三角函數的教學(xué)設計范文（精選11篇）
作為一名為他人授業(yè)解惑的教育工作者，時(shí)常需要準備好教學(xué)設計，借助教學(xué)設計可以更大幅度地提高學(xué)生各方面的能力，從而使學(xué)生獲得良好的發(fā)展。我們該怎么去寫(xiě)教學(xué)設計呢？以下是小編收集整理的三角函數的教學(xué)設計范文，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。
三角函數的教學(xué)設計 1
(一)概念及其解析
這一欄目的要點(diǎn)是：闡述概念的內涵；在揭示內涵的基礎上說(shuō)明本課內容的核心所在；必要時(shí)要對概念在中學(xué)數學(xué)中的地位進(jìn)行分析；明確概念所反映的數學(xué)思想方法。在此基礎上確定教學(xué)重點(diǎn)。
概念
描述周期現象的數學(xué)模型，最基本而重要的背景：勻速圓周運動(dòng)。
定義域：(弧度制下)任意角的集合；對應法則：任意角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標為(x，y)，正弦函數為y=sinα，余弦函數為x=cosα；值域：[-1，1]。
概念解析
核心：對應法則。
思想方法：函數思想--一般函數概念的指導作用；形與數結合--象限角概念基礎上；模型思想--單位圓上的點(diǎn)隨角的變化而變化的規律的數學(xué)刻畫(huà)。
重點(diǎn)：理解任意角三角函數的對應法則--需要一定時(shí)間。
(二)目標和目標解析
一堂課的教學(xué)目標是教學(xué)目的的具體化，是教學(xué)活動(dòng)每一階段所要實(shí)現的教學(xué)結果，是衡量教學(xué)質(zhì)量的標準。當前，許多教師沒(méi)有意識到制定教學(xué)目標的重要性，他們往往只從“課標”或“教參”上抄錄，而且表述目標時(shí)，“八股”現象嚴重。我們主張，課堂教學(xué)目標不以“三維目標”(知識與技能、過(guò)程與方法、情感態(tài)度價(jià)值觀(guān))或“四維目標”(知識技能、數學(xué)思考、解決問(wèn)題、情感態(tài)度)分列，而以?xún)热菁坝蓛热莘从车乃枷敕椒檩d體，將數學(xué)能力、情感態(tài)度等隱性目標融于其中，并用了解、理解、掌握等及相應的行為動(dòng)詞經(jīng)歷、體驗、探究等表述目標，特別要闡明經(jīng)過(guò)教學(xué)，學(xué)生將有哪些變化，會(huì )做哪些以前不會(huì )做的事。
為了更加清晰地把握教學(xué)目標，以給課堂中教和學(xué)的行為做出準確定向，需要對教學(xué)目標中的關(guān)鍵詞進(jìn)行解析，即要解析了解、理解、掌握、經(jīng)歷、體驗、探究等的具體含義，其中特別要明確當前內容所反映的數學(xué)思想方法的教學(xué)目標。
教學(xué)目標：
理解任意角三角函數(正弦、余弦、正切)的定義。
目標解析：
(1)知道三角函數研究的'問(wèn)題；
(2)經(jīng)歷“單位圓法”定義三角函數的過(guò)程；
(3)知道三角函數的對應法則、自變量(定義域)、函數值(值域)；
(4)體會(huì )定義三角函數過(guò)程中的數形結合、數學(xué)模型、化歸等思想方法。
(三)教學(xué)問(wèn)題診斷分析
這一欄目的要點(diǎn)是：教師根據自己以往的教學(xué)經(jīng)驗，對學(xué)生認知狀況的分析，以及數學(xué)知識內在的邏輯關(guān)系，在思維發(fā)展理論的指導下，對本內容在教與學(xué)中可能遇到的困難進(jìn)行預測，并對出現困難的原因進(jìn)行分析。在上述分析的基礎上指出教學(xué)難點(diǎn)。
教學(xué)問(wèn)題診斷和教學(xué)難點(diǎn)：
認知基礎
(1)函數的知識--“理解三角函數定義”到底要理解什么?--三要素；
(2)銳角三角函數的定義--背景(直角三角形)、對應關(guān)系(角度 比值)、解決的問(wèn)題(解三角形)--側重幾何特性；
(3)任意角、弧度制、單位圓--在直角坐標系下討論問(wèn)題的經(jīng)驗，借助單位圓使問(wèn)題簡(jiǎn)化的經(jīng)驗。
認知分析
(1)三角函數是一類(lèi)特殊函數，“三角函數”是“函數”的下位概念，用“概念同化”方式學(xué)習，要理解“三要素”的具體內涵，其中核心是“對應法則”；
(2)從銳角三角函數到任意角三角函數，一種“形式推廣”，載體要從直角三角形過(guò)渡到直角坐標系，其核心是要明確用坐標定義三角函數的思想方法；
(3)體會(huì )將“任意點(diǎn)”化歸到“單位圓上的點(diǎn)”的意義--求簡(jiǎn)的思想。
教學(xué)難點(diǎn)
(1)先要在弧度制下(用單位圓的半徑度量角)實(shí)現角的集合與實(shí)數集的一一對應，再實(shí)現數到坐標的對應，不是直接的對應，會(huì )造成理解困難；
(2)銳角三角函數的“比值”過(guò)渡到坐標表示的比值，需要從函數角度重新認識問(wèn)題；
(3)求簡(jiǎn)到“單位圓上點(diǎn)的坐標”，思想方法深刻，學(xué)生不易理解。
(四)教學(xué)過(guò)程設計
在設計教學(xué)過(guò)程時(shí)，如下問(wèn)題需要予以關(guān)注：
強調教學(xué)過(guò)程的內在邏輯線(xiàn)索；
要給出學(xué)生思考和操作的具體描述；
要突出核心概念的思維建構和技能操作過(guò)程，突出思想方法的領(lǐng)悟過(guò)程分析；
以“問(wèn)題串”方式呈現為主，應當認真思考每一問(wèn)題的設計意圖、師生活動(dòng)預設，以及需要概括的概念要點(diǎn)、思想方法，需要進(jìn)行的技能訓練，需要培養的能力，等。
另外，要根據內容特點(diǎn)設計教學(xué)過(guò)程，如基于問(wèn)題解決的設計，講授式教學(xué)設計，自主探究式教學(xué)設計，合作交流式教學(xué)設計，等。
1.復習提問(wèn)
請回答下列問(wèn)題：
(1)前面學(xué)習了任意角，你能說(shuō)說(shuō)任意角概念與平面幾何中的角的概念有什么不同嗎?
(2)引進(jìn)象限角概念有什么好處?
(3)在度量角的大小時(shí)，弧度制與角度制有什么區別?
(4)我們是怎樣簡(jiǎn)化弧度制的度量單位的?
(設計意圖：從為學(xué)習三角函數概念服務(wù)的角度復習；關(guān)注的是思想方法。)
2.先行組織者
我們知道，函數是描述客觀(guān)世界變化規律的重要數學(xué)模型。例如指數函數描述了“指數爆炸”，對數函數描述了“對數增長(cháng)”等。圓周運動(dòng)是一種重要的運動(dòng)，其中最基本的是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)繞點(diǎn)O 做勻速圓周運動(dòng)，其變化規律該用什么函數模型描述呢?“任意角的三角函數”就是一個(gè)刻畫(huà)這種“周而復始”的變化規律的函數模型。
(設計意圖：解決“學(xué)習的必要性”問(wèn)題，明確要研究的問(wèn)題。)
3.概念教學(xué)過(guò)程
問(wèn)題1 對于三角函數我們并不陌生，初中學(xué)過(guò)銳角三角函數，你能說(shuō)說(shuō)它的自變量和對應關(guān)系各是什么嗎?任意畫(huà)一個(gè)銳角 α，你能借助三角板，根據銳角三角函數的定義找出sinα的值嗎?
(設計意圖：從函數角度重新認識銳角三角函數定義，突出“與點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)”。)
問(wèn)題2 你能借助象限角的概念，用直角坐標系中點(diǎn)的坐標表示銳角三角函數嗎?
(設計意圖：比值“坐標化”。)
問(wèn)題3 上述表達式比較復雜，你能設法將它化簡(jiǎn)嗎?
(設計意圖：為“單位圓法”作鋪墊。學(xué)生答出“取點(diǎn)P(x，y)使x2+y2=1”后追問(wèn)“為什么可以這樣做?)”
教師講授：類(lèi)比上述做法，設任意角α的終邊與單位圓交點(diǎn)為P(x，y)，定義正弦函數為y=sinα，余弦函數為x=cosα。
(設計意圖：“定義”是一種“規定”；把精力放在定義合理性的理解上。)
問(wèn)題4 你能說(shuō)明上述定義符合函數定義的要求嗎?
