冀教版初二數學(xué)實(shí)數教學(xué)計劃
一、教材的地位和作用
從《數學(xué)課程標準》看，關(guān)于數的內容，初中學(xué)段主要學(xué)習有理數和實(shí)數，它們是“數與代數”領(lǐng)域的重要內容。對于有理數和實(shí)數，初中學(xué)段共有安排三個(gè)章節的內容，分別是七年級上冊第一章《有理數》，八年級上冊第十三章《實(shí)數》和九年級上冊第二十一章《二次根式》。本章可以看成其后的代數內容的起始章，本章是在有理數的基礎上認識實(shí)數，對于實(shí)數的學(xué)習，除本章外，還要在“二次根式”一章中通過(guò)研究二次根式的運算，進(jìn)一步認識實(shí)數的運算。
本章的主要內容是平方根、立方根的概念和求法，實(shí)數的有關(guān)概念和運算。通過(guò)本章的學(xué)習，學(xué)生對數的認識就由有理數范圍擴大到實(shí)數范圍，本章之前的數學(xué)內容都是在有理數范圍內討論的，學(xué)習本章之后，將在實(shí)數范圍內研究問(wèn)題。雖然本章的內容不多，篇幅不大，但在中學(xué)數學(xué)中占有重要的地位，它不僅是后面學(xué)習二次根式、一元二次方程以及解三角形等知識的基礎，也為學(xué)習高中數學(xué)中不等式、函數以及解析幾何等的大部分知識作好準備。
二、教學(xué)內容分析
(一)本章知識結構框圖
1.本章知識的內在結構如下圖所示：
2.本章知識的展開(kāi)順序如下圖所示：
(二)教科書(shū)內容分析
本章主要內容包括算術(shù)平方根、平方根、立方根以及實(shí)數的有關(guān)概念和運算。
教科書(shū)的第一節是平方根，本節先研究算術(shù)平方根，再研究平方根。教科書(shū)首先創(chuàng )設一個(gè)問(wèn)題情景，抽象出這個(gè)情景中的數學(xué)問(wèn)題，即已知正方形的面積求邊長(cháng)的問(wèn)題，這是一個(gè)典型的求算術(shù)平方根的問(wèn)題，這與學(xué)生以前熟悉的已知邊長(cháng)求面積是一個(gè)互逆的過(guò)程。通過(guò)對這類(lèi)問(wèn)題的探討，引出算術(shù)平方根，給出算術(shù)平方根的概念和它的符號表示，這時(shí)教科書(shū)所涉及到的被開(kāi)方數都是完全平方數。接著(zhù)，教科書(shū)設置一個(gè)“探究”欄目，要求學(xué)生將兩個(gè)面積為1的小正方形拼成一個(gè)面積為2的大正方形，并求出這個(gè)大正方形的邊長(cháng)。這也是一個(gè)已知正方形的面積求它的邊長(cháng)的問(wèn)題，由于這個(gè)大正方形的面積為2，根據前面學(xué)過(guò)的算術(shù)平方根的概念和表示方法，可以求出這個(gè)大正方形的邊長(cháng)是 這樣教科書(shū)就引進(jìn)了用根號形式表示的無(wú)理數(但暫時(shí)不出現無(wú)理數的概念)，這是教科書(shū)第一次出現這樣的數。另外，通過(guò)學(xué)生將兩個(gè)面積為1的小正方形拼成一個(gè)面積為2的大正方形的活動(dòng)，也使學(xué)生感受到無(wú)理數是從現實(shí)世界中抽象出來(lái)的，是一種不同于有理數的數。 出現以后，一個(gè)很自然的問(wèn)題，就是要討論 的大小。教科書(shū)采用夾逼的方法，利用不足近似和過(guò)剩近似來(lái)估計 的大小，通過(guò)一步一步的估計，得到a的越來(lái)越精確的近似值，進(jìn)而指出 是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數的事實(shí)，同時(shí)指出 等也是無(wú)限不循環(huán)小數等，這就為后面認識無(wú)理數打下基礎。