試論數學(xué)教學(xué)設計理念的更新策略

　　數學(xué)教學(xué)的成功與否與數學(xué)教學(xué)設計的優(yōu)劣密切相關(guān),數學(xué)教學(xué)設計則往往取決于數學(xué)教學(xué)理念,數學(xué)教學(xué)理念是數學(xué)教學(xué)設計的“導航儀”.時(shí)下,新的課程改革也在不斷影響著(zhù)人們的教學(xué)理念,尤其是教師的數學(xué)觀(guān)、數學(xué)學(xué)習觀(guān)、數學(xué)教學(xué)觀(guān).我國學(xué)生的數學(xué)基礎扎實(shí)有余卻創(chuàng )造力不足——張奠宙老師稱(chēng)之為“花崗巖的基礎上蓋茅草房”[1]的現象著(zhù)實(shí)讓所有的數學(xué)教育工作者擔心,我們出于研究教學(xué)設計的需要,查閱了不少中學(xué)數學(xué)教學(xué)設計,發(fā)現一些老師的教學(xué)設計往往被應試教育這一“緊箍咒”束縛,一定程度上影響了他們的教學(xué)理念.限于篇幅,我們僅例舉部分中學(xué)數學(xué)教學(xué)設計中所反映出來(lái)的教學(xué)理念并提出我們的一些想法.

　　一、結論與過(guò)程的傾斜

　　“重結論,輕過(guò)程”似乎成為人們對知識教學(xué)進(jìn)行批評的常用詞,我們在不少的場(chǎng)合及雜志上遇到過(guò),甚至出現了有些極端的口號:“知識僅為思維的載體,知識不重要,重要的在于過(guò)程.”仔細思考一下,發(fā)現問(wèn)題并非那么簡(jiǎn)單.教師在教學(xué)設計時(shí),對數學(xué)過(guò)程及結論是需要一個(gè)抉擇的,里面也充滿(mǎn)著(zhù)設計者的智慧!

　　案例1 立方體表面展開(kāi)圖的教學(xué)設計

　　我們查閱了不少的資料,也聽(tīng)過(guò)一些老師的課.發(fā)現一些老師在立方體表面展開(kāi)圖的教學(xué)設計中,把立方體展開(kāi)圖各種可能的情況都羅列出來(lái),然后讓學(xué)生觀(guān)察展開(kāi)圖的規律,最后用一句口訣:“‘一四一’‘一三二’,‘一’在同層可任意;‘三個(gè)二’,成階梯,‘二個(gè)三’,‘日’狀連;整體無(wú)‘田’.”來(lái)概括,并且要求學(xué)生記住.我們想:“觀(guān)察立方體的表面展開(kāi)圖并下結論無(wú)可厚非,記住就免了!”理由有兩個(gè):一是學(xué)生即使記不住,看到展開(kāi)圖想象一下就可以了;二是試題是多變的,假如考到一個(gè)無(wú)蓋的立方體展開(kāi)圖,一些靠死記硬背的學(xué)生恐怕就“沒(méi)轍”了!