(設計意圖：讓學(xué)生用函數的三要素說(shuō)明定義的合理性，以此進(jìn)一步明確三角函數的對應法則、定義域和值域。)
例1 分別求自變量π/2，π，- π/3所對應的正弦函數值和余弦函數值。
(設計意圖：讓學(xué)生熟悉定義，從中概括出用定義解題的步驟。)
例2 角α的終邊過(guò)P(1/2， - /2)，求它的三角函數值。
4.概念的“精致”
通過(guò)概念的“精致”，引導學(xué)生認識概念的細節，并將新概念納入到概念系統中去，使學(xué)生全面理解三角函數概念。這里包括如下內容：
三角函數值的符號問(wèn)題；
終邊與坐標軸重合時(shí)的三角函數值；
終邊相同的角的同名三角函數值；
與銳角三角函數的比較：因襲與擴張；
從“形”的角度看三角函數--三角函數線(xiàn)，聯(lián)系的觀(guān)點(diǎn)；
終邊上任意一點(diǎn)的坐標表示的三角函數；
還可以引導學(xué)生思考三角函數的“多元聯(lián)系表示”，例如，把實(shí)數軸想象為一條柔軟的細線(xiàn)，原點(diǎn)固定在單位點(diǎn)A(1，0)，數軸的正半軸逆時(shí)針纏繞在單位圓上，負半軸順時(shí)針纏繞在單位圓上，那么數軸上的任意一個(gè)實(shí)數(點(diǎn))t 被纏繞到單位圓上的點(diǎn) P(cost，sint).
5.課堂小結
(1)問(wèn)題的提出--自然、水到渠成，思想高度--函數模型；
(2)研究的思想方法--與銳角三角函數的因襲與擴張的關(guān)系，化歸為最簡(jiǎn)單也是最本質(zhì)的模型，數形結合；
(3)歸納概括概念的內涵，明確自變量、對應法則、因變量；
(4)用概念作判斷的步驟、注意事項等。
(五)目標檢測設計
一般采用習題、練習的方式進(jìn)行檢測。要明確每一個(gè)(組)習題或練習的設計目的，加強檢測的針對性、有效性。練習應當由簡(jiǎn)單到復雜、由單一到綜合，循序漸進(jìn)地進(jìn)行。當前，要特別注意摒除“一步到位”的做法。過(guò)早給綜合題、難題有害無(wú)益，基礎不夠的題目更是貽害無(wú)窮。題目出不好、練習安排不合理是老師專(zhuān)業(yè)素養低的表現之一。
三角函數的教學(xué)設計 2
知識目標：
1.理解銳角的正弦函數、余弦函數、正切函數、余切函數的意義
2.會(huì )由直角三角形的邊長(cháng)求銳角的正、余弦，正、余切函數值
能力、情感目標：
1.經(jīng)歷由情境引出問(wèn)題，探索掌握數學(xué)知識，再運用于實(shí)踐過(guò)程，培養學(xué)生學(xué)數學(xué)、用數學(xué)的意識與能力。
2.體會(huì )數形結合的數學(xué)思想方法。
3.培養學(xué)生自主探索的精神，提高合作交流能力。
重點(diǎn)、難點(diǎn)：
1.直角三角形銳角三角函數的意義。
2.由直角三角形的邊長(cháng)求銳角三角函數值。
教學(xué)過(guò)程：
一、創(chuàng )設情境
前面我們利用相似和勾股定理解決一些實(shí)際問(wèn)題中求一些線(xiàn)段的長(cháng)度問(wèn)題。但有些問(wèn)題單靠相似與勾股定理是無(wú)法解決的。同學(xué)們放過(guò)風(fēng)箏嗎？你能測出風(fēng)箏離地面的高度嗎？
學(xué)生討論、回答各種方法。教師加以評論。
總結：前面我們學(xué)習了勾股定理，對于以上的問(wèn)題中，我們求的是BC的長(cháng)，而的AB的長(cháng)是可知的，只要知道AC的長(cháng)就可要求BC了，但實(shí)際上要測量AC是很難的。因此，我們換個(gè)角度，如果可測量出風(fēng)箏的線(xiàn)與地面的夾角，能不能解決這個(gè)問(wèn)題呢？學(xué)了今天這節課的內容，我們就可以很好地解決這個(gè)問(wèn)題了。
�。ㄓ梢粋�(gè)學(xué)生比較熟悉的事例入手，引起學(xué)生的學(xué)習興趣，調動(dòng)起學(xué)生的學(xué)習熱情。由此導入新課）
二、新課講述：
在Rt△ABC中與Rt△A1B1C1中∠C=90°, C1=90°∠A=∠A1，∠A的對邊、斜邊分別是BC、AB，∠A1的對邊、斜邊分別是B1C1、A1B2 （學(xué)生探索，引導學(xué)生積極思考，利用相似發(fā)現比值相等）
若在Rt△A2B2C2中，∠A2=∠A，那么
問(wèn)題1：從以上的探索問(wèn)題的過(guò)程，你發(fā)現了什么？（學(xué)生討論）
結論：這說(shuō)明在直角三角形中，只要一個(gè)銳角的.大小不變，那么無(wú)論這個(gè)直角三角形的大小如何，該銳角的對邊與斜邊的比值是一個(gè)固定值。
在一個(gè)直角三角形中，只要角的大小一定，它的對邊與斜邊的比值也就確定了，與這個(gè)角所在的三角形的大小無(wú)關(guān)，我們把這個(gè)比值叫做這個(gè)角的正弦，即∠A的正弦= ，記作sin A，也就是：sin A=
幾個(gè)注意點(diǎn)：
�、賡in A是整體符號，不能所把看成sinA；
�、谠谝粋�(gè)直角三角形中，∠A正弦值是固定的，與∠A的兩邊長(cháng)短無(wú)關(guān)，當∠A發(fā)生變化時(shí)，正弦值也發(fā)生變化；
�、踫in A表示用一個(gè)大寫(xiě)字母表示的一個(gè)角的正弦，對于用三個(gè)大寫(xiě)字母表示的角的正弦時(shí)，不能省略角的符號“∠”；例如表示“∠ABC”的正弦時(shí)，應該寫(xiě)成“sin∠ABC”；
�、� Sin A= 可看成一個(gè)等式。已知兩個(gè)量可求第三個(gè)量，因此有以下變形：a=csinA,c=
由此我們又可以知道，在直角三角形中，當一個(gè)銳角的大小保持不變時(shí)，這個(gè)銳角的鄰邊與斜邊、對邊與鄰邊、鄰邊與對邊的比值也是固定的。分別叫做余弦、正切、余切。
在Rt△ABC中
∠A的鄰邊與斜邊的比值是∠A的余弦，記作
∠A的對邊與鄰邊的比值是∠A的正切，記作
∠A的鄰邊與對邊的比值是∠A的余切，記作
�。ㄒ陨峡梢杂蓪W(xué)生自行看書(shū)，教師簡(jiǎn)單講述）
銳角三角函數：以上隨著(zhù)銳角A的角度變化，這些比值也隨著(zhù)發(fā)生變化。我們把sinA、csA、tanA、ctA統稱(chēng)為銳角∠A的三角函數
問(wèn)題2：觀(guān)察以上函數的比值，你能從中發(fā)現什么結論？
結論：
�、�、銳角三角函數值都是正實(shí)數；
�、�、0＜sinA＜1，0＜csA＜1；
�、�、tanActA=1。
三、實(shí)踐應用
例1 求出如圖所示的Rt△ABC中∠A的四個(gè)三角函數值
解
問(wèn)題3：以上例子中，若求sin B、tan B 呢？
問(wèn)題4：已知：在直角三角形ABC中，∠C=90，sin A=4/5，BC=12，求：AB和cs A
�。▎�(wèn)題3、4從實(shí)例加深學(xué)生對銳角三角函數的理解，以此再加以突破難點(diǎn)）
四、交流反思
通過(guò)這節課的學(xué)習，我們理解了在直角三角形中，當銳角一定時(shí)，它的對邊與斜邊、鄰邊與斜邊、對邊與鄰邊、鄰邊與對邊的比值是固定的，這幾個(gè)比值稱(chēng)為銳角三角函數，它反映的是兩條線(xiàn)段的比值；它提示了三角形中的邊角關(guān)系。
五、課外作業(yè)：
同步練習
三角函數的教學(xué)設計 3
一、銳角三角函數
正弦和余弦
第一課時(shí)：正弦和余弦（1）
教學(xué)目的
1、使學(xué)生了解本章所要解決的新問(wèn)題是：已知直角三角形的一條邊和另一個(gè)元素（一邊或一銳角），求這個(gè)直角三角形的其他元素。
2、使學(xué)生了解“在直角三角形中，當銳角A取固定值時(shí)，它的對邊與斜邊的比值也是一個(gè)固定值。
重點(diǎn)、難點(diǎn)、關(guān)鍵
1、重點(diǎn)：正弦的概念。
2、難點(diǎn)：正弦的概念。
3、關(guān)鍵：相似三角形對應邊成比例的性質(zhì)。
教學(xué)過(guò)程
一、復習提問(wèn)
1、什么叫直角三角形？
2、如果直角三角形ABC中∠C為直角，它的直角邊是什么？斜邊是什么？這個(gè)直角三角形可用什么記號來(lái)表示？
二、新授
1、讓學(xué)生閱讀教科書(shū)第一頁(yè)上的插圖和引例，然后回答問(wèn)題：
