《三角形內角和》教學(xué)課件

　　教學(xué)目標：

　　1、通過(guò)直觀(guān)操作的方法，探索并發(fā)現三角形內角和等于180。在實(shí)驗活動(dòng)中，體驗探索的過(guò)程和方法。

　　2、能應用三角形內角和的性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。

　　教學(xué)過(guò)程：

　　這是我上的一節研究課，這節課過(guò)去好久了，每當我靜下心來(lái)，總是能感受到學(xué)生思考的氣息，我不知道用什么樣的方式記錄學(xué)生靈動(dòng)的智慧和敏銳的思考力。每當我和別人交流的時(shí)候，我的眼睛里總是閃著(zhù)光，說(shuō)話(huà)的聲音自然就提高了，然后就會(huì )沉浸在學(xué)生思考的快樂(lè )之中。

　　朋友都說(shuō)我是個(gè)教育癡，我的幸福來(lái)自于學(xué)生的思考和快樂(lè )，在這個(gè)案例的描述中大家能感受到學(xué)生的思維狀態(tài)給我們的課堂帶來(lái)的挑戰與生機。

　　對于三角形內角和是多少度，學(xué)生是不陌生的。因為學(xué)生有前面認識角的基礎和提前預習的習慣。在了解學(xué)生學(xué)習情況的基礎上，我的教學(xué)思路是：交流驗證問(wèn)題結論。

　　果然不出我所料，幾乎所有的學(xué)生都能清楚地說(shuō)出三角形三個(gè)內角的和是180，在這個(gè)過(guò)程中學(xué)生知道了內角這個(gè)概念，但是他們卻不知道怎樣才能得出三角形的內角和是180。于是，我提出研究的問(wèn)題：驗證三角形的內角和是180。

　　在學(xué)生研究前，我們簡(jiǎn)單交流了驗證的方法以及合作學(xué)習的要求。這個(gè)過(guò)程主要是給學(xué)生提供研究的方法和合作時(shí)需要注意的規則，每個(gè)小組可以選擇一種或者幾種方法進(jìn)行驗證。在每個(gè)小組的成員進(jìn)行分工交流后，大家開(kāi)始研究了，我留給學(xué)生的時(shí)間是8分。

　　學(xué)生的研究開(kāi)始了，一個(gè)個(gè)儼然是小科學(xué)家，積極主動(dòng)，非常投入。課堂中少了一份喧鬧，多了一份沉靜和思考，偶爾會(huì )有一兩個(gè)同學(xué)的爭論聲，在這輕聲的辯論中，學(xué)生的思維在研究中不斷地進(jìn)行碰撞。

　　在小組合作學(xué)習的時(shí)候，我輕輕地走進(jìn)每一個(gè)小組，尋找需要我幫助的小組和解決問(wèn)題的地方，我發(fā)現大部分小組能很好地進(jìn)行合作，在組長(cháng)的帶領(lǐng)下進(jìn)行有效的小組學(xué)習和交流。其中第2小組，不知道用什么方法驗證，我給他們提供了方法，進(jìn)行指導后，小組學(xué)習進(jìn)入正常的軌道。之后，我進(jìn)入了需要我參與的第5小組，這個(gè)小組存在的問(wèn)題是組長(cháng)不停地指責組員做得不好，組員在組長(cháng)的埋怨聲中不知所措。我加入這個(gè)小組后，首先幫助他們確定驗證的方法，給每個(gè)人分工，然后和他們一起用測量的方法進(jìn)行驗證。

　　現在我們一起來(lái)分享來(lái)自學(xué)生的精彩。

　　畫(huà)一個(gè)更小的三角形

　　一個(gè)小組用量的方法，即用量角器分別量出三角形的三個(gè)內角的度數，把它們加起來(lái)大約是180。他們的測量結果如下：

　　這個(gè)小組在交流的時(shí)候，首先說(shuō)明了大小鈍角三角形指的是形狀的'大小，接著(zhù)根據測量結果得出了一個(gè)結論：大的三角形內角和比180大，小的三角形內角和比180小。這個(gè)小組的意見(jiàn)有一個(gè)小組贊成。

　　話(huà)音未落，周啟航站起來(lái)說(shuō)，這個(gè)結論還需要驗證，請再畫(huà)一個(gè)更小的三角形試一試。他邊說(shuō)邊在黑板上畫(huà)了個(gè)很小的銳角三角形，大家屏住呼吸看著(zhù)他測量，最后得出測量的結果是184，結論推翻。周啟航得意洋洋地回到了座位，這時(shí)候，問(wèn)題又出現了。

　　周啟航，請問(wèn)你為什么說(shuō)結論推翻了呢?

