垂徑定理及其推論的說(shuō)課稿
各位專(zhuān)家、評委：
你們好！很高興能有機會(huì )參加這次活動(dòng)，并得到您的指導。
我說(shuō)課的題目是：圓的軸對稱(chēng)性——垂徑定理及其推論。它是人教版義務(wù)教育課程標準實(shí)驗教科書(shū)《數學(xué)》九年級上冊第二十四章第一節的第二部分《垂直于弦的直徑》的內容。。
這部分內容教材安排了兩課時(shí)，其中第一課時(shí)講圓的軸對稱(chēng)性，第二課時(shí)講圓的旋轉不變性。
結合我對教材的理解和我所任教班級學(xué)生的實(shí)際情況，我將圓的軸對稱(chēng)性一課時(shí)內容調整為兩課時(shí)，今天我所講的是第一課時(shí)——垂徑定理及其推論。
下面，我就從教學(xué)內容，教學(xué)目標、教學(xué)方法與手段、教學(xué)過(guò)程設計等四個(gè)方面進(jìn)行說(shuō)明。
一、教學(xué)內容的說(shuō)明
教師只有對教材有較為準確、深刻、本質(zhì)的理解，并從“假如我是學(xué)生”的角度審視學(xué)生的可接受性，才能處理好教材。
垂徑定理及其推論反映了圓的重要性質(zhì)，是證明線(xiàn)段相等、弧相等、垂直關(guān)系的重要依據，為進(jìn)行圓的計算和作圖提供了重要依據，因此這部分內容是學(xué)習的重點(diǎn)， 垂徑定理及其推論的題設和結論較為復雜，容易混淆，因此也是學(xué)習的難點(diǎn)。
鑒于這種理解，通覽教材，我確定出如下教學(xué)內容：
(1)了解圓的軸對稱(chēng)性。
(2) 弄清垂徑定理及其推論的題設和結論。 (3)運用垂徑定理及其推論進(jìn)行有關(guān)的計算和證明。
(4)學(xué)會(huì )與垂徑定理有關(guān)的添加輔助線(xiàn)的方法。
教學(xué)重點(diǎn)：垂徑定理及其推論
教學(xué)難點(diǎn)：垂徑定理的證明方法，其中圓的軸對稱(chēng)性是理解垂徑定理的關(guān)鍵。
二、教學(xué)目標的確立
根據本課的具體內容、學(xué)生的實(shí)際情況，我確立了如下的教學(xué)目標：
1、通過(guò)直觀(guān)演示了解圓的軸對稱(chēng)性。
2、通過(guò)“試驗——觀(guān)察——猜想——證明”掌握垂徑定理及其推論。
3、運用垂徑定理解決有關(guān)的證明、計算和作圖問(wèn)題。 4、培養學(xué)生的數學(xué)直覺(jué)能力、抽象概括能力。激發(fā)學(xué)生的探索精神。
三、教學(xué)方法與手段的選擇
在教學(xué)方法方面:本節課主要采用了教師啟發(fā)引導下的學(xué)生自主探究、小組合作學(xué)習以及分層教學(xué)、分層評價(jià)的方法。
在教學(xué)過(guò)程中，遵循“實(shí)驗－觀(guān)察－猜想－證明－討論－總結－應用”這一思路，使學(xué)生由感性認識上升到理性認識，再到實(shí)際應用。遵循“階梯式發(fā)展”原則，引導學(xué)生在獨立分析、認真思考的基礎上，以小組討論等形式合作探究，進(jìn)而解決問(wèn)題、掌握方法。同時(shí)，考慮到不同層次學(xué)生的學(xué)習需要，在所提問(wèn)題、例題、習題的設置上，均力爭使每名學(xué)生都有所得。