�。�1）這個(gè)有關(guān)測量的實(shí)際問(wèn)題有什么特點(diǎn)？（有一個(gè)重要的測量點(diǎn)不可能到達）
�。�2）把這個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉化為數學(xué)模型后，其圖形是什么圖形？（直角三角形）
�。�3）顯然本例不能用勾股定理求解，那么能不能根據已知條件，在地面上或紙上畫(huà)出另一個(gè)與它全等的直角三角形，并在這個(gè)全等圖形上進(jìn)行測量？（不一定能，因為斜邊即水管的長(cháng)度是一個(gè)較大的數值，這樣做就需要較大面積的平地或紙張，再說(shuō)畫(huà)圖也不方便。）
�。�4）這個(gè)實(shí)際問(wèn)題可歸結為怎樣的數學(xué)問(wèn)題？（在Rt△ABC中，已知銳角A和斜邊求∠A的對邊BC。）
但由于∠A不一定是特殊角，難以運用學(xué)過(guò)的定理來(lái)證明BC的長(cháng)度，因此考慮能否通過(guò)式子變形和計算來(lái)求得BC的值。
2、在RT△ABC中，∠C＝900，∠A＝300，不管三角尺大小如何，∠A的對邊與斜邊的比值都等于1／2，根據這個(gè)比值，已知斜邊AB的長(cháng)，就能算出∠A的對邊BC的長(cháng)。
類(lèi)似地，在所有等腰的那塊三角尺中，由勾股定理可得∠A的對邊／斜邊＝BC／AB＝BC／＝1／＝／2 這就是說(shuō)，當∠A＝450時(shí)，∠A的對邊與斜邊的比值等于／2，根據這個(gè)比值，已知斜邊AB的長(cháng)，就能算出∠A的對邊BC的長(cháng)。
那么，當銳角A取其他固定值時(shí)，∠A的對邊與斜邊的比值能否也是一個(gè)固定值呢？
�。ㄒ龑W(xué)生回答;在這些直角三角形中，∠A的對邊與斜邊的.比值仍是一個(gè)固定值。）
三、鞏固練習：
在△ABC中，∠C為直角。
1、如果∠A＝600，那么∠B的對邊與斜邊的比值是多少？
2、如果∠A＝600，那么∠A的對邊與斜邊的比值是多少？
3、如果∠A＝300，那么∠B的對邊與斜邊的比值是多少？
4、如果∠A＝450，那么∠B的對邊與斜邊的比值是多少？
四、小結
五、作業(yè)
1、復習教科書(shū)第1－3頁(yè)的全部?jì)热荨?/p>
2、選用課時(shí)作業(yè)設計。
三角函數的教學(xué)設計 4
一、案例實(shí)施背景
本節課是九年級解直角三角形講完后的一節復習課
二、本章的課標要求：
1、通過(guò)實(shí)例銳角三角函數(sinA、cosA、tanA)
2、知道特殊角的三角函數值
3、會(huì )使用計算器由已知銳角求它的三角函數值，已知三角函數值求它對應的銳角
4、能運用三角函數解決與直角三角形有關(guān)的簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題
此外，理解直角三角形中邊、角之間的關(guān)系會(huì )運用勾股定理、直角三角形的兩個(gè)銳角互余及銳角三角函數解直角三角形，進(jìn)一步感受數形結合的數學(xué)思想方法，通過(guò)對實(shí)際問(wèn)題的思考、探索，提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力和應用數學(xué)的意識。
三、課時(shí)安排：
1課時(shí)
四、學(xué)情分析：
本節是在學(xué)完本章的前提之下進(jìn)行的總復習，因此本節選取三個(gè)知識回顧和四個(gè)例題，使學(xué)生將有關(guān)銳角三角函數基礎知識條理化，系統化，進(jìn)一步培養學(xué)生總結歸納的能力和運用知識的能力
因此，本節的重點(diǎn)是通過(guò)復習，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì )知識之間的相互聯(lián)系，能夠很好地運用知識。進(jìn)一步體會(huì )三角函數在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用，從而發(fā)展數學(xué)的應用意識和解決問(wèn)題的能力
五、教學(xué)目標:
知識與技能目標
1、通過(guò)復習使學(xué)生將有關(guān)銳角三角函數基礎知識條理化，系統化
2、通過(guò)復習培養學(xué)生總結歸納的能力和運用知識的能力
過(guò)程與方法：
1、通過(guò)本節課的復習，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì )知識之間的相互聯(lián)系，能夠很好地運用知識
2、通過(guò)復習銳角三角函數，進(jìn)一步體會(huì )它在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用
情感、態(tài)度、價(jià)值觀(guān)
充分發(fā)揮學(xué)生的積極性，讓學(xué)生從實(shí)際運用中得到鍛煉和發(fā)展
六、重點(diǎn)難點(diǎn):
1.重點(diǎn)：銳角三角函數的定義;直角三角形中五個(gè)元素之間的相互聯(lián)系
2.難點(diǎn)：知識的深化與運用
七、教學(xué)過(guò)程:
知識回顧一：
(1) 在Rt△ABC中,C=90, AB=6，AC=3，則BC=_________,sinA=_________,cosA=______,tanA=______, A=_______, B=________.
知識回顧二：
(2) 比較大�。� sin50______sin70
cos50______cos70
tan50______tan70
知識回顧三：
(3)若A為銳角,且cos(A+15)= ,則A=________。
本環(huán)節的'設計意圖：通過(guò)三個(gè)小題目回顧：
1、銳角三角函數的定義：
在Rt△ABC中,C=90
銳角A的正弦、余弦、和正切統稱(chēng)A的銳角三角函數。
2、直角三角形的邊角關(guān)系：
(1)三邊之間的關(guān)系：
(2)銳角之間的關(guān)系：B=90
(3)邊角之間的關(guān)系：
sinA= cosA= tanA= sinB= cosB= tanB=
3、解直角三角形：
由直角三角形中的已知元素，求出所有未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形。
4、特殊角的三角函數值
三角函數
銳角A
sin A
cos A
tan A
30
45
60
5、銳角三角函數值的變化：
(1)當A為銳角時(shí),各三角函數值均為正數, 且
(2)當A為銳角時(shí)，sinA、tanA隨角度的增大而增大，cosA隨角度的增大而減小
例題解析
【例1】在⊿ABC中，AD是BC邊上的高，E是AC的中點(diǎn)，BC=14，AD=12，sinB=0.8，求DC及tanCDE。
解題反思：通過(guò)本題讓學(xué)生明白：
1、必須在直角三角形中求銳角的三角函數;
2、等角代換間接求解
【例2】要在寬為28m的海堤公路的路邊安裝路燈，路燈的燈臂AD長(cháng)3m，且與燈柱CD成120角，路燈采用圓錐形燈罩，燈罩的軸線(xiàn)AB與燈臂垂直，當燈罩的軸線(xiàn)通過(guò)公路路面的中線(xiàn)時(shí)，照明效果最理想，問(wèn)：應設計多高的燈柱，才能取得最理想的照明效果?
解題反思：通過(guò)本題讓學(xué)生知道解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)常分為以下幾個(gè)步驟：
�、倮砬孱}目所給信息條件和需要解決的問(wèn)題;
�、谕ㄟ^(guò)畫(huà)圖進(jìn)行分析，將實(shí)際問(wèn)題轉化為數學(xué)問(wèn)題;
�、鄹鶕苯侨切蔚倪吔顷P(guān)系尋找解決問(wèn)題的方法;
�、苷_進(jìn)行計算，寫(xiě)出答案。
【例3】一艘輪船以每小時(shí)30海里的速度向東北方向航行，當輪船在A(yíng)處時(shí)，從輪船上觀(guān)察燈塔S，燈塔S在輪船的北偏東75方向，航行12分鐘后，輪船到達B處，在B處觀(guān)察燈塔S，S恰好在輪船的正東方向，已知距離燈塔S8海里以外的海區為航行安全區域，問(wèn)：如果這艘輪船繼續沿東北方向航行，它是否安全?
