數的概念的發(fā)展教案范本

　　教學(xué)目標

　�。�1）了解數的概念發(fā)展的過(guò)程和動(dòng)力；

　�。�2）了解引進(jìn)虛數單位i的必要性和作用；理解i的性質(zhì)．

　�。�3）正確對復數進(jìn)行分類(lèi)，掌握數集之間的從屬關(guān)系；

　�。�4）了解數系從自然數到有理數到實(shí)數再到復數擴充的基本思想．

　　教學(xué)建議

　　1．教材分析

　�。�1）知識結構

　　首先簡(jiǎn)明扼要地對已經(jīng)學(xué)過(guò)的數集因生產(chǎn)與科學(xué)發(fā)展的需要而逐步擴充的過(guò)程作了概括；然后說(shuō)明，數集的每一次擴充，對數學(xué)學(xué)科本身來(lái)說(shuō)，也解決了原有數集中某種運算不是永遠可以實(shí)施的矛盾，使得某些代數方程在新的數集中能夠有解。從而引出虛數單位i及其性質(zhì)，接著(zhù)，將數的范圍擴充到復數，并指出復數后來(lái)由于在科學(xué)技術(shù)中得到應用而進(jìn)一步發(fā)展。

　�、購膶�(shí)際生產(chǎn)需要推進(jìn)數的發(fā)展

　　自然數  整數 有理數  無(wú)理數

　�、趶慕夥匠痰男枰�推進(jìn)數的發(fā)展

　　負數  分數 無(wú)理數  虛數

　�。�2）重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

　�。ㄒ唬┱J識數的概念的發(fā)展的動(dòng)力

　　從正整數擴充到整數，從整數擴充到有理數，從有理數擴充到實(shí)數，數的概念是不斷發(fā)展的，其發(fā)展的動(dòng)力來(lái)自?xún)蓚�(gè)方面。

　�、俳鉀Q實(shí)際問(wèn)題的需要

　　由于計數的需要產(chǎn)生了自然數；為了表示具有相反意義的量的需要產(chǎn)生了整數；由于測量的需要產(chǎn)生了有理數；由于表示量與量的比值（如正方形對角線(xiàn)的長(cháng)度與邊長(cháng)的比值）的需要產(chǎn)生了無(wú)理數（既無(wú)限不循環(huán)小數）。

　�、诮夥匠痰男枰�。

　　為了使方程  有解，就引進(jìn)了負數；為了使方程  有解，就要引進(jìn)分數；為了使方程  有解，就要引進(jìn)無(wú)理數。

　　引進(jìn)無(wú)理數后，我們已經(jīng)能使方程  永遠有解，但是，這并沒(méi)有徹底解決問(wèn)題，當  時(shí)，方程  在實(shí)數范圍內無(wú)解。為了使方程  （  ）有解，就必須把實(shí)數概念進(jìn)一步擴大，這就必須引進(jìn)新的數。

　�。ǘ�）注意數的概念在擴大時(shí)要遵循的原則

　　第一，要能解決實(shí)際問(wèn)題中或數學(xué)內部的矛盾�，F在要解決的就是在實(shí)數集中，方程  無(wú)解這一矛盾。

　　第二，要盡量地保留原有數集（現在是實(shí)數集）的性質(zhì)，特別是它的運算性質(zhì)。

　�。ㄈ�）正確確認識數集之間的關(guān)系

　�、儆欣頂稻褪且磺行稳�  的數，其中  ，所以有理數集實(shí)際就是分數集．

　�、凇把�環(huán)節不為0的循環(huán)小數也都是有理數”．

　�、郏�有理數｝=｛分數｝=｛循環(huán)小數｝，｛實(shí)數｝=｛小數｝．

　�、茏匀粩导疦、整數集Z、有理數集Q、實(shí)數集R、復數集C之間有如下的包含關(guān)系：

　　2．教法建議

　�。�1）注意知識的連續性：數的發(fā)展過(guò)程是漫長(cháng)的，每一次發(fā)展都來(lái)自于生產(chǎn)、生活和計算等需要，所以在教學(xué)時(shí)要注意使學(xué)生認識到數的發(fā)展的兩個(gè)動(dòng)力．

