高二上冊數學(xué)算法案例教學(xué)計劃
【課程分析】：
在前面的兩節里，我們已經(jīng)學(xué)習了一些簡(jiǎn)單的算法，對算法已經(jīng)有了一個(gè)初步的了解。這節課的內
容是繼續加深對算法的認識，體會(huì )算法的思想。這節課所學(xué)習的輾轉相除法與更相減損術(shù)是第三節我們所要學(xué)習的四種算法案例里的第一種。學(xué)生們通過(guò)本節課對中國古代數學(xué)中的算法案例——輾轉相除法與更相減損術(shù)學(xué)習，體會(huì )中國古代數學(xué)對世界數學(xué)發(fā)展的貢獻。教學(xué)重點(diǎn)是理解輾轉相除法與更相減損術(shù)求最大公約數的'方法。難點(diǎn)是把輾轉相除法與更相減損術(shù)的方法轉換成程序框圖與程序語(yǔ)言。
【學(xué)情分析】：
在理解最大公約數的基礎上去發(fā)現輾轉相除法與更相減損術(shù)中的數學(xué)規律，并能模仿已經(jīng)學(xué)過(guò)的程序框
圖與算法語(yǔ)句設計出輾轉相除法與更相減損術(shù)的程序框圖與算法程序。
【設計思路】
采用啟發(fā)式，并遵循循序漸進(jìn)的教學(xué)原則。這有利于學(xué)生掌握從現象到本質(zhì)，從已知到未知逐步
形成念的學(xué)習方法，有利于發(fā)展學(xué)生抽象思維能力和邏輯推理能力。
【學(xué)習目標】
(1)理解輾轉相除法與更相減損術(shù)中蘊含的數學(xué)原理，并能根據這些原理進(jìn)行算法分析。
(2)基本能根據算法語(yǔ)句與程序框圖的知識設計完整的程序框圖并寫(xiě)出算法程序。
(3)領(lǐng)會(huì )數學(xué)算法與計算機處理的結合方式，初步掌握把數學(xué)算法轉化成計算機語(yǔ)言的一般步驟。
【教學(xué)流程】
一、創(chuàng )設情景，揭示課題
1.教師首先提出問(wèn)題：在初中，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)求最大公約數的知識，你能求出18與30的公約數嗎?
2.接著(zhù)教師進(jìn)一步提出問(wèn)題，我們都是利用找公約數的方法來(lái)求最大公約數，如果公約數比較大而且根據我們的觀(guān)察又不能得到一些公約數，我們又應該怎樣求它們的最大公約數?比如求8251與6105的最大公約數?這就是我們這一堂課所要探討的內容。
二、研探新知，發(fā)現規律
1.輾轉相除法
例1 求兩個(gè)正數8251和6105的最大公約數。
解：8251=6105×1+2146
顯然8251的最大公約數也必是2146的約數，同樣6105與2146的公約數也必是8251的約數，所以8251與6105的最大公約數也是6105與2146的最大公約數。
6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333
1813=333×5+148 333=148×2+37
148=37×4+0
則37為8251與6105的最大公約數。
以上我們求最大公約數的方法就是輾轉相除法。也叫歐幾里德算法，它是由歐幾里德在公元前300年左右首先提出的。利用輾轉相除法求最大公約數的步驟如下：
第一步：用較大的數m除以較小的數n得到一個(gè)商q0和一個(gè)余數r0;
第二步：若r0=0，則n為m，n的最大公約數;若r0≠0，則用除數n除以余數r0得到一個(gè)商q1和一個(gè)余數r1;
第三步：若r1=0，則r1為m，n的最大公約數;若r1≠0，則用除數r0除以余數r1得到一個(gè)商q2和一個(gè)余數r2;
依次計算直至rn=0，此時(shí)所得到的rn-1即為所求的最大公約數。
(1)輾轉相除法的程序框圖及程序
程序框圖：(略)
程序：(當循環(huán)結構) 直到型結構見(jiàn)書(shū)37面。
INPUT “m=”;m
INPUT “n=”;n
IF m
m=n
n=x
END IF
r=m MOD n
WHILE r<>0
r=m MOD n
m=n
n=r
WEND
PRINT m
END
練習：利用輾轉相除法求兩數4081與20723的最大公約數(答案：53)
2.更相減損術(shù)
我國早期也有解決求最大公約數問(wèn)題的算法，就是更相減損術(shù)。
更相減損術(shù)求最大公約數的步驟如下：可半者半之，不可半者，副置分母·子之數，以少減多，更相減損，求其等也，以等數約之。
翻譯出來(lái)為：
第一步：任意給出兩個(gè)正數;判斷它們是否都是偶數。若是，用2約簡(jiǎn);若不是，執行第二步。 第二步：以較大的數減去較小的數，接著(zhù)把較小的數與所得的差比較，并以大數減小數。繼續這個(gè)操作，直到所得的數相等為止，則這個(gè)數(等數)就是所求的最大公約數。
例2 用更相減損術(shù)求98與63的最大公約數.
解：由于63不是偶數，把98和63以大數減小數，并輾轉相減，即：98-63=35
63-35=28
35-28=7
28-7=21
21-7=14
14-7=7
所以，98與63的最大公約數是7。
練習：用更相減損術(shù)求兩個(gè)正數84與72的最大公約數。(答案：12)
三、對比歸納，得出結論
3.比較輾轉相除法與更相減損術(shù)的區別
(1)都是求最大公約數的方法，計算上輾轉相除法以除法為主，更相減損術(shù)以減法為主，計算次數上輾轉相除法計算次數相對較少，特別當兩個(gè)數字大小區別較大時(shí)計算次數的區別較明顯。
(2)從結果體現形式來(lái)看，輾轉相除法體現結果是以相除余數為0則得到，而更相減損術(shù)則以減數與差相等而得到
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