淺談立體幾何教學(xué)中學(xué)生綜合能力的培養教育論文
摘要：技校生學(xué)習立體幾何重點(diǎn)應放在培養綜合能力，即觀(guān)察能力、作圖能力和想象能力上。因為觀(guān)察是學(xué)好立體幾何的基礎，作圖是學(xué)好立體幾何的保證，想象是學(xué)好立體幾何的關(guān)鍵。
關(guān)鍵詞：立體幾何教學(xué)；能力培養
技校立體幾何課的教師都有這樣的體會(huì )：立體幾何課難教，學(xué)生不愛(ài)聽(tīng)，考試成績(jì)不理想。究其原因有多種，如初中平面幾何知識掌握得不扎實(shí)；學(xué)習方法和習慣不好；缺乏自我學(xué)習的能力等等。如何上好立體幾何課？筆者認為，針對技校生的特點(diǎn)，重點(diǎn)不要放在幾何的運算技巧而應放在培養學(xué)生的綜合能力，即觀(guān)察能力、作圖能力和想象能力上。使學(xué)生真正做到會(huì )看、會(huì )畫(huà)、會(huì )想，逐步形成新的心理習慣，使思維上升到自覺(jué)的水平。會(huì )看主要是讓學(xué)生排除干擾，形成習慣，掌握看立體圖的規律；會(huì )畫(huà)主要是掌握畫(huà)立體圖的原理、方法和技巧，形成心理適應能力，并善于構圖；會(huì )想就是指會(huì )在三維空間想象，突出想的范圍、想的方法和規律，善于把實(shí)物轉化為幾何模型，掌握立體幾何的思維規律。
觀(guān)察是學(xué)好立體幾何的基礎
觀(guān)察是發(fā)展數學(xué)表象思維的前提，而表象是在知覺(jué)的基礎上所形成的感性形象，即人在思想中形成的事物的印象，例如在知覺(jué)金字塔、帳蓬、鉛垂體的形象基礎上，概括出來(lái)的一般的錐體的感覺(jué)就是表象。更具體地說(shuō)，構成錐體的那些面、線(xiàn)在人腦的表征，就是一種數學(xué)表象。比如在立體幾何教學(xué)中，一談到“二面角”就能喚起主體頭腦中河流大壩或平緩的山坡；一講到斜線(xiàn)、射影，就會(huì )想起家鄉田野中的電線(xiàn)桿。學(xué)生的表象思維的形成有一個(gè)逐步產(chǎn)生、發(fā)展的自我建構空間概念的過(guò)程。從學(xué)習一開(kāi)始，學(xué)生就會(huì )努力通過(guò)自身觀(guān)察建構表象。隨著(zhù)學(xué)習的深入，通過(guò)對表象進(jìn)行加工、調整、積累、補充、修改、提煉，最后真正建構起完整準確的表象，即通過(guò)原有的表象對新表象的同化、順應，達到認知結構的平衡，取得良好的圖式。因此，在教學(xué)中，教師要引導學(xué)生多對現實(shí)事物進(jìn)行觀(guān)察，引導學(xué)生對圖形形成正確的表象，抓住圖形的形成特征與幾何結構、個(gè)別不同的各種表象，從而建立起學(xué)生自已的空間觀(guān)念。對于技校學(xué)生而言，由于許多專(zhuān)業(yè)課要求有一定的實(shí)際操作，對零部件有直觀(guān)的了解。所以在立體幾何教學(xué)中，培養學(xué)生觀(guān)察的能力是至關(guān)重要的。教師可以引導學(xué)生觀(guān)察教室內哪些是兩個(gè)平行平面，它們具有哪些特點(diǎn)，說(shuō)明為什么。學(xué)生通過(guò)對教室中墻面位置的觀(guān)察看到：（1）兩個(gè)平行平面沒(méi)有公共點(diǎn)。（因為如果有一個(gè)公共點(diǎn)它們就相交。）（2）一個(gè)平面的一條直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行。（天花板上的任一條直線(xiàn)與地面平行，不然兩個(gè)平面就有公共點(diǎn)了，就相交了。）（3）左右的墻與前面的墻相交，得到的兩條交線(xiàn)是平行的。（在教師的啟發(fā)下也很快得到證明。）（4）教室內能否找到兩條異面或平行的直線(xiàn)？（天花板墻面交線(xiàn)及地面與墻面的交線(xiàn)，墻面與墻面的交線(xiàn)中能夠尋找出空間兩條異面、平行、垂直、相交的直線(xiàn)。）（5）通過(guò)書(shū)本顯示二面角的特點(diǎn)。