　�。�2）創(chuàng )造良好的課堂氣氛：由于本節課要了解擴充實(shí)數集的必要性，所以，教師可以多向學(xué)生介紹一些數的發(fā)展過(guò)程中的一些科學(xué)史，課堂學(xué)習的氣氛可以營(yíng)造成一種師生共同研究、共同交流的氣氛。

　　數的概念的發(fā)展

　　教學(xué)目的

　　1.使學(xué)生了解數是在人類(lèi)社會(huì )的生產(chǎn)和生活中產(chǎn)生和發(fā)展起來(lái)的，了解虛數產(chǎn)生歷史過(guò)程；

　　2.理解并掌握虛數單位的定義及性質(zhì)；

　　3.掌握復數的定義及復數的分類(lèi)．

　　教學(xué)重點(diǎn)

　　虛數單位的定義、性質(zhì)及復數的分類(lèi)．

　　教學(xué)難點(diǎn)

　　虛數單位的性質(zhì)．

　　教學(xué)過(guò)程（）

　　一、復習引入

　　原始社會(huì )，由于計數的需要產(chǎn)生了自然數的概念，隨著(zhù)文字的產(chǎn)生和發(fā)展，出現了記數的符號，進(jìn)而建立了自然數的概念。自然數的全體構成自然數集.

　　為了表示具有相反意義的量引進(jìn)了正負數以及表示沒(méi)有的零，這樣將數集擴充到有理數集

　　有些量與量之間的比值，如用正方形的邊長(cháng)去度量它的對角線(xiàn)所得的結果，無(wú)法用有理數表示，為解決這種矛盾，人們又引進(jìn)了無(wú)理數，有理數和無(wú)理數合并在一起，構成實(shí)數集．

　　數的概念是人類(lèi)社會(huì )的生產(chǎn)和生活中產(chǎn)生和發(fā)展起來(lái)的，數學(xué)理論的研究和發(fā)展也推動(dòng)著(zhù)數的概念的發(fā)展，數已經(jīng)成為現代社會(huì )生活和科學(xué)技術(shù)時(shí)刻離不開(kāi)的科學(xué)語(yǔ)言和工具．

　　二、新課教學(xué)

　　(一)虛數的產(chǎn)生

　　我們知道，在實(shí)數范圍內，解方程  是無(wú)能為力的，只有把實(shí)數集擴充到復數集才能解決．對于復數  （a、b都是實(shí)數）來(lái)說(shuō)，當  時(shí)，就是實(shí)數；當  時(shí)叫虛數，當  時(shí)，叫做純虛數．可是，歷史上引進(jìn)虛數，把實(shí)數集擴充到復數集可不是件容易的事，那么，歷史上是如何引進(jìn)虛數的呢？

　　16世紀意大利米蘭學(xué)者卡當（1501—1576）在1545年發(fā)表的《重要的藝術(shù)》一書(shū)中，公布了三次方程的一般解法，被后人稱(chēng)之為“卡當公式”．他是第一個(gè)把負數的平方根寫(xiě)到公式中的數學(xué)家，并且在討論是否可能把10分成兩部分，使它們的乘積等于40時(shí)，他把答案寫(xiě)成   ，盡管他認為  和  這兩個(gè)表示式是沒(méi)有意義的、想象的、虛無(wú)飄渺的，但他還是把10分成了兩部分，并使它們的乘積等于40．給出“虛數”這一名稱(chēng)的是法國數學(xué)家笛卡爾（1596—1650），他在《幾何學(xué)》（1637年發(fā)表）中使“虛的數’‘與“實(shí)的數”相對應，從此，虛數才流傳開(kāi)來(lái)．