會(huì )使用計算器求數的算術(shù)平方根是本章的一個(gè)教學(xué)要求，教科書(shū)通過(guò)一個(gè)例題，介紹了使用計算器求算術(shù)平方根的方法。用有理數估計無(wú)理數的大小，也是學(xué)習本章應該注意的一個(gè)問(wèn)題，教科書(shū)結合一個(gè)實(shí)際例子介紹了用有理數估計無(wú)理數的常用方法。至此，教科書(shū)討論了有關(guān)算術(shù)平方根的內容，包括算術(shù)平方根的概念、求法，無(wú)限不循環(huán)小數以及用有理數估計無(wú)理數等內容。接著(zhù)，教科書(shū)設置一個(gè)“思考”欄目，對平方根展開(kāi)討論。在這個(gè)“思考”欄目中，要求學(xué)生算出平方等于9的數，通過(guò)對這個(gè)問(wèn)題的探討，找到解決問(wèn)題的方法，利用這種方法進(jìn)一步求出平方等于 1，16，36……的數，由此歸納給出平方根的概念，進(jìn)而引出開(kāi)平方運算。開(kāi)平方運算與平方運算是互逆運算，教科書(shū)通過(guò)舉例分析了這兩種運算的互逆過(guò)程，并用圖示進(jìn)一步說(shuō)明。最后，教科書(shū)結合具體例子，通過(guò)具體計算一些數的平方根，探討了數的平方根的特征，并通過(guò)一個(gè)“歸納”欄目，要求學(xué)生自己歸納給出 “正數的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數，0的平方根是0，負數沒(méi)有平方根”等這些數的平方根的特征。
教科書(shū)第二節是立方根。對于立方根，教科書(shū)采用了與討論平方根類(lèi)似的方法進(jìn)行討論。首先設置一個(gè)問(wèn)題情景，從這個(gè)問(wèn)題情景中抽象出數學(xué)問(wèn)題，就是已知立方體的體積求它邊長(cháng)的問(wèn)題，這是一個(gè)典型的求數的立方根的問(wèn)題。這樣教科書(shū)就從這個(gè)典型問(wèn)題引出立方根的概念和開(kāi)立方運算。接著(zhù)，教科書(shū)類(lèi)比著(zhù)平方運算與開(kāi)平方運算的互逆關(guān)系，探討了立方運算與開(kāi)立方運算的互逆關(guān)系，并通過(guò)一個(gè)“探究”欄目，學(xué)習求數的立方根的方法。在這個(gè)“探究”欄目中，要求學(xué)生分別計算一些正數、負數和0的立方根，通過(guò)這些計算，一方面讓學(xué)生學(xué)習利用立方運算與開(kāi)立方運算的互逆關(guān)系求立方根的方法，另一方面也為下面探討數的立方根的特征作準備。緊接著(zhù)這個(gè)“探究”欄目，教科書(shū)設置了一個(gè)“歸納”欄目，由學(xué)生歸納給出“正數的立方根是正數，負數的立方根是負數，0的立方根是0”等這些數的立方根的特征。最后，教科書(shū)介紹了立方根的符號表示，并利用這種符號表示探討了立方根的一條性質(zhì)。
學(xué)習了平方根、立方根以及開(kāi)方運算后，教科書(shū)在第三節安排了實(shí)數。本節首先設置一個(gè)“探究”攔目，要求學(xué)生將一些有理數轉化為小數的形式，分析這些小數的共同特點(diǎn)，通過(guò)分析發(fā)現有理數都可以化成有限小數或無(wú)限循環(huán)小數的形式，然后指出反過(guò)來(lái)的結論也成立，即任何有限小數和無(wú)限循環(huán)小數都是有理數，這樣教科書(shū)就將有理數與有限小數和無(wú)限循環(huán)小數統一起來(lái)。