在教學(xué)手段方面：我采用教（學(xué)）具直觀(guān)演示與計算機輔助教學(xué)，以提高課堂教學(xué)效率。
四、教學(xué)過(guò)程的設計
1、堅持一條原則：學(xué)生是主體，教師是教學(xué)過(guò)程的組織者、引導者、合作者。
2、圍繞一個(gè)目的：落實(shí)教學(xué)目標
3、突出一個(gè)特點(diǎn)：通過(guò)“實(shí)驗－觀(guān)察－猜想－證明－應用”幫助學(xué)生實(shí)現由感性認識到理性認識的過(guò)渡
4、采用一種手段：借助教具的直觀(guān)性和計算機輔助教學(xué)，啟發(fā)引導學(xué)生發(fā)現定理，從而抽象概括出定理
5、收到一個(gè)效果：使學(xué)生通過(guò)本節課的學(xué)習，能夠理解定理的內涵，學(xué)會(huì )運用定理解決問(wèn)題。同時(shí)使學(xué)習知識、培養能力和優(yōu)化思維品質(zhì)融為一體。
學(xué)法指導：
動(dòng)手操作、 觀(guān)察猜測、 交流討論、 分析推理、 歸納總結，在此過(guò)程中使學(xué)生積極參與，交流互動(dòng)。
本課的教學(xué)過(guò)程包括：
以舊引新、引導探究——動(dòng)手操作、觀(guān)察猜想——指導論證、引申結論——多方練習、分層評價(jià)——反思小結、布置作業(yè)五個(gè)環(huán)節。
�。ㄒ唬┮耘f引新、引導探究
人類(lèi)認識事物大多遵循由感性認識到理性認識，由舊知到新知的上升過(guò)程，為此我先引導學(xué)生復習與本課新知識有關(guān)的舊知識，出示如下兩個(gè)問(wèn)題：
�。�1）什么是軸對稱(chēng)圖形
�。�2）觀(guān)察下列圖形哪些是軸對稱(chēng)圖形？并指出對稱(chēng)軸條數。
其中第一題的目的在于喚起學(xué)生記憶，明確軸對稱(chēng)圖形的概念。進(jìn)而選取幾種常見(jiàn)的幾何圖形讓學(xué)生判斷，其中的平行四邊形是從反面強化對軸對稱(chēng)圖形的理解。 第二組是有關(guān)車(chē)標圖案的軸對稱(chēng)圖形，使學(xué)生知道我們身邊隨時(shí)隨地都有軸對稱(chēng)圖形的存在，此時(shí)可讓學(xué)生再舉幾個(gè)實(shí)際例子，以激發(fā)學(xué)生的興趣。
然后出示圓，提問(wèn)：圓是軸對稱(chēng)圖形嗎？
它有幾條對稱(chēng)軸？
對稱(chēng)軸在什么位置？
進(jìn)而通過(guò)學(xué)生折疊圓形紙片、
教師投影演示明確：
圓是軸對稱(chēng)圖形，它有無(wú)數條對稱(chēng)軸，過(guò)圓心的每一條直線(xiàn)都是它的對稱(chēng)軸。
這樣通過(guò)創(chuàng )設問(wèn)題情境，激發(fā)學(xué)生的求知欲，以舊引新，引出本課課題——圓的軸對稱(chēng)性。
�。ǘ﹦�(dòng)手操作，觀(guān)察猜想
首先讓學(xué)生按要求在事先準備好的圓形紙片中畫(huà)圖折疊、觀(guān)察、猜想。 ⅰ 畫(huà)出⊙O的一條弦AB
�、� 過(guò)O畫(huà)AB的垂線(xiàn)交⊙O于C、D兩點(diǎn)，垂足為E.