當然，除了借助周?chē)鷮?shí)物來(lái)進(jìn)行觀(guān)察引導，還可以通過(guò)制作模型進(jìn)行觀(guān)察、分析，然后抽象概括出準確的概念。比如在三垂線(xiàn)教學(xué)中，做一個(gè)簡(jiǎn)單的模型，將一塊三角板的一條直角邊放在平面內，而另一條直角邊移動(dòng)成平面的斜線(xiàn)，讓學(xué)生觀(guān)察模型，可幫助學(xué)生理解和掌握三垂線(xiàn)定理。直觀(guān)教具的使用，能培養學(xué)生的探索精神，幫助學(xué)生發(fā)現并理解數學(xué)知識，有利于抽象思維能力的培養。然而，在實(shí)際授課中，由于班內學(xué)生人數多，用直觀(guān)教具很難使全體學(xué)生都能獲得模型的整體印象，可以通過(guò)多媒體展示立體幾何圖形，引導學(xué)生通過(guò)計算機觀(guān)察實(shí)物模型，幫助學(xué)生樹(shù)立空間概念。觀(guān)察是作圖、類(lèi)比、想象的基礎，通過(guò)觀(guān)察實(shí)物、模型能加強對空間圖形的直觀(guān)了解，對作圖、演算極為有益。但要注意的是，觀(guān)察的目的不是為了說(shuō)明存在相應概念的原委以及它的基本形狀，重要的是借此分析、概括出準確的概念。比如黑板代表平面，但要理解平面的“無(wú)限延展性”。
作圖是學(xué)好立體幾何的保證
掌握立體圖形的作圖方法，對后續學(xué)習有很大的幫助，如求體積和表面積、解析幾何、微積分以及專(zhuān)業(yè)課制圖的學(xué)習。技校生立體幾何掌握不好的一個(gè)很大因素是空間圖形不會(huì )做或作不準，教材中這部分內容所占的篇幅不大，主要介紹了水平放置的平面直觀(guān)圖畫(huà)法，然而一旦叫學(xué)生真的去畫(huà)三個(gè)平面相交圖，學(xué)生往往不知所措，學(xué)生作圖錯誤主要表現在以下三個(gè)方面：（1）畫(huà)圖特殊化。例如：兩條異面直線(xiàn)畫(huà)成如圖1所示，直線(xiàn)與平面相交畫(huà)成如圖2所示。（2）畫(huà)出圖形不直觀(guān)，虛線(xiàn)、實(shí)線(xiàn)畫(huà)不清楚。特別是在畫(huà)幾個(gè)平面相交時(shí)。（3）平面圖形與空間圖形混淆，把空間圖形畫(huà)成平面圖形。例如水平位置內的直角三角形、正三角形、圓都畫(huà)成正面圖了。
究其原因，主要是受“平面圖形”影響太深，沒(méi)有很好地區別平面圖形與空間圖形的不同；觀(guān)察不夠，缺乏空間想象能力。針對此種現象，教師要多示范、多練習，在學(xué)習立體幾何初期，在課堂上可做一定量的畫(huà)圖練習，通過(guò)反復練習，使學(xué)生迅速掌握畫(huà)圖方法。在畫(huà)比較復雜的直觀(guān)圖之前，應根據文字敘述或模型進(jìn)行一定的空間想象，構想出一幅直觀(guān)圖來(lái)，先畫(huà)個(gè)草圖，以確定圖形的形狀、大小和空間位置；再從圖中判別各元素的前后、左右等位置關(guān)系，分清哪些是可見(jiàn)的輪廓線(xiàn)，哪些不可見(jiàn)；然后再動(dòng)手正式畫(huà)直觀(guān)圖。畫(huà)圖的順序應是由前到后、由明到暗、先實(shí)后虛。為了培養學(xué)生空間想象力，教師可引導學(xué)生繪制正多面體圖形，在教科書(shū)上大多是正面與反面對稱(chēng)的圖形，容易看懂，容易畫(huà)出，不妨引導學(xué)生從不同的角度畫(huà)，先畫(huà)正四面體、正六面體然后嘗試畫(huà)正十二面體。 作圖并不是單純地將空間圖形在平面上顯示，有時(shí)需要結合點(diǎn)、線(xiàn)、面的基本概念。學(xué)生如果對這方面知識掌握不牢，遇到此類(lèi)作圖題時(shí)會(huì )感到“束手無(wú)策”，不知從哪著(zhù)手，不會(huì )想也不會(huì )做。教師可以指導學(xué)生自己動(dòng)手，在計算機上制作模型。這種做法可以加速培養學(xué)生的空間想象能力，同時(shí)也可以提高課內外練習的質(zhì)量。立體幾何的作圖，著(zhù)重于邏輯上的敘述，并不在于真實(shí)作圖。教師在計算機上邊講解邊作圖，能極大地提高學(xué)生的空間想象能力和畫(huà)圖能力，學(xué)生不會(huì )被課本上的所謂標準圖所束縛。
值得注意的是，立體幾何中的圖形只能畫(huà)出幾何體的直觀(guān)圖，它雖有立體感，卻不能完全真實(shí)地表現相應的幾何體，所以不能像平面幾何中的.圖形那樣給人以有效的直觀(guān)啟發(fā)，借助圖形去探索解（證）題就比較困難。學(xué)生不能從直觀(guān)圖直接看出有關(guān)相等線(xiàn)段與等角，往往習慣于從圖形中“直觀(guān)地”看到某些線(xiàn)段或角的“不等”而拒絕承認它們相等的事實(shí)。為此，要結合觀(guān)察實(shí)物模型來(lái)識別、分析立體圖形中各種元素。