　　我覺(jué)得這個(gè)結論只要舉出一個(gè)不正確的例子，就可以知道它是不對的，就可以推翻。

　　大家點(diǎn)頭表示同意周啟航的說(shuō)法，這種數學(xué)學(xué)習思路很重要，我及時(shí)和學(xué)生討論，讓他們體會(huì )在驗證某一結論是否正確的時(shí)候，一個(gè)正例是不夠的，但是一個(gè)反例就可以推翻一個(gè)結論。

　　我追問(wèn)學(xué)生還有沒(méi)有別的問(wèn)題，學(xué)生搖頭，看來(lái)學(xué)生還沒(méi)有意識到這是誤差造成的原因，也沒(méi)有提出三角形的內角和到底是多少度的問(wèn)題。也就是說(shuō)，這個(gè)小組的測量結果，對學(xué)生頭腦中原有的三角形內角和是180的印象沒(méi)有造成任何的沖突。我想，這個(gè)問(wèn)題先放一下，我期望隨著(zhù)研究的深入他們會(huì )自然意識到。因為教師需要給學(xué)生的思維提供一個(gè)發(fā)展的空間。

　　我怎么折不成呢

　　接下來(lái)，我們一起研究了折的方法。一個(gè)小組在實(shí)物展臺上用等邊三角形進(jìn)行對折，折出三角形三個(gè)內角在一條直線(xiàn)上，驗證了三角形的內角和是180，針對這個(gè)小組的交流，我提出了能不能用這種對折的方法驗證所有的三角形內角和都是180呢?下面的同學(xué)用自己剪的三角形紙進(jìn)行操作，教室里除了折紙的聲音，非常安靜。

　　突然，劉青小聲嘀咕了一句：我怎么折不成呢，對折后它們每?jì)蓚�(gè)角之間都有縫隙。她的這一聲引起了大家的共鳴，很多同學(xué)點(diǎn)頭同意。

　　我在試教的過(guò)程中，就遇到了這個(gè)問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題很難處理，很多老師建議我省掉這一環(huán)節，或者是我在前面做一個(gè)示范就可以了，不要學(xué)生動(dòng)手折，這樣就不會(huì )出現問(wèn)題了。我想這是學(xué)生學(xué)習和研究的好機會(huì )，老師不能為了上課而上課，回避學(xué)生容易出現的問(wèn)題，于是我保留這個(gè)環(huán)節，讓學(xué)生動(dòng)手折一折，體驗這種方法的直觀(guān)性。

　　對我來(lái)說(shuō)，這個(gè)原因很清楚，如果不能準確地找到三角形的中位線(xiàn)，就會(huì )很容易出現上面存在的問(wèn)題。對于學(xué)生來(lái)說(shuō)，先找中位線(xiàn)，再進(jìn)行對折，驗證三角形的內角和是180，卻不是一件容易的事情，因為學(xué)生對中位線(xiàn)的概念沒(méi)有準確的認識。針對學(xué)生的這個(gè)特點(diǎn)，我不用語(yǔ)言的講解，而是結合教材中折的方法，利用多媒體課件進(jìn)行直觀(guān)演示。讓學(xué)生在仔細觀(guān)察、用心體悟的基礎上，動(dòng)手操作，只要學(xué)生能用自己的語(yǔ)言描述清楚就可以了，不要求用程式化的語(yǔ)言。

　　教材中的結論錯了

　　再一起交流撕的方法，即把三角形三個(gè)內角撕下來(lái)拼在一起形成一個(gè)平角，從而推導出三角形的內角和是180，如下圖：

　　學(xué)生在撕和拼的過(guò)程中，每?jì)蓚�(gè)角之間總是有空隙，這個(gè)問(wèn)題引起了大家的爭論，從而我們又回過(guò)頭來(lái)看前面量和折的方法，也是有很大的誤差的，這時(shí)候，班若愚提出了自己的疑問(wèn)：我們用三種方法來(lái)驗證三角形內角和是180，是不太準確的，我覺(jué)得書(shū)上的結論是錯的。