問(wèn)題1：過(guò)O點(diǎn)垂直AB的直線(xiàn)有幾條？（說(shuō)出理由）
設計意圖：明確垂直于弦的直線(xiàn)有且只有一條。
問(wèn)題2：直徑CD還有什么性質(zhì)？（投影）
1、引導學(xué)生將⊙O紙片沿直徑CD折疊，觀(guān)察重合部分，猜想結論
2、小組交流猜想結論。
3、教師投影演示與學(xué)生共享猜想結論
設計意圖：通過(guò)調動(dòng)學(xué)生的多種感官功能，使學(xué)生在動(dòng)手動(dòng)腦中強化思維品質(zhì)。同時(shí)為用“疊合法”證明垂徑定理起鋪路搭橋的作用。
�。ㄈ┲笇д撟C，引申結論
在師生共同得出猜想結論后，教師追問(wèn)質(zhì)疑：猜想的結果是否正確，必須要加以證明，將學(xué)生的活躍思維從實(shí)驗猜想拉回到對猜想的嚴格證明中。 教學(xué)安排：
學(xué)生回答已知、求證后教師投影。
隨后指導學(xué)生從圓的軸對稱(chēng)性入手，討論出聯(lián)結OA和OB后，抓住只要能夠證出直徑CD既是等腰三角形OAB的對稱(chēng)軸，又是圓的對稱(chēng)軸，即可利用圓的軸對稱(chēng)性證明出結論。進(jìn)而讓學(xué)生試述，教師板書(shū)證明過(guò)程。
進(jìn)而總結出垂徑定理的內容。并引導學(xué)生分析出定理的題設和結論。說(shuō)明知道了題設的兩個(gè)條件，就可以得出三個(gè)結論。
此時(shí)出示判斷題
(1)過(guò)圓心的直徑平分弦（×）
(2)垂直于弦的直線(xiàn)平分弦（×）
(3)⊙O中，OE⊥弦AE于E，則AE=BE（√）】
引導小組討論，允許爭論，關(guān)鍵要讓學(xué)生說(shuō)明理由，舉反例。交流討論、統一思想后，教師要充分利用評價(jià)機制鼓勵學(xué)生，并強調垂徑定理 圓的軸對稱(chēng)性——垂徑定理及其推論題設中的兩個(gè)條件缺一不可。同時(shí)說(shuō)明垂徑定理條件中的“直徑”是指過(guò)圓心的直線(xiàn)，但在應用該條件時(shí)可以不為直徑，如半徑、圓心到弦的距離照樣可以得到平分弦的結論。
然后再次通過(guò)提問(wèn)：如果將題設中的兩個(gè)條件改為“直徑平分弦”，能否得出其它三個(gè)結論呢？自然的引出對例1的教學(xué)：
【例1：已知:如圖，在⊙O中，直徑CD交弦AB于E，AE=BE
求證：CD⊥AB, 】
通過(guò)教師引導、小組討論分析證明出垂徑定理的推論：平分弦(非直徑)的直徑垂直于弦，且平分弦所對的兩條弧。使學(xué)生初步認識到將定理中題設的兩個(gè)條件之一與三個(gè)結論之一交換一個(gè)，也可得出其它三個(gè)結論。然后再次出示小組討論題，
【小組討論：下列命題是否正確？說(shuō)明理由
1、弦的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心，且平分弦所對的兩條弧。(√)
2、平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，且平分弦所對的另一條弧(√)】
進(jìn)一步強化剛才的初步認識，進(jìn)而歸納總結出其中規律：五個(gè)條件，知二推三。在整個(gè)過(guò)程中教師要及時(shí)引導學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖分析、討論，說(shuō)明理由，辨別正誤，從而有效的突破難點(diǎn)，突出重點(diǎn)。
O
�。ㄋ模┒喾骄毩�，分層評價(jià)
【例2、已知：如圖在⊙O中，弦AB的長(cháng)是8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑�！�
1、選題意圖
至此，學(xué)生們對垂徑定理及其推論的基本知識應該掌握了，為了使學(xué)生再上一個(gè)臺階，更好的將知識點(diǎn)落到實(shí)處。我安排了例2，試圖通過(guò)此例，使學(xué)生明確：在解決有關(guān)弦、半徑（直徑）、圓心到弦的距離等問(wèn)題時(shí)，通常是將垂徑定理和勾股定理結合起來(lái)。達到一通百通的目的。并為例3的教學(xué)鋪平道路。