　　其實(shí),在數學(xué)教學(xué)過(guò)程中,數學(xué)結論與過(guò)程的抉擇有四種:一是數學(xué)結論與過(guò)程并重,例如圓周角定理,它的發(fā)現與結論都很重要;二是知識產(chǎn)生的過(guò)程相對不重要但知識本身作為結論的作用則要重要一些.例如,有些數學(xué)名詞的由來(lái),一些教師即使不清楚也不太會(huì )影響教學(xué).另外,有些數學(xué)知識形成過(guò)程非常復雜,超越學(xué)生的能力,暫時(shí)不讓學(xué)生知道其形成過(guò)程是完全可以的,也是教學(xué)的一種策略.例如,為什么是無(wú)理數?圓錐側面為什么可以展開(kāi)成平面圖形而球面則不可以?等等.三是知識產(chǎn)生的過(guò)程重要但知識本身作為結論的作用則相對不重要.中學(xué)生所做的練習(包括證明題)大部分都是為鞏固知識、訓練技能、培養能力服務(wù)的,教師教學(xué)設計關(guān)注的應該是其過(guò)程,而對這些習題(本身也是知識)的結論關(guān)注度就要相對弱些,除非某些習題的結論具有“特殊的用途”.四是知識產(chǎn)生的過(guò)程和知識本身作為結論的作用都相對不重要.陳省身先生在回答梁東元的提問(wèn)時(shí)說(shuō):“舉個(gè)例子,大家也許知道有個(gè)拿破侖定理,據說(shuō)這個(gè)定理和拿破侖有點(diǎn)關(guān)系,它的意思是說(shuō),任何一個(gè)三角形,各邊上各作等邊三角形,接下來(lái)將這三個(gè)三角形的重心聯(lián)結起來(lái),那么就必定是一個(gè)等邊的三角形,各邊上的等邊三角形也可以朝里面作,于是可以得到兩個(gè)解.像這樣的數學(xué),就不是好的數學(xué),為什么?因為它難以有進(jìn)一步的發(fā)展.”[2]我們認為,凡是數學(xué)都需要“人在動(dòng)腦筋”,都具有“訓練思維的作用”,但對學(xué)生而言,應該讓他們學(xué)習一些對培養他們的思維和能力具有很強遷移效果且結論對后續知識及現實(shí)實(shí)際都有重大作用的數學(xué):(1)結論并不重要的數學(xué)知識對以后學(xué)習起不了多少平臺作用,就像陳省身所說(shuō)的,“難以有進(jìn)一步的發(fā)展.”記住反而加重記憶負擔;(2)過(guò)程不重要,有些甚至使學(xué)生對數學(xué)產(chǎn)生誤解.例如,觀(guān)察數列的前五項,寫(xiě)出這個(gè)數列的第六項:61,52,63,94,46,答案是18.理由是把這個(gè)數列的每一項數碼的個(gè)位數與十位數對調:16,25,36,49,64,按照這個(gè)規律,接下去是81,然后調換個(gè)位數與十位數,即得答案.按照現在時(shí)髦的語(yǔ)言,這是“腦筋急轉彎”!我們認為,這種“整人的數學(xué)”還是少出現為妙!這種數學(xué)或許可以作為一種“茶余飯后”的'“游戲數學(xué)”但不能成為數學(xué)教學(xué)的主角.

　　二、宏觀(guān)與微觀(guān)的協(xié)調

　　在閱讀一些教學(xué)設計時(shí),我們發(fā)現“宏觀(guān)思維”的培養設計存在明顯的不足,往往讓學(xué)生在學(xué)習數學(xué)上出現只見(jiàn)樹(shù)木不見(jiàn)森林的結局.我們經(jīng)常在聽(tīng)完一些老師的授課后,詢(xún)問(wèn)學(xué)生:“為什么要學(xué)習本節課的內容?”非常遺憾:經(jīng)常出現絕大多數學(xué)生回答不出來(lái)的尷尬局面!得到的答案要么是“課本里有!”“老師叫學(xué)就學(xué)!”“考試有用!”等,或者干脆就搖搖頭:“不知道!”

　　案例2 整式的教學(xué)設計

　　新課程改革的一個(gè)很大的特點(diǎn)就是教材中的每一章甚至每一節中都有一個(gè)導言,而有些老師往往“性子急”,對這個(gè)導言(這個(gè)導言其實(shí)往往是從宏觀(guān)思維到微觀(guān)思維的引導)經(jīng)常視而不見(jiàn),起始就把學(xué)生往細節上引導.這種做法對學(xué)生宏觀(guān)的思維培養很不利,而宏觀(guān)把握是一個(gè)人聰明才智的一個(gè)很重要特征,忽視不得!

　　三、感性與理性的抉擇

　　數學(xué)教學(xué)講究理性,但不否認感性,尤其是數學(xué)靈感.靈感在數學(xué)發(fā)現中所起的作用我們不再細述,數學(xué)史上很多重大發(fā)現與靈感有著(zhù)千絲萬(wàn)縷的關(guān)系,而數學(xué)靈感的培養純粹靠數學(xué)推理的訓練來(lái)達到目的恐怕少有人贊同.新課程強調數學(xué)直覺(jué)思維的培養,為此,針對中學(xué)數學(xué)的教學(xué)內容,教師必須對感性與理性的培養設計有一個(gè)清醒的認識和合理的安排.

