八年級數學(xué)教學(xué)設計
教學(xué)目標
1.使學(xué)生會(huì )分析和判斷一個(gè)多項式是否為完全平方式，初步掌握運用完全平方式把多項式分解因式的方法;
2.理解完全平方式的意義和特點(diǎn)，培養學(xué)生的判斷能力.
3.進(jìn)一步培養學(xué)生全面地觀(guān)察問(wèn)題、分析問(wèn)題和逆向思維的能力.
4.通過(guò)運用公式法分解因式的教學(xué)，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì )“把一個(gè)代數式看作一個(gè)字母”的換元思想。
教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)
重點(diǎn)：運用完全平方式分解因式.
難點(diǎn)：靈活運用完全平方公式公解因式.
教學(xué)過(guò)程設計
一、復習
1.問(wèn)：什么叫把一個(gè)多項式因式分解?我們已經(jīng)學(xué)習了哪些因式分解的方法?
答：把一個(gè)多項式化成幾個(gè)整式乘積形式，叫做把這個(gè)多項式因式分解.我們學(xué)過(guò)的因式分解的方法有提取公因式法及運用平方差公式法.
2.把下列各式分解因式：
(1)ax4-ax2 (2)16m4-n4.
解 (1) ax4-ax2=ax2(x2-1)=ax2(x+1)(x-1)
(2) 16m4-n4=(4m2)2-(n2)2
=(4m2+n2)(4m2-n2)
=(4m2+n2)(2m+n)(2m-n).
問(wèn)：我們學(xué)過(guò)的乘法公式除了平方差公式之外，還有哪些公式?
答：有完全平方公式.
請寫(xiě)出完全平方公式.
完全平方公式是：
(a+b)2=a2+2ab+b2, (a-b)2=a2-2ab+b2.
這節課我們就來(lái)討論如何運用完全平方公式把多項式因式分解.
二、新課
和討論運用平方差公式把多項式因式分解的思路一樣，把完全平方公式反過(guò)來(lái)，就得到
a2+2ab+b2=(a+b)2; a2-2ab+b2=(a-b)2.
這就是說(shuō)，兩個(gè)數的平方和，加上(或者減去)這兩個(gè)數的積的2倍，等于這兩個(gè)數的和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式，上面的兩個(gè)公式就是完全平方公式.運用這兩個(gè)式子，可以把形式是完全平方式的多項式分解因式.
問(wèn)：具備什么特征的多項是完全平方式?
答：一個(gè)多項式如果是由三部分組成，其中的兩部分是兩個(gè)式子(或數)的.平方，并且這兩部分的符號都是正號，第三部分是上面兩個(gè)式子(或數)的乘積的二倍，符號可正可負，像這樣的式子就是完全平方式.
問(wèn)：下列多項式是否為完全平方式?為什么?
(1)x2+6x+9; (2)x2+xy+y2;
(3)25x4-10x2+1; (4)16a2+1.
答：(1)式是完全平方式.因為x2與9分別是x的平方與3的平方，6x=2·x·3，所以
x2+6x+9=(x+3) .
(2)不是完全平方式.因為第三部分必須是2xy.
(3)是完全平方式.25x =(5x ) ，1=1 ，10x =2·5x ·1，所以
25x -10x +1=(5x-1) .
(4)不是完全平方式.因為缺第三部分.
請同學(xué)們用箭頭表示完全平方公式中的a，b與多項式9x2+6xy+y2中的對應項，其中a=?b=?2ab=?
答：完全平方公式為：
其中a=3x，b=y，2ab=2·(3x)·y.
例1 把25x4+10x2+1分解因式.
分析：這個(gè)多項式是由三部分組成，第一項“25x4”是(5x2)的平方，第三項“1”是1的平方，第二項“10x2”是5x2與1的積的2倍.所以多項式25x4+10x2+1是完全平方式，可以運用完全平方公式分解因式.
解25x4+10x2+1=(5x2)2+2·5x2·1+12=(5x2+1)2.
例2把1- m+ 分解因式.
問(wèn)：請同學(xué)分析這個(gè)多項式的特點(diǎn)，是否可以用完全平方公式分解因式?有幾種解法?
答：這個(gè)多項式由三部分組成，第一項“1”是1的平方，第三項“ ”是 的平方，第二項“- m”是1與m/4的積的2倍的相反數，因此這個(gè)多項式是完全平方式，可以用完全平方公式分解因式.
解法1 1- m+ =1-2·1· +( )2=(1- )2.
解法2 先提出 ，則
1- m+ = (16-8m+m2)
= (42-2·4·m+m2)
= (4-m)2.
三、課堂練習(投影)
1.填空：
(1)x2-10x+()2=()2;
(2)9x2+()+4y2=()2;
(3)1-()+m2/9=()2.
2.下列各多項式是不是完全平方式?如果是，可以分解成什么式子?如果不是，請把多
項式改變?yōu)橥耆椒绞?
(1)x2-2x+4;(2)9x2+4x+1;(3)a2-4ab+4b2;
(4)9m2+12m+4; (5)1-a+a2/4.
3.把下列各式分解因式：
(1)a2-24a+144;(2)4a2b2+4ab+1;
(3)19x2+2xy+9y2; (4)14a2-ab+b2.
答案：
1.(1)25，(x-5) 2;(2)12xy，(3x+2y) 2;(3)2m/3，(1-m3)2.
2.(1)不是完全平方式，如果把第二項的“-2x”改為“-4x”，原式就變?yōu)閤2-4x+4，它是完全平方式;或把第三項的“4”改為1，原式就變?yōu)閤2-2x+1，它是完全平方式.
(2)不是完全平方式，如果把第二項“4x”改為“6x”，原式變?yōu)?x2+6x+1，它是完全平方式.
(3)是完全平方式，a2-4ab+4b2=(a-2b)2.
(4)是完全平方式，9m2+12m+4=(3m+2) 2.
(5)是完全平方式，1-a+a2/4=(1-a2)2.
3.(1)(a-12) 2;(2)(2ab+1) 2;
(3)(13x+3y) 2;(4)(12a-b)2.
四、小結
運用完全平方公式把一個(gè)多項式分解因式的主要思路與方法是：
1.首先要觀(guān)察、分析和判斷所給出的多項式是否為一個(gè)完全平方式，如果這個(gè)多項式是一個(gè)完全平方式，再運用完全平方公式把它進(jìn)行因式分解.有時(shí)需要先把多項式經(jīng)過(guò)適當變形，得到一個(gè)完全平方式，然后再把它因式分解.
2.在選用完全平方公式時(shí)，關(guān)鍵是看多項式中的第二項的符號，如果是正號，則用公式a2+2ab+b2=(a+b) 2;如果是負號，則用公式a2-2ab+b2=(a-b) 2.
五、作業(yè)
把下列各式分解因式：
1.(1)a2+8a+16;(2)1-4t+4t2;
(3)m2-14m+49; (4)y2+y+1/4.
2.(1)25m2-80m+64; (2)4a2+36a+81;
(3)4p2-20pq+25q2; (4)16-8xy+x2y2;
(5)a2b2-4ab+4; (6)25a4-40a2b2+16b4.
3.(1)m2n-2mn+1; (2)7am+1-14am+7am-1;
4.(1) x -4x; (2)a5+a4+ a3.
答案：
1.(1)(a+4)2; (2)(1-2t)2;
(3)(m-7) 2; (4)(y+12)2.
2.(1)(5m-8) 2; (2)(2a+9) 2;
(3)(2p-5q) 2;(4)(4-xy) 2;
(5)(ab-2) 2; (6)(5a2-4b2) 2.
3.(1)(mn-1) 2
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