2、教學(xué)安排
�、� 解決問(wèn)題：此題先提醒學(xué)生審清題意，思考如何構造出圓的半徑及圓心O到弦AB的距離。在個(gè)人獨立思考建立圖形以后，進(jìn)行小組交流、討論。最后各組派代表展示學(xué)習成果并說(shuō)明理由，教師點(diǎn)撥，最后投影出完整解題步驟。 ⅱ 反思拓展：提問(wèn)：在解答此題的過(guò)程中，你用到了幾個(gè)定理？
通過(guò)討論，使學(xué)生體會(huì )到：在解決有關(guān)弦、半徑（直徑）、圓心到弦的距離等問(wèn)題時(shí)，通常是通過(guò)構造直角三角形將垂徑定理和勾股定理結合起來(lái)。
然后，趁熱打鐵，通過(guò)三個(gè)難度不同的練習，進(jìn)一步鞏固剛才討論得出的成果。
【 A組 在圓中某弦長(cháng)為8cm，圓的.直徑是10cm，則圓心到弦的距離是( 3 )cm B組 在圓O中弦CD＝24，圓心到弦CD的距離為5,則圓O的直徑是( 26 ) C組 若AB為圓O的直徑，弦CD⊥AB于E，AE＝16，BE=4,則CD＝( 16 )】 ⅲ 分層評價(jià)：學(xué)生的認知水平是不同的，所以我有意識的將題目按由易到難的順序分成了A、B、C三組，其中A組題是為學(xué)困生編寫(xiě)的；B組題絕大多數同學(xué)應該掌握；C組題難度稍大，但稍微動(dòng)一動(dòng)腦，也不是不能做出的，是為中上等同學(xué)準備的。
需要說(shuō)明的是：學(xué)生每做對一組題就可獲得一個(gè)滿(mǎn)分，教師此時(shí)巡視指導并及時(shí)評判各組當中做完的同學(xué)，而且不管是誰(shuí)只要做對了題，都可以為本組同學(xué)判題打分。這樣安排，使不同層次的學(xué)生都學(xué)有所得，調動(dòng)學(xué)生的學(xué)習熱情。
然后各組請代表說(shuō)明解題思路。熱身之后，出示例3：
【例3、已知⊙O的直徑為4cm，弦AB=，求∠OAB的度數】
1、選題意圖：在鞏固例2成果基礎之上，出示例3，是為了將解直角三角形與垂徑定理的知識銜接起來(lái)，使知識之間融匯貫通——你中有我，我中有你。
2、教學(xué)安排：
�、� 解決問(wèn)題：提問(wèn)：求角度問(wèn)題，可否通過(guò)解直角三角形的問(wèn)題解決？ 學(xué)生自然會(huì )聯(lián)想到構造直角三角形，進(jìn)而作出正確的輔助線(xiàn)。然后利用特殊角的三角函數值求出銳角的度數。學(xué)生展示成果后，教師出示完整解題格式，并追問(wèn)：還有沒(méi)有其它的解題方法？此時(shí) 圓的軸對稱(chēng)性可能有的學(xué)生通過(guò)得出弦心距的長(cháng)度，利用在直角三角形中，若一條直角邊等于斜邊一半，則該直角邊所對角為30°，亦可。教師要給予充分的肯定和鼓勵性評價(jià)。然后再通過(guò)一道證明題，
【練習：已知如圖，在以O為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點(diǎn)。 求證：AC=BD 】
再一次的鞏固垂徑定理及輔助線(xiàn)的做法。
�、� 反思拓展：在圓中，解有關(guān)弦的問(wèn)題時(shí)，常常需要作出“垂直于弦的直徑”作為輔助線(xiàn)，實(shí)際上，往往只需從圓心作弦的垂線(xiàn)段。
�。ㄎ澹┓此夹〗Y、布置作業(yè)
這個(gè)環(huán)節主要讓學(xué)生談?wù)劚竟澱n的收獲和體會(huì )。我根據情況適當補充。然后仍按照學(xué)生層次布置分層作業(yè)。這樣最大限度的調動(dòng)學(xué)生學(xué)習的積極性，使不同層次的學(xué)生都有所獲，在原有的基礎上得以發(fā)展、提高。
以上是我對本節課的說(shuō)明，不妥之處，敬請專(zhuān)家、評委指正。謝謝大家！
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