解題反思：解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)常用的模型：
小結：
P93 例3
P94 檢測評估
教學(xué)反思：
銳角三角函數在解決現實(shí)問(wèn)題中有著(zhù)重要的作用，但是銳角三角函數首先是放在直角三角形中研究的，顯示的是邊角之間的關(guān)系。銳角三角函數值是邊與邊之間的比值，銳角三角函數溝通了邊與角之間的聯(lián)系，它是解直角三角形最有力的工具之一。
在今后教學(xué)過(guò)程中，自己還要多注意以下兩點(diǎn)：
(1)還要多下點(diǎn)工夫在如何調動(dòng)課堂氣氛，使語(yǔ)言和教態(tài)更加生動(dòng)上。初中學(xué)生的注意力還是比較容易分散的，興趣也比較容易轉移，因此，越是生動(dòng)形象的語(yǔ)言，越是寬松活潑的氣氛，越容易被他們接受。如何找到適合自己適合學(xué)生的教學(xué)風(fēng)格?或嚴謹有序，或生動(dòng)活潑，或詼諧幽默，或詩(shī)情畫(huà)意，或春風(fēng)細雨潤物細無(wú)聲，或激情飛揚，每一種都是教學(xué)魅力和人格魅力的展現。我將不斷摸索，不斷實(shí)踐。
(2)我將盡我可能站在學(xué)生的角度上思考問(wèn)題，設計好教學(xué)的每一個(gè)細節，上課前多揣摩。讓學(xué)生更多地參與到課堂的教學(xué)過(guò)程中，讓學(xué)生體驗思考的過(guò)程，體驗成功的喜悅和失敗的挫折，舍得把課堂讓給學(xué)生，讓學(xué)生做課堂這個(gè)小小舞臺的主角。而我將盡我最大可能在課堂上投入更多的情感因素，豐富課堂語(yǔ)言，使課堂更加鮮活，充滿(mǎn)人性魅力，下課后多反思，做好反饋工作，不斷總結得失，不斷進(jìn)步。只有這樣，才能真正提高課堂教學(xué)效率。
三角函數的教學(xué)設計 5
教學(xué)目的：
�、闭莆胀侨呛瘮档幕娟P(guān)系式，理解同角公式都是恒等式的特定意義；
2 通過(guò)運用公式的訓練過(guò)程，培養學(xué)生解決三角函數求值、化簡(jiǎn)、恒等式證明的解題技能，提高運用公式的靈活性；
3 注意運用數形結合的思想解決有關(guān)求值問(wèn)題；在解決三角函數化簡(jiǎn)問(wèn)題過(guò)程中，注意培養學(xué)生思維的靈活性及思維的深化；在恒等式證明的教學(xué)過(guò)程中，注意培養學(xué)生分析問(wèn)題的能力，從而提高邏輯推理能力。
教學(xué)重點(diǎn)：
同角三角函數的基本關(guān)系
教學(xué)難點(diǎn)：
(1)已知某角的一個(gè)三角函數值，求它的其余各三角函數值時(shí)正負號的選擇；
(2)三角函數式的化簡(jiǎn)；
(3)證明三角恒等式。
授課類(lèi)型：
新授課
知識回顧：
同角三角函數的基本關(guān)系公式:
典型例題：
例1．已知sin =2，求α的其余三個(gè)三角函數值
例2．已知： 且 ，試用定義求 的'其余三個(gè)三角函數值
例3．已知角 的終邊在直線(xiàn)=3x上，求sin 和cs 的值
說(shuō)明：已知某角的一個(gè)三角函數值，求該角的其他三角函數值時(shí)要注意：
(1)角所在的象限；
(2)用平方關(guān)系求值時(shí)，所求三角函數的符號由角所在的象限決定；
(3)若題設中已知角的某個(gè)三角函數值是用字母給出的，則求其他函數值時(shí)，要對該字母分類(lèi)討論
小結：
幾種技巧
課后作業(yè)：
板書(shū)設計（略）
三角函數的教學(xué)設計 6
教學(xué)目標：
掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的求值、化簡(jiǎn)、恒等證明;引導學(xué)生發(fā)現數學(xué)規律，讓學(xué)生體會(huì )化歸這一基本數學(xué)思想在發(fā)現中所起的作用，培養學(xué)生的創(chuàng )新意識
教學(xué)重點(diǎn)：
二倍角公式的推導及簡(jiǎn)單應用
教學(xué)難點(diǎn)：
理解倍角公式，用單角的三角函數表示二倍角的三角函數
教學(xué)過(guò)程：
�、�.課題導入
前一段時(shí)間，我們共同探討了和角公式、差角公式，今天，我們繼續探討一下二倍角公式。我們知道，和角公式與差角公式是可以互相化歸的.當兩角相等時(shí)，兩角之和便為此角的二倍，那么是否可把和角公式化歸為二倍角公式呢?請同學(xué)們試推。
先回憶和角公式
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
當α=β時(shí)，sin(α+β)=sin2α=2sinαcosα
即：sin2α=2sinαcosα(S2α)
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
當α=β時(shí)cos(α+β)=cos2α=cos2α-sin2α
即：cos2α=cos2α-sin2α(C2α)
tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ
當α=β時(shí)，tan2α=2tanα1-tan2α
�、�.講授新課
同學(xué)們推證所得結果是否與此結果相同呢?其中由于sin2α+cos2α=1，公式C2α還可以變形為：cos2α=2cos2α-1或：cos2α=1-2sin2α
同學(xué)們是否也考慮到了呢?
另外運用這些公式要注意如下幾點(diǎn)：
(1)公式S2α、C2α中，角α可以是任意角;但公式T2α只有當α≠π2 +kπ及α≠π4 +kπ2 (k∈Z)時(shí)才成立，否則不成立(因為當α=π2 +kπ，k∈Z時(shí)，tanα的值不存在;當α=π4 +kπ2 ，k∈Z時(shí)tan2α的.值不存在)。
當α=π2 +kπ(k∈Z)時(shí),雖然tanα的值不存在，但tan2α的值是存在的，這時(shí)求tan2α的值可利用誘導公式：
即：tan2α=tan2(π2 +kπ)=tan(π+2kπ)=tanπ=0
(2)在一般情況下，sin2α≠2sinα
例如：sinπ3 =32≠2sinπ6 =1;只有在一些特殊的情況下，才有可能成立[當且僅當α=kπ(k∈Z)時(shí)，sin2α=2sinα=0成立]。
同樣在一般情況下cos2α≠2cosαtan2α≠2tanα
(3)倍角公式不僅可運用于將2α作為α的2倍的情況，還可以運用于諸如將4α作為2α的2倍，將α作為 α2 的2倍，將 α2 作為 α4 的2倍，將3α作為 3α2 的2倍等等。
三角函數的教學(xué)設計 7
一、教學(xué)內容：三角函數
【結構】
二、要求
�。ㄒ唬├斫馊我饨堑母拍�、弧度的意義、正確進(jìn)行弧度與角度的換算；掌握任意角三角函數的定義、會(huì )利用單位圓中的三角函數線(xiàn)表示正弦、余弦、正切。
�。ǘ┱莆杖呛瘮倒降倪\用（即同角三角函數基本關(guān)系、誘導公式、和差及倍角公式）
�。ㄈ┠苷_運用三角公式進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數式的化簡(jiǎn)、求值和恒等式證明。
�。ㄋ模⿻�(huì )用單位圓中的三角函數線(xiàn)畫(huà)出正弦函數、正切函數的圖線(xiàn)、并在此基礎上由誘導公式畫(huà)出余弦函數的圖象、會(huì )用“五點(diǎn)法”畫(huà)出正弦函數、余弦函數及Y=Asin（ωx φ）的簡(jiǎn)圖、理解A、ω、 < 1271864542"> 的意義。
三、熱點(diǎn)分析
1. 近幾年高考對三角變換的考查要求有所降低，而對本章的內容的考查有逐步加強的趨勢，主要表現在對三角函數的圖象與性質(zhì)的考查上有所加強.