　　這個(gè)疑問(wèn)給學(xué)生帶來(lái)了很大的震撼，對我來(lái)講也是如此，學(xué)生雖然能理解誤差是不可避免存在的，但是很難正視這個(gè)問(wèn)題，所以對教科書(shū)上的結論產(chǎn)生了懷疑，這是非常具有挑戰性的問(wèn)題。

　　在大家的交流中，我們獲得一個(gè)結論：三角形三個(gè)內角和在180左右。

　　學(xué)生的思路在不斷地深化，他們不唯書(shū)不唯上的精神令我感動(dòng)，那么怎樣把學(xué)生的思維引向深入呢?我思索著(zhù)。

　　一張長(cháng)方形紙的啟示

　　教室里有片刻的安靜，怎樣準確計算出三角形的內角和是180，怎樣啟發(fā)學(xué)生利用原有的認知去獲得結論呢?當學(xué)生思維停滯的時(shí)候，教師的作用就是給一個(gè)臺階，讓他們接著(zhù)走下去。

　　我手拿一張長(cháng)方形紙，提醒學(xué)生一個(gè)直角是90，這個(gè)長(cháng)方形有4個(gè)直角，那么它的內角和是360，這個(gè)長(cháng)方形紙可以折成 兩個(gè)大小一樣的直角三角形，從中可以知道什么?

　　片刻后，學(xué)生歡呼，立刻悟到可以計算出直角三角形的內角和是180。這個(gè)發(fā)現讓學(xué)生興奮，我提出了一個(gè)具有挑戰性的問(wèn)題給學(xué)生：能利用直角三角形的內角和是180這個(gè)結論，得出鈍角三角形和銳角三角形的內角和是180嗎?只有這樣才能驗證所有的三角形的內角和都是180。

　　這個(gè)過(guò)程對學(xué)生來(lái)說(shuō)是比較艱難的，對學(xué)生的思維要求很高，對我來(lái)說(shuō)也是一種挑戰，我已經(jīng)放棄了預先設計的讓他們做一些基本練習的想法，而是放手讓他們進(jìn)一步探索。

　　放手后的精彩

　　學(xué)生研究5分后，居然做出來(lái)了，雖然只是個(gè)別學(xué)生，我還是很興奮。

　　李佳輝：我們可以沿銳角三角形一個(gè)頂點(diǎn)向對邊作高。這樣就把一個(gè)銳角三角形變成了兩個(gè)直角三角形，多了四個(gè)角，其中兩個(gè)是直角，兩個(gè)是銳角，兩個(gè)銳角其實(shí)就是原來(lái)三角形的一個(gè)內角，這樣就等于多了兩個(gè)直角，所以這個(gè)銳角三角形的內角和就是：180+180-90-90=180。

　　李佳輝在展臺前邊算邊講的時(shí)候，學(xué)生不斷地點(diǎn)頭，表示理解，全班學(xué)生出現了恍然大悟狀。

　　老師，我們知道了，鈍角三角形也是如此計算的。

　　驗證所有三角形的內角和是180，只要驗證三類(lèi)三角形的內角和就行了。

　　老師，書(shū)上的結論是對的。

　　老師，不知道還有沒(méi)有其他的方法?

　　老師，四邊形的內角和是多少度?

　　在學(xué)生的歡呼聲中，我明白學(xué)生真的懂了，不需要我再說(shuō)什么了。

　　聆聽(tīng)著(zhù)學(xué)生提出的問(wèn)題，看著(zhù)他們把問(wèn)題存在問(wèn)題銀行里，滿(mǎn)臉洋溢著(zhù)的快樂(lè )和幸福，我想他們收獲的不僅僅是一個(gè)結論，更重要的是一種數學(xué)思想和方法，是對數學(xué)的一種熱愛(ài)。

　　最想傾訴的幾個(gè)問(wèn)題

　　1、學(xué)生小組合作學(xué)習的時(shí)候，教師需要干什么?