在此基礎上可以指出，像 等只能化成無(wú)限不循環(huán)小數的數就是無(wú)理數，從而引出無(wú)理數的概念。教科書(shū)采用這種與有理數對照的方法引出無(wú)理數，有利于揭示有理數和無(wú)理數的本質(zhì)區別，也有助于學(xué)生理解“有理數和無(wú)理數統稱(chēng)實(shí)數”這個(gè)構造性定義。接下去，教科書(shū)根據不同的標準對實(shí)數進(jìn)行分類(lèi)，揭示實(shí)數的內部結構。隨著(zhù)無(wú)理數的引入，實(shí)數概念的出現，數的范圍由有理數擴充到實(shí)數，在這個(gè)擴充過(guò)程中，既體現了概念、運算等的一致性，又體現了它們的發(fā)展變化。教科書(shū)通過(guò)幾方面的例子說(shuō)明了這種一致性和發(fā)展變化。首先，教科書(shū)通過(guò)探究在數軸上畫(huà)出表示 的點(diǎn)，說(shuō)明了無(wú)理數也可以用數軸上的點(diǎn)來(lái)表示，并指出當數由有理數擴充到實(shí)數后，直線(xiàn)上的點(diǎn)與實(shí)數就是一一對應的、平面上的點(diǎn)與有序實(shí)數對也是一一對應的;接著(zhù)，教科書(shū)通過(guò)設置思考問(wèn)題，讓學(xué)生體會(huì )，在有理數范圍內成立的`一些概念(如絕對值、相反數等)在實(shí)數范圍內仍然成立;最后，教科書(shū)結合具體例子說(shuō)明，有理數的運算(如加、減、乘、除、乘方運算等)，以及運算律、運算性質(zhì)(如交換律、分配律、結合律等)在實(shí)數范圍內仍然成立，并且可以進(jìn)行新的運算(如正數和0可以進(jìn)行開(kāi)平方運算、任何一個(gè)實(shí)數可以進(jìn)行開(kāi)立方運算)等。
與原教科書(shū)相比，本章內容在原教科書(shū)“數的開(kāi)方”一章的基礎上，適當增加了有關(guān)實(shí)數運算的內容(實(shí)數的運算在本套書(shū)“二次根式”一章繼續學(xué)習)，說(shuō)明了平面內點(diǎn)與有序實(shí)數對一一對應以及在實(shí)數范圍內的平移變換等;從內容安排上看，改變原教科書(shū)先講平方根，將算術(shù)平方根作為平方根一種特例的做法，而是從實(shí)際出發(fā)，先講算術(shù)平方根，再將平方根，加強了與實(shí)際的聯(lián)系;在教學(xué)目標方面，強調所有學(xué)生都應會(huì )使用計算器進(jìn)行開(kāi)方運算，加強對估算的要求等。
三、教學(xué)目標和教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
(一)、本章教學(xué)目標
1.了解算術(shù)平方根、平方根、立方根的概念，會(huì )用根號表示數的算術(shù)平方根、平方根、立方根;
2.了解開(kāi)方與乘方互為逆運算，會(huì )用平方運算求某些非負數的平方根，會(huì )用立方運算求某些數的立方根，會(huì )用計算器求平方根和立方根;
3.了解無(wú)理數和實(shí)數的概念，知道實(shí)數與數軸上的點(diǎn)一一對應，有序實(shí)數對與平面上的點(diǎn)一一對應;了解數的范圍由有理數擴大到實(shí)數后，一些概念、運算等的一致性及其發(fā)展變化;
4.能用有理數估計一個(gè)無(wú)理數的大致范圍。
2、單元教學(xué)的重難點(diǎn)：
教學(xué)重點(diǎn)：