想象是學(xué)好立體幾何的關(guān)鍵
空間想象能力就是對客觀(guān)事物的空間形式進(jìn)行觀(guān)察、分析和抽象思考的能力。要正確地把客觀(guān)事物的空間形式反映為數學(xué)中的幾何圖形，并通過(guò)對幾何圖形的分析和研究，理解客觀(guān)事物的空間形式的特征。學(xué)習立體幾何想象與思考是不可缺少的，當我們觀(guān)察周?chē)臻g形象時(shí)，自然會(huì )去類(lèi)比、想象這些空間現象有什么特征、規律。在教學(xué)中，教師尤其要重視培養學(xué)生的這種能力。
例如，我們通過(guò)觀(guān)察教室中線(xiàn)、面各種位置關(guān)系后，可以引導學(xué)生思考：（1）直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面、平面與平面之間沒(méi)有公共點(diǎn)就是平行，而平行就沒(méi)有公共點(diǎn)。這兩句話(huà)對嗎？為什么？這里突出直線(xiàn)與直線(xiàn)是在同一平面內沒(méi)有公共點(diǎn)才平行，而異面直線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)，但不在同一平面內。（2）直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面、平面與平面之間有一個(gè)公共點(diǎn)就相交，相交就有一個(gè)公共點(diǎn)。這兩句話(huà)對嗎？為什么？這里突出平面與平面有一個(gè)公共點(diǎn)就相交，且相交于過(guò)這點(diǎn)的一條直線(xiàn)，并指出公共點(diǎn)、公共直線(xiàn)的雙重性，以及交點(diǎn)交線(xiàn)在解決問(wèn)題中的重要性。（3）直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面、平面與平面之間有兩個(gè)公共點(diǎn)？它們的位置關(guān)系如何？這時(shí)兩條直線(xiàn)重合，直線(xiàn)在平面內，平面與平面就相交于過(guò)兩點(diǎn)的定直線(xiàn)。（4）如果平面與平面有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)位置關(guān)系如何？這里突出相交與重合兩種情況。通過(guò)引導學(xué)生觀(guān)察所學(xué)的直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面平行的判定，引出聯(lián)想問(wèn)題。
另外，立體幾何許多問(wèn)題可以歸結為平面問(wèn)題來(lái)解決。對于角的概念，我們要弄清平面上的角的定義是什么？有什么特點(diǎn)？異面直線(xiàn)所成的角、直線(xiàn)與平面所在角、平面與平面所成的角，它們都可以轉為平面上的角來(lái)計算。對于“二面角”的定義，為什么這樣定義？如何作“二面角”？這些都需要學(xué)生去思考和想象。
平面幾何的許多結論也可類(lèi)推到空間去。從平面幾何中兩直線(xiàn)的位置關(guān)系，類(lèi)推出空間兩直線(xiàn)的相互位置關(guān)系，再類(lèi)推出空間兩平面的相互關(guān)系。又從平行四邊形類(lèi)推平行六面體，從多邊形類(lèi)推出多面體，從圓類(lèi)推出球，等等。要學(xué)好立體幾何，上述種種問(wèn)題和思路都必須在教師的指導下進(jìn)行思索和想象，才能領(lǐng)會(huì )它的真諦。
“看、畫(huà)、想”是培養學(xué)生動(dòng)眼、動(dòng)手、動(dòng)腦的能力，但卻不是孤立的，而是同一過(guò)程的共同行為。只有觀(guān)察透了，才能對作圖做到心中有數；只有在頭腦中形成清晰的空間圖形，才能正確分析、思考、想象各元素之間的關(guān)系，進(jìn)而演繹和計算各種空間度量。對于數學(xué)基礎較差的技校生而言，提高觀(guān)察能力、作圖能力和想象能力是學(xué)好立體幾何的關(guān)鍵。
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