　　案例3 勾股定理的教學(xué)設計

　　勾股定理的教學(xué)設計一直是我們數學(xué)教師喜歡討論的重要課題,我們也閱讀了不少關(guān)于勾股定理的教學(xué)設計,發(fā)現不少老師是先創(chuàng )設一個(gè)關(guān)于直角三角形三邊長(cháng)的問(wèn)題情境(比如:一棵樹(shù)半腰處被雷劈折但未完全斷開(kāi),樹(shù)尖觸地,留余部分長(cháng)為4米,被劈折部分長(cháng)5米,樹(shù)尖觸地點(diǎn)距樹(shù)根部恰好是3米),要求學(xué)生算這三邊的平方(或者算以這三邊分別為三個(gè)正方形邊長(cháng)的三個(gè)正方形面積),并問(wèn)它們之間有什么關(guān)系(有的老師甚至要求學(xué)生把兩條直角邊的平方和算出來(lái)并和斜邊的平方進(jìn)行比較),以期引導學(xué)生自己發(fā)現勾股定理.這種煞費苦心的設計似乎想培養學(xué)生的運算、推理及發(fā)現的能力,但我們認為這是對數學(xué)靈感的“不尊”,也對學(xué)生的發(fā)現能力培養起不到多少作用.因為沒(méi)有教師的引導,學(xué)生根本想不到去關(guān)注直角三角形三邊的平方關(guān)系.在查閱一些教學(xué)設計中,我們隱約感覺(jué)到目前似乎存在這樣的一種認識:數學(xué)發(fā)現都是有章可循的.其實(shí),關(guān)于數學(xué)靈感還有很多方面我們目前仍無(wú)法解釋.我們大家應該有這樣的一種體會(huì ):一些問(wèn)題當我們自己解決后,人家問(wèn)我們是如何找到解決方案的,我們自己可能也講不清楚,因為它是屬于“靈光一現的產(chǎn)物”.試想,一些前人都講不清楚自己是如何發(fā)現的東西,在后人的教育中似乎一切都順理成章,這是否是教育成功的表現?

　　我們認為,數學(xué)學(xué)科的教學(xué)設計有時(shí)應該向語(yǔ)文、歷史等學(xué)科學(xué)習,語(yǔ)文老師絕對不會(huì )把李白的詩(shī)詞“剖析”得似乎是很自然、應該寫(xiě)得出的事情,而是和學(xué)生一起欣賞李白的詩(shī)詞,努力帶領(lǐng)學(xué)生去體會(huì )李白當時(shí)醉酒寫(xiě)詩(shī)的意境,邊欣賞邊引導學(xué)生反思和感悟如何寫(xiě)好一首詩(shī),因為語(yǔ)文老師深知李白自己可能也不知道自己在幾乎醉酒狀態(tài)下是如何寫(xiě)出這些流傳千古的詩(shī)詞.受此啟發(fā),我們覺(jué)得,數學(xué)中有很多發(fā)現及采取構造性證明的數學(xué)問(wèn)題(很多數學(xué)名題正是因為它很難發(fā)現或很難證明而出名的,如勾股定理、韋達定理、多面體的歐拉公式等)的教學(xué)策略,應該與語(yǔ)文、歷史等學(xué)科一樣引導學(xué)生欣賞的同時(shí),讓學(xué)生帶著(zhù)仰慕的心情在欣賞前人勤勞和聰明才智的同時(shí)鼓勵學(xué)生積極反思.

　　勾股定理的教學(xué)真正是集靈感欣賞與邏輯推理的“一道數學(xué)文化教育的大餐”:從設計一定邏輯關(guān)聯(lián)(也是教育學(xué)生研究問(wèn)題的科學(xué)方法)開(kāi)始,提出即將要研究的問(wèn)題,從對前人勞動(dòng)的欣賞到引導學(xué)生進(jìn)行猜測與反思,無(wú)不顯示著(zhù)教學(xué)設計者的數學(xué)教育觀(guān)念和聰明才智.也有學(xué)者通過(guò)文化視角審視勾股定理的設計[3],讓我們耳目一新,值得我們借鑒.

　　四、發(fā)現與技能的博弈

　　“發(fā)現”與“技能”似乎不是在“同一個(gè)范疇”上的用詞,但在課堂教學(xué)中,它們往往存在著(zhù)時(shí)間上的“博弈”.荷蘭數學(xué)家和數學(xué)教育家弗賴(lài)登塔爾提倡“再創(chuàng )造教學(xué)”,指出我們數學(xué)教學(xué)應該像數學(xué)家發(fā)現數學(xué)一樣讓學(xué)生經(jīng)歷這一發(fā)現過(guò)程,但在有限的教學(xué)時(shí)間內,到底是需要讓學(xué)生經(jīng)歷這一發(fā)現過(guò)程還是騰出更多的時(shí)間讓學(xué)生訓練數學(xué)技能?這往往是我們教師在教學(xué)設計上不得不考慮的一個(gè)問(wèn)題.