2. 對本章內容一般以選擇、填空題形式進(jìn)行考查，且難度不大，從xxxx年至xxxx年考查的內容看，大致可分為四類(lèi)問(wèn)題
�。�1）與三角函數單調性有關(guān)的問(wèn)題；
�。�2）與三角函數圖象有關(guān)的問(wèn)題；
�。�3）應用同角變換和誘導公式，求三角函數值及化簡(jiǎn)和等式證明的問(wèn)題；
�。�4）與周期有關(guān)的問(wèn)題
3. 基本的解題規律為：觀(guān)察差異（或角，或函數，或運算），尋找聯(lián)系（借助于熟知的公式、或技巧），分析綜合（由因導果或執果索因），實(shí)現轉化。解題規律：在三角函數求值問(wèn)題中的解題思路，一般是運用基本公式，將未知角變換為已知角求解；在最值問(wèn)題和周期問(wèn)題中，解題思路是合理運用基本公式將表達式轉化為由一個(gè)三角函數表達的形式求解。
4. 立足課本、抓好基礎。從前面敘述可知，我們已經(jīng)看到近幾年高考已逐步拋棄了對復雜三角變換和特殊技巧的考查，而重點(diǎn)轉移到對三角函數的圖象與性質(zhì)的考查，對基礎知識和基本技能的考查上來(lái)，所以在中首先要打好基礎。在考查利用三角公式進(jìn)行恒等變形的同時(shí)，也直接考查了三角函數的性質(zhì)及圖象的變換，可見(jiàn)高考在降低對三角函數恒等變形的要求下，加強了對三角函數性質(zhì)和圖象的考查力度。
四、復習建議
本章內容由于公式多，且習題變換靈活等特點(diǎn)，建議同學(xué)們復習本章時(shí)應注意以下幾點(diǎn)：
�。�1）首先對現有公式自己推導一遍，通過(guò)公式推導了解它們的內在聯(lián)系從而培養邏輯推理。
�。�2）對公式要抓住其特點(diǎn)進(jìn)行。有的公式運用一些順口溜進(jìn)行。
�。�3）三角函數是階段研究的一類(lèi)初等函數。故對三角函數的性質(zhì)研究應結合一般函數研究方法進(jìn)行對比。如定義域、值域、奇偶性、周期性、圖象變換等。通過(guò)與函數這一章的對比，加深對函數性質(zhì)的理解。但又要注意其個(gè)性特點(diǎn)，如周期性，通過(guò)對三角函數周期性的復習，類(lèi)比到一般函數的周期性，再結合函數特點(diǎn)的研究類(lèi)比到抽象函數，形成解決問(wèn)題的能力。
�。�4）由于三角函數是我們研究的一門(mén)基礎工具，近幾年高考往往考查知識網(wǎng)絡(luò )交匯處的知識，故學(xué)習本章時(shí)應注意本章知識與其它章節知識的聯(lián)系。如平面向量、參數方程、換元法、解三角形等。（20xx年高考應用題源于此）
�。�5）重視數學(xué)思想方法的復習，如前所述本章都以選擇、填空題形式出現，因此復習中要重視選擇、填空題的一些特殊解題方法，如數形結合法、代入檢驗法、特殊值法，待定系數法、排除法等。另外對有些具體問(wèn)題還需要掌握和運用一些基本結論。如：關(guān)于對稱(chēng)問(wèn)題，要利用y＝sinx的對稱(chēng)軸為x＝kπ＋ （k∈Z），對稱(chēng)中心為（kπ，0），（k∈Z）等基本結論解決問(wèn)題，同時(shí)還要注意對稱(chēng)軸與函數圖象的交點(diǎn)的縱坐標特征。在求三角函數值的問(wèn)題中，要學(xué)會(huì )用勾股數解題的方法，因為高題一般不能查表，給出的數都較特殊，因此主動(dòng)發(fā)現和運用勾股數來(lái)解題能起到事半功倍的效果。
�。�6）加強三角函數應用意識的訓練，1999年高考理科第20題實(shí)質(zhì)是一個(gè)三角問(wèn)題，由于考生對三角函數的概念認識膚淺，不能將以角為自變量的函數迅速與三角函數之間建立聯(lián)系，造成障礙，思路受阻實(shí)際上，三角函數是以角為自變量的函數，也是以實(shí)數為自變量的函數，它產(chǎn)生于生產(chǎn)實(shí)踐，是客觀(guān)實(shí)際的抽象，同時(shí)又廣泛地應用于客觀(guān)實(shí)際，故應培養實(shí)踐第一的.觀(guān)點(diǎn)�？傊�，三角部分的考查保持了內容穩定，難度穩定，題量穩定，題型穩定，考查的重點(diǎn)是三角函數的概念、性質(zhì)和圖象，三角函數的求值問(wèn)題以及三角變換的方法。
�。�7）變?yōu)橹骶�(xiàn)、抓好訓練。變是本章的主題，在三角變換考查中，角的變換，三角函數名的變換，三角函數次數的變換，三角函數式表達形式的變換等比比皆是，在訓練中，強化“變”意識是關(guān)鍵，但題目不可太難，較特殊技巧的題目不做，立足課本，掌握課本中常見(jiàn)問(wèn)題的解法，把課本中習題進(jìn)行歸類(lèi)，并進(jìn)行分析比較，尋找解題規律。針對高考中的題目看，還要強化變角訓練，經(jīng)常注意收集角間關(guān)系的觀(guān)察分析方法。另外如何把一個(gè)含有不同名或不同角的三角函數式化為只含有一個(gè)三角函數關(guān)系式的訓練也要加強，這也是高考的重點(diǎn)。同時(shí)應掌握三角函數與二次函數相結合的題目。
�。�8）在復習中，應立足基本公式，在解題時(shí)，注意在條件與結論之間建立聯(lián)系，在變形過(guò)程中不斷尋找差異，講究算理，才能立足基礎，發(fā)展能力，適應高考。
在本章內容中，高考試題主要反映在以下三方面：其一是考查三角函數的性質(zhì)及圖象變換，尤其是三角函數的最大值與最小值、周期。多數題型為選擇題或填空題；其次是三角函數式的恒等變形。如運用三角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值解決簡(jiǎn)單的綜合題等。除在填空題和選擇題出現外，解答題的中檔題也經(jīng)常出現這方面內容。
另外，還要注意利用三角函數解決一些應用問(wèn)題。
三角函數的教學(xué)設計 8
【教學(xué)目標：】
1．通過(guò)對初中銳角三角函數定義的回憶，掌握任意角三角函數的定義法，并掌握用單位圓中的有向線(xiàn)段表示三角函數值．
2．掌握已知角 終邊上一點(diǎn)坐標，求四個(gè)三角函數值．（即給角求值問(wèn)題）
【教學(xué)重點(diǎn)：】
任意角的三角函數的定義．
【教學(xué)難點(diǎn)：】
任意角的三角函數的定義，正弦、余弦、正切這三種三角函數的幾何表示．
【教學(xué)用具：】
直尺、圓規、投影儀．
【教學(xué)步驟：】
1．設置情境
角的范圍已經(jīng)推廣，那么對任一角 是否也能像銳角一樣定義其四種三角函數呢？本節課就來(lái)討論這一問(wèn)題．
2．探索研究
�。�1）復習回憶銳角三角函數
我們已經(jīng)學(xué)習過(guò)銳角三角函數，知道它們都是以銳角 為自變量，以比值為函數值，定義了角 的正弦、余弦、正切、余切的三角函數，本節課我們研究當角 是一個(gè)任意角時(shí)，其三角函數的定義及其幾何表示．
�。�2）任意角的三角函數定義
如圖1，設 是任意角， 的終邊上任意一點(diǎn) 的坐標是 ，當角 在第一、二、三、四象限時(shí)的情形，它與原點(diǎn)的距離為 ，則 ．
定義：①比值 叫做 的正弦，記作 ，即 ．
�、诒戎� 叫做 的余弦，記作 ，即 ．
圖1
�、郾戎� 叫做 的正切，記作 ，即 ．
同時(shí)提供顯示任意角的三角函數所在象限的課件
提問(wèn)：對于確定的角 ，這三個(gè)比值的大小和 點(diǎn)在角 的終邊上的位置是否有關(guān)呢？
利用三角形相似的知識，可以得出對于角 ，這三個(gè)比值的大小與 點(diǎn)在角 的終邊上的位置無(wú)關(guān)，只與角 的大小有關(guān)．
請同學(xué)們觀(guān)察當 時(shí)， 的終邊在 軸上，此時(shí)終邊上任一點(diǎn) 的橫坐標 都等于0，所以 無(wú)意義，除此之外，對于確定的角 ，上面三個(gè)比值都是惟一確定的．把上面定義中三個(gè)比的前項、后項交換，那么得到另外三個(gè)定義．
�、鼙戎� 叫做 的余切，記作 ，則 ．
�、荼戎� 叫做 的正割，記作 ，則 ．
�、薇戎� 叫做 的余割，記作 ，則 ．
可以看出：當 時(shí)， 的'.終邊在 軸上，這時(shí) 的縱坐標 都等于0，所以 與 的值不存在，當 時(shí)， 的值不存在，除此之外，對于確定的角 ，比值 ， ， 分別是一個(gè)確定的實(shí)數，所以我們把正弦、余弦，正切、余切，正割及余割都看成是以角為自變量，以比值為函數值的函數，以上六種函數統稱(chēng)三角函數．
�。�3）三角函數是以實(shí)數為自變量的函數
對于確定的角 ，如圖2所示， ， ， 分別對應的比值各是一個(gè)確定的實(shí)數，因此，正弦，余弦，正切分別可看成從一個(gè)角的集合到一個(gè)比值的集合的映射，它們都是以角為自變量，以比值為函數值的函數，當采用弧度制來(lái)度量角時(shí)，每一個(gè)確定的角有惟一確定的弧度數，這是一個(gè)實(shí)數，所以這幾種三角函數也都可以看成是以實(shí)數為自變量，以比值為函數值的函數．
即：實(shí)數→角（其弧度數等于這個(gè)實(shí)數）→三角函數值（實(shí)數）
