高中數學(xué)教案模板范文

　　作為一位兢兢業(yè)業(yè)的人民教師，總歸要編寫(xiě)教案，教案是教材及大綱與課堂教學(xué)的紐帶和橋梁。那么教案應該怎么寫(xiě)才合適呢？下面是小編整理的高中數學(xué)教案模板范文，歡迎閱讀與收藏。

高中數學(xué)教案1

　　教學(xué)目標

　　(1)正確理解排列的意義。能利用樹(shù)形圖寫(xiě)出簡(jiǎn)單問(wèn)題的所有排列;

　　(2)了解排列和排列數的意義，能根據具體的問(wèn)題，寫(xiě)出符合要求的排列;

　　(3)掌握排列數公式，并能根據具體的問(wèn)題，寫(xiě)出符合要求的排列數;

　　(4)會(huì )分析與數字有關(guān)的排列問(wèn)題，培養學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力;

　　(5)通過(guò)對排列應用問(wèn)題的學(xué)習，讓學(xué)生通過(guò)對具體事例的觀(guān)察、歸納中找出規律，得出結論，以培養學(xué)生嚴謹的學(xué)習態(tài)度。

　　教學(xué)建議

　　一、知識結構

　　二、重點(diǎn)難點(diǎn)分析

　　本小節的重點(diǎn)是排列的定義、排列數及排列數的公式，并運用這個(gè)公式去解決有關(guān)排列數的應用問(wèn)題.難點(diǎn)是導出排列數的公式和解有關(guān)排列的應用題.突破重點(diǎn)、難點(diǎn)的關(guān)鍵是對加法原理和乘法原理的掌握和運用，并將這兩個(gè)原理的基本思想方法貫穿在解決排列應用問(wèn)題當中.

　　從n個(gè)不同元素中任取m(m≤n)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，稱(chēng)為從n個(gè)不同元素中任取m個(gè)元素的一個(gè)排列.因此，兩個(gè)相同排列，當且僅當他們的元素完全相同，并且元素的排列順序也完全相同.排列數是指從n個(gè)不同元素中任取m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的種數，只要弄清相同排列、不同排列，才有可能計算相應的`排列數.排列與排列數是兩個(gè)概念，前者是具有m個(gè)元素的排列，后者是這種排列的不同種數.從集合的角度看，從n個(gè)元素的有限集中取出m個(gè)組成的有序集，相當于一個(gè)排列，而這種有序集的個(gè)數，就是相應的排列數.

　　公式推導要注意緊扣乘法原理，借助框圖的直視解釋來(lái)講解.要重點(diǎn)分析好的推導.

　　排列的應用題是本節教材的難點(diǎn)，通過(guò)本節例題的分析，應注意培養學(xué)生解決應用問(wèn)題的能力.

　　在分析應用題的解法時(shí)，教材上先畫(huà)出框圖，然后分析逐次填入時(shí)的種數，這樣解釋比較直觀(guān)，教學(xué)上要充分利用，要求學(xué)生作題時(shí)也應盡量采用.

　　在教學(xué)排列應用題時(shí)，開(kāi)始應要求學(xué)生寫(xiě)解法要有簡(jiǎn)要的文字說(shuō)明，防止單純的只寫(xiě)一個(gè)排列數，這樣可以培養學(xué)生的分析問(wèn)題的能力，在基本掌握之后，可以逐漸地不作這方面的要求.

　　三、教法建議

　�、僭谥v解排列數的概念時(shí)，要注意區分“排列數”與“一個(gè)排列”這兩個(gè)概念.一個(gè)排列是指“從n個(gè)不同元素中，任取出m個(gè)元素，按照一定的順序擺成一排”，它不是一個(gè)數，而是具體的一件事;排列數是指“從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的所有排列的個(gè)數”，它是一個(gè)數.例如，從3個(gè)元素a，b，c中每次取出2個(gè)元素，按照一定的順序排成一排，有如下幾種：ab，ac，ba，bc，ca，cb，其中每一種都叫一個(gè)排列，共有6種，而數字6就是排列數，符號表示排列數.

　�、谂帕械亩�義中包含兩個(gè)基本內容，一是“取出元素”，二是“按一定順序排列”.