　　案例4 圓周角定理的教學(xué)設計

　　“圓周角定理”的教學(xué)被一些老師稱(chēng)為“數學(xué)教學(xué)的一道大餐”,因為它涵蓋了數學(xué)發(fā)現、數學(xué)技能形成的“整個(gè)過(guò)程”,這道“大餐”往往被要求“在一節課內完成”,這堂課有兩個(gè)難點(diǎn):一是圓周角定理的發(fā)現;二是圓周角定理的證明.這兩個(gè)環(huán)節都需要相當時(shí)間和一定的教學(xué)技巧.這迫使一些老師進(jìn)行抉擇:到底哪個(gè)更重要?從理論上講,發(fā)現一個(gè)問(wèn)題比解決一個(gè)問(wèn)題更重要,一個(gè)人若發(fā)現能力得到加強,那他將終生受用,但是,數學(xué)技能的形成卻是眼前的需要,甚至是急需.或許有人會(huì )說(shuō):“這兩者不一定是矛盾的雙方.”我們也無(wú)意讓這兩者成為“對立派”,但在有限的教學(xué)時(shí)間內,不同的教師由于觀(guān)念的差異往往在時(shí)間的分配上會(huì )有所博弈.有的老師就干脆先給出圓周角的概念,然后用幾何畫(huà)板邊演示邊問(wèn)學(xué)生:“圓周角的頂點(diǎn)在圓周上移動(dòng)的時(shí)候,圓周角大小有什么變化?”得到的答案自然是“沒(méi)有變化!”甚至是“等于同弧所對的圓心角的一半.”我們認為,這種設計表面上也有“發(fā)現”過(guò)程的設計,而且“很順”,節省了時(shí)間!其實(shí),這無(wú)助于學(xué)生發(fā)現問(wèn)題能力的提高!

　　假如我們肯在培養學(xué)生發(fā)現數學(xué)問(wèn)題能力上花時(shí)間,或許這樣的設計思路可以一試:教師先在引導學(xué)生回顧圓心角的概念后,問(wèn):“假如我們把圓心角的頂點(diǎn)移動(dòng),角度大小是否會(huì )發(fā)生變化?”當得到學(xué)生的肯定回答后,教師順勢引導:“我們能否把這些角分分類(lèi)?”在學(xué)生得出“依據頂點(diǎn)在圓內、圓上、圓外進(jìn)行分類(lèi)”的時(shí)候,教師繼續追問(wèn):“它們各自的變化范圍是什么?”顯然,圓周角定理這一美妙的結果自然吸引了學(xué)生的眼球!這里還自然引發(fā)了幾個(gè)副產(chǎn)品:“圓內角、圓外角能否可以繼續研究?它們能否與所‘截’的兩弧的度數有關(guān)?”“當我們移動(dòng)圓心角頂點(diǎn)的時(shí)候,這樣的角不能稱(chēng)圓心角了,但它的大小是否一定會(huì )發(fā)生變化?不會(huì )發(fā)生變化的點(diǎn)的軌跡是什么?”盡管這種設計也有教師的“引導因素”,但,這種設計無(wú)疑讓學(xué)生領(lǐng)悟到一些數學(xué)發(fā)現的“再創(chuàng )造過(guò)程”.

　　假如,我們用再創(chuàng )造的眼光來(lái)審視我們的教學(xué)設計,會(huì )發(fā)現一些過(guò)程“很需要時(shí)間”.在我國,更多的教師愿意在數學(xué)技能形成中花時(shí)間,而對數學(xué)發(fā)現的“再創(chuàng )造過(guò)程”在“博弈”中處于時(shí)間劣勢.我們認為,重視數學(xué)技能的形成無(wú)可厚非,但有時(shí)我們對數學(xué)發(fā)現的“再創(chuàng )造過(guò)程”可以在“設計”上動(dòng)一些腦筋,比如:采取督促反思的手段就是一個(gè)不錯的選擇,即在課堂小結的時(shí)候,可以布置思考題:“同學(xué)們,你們知道我們今天為什么對圓周角感興趣嗎?猜猜看,人類(lèi)是怎么發(fā)現圓周角定理的?請查閱相關(guān)資料,下節課談一下你的猜想和認識.”

　　以上是我們在閱讀一些中學(xué)教學(xué)設計的時(shí)候所產(chǎn)生的一些想法.其實(shí),教師的教學(xué)觀(guān)念與教師對數學(xué)及數學(xué)教學(xué)的眼界及境界密切相關(guān).加強專(zhuān)業(yè)學(xué)習,提高數學(xué)修養是正確教學(xué)觀(guān)念形成的重要一環(huán),或許,本文只是我們眼界不高的“陋想”,至于在具體教學(xué)過(guò)程中如何操作,期待更多的討論。

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