�。�4）三角函數的一種幾何表示
利用單位圓有關(guān)的有向線(xiàn)段，作出正弦線(xiàn)，余弦線(xiàn)，正切線(xiàn)，如下圖3．
圖3
設任意角 的頂點(diǎn)在原點(diǎn) ，始邊與 軸的非負半軸重合，終邊與單位圓相交于點(diǎn) ，過(guò) 作 軸的垂線(xiàn)，垂足為 ；過(guò)點(diǎn) 作單位圓的切線(xiàn)，這條切線(xiàn)必然平行于軸，設它與角 的終邊（當 為第一、四象限時(shí)）或其反向延長(cháng)線(xiàn)（當 為第二、三象限時(shí)）相交于 ，當角 的終邊不在坐標軸上時(shí)，我們把 ， 都看成帶有方向的線(xiàn)段，這種帶方向的線(xiàn)段叫有向線(xiàn)段．由正弦、余弦、正切函數的定義有：
這幾條與單位圓有關(guān)的有向線(xiàn)段 叫做角 的正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)、正切線(xiàn)．當角 的終邊在 軸上時(shí)，正弦線(xiàn)、正切線(xiàn)分別變成一個(gè)點(diǎn)；當角 的終邊在 軸上時(shí)，余弦線(xiàn)變成一個(gè)點(diǎn)，正切線(xiàn)不存在．
�。�5）例題講評
三角函數的教學(xué)設計 9
一、教學(xué)內容：橢圓的方程
要求：理解橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)．
重點(diǎn)：橢圓的方程與幾何性質(zhì)．
難點(diǎn)：橢圓的方程與幾何性質(zhì)．
二、點(diǎn)：
1、橢圓的定義、標準方程、圖形和性質(zhì)
定 義
第一定義：平面內與兩個(gè)定點(diǎn) ）的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距
第二定義：
平面內到動(dòng)點(diǎn)距離與到定直線(xiàn)距離的比是常數e．（0
標準方程
焦點(diǎn)在x軸上
焦點(diǎn)在y軸上
圖 形
焦點(diǎn)在x軸上
焦點(diǎn)在y軸上
性 質(zhì)
焦點(diǎn)在x軸上
范 圍：
對稱(chēng)性： 軸、 軸、原點(diǎn)．
頂點(diǎn)： ， ．
離心率：e
概念：橢圓焦距與長(cháng)軸長(cháng)之比
定義式：
范圍：
2、橢圓中a，b，c，e的關(guān)系是：（1）定義：r1＋r2=2a
�。�2）余弦定理： ＋ －2r1r2cos（3）面積： = r1r2 sin ?2c y0 （其中P（ ）
三、基礎訓練：
1、橢圓 的標準方程為 ，焦點(diǎn)坐標是 ，長(cháng)軸長(cháng)為_(kāi)__2____，短軸長(cháng)為2、橢圓 的值是__3或5__；
3、兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標分別為 ___；
4、已知橢圓 上一點(diǎn)P到橢圓一個(gè)焦點(diǎn) 的距離是7，則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)5、設F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，B1B是短軸， ，則橢圓的離心率為6、方程 =10，化簡(jiǎn)的結果是 ；
滿(mǎn)足方程7、若橢圓短軸上的兩個(gè)三等分點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構成一個(gè)正方形，則橢圓的離心率為
8、直線(xiàn)y=kx－2與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓9、在平面直角坐標系 頂點(diǎn) ，頂點(diǎn) 在橢圓 上，則10、已知點(diǎn)F是橢圓 的右焦點(diǎn)，點(diǎn)A（4，1）是橢圓內的一點(diǎn)，點(diǎn)P（x，y）（x≥0）是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則 的最大值是 8 ．
【典型例題】
例1、（1）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標軸上，長(cháng)軸長(cháng)是短軸長(cháng)的3倍，短軸長(cháng)為4，求橢圓的方程．
解：設方程為 ．
所求方程為
�。�2）中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，右焦點(diǎn)到短軸端點(diǎn)的距離為2，到右頂點(diǎn)的距離為1，求橢圓的方程．
解：設方程為 ．
所求方程為（3）已知三點(diǎn)P，（5，2），F1 （-6，0），F2 （6，0）．設點(diǎn)P，F1，F2關(guān)于直線(xiàn)y=x的對稱(chēng)點(diǎn)分別為 ，求以 為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn) 的橢圓方程 ．
解：（1）由題意可設所求橢圓的標準方程為 ∴所以所求橢圓的標準方程為（4）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（ ， 1）的橢圓的標準方程．
解：設方程為
例2、如圖所示，我國發(fā)射的第一顆人造地球衛星運行軌道是以地心（地球的中心） 為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，已知它的近地點(diǎn)A（離地面最近的點(diǎn)）距地面439km，遠地點(diǎn)B（離地面最遠的點(diǎn)）距地面2384km，并且 、A、B在同一直線(xiàn)上，設地球半徑約為6371km，求衛星運行的軌道方程 （精確到1km）．
解：建立如圖所示直角坐標系，使點(diǎn)A、B、 在 軸上，則 =OA－O = A=6371＋439=6810
解得 =7782.5， =972.5
衛星運行的軌道方程為
例3、已知定圓
分析：由兩圓內切，圓心距等于半徑之差的絕對值 根據圖形，用符號表示此結論：
上式可以變形為 ，又因為 ，所以圓心M的軌跡是以P，Q為焦點(diǎn)的橢圓
解：知圓可化為：圓心Q（3，0），設動(dòng)圓圓心為 ，則 為半徑 又圓M和圓Q內切，所以 ，即 ，故M的軌跡是以P，Q為焦點(diǎn)的橢圓，且PQ中點(diǎn)為原點(diǎn)，所以 ，故動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是：
例4、已知橢圓的焦點(diǎn)是 ｜和｜（1）求橢圓的方程；
�。�2）若點(diǎn)P在第三象限，且∠ =120°，求 ．
選題意圖：綜合考查數列與橢圓標準方程的基礎知識，靈活運用等比定理進(jìn)行解題．
解：（1）由題設｜ ｜=2｜ ｜=4
∴ ， 2c=2， ∴ｂ=∴橢圓的方程為 ．
�。�2）設∠ ，則∠ =60°－θ
由正弦定理得：
由等比定理得：
整理得： 故
說(shuō)明：曲線(xiàn)上的點(diǎn)與焦點(diǎn)連線(xiàn)構成的三角形稱(chēng)曲線(xiàn)三角形，與曲線(xiàn)三角形有關(guān)的問(wèn)題常常借助正（余）弦定理，借助比例性質(zhì)進(jìn)行處理．對于第二問(wèn)還可用后面的幾何性質(zhì)，借助焦半徑公式余弦定理把P點(diǎn)橫坐標先求出來(lái)，再去解三角形作答
例5、如圖，已知一個(gè)圓的圓心為坐標原點(diǎn)，半徑為2，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)P向 軸作垂線(xiàn)段PP?@，求線(xiàn)段PP?@的中點(diǎn)M的軌跡（若M分 PP?@之比為 ，求點(diǎn)M的軌跡）
解：（1）當M是線(xiàn)段PP?@的中點(diǎn)時(shí)，設動(dòng)點(diǎn) ，則 的坐標為
因為點(diǎn) 在圓心為坐標原點(diǎn)半徑為2的圓上，所以有 所以點(diǎn)
�。�2）當M分 PP?@之比為 時(shí)，設動(dòng)點(diǎn) ，則 的坐標為
因為點(diǎn) 在圓心為坐標原點(diǎn)半徑為2的圓上，所以有 ，即所以點(diǎn)
例6、設向量 =（1， 0）， =（x＋m） ＋y =（x－m） ＋y ＋ （I）求動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡方程；
�。↖I）已知點(diǎn)A（－1， 0），設直線(xiàn)y= （x－2）與點(diǎn)P的軌跡交于B、C兩點(diǎn)，問(wèn)是否存在實(shí)數m，使得 ？若存在，求出m的值；若不存在，請說(shuō)明理由．
解：（I）∵ =（1， 0）， =（0， 1）， =6
上式即為點(diǎn)P（x， y）到點(diǎn)（－m， 0）與到點(diǎn)（m， 0）距離之和為6．記F1（－m， 0），F2（m， 0）（0