　　從定義知，只有當元素完全相同，并且元素排列的順序也完全相同時(shí)，才是同一個(gè)排列，元素完全不同，或元素部分相同或元素完全相同而順序不同的排列，都不是同一排列。叫不同排列.

　　在定義中“一定順序”就是說(shuō)與位置有關(guān)，在實(shí)際問(wèn)題中，要由具體問(wèn)題的性質(zhì)和條件來(lái)決定，這一點(diǎn)要特別注意，這也是與后面學(xué)習的組合的根本區別.

　　在排列的定義中 ，如果 有的書(shū)上叫選排列，如果 ，此時(shí)叫全排列.

　　要特別注意，不加特殊說(shuō)明，本章不研究重復排列問(wèn)題.

　�、坳P(guān)于排列數公式的推導的教學(xué).公式推導要注意緊扣乘法原理，借助框圖的直視解釋來(lái)講解.課本上用的是不完全歸納法，先推導 ， ，…，再推廣到 ，這樣由特殊到一般，由具體到抽象的講法，學(xué)生是不難理解的

　　導出公式 后要分析這個(gè)公式的構成特點(diǎn)，以便幫助學(xué)生正確地記憶公式，防止學(xué)生在“n”、“m”比較復雜的時(shí)候把公式寫(xiě)錯.這個(gè)公式的特點(diǎn)可見(jiàn)課本第229頁(yè)的一段話(huà)：“其中，公式右邊第一個(gè)因數是n，后面每個(gè)因數都比它前面一個(gè)因數少1，最后一個(gè)因數是 ，共m個(gè)因數相乘.”這實(shí)際是講三個(gè)特點(diǎn)：第一個(gè)因數是什么?最后一個(gè)因數是什么?一共有多少個(gè)連續的自然數相乘.

　　公式 是在引出全排列數公式 后，將排列數公式變形后得到的公式.對這個(gè)公式指出兩點(diǎn)：(1)在一般情況下，要計算具體的排列數的值，常用前一個(gè)公式，而要對含有字母的排列數的式子進(jìn)行變形或作有關(guān)的論證，要用到這個(gè)公式，教材中第230頁(yè)例2就是用這個(gè)公式證明的問(wèn)題;(2)為使這個(gè)公式在 時(shí)也能成立，規定 ，如同 時(shí) 一樣，是一種規定，因此，不能按階乘數的原意作解釋.

　�、芙ㄗh應充分利用樹(shù)形圖對問(wèn)題進(jìn)行分析，這樣比較直觀(guān)，便于理解.

　�、輰W(xué)生在開(kāi)始做排列應用題的作業(yè)時(shí)，應要求他們寫(xiě)出解法的簡(jiǎn)要說(shuō)明，而不能只列出算式、得出答數，這樣有利于學(xué)生得更加扎實(shí).隨著(zhù)學(xué)生解題熟練程度的提高，可以逐步降低這種要求.

高中數學(xué)教案2

　　教學(xué)目標

　　(1)使學(xué)生正確理解組合的意義，正確區分排列、組合問(wèn)題;

　　(2)使學(xué)生掌握組合數的計算公式;

　　(3)通過(guò)學(xué)習組合知識，讓學(xué)生掌握類(lèi)比的學(xué)習方法，并提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力;

　　教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)

　　重點(diǎn)是組合的定義、組合數及組合數的公式;

　　難點(diǎn)是解組合的應用題.

　　教學(xué)過(guò)程設計

　　(-)導入新課

　　(教師活動(dòng))提出下列思考問(wèn)題，打出字幕.

　　[字幕]一條鐵路線(xiàn)上有6個(gè)火車(chē)站，(1)需準備多少種不同的普通客車(chē)票?(2)有多少種不同票價(jià)的普通客車(chē)票?上面問(wèn)題中，哪一問(wèn)是排列問(wèn)題?哪一問(wèn)是組合問(wèn)題?

　　(學(xué)生活動(dòng))討論并回答.

　　答案提示：(1)排列;(2)組合.

　　[評述]問(wèn)題(1)是從6個(gè)火車(chē)站中任選兩個(gè)，并按一定的順序排列，要求出排法的種數，屬于排列問(wèn)題;(2)是從6個(gè)火車(chē)站中任選兩個(gè)并成一組，兩站無(wú)順序關(guān)系，要求出不同的組數，屬于組合問(wèn)題.這節課著(zhù)重研究組合問(wèn)題.

