函數概念教學(xué)的幾點(diǎn)思考論文
摘 要：函數的概念及相關(guān)內容是高中和職業(yè)類(lèi)教材中非常重要的部分，許多學(xué)生認為這些內容比較抽象、難懂、圖像多，方法靈活多樣。以致部分學(xué)生對函數知識產(chǎn)生恐懼感。就教學(xué)過(guò)程中學(xué)生的反應和自己的反思，淺淡幾點(diǎn)自己的看法。
關(guān)鍵詞：函數；對應；映射；數形結合
1 要把握函數的實(shí)質(zhì)
17世紀初期，笛卡爾在引入變量概念之后，就有了函數的思想，把函數一詞用作數學(xué)術(shù)語(yǔ)的是萊布尼茲，歐拉在1734年首次用f(x)作為函數符號。關(guān)于函數概念有“變量說(shuō)”、“對應說(shuō)”、“集合說(shuō)”等。變量說(shuō)的定義是：設x、y是兩個(gè)變量，如果當變量x在實(shí)數的某一范圍內變化時(shí)，變量y按一定規律隨x的變化而變化。我們稱(chēng)x為自變量，變量y叫變量x的函數，記作y=f(x)。初中教材中的定義為：如果在某個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x、y，并且對于x在某個(gè)范圍內的每一個(gè)確定的值，按照某個(gè)對應法則，y都有唯一確定的值與之對應，那么y就是x的函數，x叫自變量，x的取值范圍叫函數的定義域，和x的值對應的y的值叫函數值，函數值的集合叫函數的值域。它的優(yōu)點(diǎn)是自然、形像和直觀(guān)、通俗地描述了變化，它致命的弊端就是對函數的實(shí)質(zhì)——對應缺少充分地刻畫(huà)，以致不能明確函數是x、y雙方變化的總體，卻把y定義成x的函數，這與函數是反映變量間的關(guān)系相悖，究竟函數是指f ，還是f(x)，還是y=f(x)?使學(xué)生不易區別三者的關(guān)系。
迪里赫萊（P.G .Dirichlet）注意到了“對應關(guān)系”，于1837年提出：對于在某一區間上的每一確定的x值，y都有一個(gè)或多個(gè)確定的值與之對應，那么y叫x的一個(gè)函數。19世紀70年代集合論問(wèn)世后，明確把集合到集合的單值對應稱(chēng)為映射，并把：“一切非空集合到數集的映射稱(chēng)為函數”，函數是映射概念的推廣。對應說(shuō)的優(yōu)點(diǎn)有：①它抓住了函數的實(shí)質(zhì)——對應，是一種對應法則。②它以集合為基礎，更具普遍性。③它將抽像的知識以模型并賦予生活化，比如：某班每一位同學(xué)與身高（實(shí)數）的對應；某班同學(xué)在某次測試的成績(jì)的對應；全校學(xué)生與某天早上吃的饅頭數的對應等都是函數。函數由定義域、值域、對應法則共同刻劃，它們相互獨立，缺一不可。這樣很明確的指出了函數的實(shí)質(zhì)。
對于集合說(shuō)是考慮到集合是數學(xué)中一個(gè)最原始的概念，而函數的定義里的“對應”卻是一個(gè)外加的形式，，似乎不是集合語(yǔ)言，1914年豪斯道夫（F.Hausdorff）采用了純集合論形式的定義：如果集合 f С{(x，y)|x∈A，y∈B}且滿(mǎn)足條件，對于每一個(gè)x∈A，若(x，y1) ∈f，(x，y2) ∈f，則y1=y2，這時(shí)就稱(chēng)集合f為A到B的一個(gè)函數。這里f為直積A×B={(x，y)|x∈A，y∈B}的一個(gè)特殊子集，而序偶（x，y）又是用集合定義的`：（x，y）＝{{x}，{x，y}}.定義過(guò)于形式化，它舍棄了函數關(guān)系生動(dòng)的直觀(guān)，既看不出對應法則的形式，更沒(méi)有解析式，不但不易為中學(xué)生理解，而且在推導中也不便使用，如此完全化的數學(xué)語(yǔ)言只能在計算機中應用。