　　數系中發(fā)現一顆新星——虛數，于是引起了數學(xué)界的一片困惑，很多大數學(xué)家都不承認虛數．德國數學(xué)家菜不尼茨（1664—1716）在1702年說(shuō)：“虛數是神靈遁跡的精微而奇異的隱避所，它大概是存在和虛妄兩界中的`兩棲物”．瑞士數學(xué)大師歐拉（1707—1783）說(shuō)：“一切形如  ，  習的數學(xué)式子都是不可能有的，想象的數，因為它們所表示的是負數的平方根．對于這類(lèi)數，我們只能斷言，它們既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它們純屬虛幻．”然而，真理性的東西一定可以經(jīng)得住時(shí)間和空間的考驗，最終占有自己的一席之地．法國數學(xué)家達蘭貝爾（．1717—1783）在 1747年指出，如果按照多項式的四則運算規則對虛數進(jìn)行運算，那么它的結果總是  的形式（a、b都是實(shí)數）（說(shuō)明：現行教科書(shū)中沒(méi)有使用記號   而使用  ）．法國數學(xué)家棣莫佛（1667—1754）在1730年發(fā)現公式了  ，這就是著(zhù)名的探莫佛定理．歐拉在 1748年發(fā)現了有名的關(guān)系式  ，并且是他在《微分公式》（1777年）一文中第一次用i來(lái)表示-1的平方根，首創(chuàng )了用符號i作為虛數的單位．“虛數”實(shí)際上不是想象出來(lái)的，而它是確實(shí)存在的．挪威的測量學(xué)家未塞爾（1745—1818）在1779年試圖給于這種虛數以直觀(guān)的幾何解釋?zhuān)�并首先發(fā)表其作法，然而沒(méi)有得到學(xué)術(shù)界的重視．

　　德國數學(xué)家高斯（1777—1855）在 1806年公布了虛數的圖象表示法，即所有實(shí)數能用一條數軸表示，同樣，虛數也能用一個(gè)平面上的點(diǎn)來(lái)表示．在直角坐標系中，橫軸上取對應實(shí)數a的點(diǎn)A，縱軸上取對應實(shí)數b的點(diǎn)B，并過(guò)這兩點(diǎn)引平行于坐標軸的直線(xiàn)，它們的交點(diǎn)C就表示復數  ．象這樣，由各點(diǎn)都對應復數的平面叫做“復平面”，后來(lái)又稱(chēng)“高斯平面”．高斯在1831年，用實(shí)數組（a，b）代表復數  ，并建立了復數的某些運算，使得復數的某些運算也象實(shí)數一樣地“代數化”．他又在1832年第一次提出了“復數”這個(gè)名詞，還將表示平面上同一點(diǎn)的兩種不同方法——直角坐標法和極坐標法加以綜合．統一于表示同一復數的代數式和三角式兩種形式中，并把數軸上的點(diǎn)與實(shí)數—一對應，擴展為平面上的點(diǎn)與復數—一對應．高斯不僅把復數看作平面上的點(diǎn)，而且還看作是一種向量，并利用復數與向量之間—一對應的關(guān)系，闡述了復數的幾何加法與乘法．至此，復數理論才比較完整和系統地建立起來(lái)了．

　　經(jīng)過(guò)許多數學(xué)家長(cháng)期不懈的努力，深刻探討并發(fā)展了復數理論，才使得在數學(xué)領(lǐng)域游蕩了200年的幽靈——虛數揭去了神秘的面紗，顯現出它的本來(lái)面目，原來(lái)虛數不虛呵．虛數成為了數系大家庭中一員，從而實(shí)數集才擴充到了復數集．

　　隨著(zhù)科學(xué)和技術(shù)的進(jìn)步，復數理論已越來(lái)越顯出它的重要性，它不但對于數學(xué)本身的發(fā)展有著(zhù)極其重要的意義，而且為證明機翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解決堤壩滲水的問(wèn)題中顯示了它的威力，也為建立巨大水電站提供了重要的理論依據．

　　(二)、虛數單位

　　1.規定i叫虛數單位，并規定：

　　(1)

　　(2)實(shí)數與它進(jìn)行四則運算時(shí)，原有的加、乘運算律仍然成立

　　2.形如  (  )的數叫復數，常用一個(gè)字母z表示，即  (  )

　　注：(1)  (  )叫復數的代數形式；

　　(2)以后說(shuō)復數  都有  ；

　　(3)a叫復數  (  )的實(shí)部記作  ；b叫復數  (  )的虛部，用  表示；

　　(4)全體復數的所成的集合叫復數集用C表示．

　　例1.指出下列復數的實(shí)部、虛部：

　　(1   (2)  (4)  (5)

　　(6)   (7)  (8)10

　　3. 復數  (  )當  時(shí)z是實(shí)數，當  時(shí),z是虛數．

　　例2.  (  )取什么值時(shí)，復數  是（牐

　　(1) 實(shí)數 (2) 純虛數 (3)  零

　　解：∵  ，∴  ，

　　(1)z為實(shí)數，則  解得：  或

　　(2) z為實(shí)數，則  解得：

　　(3)z為零，則  解得：

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