為了提高課堂教學(xué)效率，我們要從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，以學(xué)法帶動(dòng)教法，為高效課堂保駕護航。
篇三：正弦函數余弦函數圖像教學(xué)反思
由于學(xué)生已具備初等函數、三角函數線(xiàn)知識，為研究正弦函數圖象提供了知識上的積累；因此本教學(xué)設計理念是：通過(guò)問(wèn)題的提出，引起學(xué)生的好奇，用操作性活動(dòng)激發(fā)學(xué)生求知欲，為發(fā)現新知識創(chuàng )設一個(gè)最佳的心理和認識環(huán)境，引導學(xué)生關(guān)注正弦函數的圖象及其作法；并借助電腦多媒體使教師的設計問(wèn)題與活動(dòng)的引導密切結合，強調學(xué)生“活動(dòng)”的內化，以此達到使學(xué)生有效地對當前所學(xué)知識的意義建構的目的，感覺(jué)效果很好。
課后反思：
比較成功的地方：
1．教學(xué)思路清晰，各個(gè)環(huán)節過(guò)渡比較自然，課堂教學(xué)設計得比較緊湊．
2．教學(xué)設計對于正弦曲線(xiàn)、余弦曲線(xiàn)首先從實(shí)驗入手形成直觀(guān)印象，然后探究畫(huà)法，列表，描點(diǎn)、連線(xiàn)——“描點(diǎn)法”作圖，對于函數y＝sinx，當x取值時(shí)，y的值大都是近似值，加之作圖上的誤差，很難認識新函數y＝sinx的圖象的真實(shí)面貌.因為在前面已經(jīng)學(xué)習過(guò)三角函數線(xiàn)，這就為用幾何法作圖提供了基礎.這樣設計比較自然，合理，符合學(xué)生認知的基本規律．
3．利用正弦線(xiàn)作出y＝sinx在[0, 2?]內的圖象，再得到正弦曲線(xiàn)，這里借助角周而復始的變化，體會(huì )后面性質(zhì)“周期”，這樣的設計由局部到整體，符合探究的一般方法．
4．對于“五點(diǎn)法”老師讓學(xué)生通過(guò)觀(guān)察、學(xué)生討論、進(jìn)一步合作
交流得到“五點(diǎn)法”作圖，也是本節課中一大的亮點(diǎn)，充分體現以學(xué)生為主的教學(xué)思路．
5．通過(guò)展示課件，生動(dòng)形象地再現三角函數線(xiàn)的平移和曲線(xiàn)形成過(guò)程．使原本枯燥地知識變得生動(dòng)有趣，激發(fā)學(xué)生的興趣．
6．在得到正弦函數的圖象后，通過(guò)一個(gè)探究，引導學(xué)生利用誘導公式，結合圖象變換研究余弦函數的圖象，體現了新課改中倡導的“自主探究、合作交流”的教學(xué)理念，有利于培養學(xué)生主動(dòng)探究的意識． 需要改進(jìn)的地方：
1．時(shí)間的把握要恰當，否則會(huì )影響課堂后面內容的安排．
2．在由正弦函數的圖象得到余弦函數的圖象的探究過(guò)程中，設計了讓學(xué)生“自主探究、合作交流”的教學(xué)思路，但學(xué)生對“合作—交流”的熱情不夠，不太主動(dòng)——在調動(dòng)學(xué)生積極參與課堂活動(dòng)方面做得不夠好．
3．由于導入的過(guò)程時(shí)間稍長(cháng)，加之本節課的容量過(guò)大，盡管在例題的教學(xué)過(guò)程中及時(shí)的改變了教學(xué)策略，把例1中的第（2）小題交由學(xué)生練習，還是導致了學(xué)生練習時(shí)間較少．
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