1、平方根和算術(shù)平方根的概念。平方根是開(kāi)方運算基礎，是引入無(wú)理數的準備知識。平方根概念的正確理解有助于符號表示的理解，是正確求平方根運算的前提，而且直接影響到二次根式的學(xué)習。。算術(shù)根的教學(xué)不但是本章教學(xué)的重點(diǎn)，也是今后數學(xué)學(xué)習的重點(diǎn)。在后面學(xué)習的根式運算中，歸根結底是算術(shù)根的運算，非算術(shù)根也要轉化為算術(shù)根。
2、立方根的概念與性質(zhì)及求法。立方根是奇次方根典型類(lèi)型，掌握立方根是理解的n次方根的基礎。由于學(xué)習了平方根的概念的基礎上學(xué)習立方根的概念，學(xué)生比較容易接受，但平方根和立方根的性質(zhì)區別較大，性質(zhì)掌握的好壞決定了求解立方根的能力，因此教學(xué)重點(diǎn)放在立方根具有唯一性(實(shí)數范圍內)的討論上。
3、無(wú)理數和實(shí)數的概念。引入無(wú)理數使數域擴充到實(shí)數域，初中的所有數的運算均在實(shí)數范圍內進(jìn)行的。無(wú)理數概念的理解決定實(shí)數概念的理解，有利于實(shí)數分類(lèi)和運算的掌握。要讓學(xué)生掌握關(guān)于有理數的運算律和運算性質(zhì)再實(shí)數范圍內仍成立，這是中學(xué)數學(xué)的基礎。
教學(xué)難點(diǎn)：
1、平方根與算術(shù)平方根的區別于聯(lián)系。首先這兩個(gè)概念容易混淆，而且各自的符號表示意義學(xué)生不是很容易區分，教學(xué)中要抓住算術(shù)平方根式平方根中正的那個(gè)，講清各自符號的意義，區分兩種表示的不同。對于平方根運算不僅數有限制，而且結果有兩個(gè)，這是與以前學(xué)過(guò)的數的運算很大的區別，要讓學(xué)生真正理解有一定的困難。
2、立方根的唯一性及負數立方根的意義。由于平方根的學(xué)習，學(xué)生容易錯誤的得出立方根與平方根的結論相似，因此要對比講解兩者的區別：對于任何一個(gè)數都有唯一的立方根，而且學(xué)生難于理解負數立方根的意義，應注意從立方與開(kāi)立方互為逆運算的角度分析。
3、無(wú)理數和實(shí)數的理解。無(wú)理數和實(shí)數比較抽象，尤其是無(wú)理數不能像實(shí)數那樣具體描述出某個(gè)數的特點(diǎn)，在學(xué)生思維中想象不出它的存在，借助實(shí)數和數軸上的點(diǎn)一一對應，注意通過(guò)具體數加以解釋。實(shí)數抽象程度較高，學(xué)生對實(shí)數意義有所了解就可以。
四、單元教學(xué)思路及策略：
(一)加強與實(shí)際的聯(lián)系
本章內容與實(shí)際的聯(lián)系是非常密切的。例如，無(wú)理數是從現實(shí)世界中抽象出來(lái)的一種數，開(kāi)平方運算和開(kāi)立方運算也是實(shí)際中經(jīng)常用到的兩種運算，用有理數估計無(wú)理數的大小在現實(shí)生活中經(jīng)常遇到等等。因此，本章內容在編寫(xiě)時(shí)注意聯(lián)系實(shí)際，對于一些重要的概念和運算緊密結合實(shí)際生活展開(kāi)，例如算術(shù)平方根是從已知正方形的面積求它邊長(cháng)、立方根是從已知立方體的體積求它邊長(cháng)等典型的實(shí)際問(wèn)題引出的，再如用有理數估計無(wú)理數的大小也是緊密結合實(shí)際進(jìn)行的。編寫(xiě)時(shí)，將本章內容與實(shí)際緊密聯(lián)系起來(lái)，可以使學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，認識實(shí)數的有關(guān)概念和運算。
(二)加強知識間的縱向聯(lián)系