∴ PF1＋PF2=6＞F1F2
又∵x＞0，∴P點(diǎn)的軌跡是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓的右半部分．
∵ 2a=6，∴a=3
又∵ 2c=2m，∴ c=m，b2=a2－c2=9－m2
∴ 所求軌跡方程為 （x＞0，0＜m＜3）
�。� II ）設B（x1， y1），C（x2， y2），∴∴ 而y1y2= （x1－2）? （x2－2）
= [x1x2－2（x1＋x2）＋4]
∴ [x1x2－2（x1＋x2）＋4]
= [10x1x2＋7（x1＋x2）＋13]
若存在實(shí)數m，使得 成立
則由 [10x1x2＋7（x1＋x2）＋13]=
可得10x1x2＋7（x1＋x2）＋10=0 ①
再由
消去y，得（10－m2）x2－4x＋9m2－77=0 ②
因為直線(xiàn)與點(diǎn)P的軌跡有兩個(gè)交點(diǎn)．
所以
由①、④、⑤解得m2= ＜9，且此時(shí)△＞0
但由⑤，有9m2－77= ＜0與假設矛盾
∴ 不存在符合題意的實(shí)數m，使得
例7、已知C1： ，拋物線(xiàn)C2：（y－m）2=2px （p＞0），且C1、C2的公共弦AB過(guò)橢圓C1的右焦點(diǎn)．
�。á瘢┊擜B⊥x軸時(shí)，求p、m的`值，并判斷拋物線(xiàn)C2的.焦點(diǎn)是否在直線(xiàn)AB上；
�。á颍┤魀= ，且拋物線(xiàn)C2的焦點(diǎn)在直線(xiàn)AB上，求m的值及直線(xiàn)AB的方程．
解：（Ⅰ）當AB⊥x軸時(shí)，點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對稱(chēng)，所以m=0，直線(xiàn)AB的方程為x=1，從而點(diǎn)A的坐標為（1， ）或（1，－ ）．
∵點(diǎn)A在拋物線(xiàn)上，∴
此時(shí)C2的焦點(diǎn)坐標為（ ，0），該焦點(diǎn)不在直線(xiàn)AB上．
�。á颍┊擟2的焦點(diǎn)在A(yíng)B上時(shí)，由（Ⅰ）知直線(xiàn)AB的斜率存在，設直線(xiàn)AB的方程為y=k（x－1）．
由 （kx－k－m）2= ①
因為C2的焦點(diǎn)F（ ，m）在y=k（x－1）上．
所以k2x2－ （k2＋2）x＋ =0 ②
設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1＋x2=
由
�。�3＋4k2）x2－8k2x＋4k2－12=0 ③
由于x1、x2也是方程③的兩根，所以x1＋x2=
從而 = k2=6即k=±
又m=－ ∴m= 或m=－
當m= 時(shí)，直線(xiàn)AB的方程為y=－ （x－1）；
當m=－ 時(shí)，直線(xiàn)AB的方程為y= （x－1）．
例8、已知橢圓C： （a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，離心率為e．直線(xiàn)l：y=ex＋a與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A、B，M是直線(xiàn)l與橢圓C的一個(gè)公共點(diǎn)，P是點(diǎn)F1關(guān)于直線(xiàn)l的對稱(chēng)點(diǎn)，設 = ．
�。á瘢┳C明：（Ⅱ）若 ，△MF1F2的周長(cháng)為6，寫(xiě)出橢圓C的方程；
�。á螅┐_定解：（Ⅰ）因為A、B分別為直線(xiàn)l：y=ex＋a與x軸、y軸的交點(diǎn)，所以A、B的坐標分別是A（－ ，0），B（0，a）．
由 得 這里∴M = ，a）
即 解得
�。á颍┊� 時(shí)， ∴a=2c
由△MF1F2的周長(cháng)為6，得2a＋2c=6
∴a=2，c=1，b2=a2－c2=3
故所求橢圓C的方程為
�。á螅逷F1⊥l ∴∠PF1F2=90°＋∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有PF1=F1F2，即 PF1=C．
設點(diǎn)F1到l的距離為d，由
PF1= =得： =e ∴e2= 于是
即當（注：也可設P（x0，y0），解出x0，y0求之）
【模擬】
一、選擇題
1、動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn) 和 的距離的和為8，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為 （ ）
A、橢圓 B、線(xiàn)段 C、無(wú)圖形 D、兩條射線(xiàn)
2、設橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)F2作橢圓長(cháng)軸的垂線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是 （ ）
A、 C、2－ －1
3、（20xx年高考湖南卷）F1、F2是橢圓C： 的焦點(diǎn)，在C上滿(mǎn)足PF1⊥PF2的點(diǎn)P的個(gè)數為（ ）
A、2個(gè) B、4個(gè) C、無(wú)數個(gè) D、不確定
4、橢圓 的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，一直線(xiàn)過(guò)F1交橢圓于A(yíng)、B兩點(diǎn)，則△ABF2的周長(cháng)為 （ ）
A、32 B、16 C、8 D、4
5、已知點(diǎn)P在橢圓（x－2）2＋2y2=1上，則 的最小值為（ ）
A、 C、
6、我們把離心率等于黃金比 是優(yōu)美橢圓，F、A分別是它的左焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)，B是它的短軸的一個(gè)端點(diǎn)，則 等于（ ）
A、 C、
二、填空題
7、橢圓 的頂點(diǎn)坐標為 和 ，焦點(diǎn)坐標為 ，焦距為 ，長(cháng)軸長(cháng)為 ，短軸長(cháng)為 ，離心率為 ，準線(xiàn)方程為 ．
8、設F是橢圓 的右焦點(diǎn)，且橢圓上至少有21個(gè)不同的點(diǎn)Pi（i=1，2， ），使得FP1、FP2、FP3…組成公差為d的等差數列，則d的取值范圍是 ．
9、設 ， 是橢圓 的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且 ，則得 ．
10、若橢圓 =1的準線(xiàn)平行于x軸則m的取值范圍是
三、解答題
11、根據下列條件求橢圓的標準方程
�。�1）和橢圓 共準線(xiàn)，且離心率為 ．
�。�2）已知P點(diǎn)在以坐標軸為對稱(chēng)軸的橢圓上，點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離分別為 和 ，過(guò)P作長(cháng)軸的垂線(xiàn)恰好過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)．
12、已知 軸上的一定點(diǎn)A（1，0），Q為橢圓 上的動(dòng)點(diǎn)，求AQ中點(diǎn)M的軌跡方程
13、橢圓 的焦點(diǎn)為 =（3， －1）共線(xiàn)．
�。�1）求橢圓的離心率；
�。�2）設M是橢圓上任意一點(diǎn)，且 = 、 ∈R），證明 為定值．
【試題答案】
1、B
2、D
3、A
4、B
5、D（法一：設 ，則y=kx代入橢圓方程中得：（1＋2k2）x2－4x＋3=0，由△≥0得： ．法二：用橢圓的參數方程及三角函數的有界性求解）
6、C
7、（ ；（0， ）；6；10；8； ； ．
8、 ∪
9、
10、m＜ 且m≠0．
11、（1）設橢圓方程 ．
解得 ， 所求橢圓方程為（2）由 ．
所求橢圓方程為 的坐標為
因為點(diǎn) 為橢圓 上的動(dòng)點(diǎn)
所以有
所以中點(diǎn)
13、解：設P點(diǎn)橫坐標為x0，則 為鈍角．當且僅當 ．
14、（1）解：設橢圓方程 ，F（c，0），則直線(xiàn)AB的方程為y=x－c，代入 ，化簡(jiǎn)得：
x1x2=
由 =（x1＋x2，y1＋y2）， 共線(xiàn)，得：3（y1＋y2）＋（x1＋x2）=0，又y1=x1－c，y2=x2－c
∴ 3（x1＋x2－2c）＋（x1＋x2）=0，∴ x1＋x2=
即 = ，∴ a2=3b2
∴ 高中地理 ，故離心率e= ．
�。�2）證明：由（1）知a2=3b2，所以橢圓 可化為x2＋3y2=3b2
設 = （x2，y2），∴ ，∵M(jìn)∴ （ ）2＋3（ ）2=3b2
即： ）＋ （由（1）知x1＋x2= ，a2= 2，b2= c2．
x1x2= = 2
x1x2＋3y1y2=x1x2＋3（x1－c）（x2－c）
=4x1x2－3（x1＋x2）c＋3c2= 2－ 2＋3c2=0
又 =3b2代入①得
為定值，定值為1．
三角函數的教學(xué)設計 10
教學(xué)目的：
知識目標：1.理解三角函數定義. 三角函數的定義域，三角函數線(xiàn).
