關(guān)于應用舉例的測試題

　　一、選擇題

　　1.飛機沿水平方向飛行，在處測得正前下方地面目標的俯角為，向前飛行米，到達處，此時(shí)測得目標的俯角為，這時(shí)飛機與地面目標的直線(xiàn)距離為( ).

　　A.米 B.米 C.米 D.米

　　考查目的：考查正弦定理的應用.

　　答案：B.

　　解析：如圖，在中，根據正弦定理得，解得(米).

　　2.某人向正東方向走，然后右轉，朝前走，結果他離出發(fā)點(diǎn)恰好，則的值為( ).

　　A. B. C.或 D.

　　考查目的：考查余弦定理、方程思想.

　　答案：C.

　　解析：根據余弦定理得，化簡(jiǎn)并整理得，解得或.

　　3. (由2010浙江文改編)在中，角所對的邊分別為，設為的面積，滿(mǎn)足，則角的大小為( ).

　　A. B. C.或 D.或

　　考查目的：考查余弦定理、三角形面積公式、三角變換等基礎知識.

　　答案：B

　　解析：∵，∴根據余弦定理和三角形面積公式得，∴，.

　　二、填空題

　　4.(2008江蘇卷)在中，若，，則的最大值是 .

　　考查目的：考查三角形面積公式、余弦定理以及函數思想．

　　答案：.

　　解析：設，則，根據面積公式得；根據余弦定理得，∴，

　　由三角形三邊關(guān)系有，解得，故當時(shí)，取得最大值.

　　5.(2011安徽理)已知的一個(gè)內角為，并且三邊長(cháng)構成公差為4的等差數列，則的面積為_(kāi)______________.

　　考查目的'：考查余弦定理、等差數列的概念及三角形面積公式.

　　答案：.

　　解析：根據題意，可設的三邊長(cháng)分別為，由得.由余弦定理得，解得(舍去)，∴

　　6.如圖，某炮兵陣地位于點(diǎn)，兩觀(guān)察所位于兩點(diǎn)，已知為正三角形，且，當目標出現在時(shí)，測得，則炮兵陣地與目標的距離約為 (精確到).

　　考查目的：考查利用正弦定理、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

　　答案：.

　　解析：如圖，，在中，由正弦定理得，∴.在中，，由余弦定理得

　　三、解答題：

　　7.(2007海南、寧夏)如圖，測量河對岸的塔高時(shí)，可以選與塔底在同一水平面內的兩個(gè)側點(diǎn)與．現測得，，并在點(diǎn)測得塔頂的仰角為，求塔高．

　　考查目的：考查正弦定理、直角三角形的邊角關(guān)系以及空間想象能力和運算求解能力.

　　答案：.

　　解析：在中，．由正弦定理得，∴.在中，．

　　8.(2010福建理)某港口要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上. 在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口北偏西且與該港口相距海里的處，并以海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛. 假設該小船沿直線(xiàn)方向以海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過(guò)小時(shí)與輪船相遇.

　�、湃粝Ｍ�相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？

　�、萍僭O小艇的最高航行速度只能達到海里/小時(shí)，試設計航行方案(即確定航行方向與航行速度的大小)，使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說(shuō)明理由.

　　考查目的：考查利用直角三角形的邊角關(guān)系、余弦定理解三角形，以及綜合運用知識分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.

　　答案：⑴海里/小時(shí)，⑵航行方向是北偏東，航行速度為海里/小時(shí).

　　解析：(方法一)⑴設相遇時(shí)小艇航行的距離為海里，則 ，∴當時(shí)，，此時(shí)，即小艇以海里/小時(shí)的速度航行，相遇時(shí)小艇的航行距離最小.

　�、圃O小艇與輪船在處相遇，則，∴. ∵，∴，即，解得.又∵時(shí)，，故時(shí)，取得最小值，且最小值等于.

　　此時(shí)，在中，有，故可設計航行方案如下：航行方向是北偏東，航行速度為海里/小時(shí)，這樣，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇.

　　(方法二)⑴若相遇時(shí)小艇的航行距離最小，又輪船沿正東方向勻速行駛，則小艇航行方向為正北方向，設小艇與輪船在處相遇. 在中，，；又，，此時(shí)，輪船航行時(shí)間，即小艇以海里/小時(shí)的速度航行，相遇時(shí)小艇的航行距離最小.

　�、撇孪霑r(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪船在處相遇，此時(shí).又∵，∴，解得.

　　據此可設計航行方案如下：航行方向為北偏東，航行速度的大小為海里/小時(shí)，這樣，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇. 證明如下：

　　如圖，由⑴得，故，且對于線(xiàn)段上任意點(diǎn)，有. 而小艇的最高航行速度只能達到海里/小時(shí)，故小艇與輪船不可能在，之間(包含)的任意位置相遇.

　　設，則在中，.由于從出發(fā)到相遇，輪船與小艇所需要的時(shí)間分別為和，∴，由此可得，.又∵，∴，從而，由于時(shí)，取得最小值，于是當時(shí)，取得最小值，且最小值為，故可設計航行方案如下：航行方向為北偏東，航行速度為海里/小時(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇.

　　(方法三)⑴同方法一或方法二.

　�、圃O小艇與輪船在處相遇，依題意得，∴.

　　(i)若，則由得，，∴.①當時(shí)，令，則，，當且僅當即時(shí)等號成立.

　�、诋敃r(shí)，同理可得. 由①②得，當時(shí)，.

　　(ii)若，則.

　　綜合(i)(ii)可知，當時(shí)，取最小值，此時(shí)，在中，，故可設計航行方案如下：航行方向為北偏東，航行速度為海里/小時(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇.

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