本章內容屬于“數與代數”這個(gè)領(lǐng)域，有關(guān)數的內容，學(xué)生在七年級上冊已經(jīng)系統地學(xué)過(guò)有理數，對有理數的概念和運算等有了較深刻的認識，本章是在有理數的基礎上學(xué)習實(shí)數的初步知識，本章很多內容是有理數相關(guān)內容的延續和推廣，因此，本章編寫(xiě)時(shí)，注意加強知識間的相互聯(lián)系，使學(xué)生更好地體會(huì )數的擴充過(guò)程中表現出來(lái)的概念、運算等的一致性和發(fā)展變化。例如，對于絕對值和相反數的概念，實(shí)數的運算法則和運算性質(zhì)，平方與開(kāi)平方、立方與開(kāi)立方的互為逆運算關(guān)系等都是在有理數的基礎上展開(kāi)的。另外，本章前兩節“平方根”“立方根”在內容上基本是平行的，因此，編寫(xiě) “立方根”這節時(shí)，充分利用了類(lèi)比的方法，例如類(lèi)比平方根的概念的引入方式給出立方根的概念，類(lèi)比開(kāi)平方運算給出開(kāi)立方運算，類(lèi)比平方與開(kāi)平方運算的互逆關(guān)系研究立方與開(kāi)立方運算的互逆關(guān)系等。這樣的編寫(xiě)方法，有助于加強知識間的相互聯(lián)系，通過(guò)類(lèi)比已學(xué)的知識學(xué)習新知識，使學(xué)生的學(xué)習形成正遷移。
(三)留給學(xué)生探索交流的空間
根據本章內容的特點(diǎn)，對于一些重要的概念和結論，編寫(xiě)時(shí)注意了讓學(xué)生通過(guò)觀(guān)察、思考、討論等探究活動(dòng)歸納得出結論的過(guò)程。例如，對于平方根概念的引入，教科書(shū)首先通過(guò)一個(gè)問(wèn)題情景，引出已知正方形的面積求邊長(cháng)的問(wèn)題，接著(zhù)又讓學(xué)生通過(guò)填表的方式，計算幾個(gè)不同面積的正方形的邊長(cháng)，使學(xué)生感受到這些問(wèn)題與以前學(xué)過(guò)的已知正方形的邊長(cháng)求面積的問(wèn)題是一個(gè)相反的過(guò)程，并由此指出，這些問(wèn)題抽象成數學(xué)問(wèn)題就是已知一個(gè)正數的平方，求這個(gè)正數的問(wèn)題，并在此基礎上給出算術(shù)平方根的概念，這樣就讓學(xué)生通過(guò)一些具體活動(dòng)，在對算術(shù)平方根有些感性認識的基礎上歸納給出這個(gè)概念。再比如，在討論數的立方根的特征時(shí)，教材首先設置“探究”欄目，在欄目中以填空的方式讓學(xué)生計算一些具體的正數、負數和0的立方根，尋找它們各自的特點(diǎn)，通過(guò)學(xué)生討論交流等活動(dòng)，歸納得出“正數的立方根是正數，0的立方根是0，負數的立方根是負數”的結論，這樣就讓學(xué)生通過(guò)探究活動(dòng)經(jīng)歷了一個(gè)由特殊到一般的認識過(guò)程，在探究活動(dòng)的過(guò)程中發(fā)展思維能力，有效改變學(xué)生的學(xué)習方式。
三、幾個(gè)值得關(guān)注的問(wèn)題
(一)把握教學(xué)要求
本冊書(shū)對于某些內容采用提前滲透、逐步提高的編寫(xiě)方式。例如，對于平面直角坐標系，在第6章“平面直角坐標系”中研究了平面內的點(diǎn)與有序數對的對應關(guān)系，其中點(diǎn)的坐標都是有理數，在本章將把點(diǎn)的坐標由有理數的情形擴展到實(shí)數范圍，并建立平面內的點(diǎn)與有序實(shí)數對的一一對應關(guān)系，為后續學(xué)習函數的圖象、函數與方程和不等式的關(guān)系等打下基礎。