2.理解握各種三角函數在各象限內的符號.?
3.理解終邊相同的角的同一三角函數值相等.
能力目標：
1.掌握三角函數定義. 三角函數的定義域，三角函數線(xiàn).
2.掌握各種三角函數在各象限內的符號.?
3.掌握終邊相同的角的同一三角函數值相等.
授課類(lèi)型：復習課
教學(xué)模式：講練結合
教 具：多媒體、實(shí)物投影儀
教學(xué)過(guò)程：
一、復習引入：
1、三角函數定義. 三角函數的定義域，三角函數線(xiàn)，各種三角函數在各象限內的符號.誘導公式第一組.
2.確定下列各式的符號
(1)sin100°cs240° (2)sin5+tan5
3. .x取什么值時(shí), 有意義?
4．若三角形的兩內角，滿(mǎn)足sincs 0，則此三角形必為……（ ）
A銳角三角形 B鈍角三角形 C直角三角形 D以上三種情況都可能
5．若是第三象限角，則下列各式中不成立的是………………（ ）
A：sin+cs 0 B：tansin 0
C：csct 0 D：ctcsc 0
6．已知是第三象限角且，問(wèn)是第幾象限角？
二、講解新課：
1、求下列函數的定義域：
�。�1） ； （2）
2、已知 ，則為第幾象限角？
3、（1） 若θ在第四象限，試判斷sin(csθ)cs(sinθ)的符號；
�。�2）若tan(csθ)ct(sinθ)>0,試指出θ所在的象限，并用圖形表示出 的取值范圍.
4、求證角θ為第三象限角的.充分必要條件是
證明：必要性：∵θ是第三象限角，?
∴
充分性：∵sinθ＜0，∴θ是第三或第四象限角或終邊在ｙ軸的非正半軸上
∵tanθ＞0，∴θ是第一或第三象限角.?
∵sinθ＜0，tanθ＞0都成立.?
∴θ為第三象限角.?
5 求值：sin(-1320°)cs1110°+cs(-1020°)sin750°+tan495°．
三、鞏固與練習
1 求函數 的值域
2 設是第二象限的角，且 的范圍.
四、小結：
五、課后作業(yè)：
1、利用單位圓中的三角函數線(xiàn)，確定下列各角的.取值范圍：
(1) sinα
2、角α的終邊上的點(diǎn)P與A（a,b）關(guān)于x軸對稱(chēng) ，角β的終邊上的點(diǎn)Q與A關(guān)于直線(xiàn)=x對稱(chēng).求sinαescβ+tanαctβ+secαcscβ的值.
三角函數的教學(xué)設計 11
[教材分析]：
反三角函數的重點(diǎn)是概念，關(guān)鍵是反三角函數與三角函數之間的聯(lián)系與區別。內容上，自然是定義和函數性質(zhì)、圖象;教學(xué)方法上，著(zhù)重強調類(lèi)比和比較。
(1)立足課本、抓好基礎
現在高考非常重視三角函數圖像與性質(zhì)等基礎知識的考查，所以在學(xué)習中首先要打好基礎。
(2)三角函數的定義一定要清楚
我們在學(xué)習三角函數時(shí)，老師就會(huì )強調我們要把角放在平面直角坐標系中去討論。角的頂點(diǎn)放在坐標原點(diǎn)，始邊放在X的軸的正半軸上，這樣再強調六種三角函數只與三個(gè)量有關(guān):即角的終邊上任一點(diǎn)的橫坐標x、縱坐標y以及這一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r中取兩個(gè)量組成的比值，這里得強調一下，對于任意一個(gè)α一經(jīng)確定，它所對的.每一個(gè)比值是確定的，也就說(shuō)是它們之間滿(mǎn)足函數關(guān)系。并且三者的關(guān)系是，x2+y2=r2，x，y可以任意取值，r只能取正數。
(3)同角的三角函數關(guān)系
同角的三角函數關(guān)系可以分為平方關(guān)系：sin2α+cos2α=1、tan2α+1=sec2α、cotα2+1=csc2α，倒數關(guān)系：tanαcotα=1,商的關(guān)系:tanα=sinα/cosα等等,對于同角的三角函數，直接用三角函數的定義證明比較容易，記憶也比較方便，相關(guān)角的三角函數的關(guān)系可以分為終邊相同的角、終邊關(guān)于x軸對稱(chēng)的角、終邊關(guān)于直線(xiàn)y=x對稱(chēng)的角、終邊關(guān)于y軸對稱(chēng)的角、終邊關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)的角五種關(guān)系。
(4)加強三角函數應用意識
三角函數產(chǎn)生于生產(chǎn)實(shí)踐，也被廣泛應用與實(shí)踐，因此，應該培養我們對三角函數的應用能力。
如何學(xué)好高中三角函數的方法就是以上的四點(diǎn)，在這四點(diǎn)的基礎上大家可以尋找最適合自己的點(diǎn)側重去運用。
1教學(xué)目標
�、�:使學(xué)生理解直角三角形中五個(gè)元素的關(guān)系，會(huì )運用勾股定理，直角三角形的兩個(gè)銳角互余及銳角三角函數解直角三角形
�、�:通過(guò)綜合運用勾股定理，直角三角形的兩個(gè)銳角互余及銳角三角函數解直角三角形，逐步培養學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力. ⑶:滲透數形結合的數學(xué)思想，培養學(xué)生良好的`學(xué)習習慣.
2學(xué)情分析
學(xué)生在具備了解直角三角形的基本性質(zhì)后再對所學(xué)知識進(jìn)行整合后利用才學(xué)習直角三角形邊角關(guān)系來(lái)解直角三角形。所以以舊代新學(xué)生易懂能理解。
3重點(diǎn)難點(diǎn)
重點(diǎn)：直角三角形的解法
難點(diǎn)：三角函數在解直角三角形中的靈活運用以實(shí)例引入，解決重難點(diǎn)。
4教學(xué)過(guò)程
4.1第一學(xué)時(shí)教學(xué)活動(dòng)活動(dòng)1導入
一、復習舊知，引入新課
一、復習舊知，引入新課
1.在三角形中共有幾個(gè)元素? 2.直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B這五個(gè)元素間有哪些等量關(guān)系呢?
答：(1)、三邊之間關(guān)系：a2 +b2 =c2 (勾股定理) (2)、銳角之間關(guān)系：∠A+∠B=90° (3)、邊角之間關(guān)系
以上三點(diǎn)正是解的依據.
3、如果知道直角三角形2個(gè)元素，能把剩下三個(gè)元素求出來(lái)嗎?經(jīng)過(guò)討論得出解直角三角形的概念。
復習直角三角形的相關(guān)知識，以問(wèn)題引入新課
注重學(xué)生的參與，這個(gè)過(guò)程一定要學(xué)生自己思考回答，不能讓老師總結得結論。
PPT，使學(xué)生動(dòng)態(tài)的復習舊知
活動(dòng)2講授
二、例題分析教師點(diǎn)撥
例1在△ABC中，∠C為直角，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，且b=，a=，解這個(gè)直角三角形.例2在Rt△ABC中，∠B =35o，b=20，解這個(gè)直角三角形
活動(dòng)3練習
三、課堂練習學(xué)生展示
完成課本91頁(yè)練習
1、Rt△ABC中，若sinA= ,AB=10，那么BC=XXXXX，tanB=XXXXXX.
2、在Rt△ABC中，∠C=90°，a=，c=，解這個(gè)直角三角形.
3、如圖，在△ABC中，∠C=90°，sinA= AB=15，求△ABC的周長(cháng)和tanA的值
4、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=72°，c=14，解這個(gè)直角三角形(結果保留三位小數).
四、課堂小結
1)、邊角之間關(guān)系2)、三邊之間關(guān)系
3)、銳角之間關(guān)系∠A+∠B=90°.
4)、“已知一邊一角，如何解直角三角形?”
活動(dòng)5作業(yè)
五、作業(yè)設置
課本第96頁(yè)習題28.2復習鞏固第1題、第2題。
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