　　經(jīng)常會(huì )看到，學(xué)生小組合作時(shí)，教師會(huì )邊走邊不停地提示學(xué)生干什么，怎么干。其實(shí)，這個(gè)時(shí)候教師的提示對學(xué)生而言，是沒(méi)有任何價(jià)值的，不僅影響學(xué)生的思路，還會(huì )干擾學(xué)生的學(xué)習狀態(tài)。

　　我想，這個(gè)時(shí)候教師需要做的是快速瀏覽每個(gè)小組，看看每個(gè)小組的問(wèn)題所在，幫助每個(gè)小組排除學(xué)習的障礙，然后找到最需要你幫助的小組，參與到這個(gè)小組的學(xué)習中，了解學(xué)生的狀態(tài)，為后面的交流做好準備。因為在幾分的交流時(shí)間內，教師不可能每個(gè)小組都照顧到，但是一定要做到心中有數，使每個(gè)小組有解決問(wèn)題的思路。

　　2、當學(xué)生的認知和原有的經(jīng)驗發(fā)生了沖突，怎么辦?

　　這個(gè)問(wèn)題很好回答，在新課程理念下，就是讓學(xué)生去研究和探索，然后獲得結論。但是，在實(shí)際的課堂情境下，會(huì )有很多情況出現，如果我這樣做了，我的教學(xué)任務(wù)就完不成了；如果我這樣做了，我可能會(huì )偏離我的教學(xué)設計，學(xué)生的問(wèn)題可能會(huì )讓我不知所措等。

　　其實(shí)，在課堂中，這是進(jìn)行教學(xué)的最好契機，抓住學(xué)生最核心的問(wèn)題，重組我們的課堂思路，留給學(xué)生思考的空間，讓學(xué)生去探討問(wèn)題。我想，課堂教學(xué)是為學(xué)生的學(xué)習和成長(cháng)服務(wù)的，教師要勇于放手，給學(xué)生更大的思維空間。比如，在驗證三角形的內角和是180的時(shí)候，學(xué)生一直沒(méi)有想到要驗證所有的三角形內角和是 180，只要驗證按角分的三類(lèi)就行了。教學(xué)時(shí)，我一直想提醒大家，但是總是不甘心，希望學(xué)生能自己去體悟，最后學(xué)生悟的不錯。我想這樣的學(xué)習對學(xué)生來(lái)說(shuō)是有價(jià)值的。

　　3、要重視學(xué)生的反思和交流。

　　教師教給學(xué)生的，學(xué)生不一定能聽(tīng)得懂。但是讓學(xué)生及時(shí)地對自己的學(xué)習過(guò)程進(jìn)行反思，并和同伴交流自己的思路，這個(gè)過(guò)程對學(xué)生來(lái)說(shuō)是個(gè)再思考的過(guò)程，教師能從中感受到學(xué)生學(xué)習的狀態(tài)和感受。

　　在整理案例的時(shí)候，我試圖從兩方面去體現這一點(diǎn)。一方面是讓學(xué)生不停地提出問(wèn)題的過(guò)程，其實(shí)就是在不斷深入學(xué)習的過(guò)程中，學(xué)生反思自己的思考過(guò)程，又提出新的問(wèn)題；另一方面是學(xué)生之間的交流，在對話(huà)中體現出學(xué)生自己的思路和經(jīng)驗，這一點(diǎn)體現得還不夠，我的筆不能把學(xué)生的交流充分表達出來(lái)，不能不說(shuō)是一種遺憾。

　　本案例很好地展現了教師在課堂中是如何處理課堂的預設和生成的。這是本案例的最大一個(gè)亮點(diǎn)。

　　課堂上經(jīng)常會(huì )出現一些教師意料之外的事情。比如說(shuō)，本案例中，在學(xué)生對書(shū)上的結論三角形內角和是180提出質(zhì)疑的時(shí)候，教師并沒(méi)有按照原先的課堂預設，而是及時(shí)對課堂進(jìn)行重組，讓學(xué)生就此問(wèn)題展開(kāi)討論，教師適時(shí)進(jìn)行引導，幫助學(xué)生獲得最后的結論。當然，這是由教師自身數學(xué)素養較深所決定的。其實(shí)，課堂教學(xué)中生成的一些火花源若能被教師捕捉到，將是進(jìn)行教學(xué)的最好契機。這些都是學(xué)生思維火花的閃現，教師應及時(shí)地予以關(guān)注。

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