2 加強數形結合
數學(xué)是人們對客觀(guān)世界定性把握和定量刻畫(huà)、逐漸抽像概括、形成方法和理論，并進(jìn)行廣泛應用的過(guò)程。在7—12年級所研究的函數主要是冪函數、指數函數、對數函數和三角函數，對每一類(lèi)函數都是利用其圖像來(lái)研究其性質(zhì)的，作圖在教學(xué)中顯得無(wú)比重要。我認為這一部分的教學(xué)要做到學(xué)生心中有形，函數圖像就相當于佛教教徒心中各種各樣的佛像，只要心中有形，函數性質(zhì)就比較直觀(guān)，處理問(wèn)題時(shí)就會(huì )得心應手。函數觀(guān)念和數形結合在數列及平面幾何中也有廣泛的應用。如函數y=log0.5|x2-x-12|單調區間，令t=|x2-x-12|=|(x-?)2-12.25|，t=0時(shí)，x=-3或x=4，知t函數的圖像是變形后的拋物線(xiàn)，其對稱(chēng)軸為x=?與x軸的交點(diǎn)是x=-3或x=4并開(kāi)口向上，其x∈(-3，4)的部分由x軸下方翻轉到x軸上方，再考慮對數函數性質(zhì)即可。又如：判定方程3x2+6x =1 x的實(shí)數根的個(gè)數，該方程實(shí)根個(gè)數就是兩個(gè)函數y=3x2+6x與y=1／x圖像的交點(diǎn)個(gè)數，作出圖像交點(diǎn)個(gè)數便一目了然。
3 將映射概念下放
就前面三種函數概念而言，能提示函數實(shí)質(zhì)的只有“對應說(shuō)”，如果在初中階段把“變量說(shuō)”的定義替換成“對應說(shuō)”的定義，可有以下優(yōu)點(diǎn)：⑴體現數學(xué)知識的系統性，也顯示出時(shí)代信息，為學(xué)生今后的學(xué)習作準備。⑵凸顯數學(xué)內容的生活化和現實(shí)性，函數是刻畫(huà)現實(shí)世界數量變化規律的數學(xué)模型。⑶變抽像內容形像化，替換后學(xué)生會(huì )感到函數概念不再那么抽像難懂，好像伸手會(huì )觸摸到一樣，身邊到處都有函數。學(xué)生就會(huì )感到函數不再那么可怕，它無(wú)非是一種映射。只需將集合論的初步知識下放一些即可，學(xué)生完全能夠接受，因為從小學(xué)第一學(xué)段就已接觸到集合的表示方法，第二學(xué)段已接觸到集合的運算，沒(méi)有必要作過(guò)多擔心。以前有人提出將概率知識下放的觀(guān)點(diǎn)，當時(shí)不也有人得出反對意見(jiàn)嗎？可現在不也下放到了小學(xué)嗎？如果能下放到初中，就使得知識體系更完備，銜接更自然，學(xué)生易于接受，學(xué)生就不會(huì )提出“到底什么是函數？”這樣的問(wèn)題。
4 區分函數與方程
盡管函數和方程都是反映量與量之間的關(guān)系，可函數反映的是變量和變量之間的關(guān)系，強調的是一個(gè)變量隨另一個(gè)變量的變化情況，從函數的角度來(lái)看，考慮的是x和y在各自取值范圍內，彼此間怎樣相互變化。而方程反映的是未知量和已知量之間的關(guān)系，等式F（x，y）=0是一個(gè)方程，只有在一定條件下才能確定為一個(gè)函數，從方程的角度來(lái)看，考慮的是x和y選取哪些數值時(shí)才能使等式成立，另一方面，如果變量x和y的函數關(guān)系可以用解析式y=f(x)表示，那就得到一個(gè)方程y-f(x)=0，它們是可以互相轉化的，有時(shí)用方程知識去研究函數，也常用函數知識去研究方程。
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