對于平移變換，教課書(shū)在第5章“相交線(xiàn)與平行線(xiàn)”中安排了一節“平移”，探討得出“平移前后的兩個(gè)圖形的對應點(diǎn)的連線(xiàn)平行且相等”等平移變換的基本性質(zhì)，又在第6章“平面直角坐標系”中安排了用坐標方法研究平移的內容，從坐標的角度進(jìn)一步認識平移變換，這時(shí)平移中遇到的坐標都是有理數的情況。在本章，由于建立了點(diǎn)與有序實(shí)數對的一一對應關(guān)系，本章又在實(shí)數范圍內研究平移的內容，為后續學(xué)習利用平移變換探索平面圖形的幾何性質(zhì)以及綜合運用幾種變換(平移、旋轉、軸對稱(chēng)、相似等)進(jìn)行圖案設計等打下基礎。
本章還通過(guò)一個(gè)例題學(xué)習了實(shí)數的簡(jiǎn)單運算，安排這個(gè)例題的目的是要說(shuō)明有理數的運算法則和運算性質(zhì)等在實(shí)數范圍內仍然成立，關(guān)于實(shí)數的運算在后面的“二次根式”一章中還要繼續研究。
另外，本章也提前滲透了一些數學(xué)思想和方法。比如，本章的數學(xué)活動(dòng)1，涉及到勾股定理的內容，讓學(xué)生利用勾股定理，在數軸上畫(huà)出表示幾個(gè)無(wú)理數的點(diǎn)。這里只是結合無(wú)理數滲透了勾股定理，關(guān)于勾股定理以后還要進(jìn)行專(zhuān)門(mén)的研究。
綜上所述，本章教學(xué)時(shí)要注意把握教學(xué)要求，以一種發(fā)展的、動(dòng)態(tài)的觀(guān)點(diǎn)看待教學(xué)要求，不能要求一次到位。
(二)發(fā)揮計算器的作用，加強估算能力的培養
使用計算器進(jìn)行復雜運算，可以使學(xué)習的重點(diǎn)更好地集中到理解數學(xué)的本質(zhì)上來(lái)，估算是一種具有實(shí)際應用價(jià)值的運算能力。提倡使用計算器進(jìn)行復雜運算，加強估算，綜合運用筆算、計算器和估算等方式培養學(xué)生的運算能力，是本章的一個(gè)教學(xué)要求。為了達到這個(gè)教學(xué)目的，本章專(zhuān)門(mén)安排了利用計算器求數的平方根和立方根以及利用有理數估計無(wú)理數的大致范圍等內容。因此，教學(xué)中可以結合具體內容，綜合利用各種途徑培養學(xué)生的運算能力。
(三)重視人文教育
無(wú)理數的發(fā)現引發(fā)了數學(xué)史上的第一次危機，是數學(xué)發(fā)展史上的重要里程碑。無(wú)理數的發(fā)現經(jīng)歷了一個(gè)漫長(cháng)而艱苦的過(guò)程，在發(fā)現無(wú)理數的過(guò)程中，體現了人類(lèi)為追求真理而不懈努力的精神。因此，教學(xué)時(shí)可以結合無(wú)理數的發(fā)現，挖掘數學(xué)知識的文化內涵，使學(xué)生感受豐富的數學(xué)文化，開(kāi)闊他們的眼界，增長(cháng)他們的見(jiàn)識。
另外，本章編寫(xiě)時(shí)注意加強與實(shí)際的聯(lián)系，在選擇素材時(shí)，力求選取學(xué)生感興趣的和富有時(shí)代氣息的實(shí)際問(wèn)題。例如，本章選擇了我國神舟5號載人飛船取得圓滿(mǎn)成功的素材，通過(guò)這個(gè)素材可以使學(xué)生從數學(xué)的角度更多地了解航天知識，培養學(xué)生的民族自豪感和愛(ài)國主義情操，激勵學(xué)生更加努力地學(xué)習，這樣使學(xué)生在學(xué)習數學(xué)的同時(shí)，也得到了人文方面的教育。
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