　　設計意圖：組合與排列所研究的問(wèn)題幾乎是平行的上面設計的問(wèn)題目的是從排列知識中發(fā)現并提出新的問(wèn)題.

　　(二)新課講授

　　[提出問(wèn)題 創(chuàng )設情境]

　　(教師活動(dòng))指導學(xué)生帶著(zhù)問(wèn)題閱讀課文.

　　[字幕]1.排列的定義是什么?

　　2.舉例說(shuō)明一個(gè)組合是什么?

　　3.一個(gè)組合與一個(gè)排列有何區別?

　　(學(xué)生活動(dòng))閱讀回答.

　　(教師活動(dòng))對照課文，逐一評析.

　　設計意圖：激活學(xué)生的思維，使其將所學(xué)的知識遷移過(guò)渡，并盡快適應新的環(huán)境.

　　【歸納概括 建立新知】

　　(教師活動(dòng))承接上述問(wèn)題的回答，展示下面知識.

　　[字幕]模型：從 個(gè)不同元素中取出 個(gè)元素并成一組，叫做從 個(gè)不同元素中取出 個(gè)元素的一個(gè)組合.如前面思考題：6個(gè)火車(chē)站中甲站→乙站和乙站→甲站是票價(jià)相同的車(chē)票，是從6個(gè)元素中取出2個(gè)元素的一個(gè)組合.

　　組合數：從 個(gè)不同元素中取出 個(gè)元素的所有組合的個(gè)數，稱(chēng)之，用符號 表示，如從6個(gè)元素中取出2個(gè)元素的'組合數為 .

　　[評述]區分一個(gè)排列與一個(gè)組合的關(guān)鍵是：該問(wèn)題是否與順序有關(guān)，當取出元素后，若改變一下順序，就得到一種新的取法，則是排列問(wèn)題;若改變順序，仍得原來(lái)的取法，就是組合問(wèn)題.

　　(學(xué)生活動(dòng))傾聽(tīng)、思索、記錄.

　　(教師活動(dòng))提出思考問(wèn)題.

　　[投影] 與 的關(guān)系如何?

　　(師生活動(dòng))共同探討.求從 個(gè)不同元素中取出 個(gè)元素的排列數 ，可分為以下兩步：

　　第1步，先求出從這 個(gè)不同元素中取出 個(gè)元素的組合數為 ;

　　第2步，求每一個(gè)組合中 個(gè)元素的全排列數為 .根據分步計數原理，得到

　　[字幕]公式1：

　　公式2：

　　(學(xué)生活動(dòng))驗算 ，即一條鐵路上6個(gè)火車(chē)站有15種不同的票價(jià)的普通客車(chē)票.

　　設計意圖：本著(zhù)以認識概念為起點(diǎn)，以問(wèn)題為主線(xiàn)，以培養能力為核心的宗旨，逐步展示知識的形成過(guò)程，使學(xué)生思維層層被激活、逐漸深入到問(wèn)題當中去.

　　【例題示范 探求方法】

　　(教師活動(dòng))打出字幕，給出示范，指導訓練.

　　[字幕]例1 列舉從4個(gè)元素 中任取2個(gè)元素的所有組合.

　　例2 計算：(1) ;(2) .

　　(學(xué)生活動(dòng))板演、示范.

　　(教師活動(dòng))講評并指出用兩種方法計算例2的第2小題.

　　[字幕]例3 已知 ，求 的所有值.

　　(學(xué)生活動(dòng))思考分析.

　　解 首先，根據組合的定義，有

　�、�

　　其次，由原不等式轉化為

　　即

　　解得 ②

　　綜合①、②，得 ，即

　　[點(diǎn)評]這是組合數公式的應用，關(guān)鍵是公式的選擇.

　　設計意圖：例題教學(xué)循序漸進(jìn)，讓學(xué)生鞏固知識，強化公式的應用，從而培養學(xué)生的綜合分析能力.

　　【反饋練習 學(xué)會(huì )應用】

　　(教師活動(dòng))給出練習，學(xué)生解答，教師點(diǎn)評.

　　[課堂練習]課本P99練習第2，5，6題.

　　[補充練習]

　　[字幕]1.計算：

　　2.已知 ，求 .

　　(學(xué)生活動(dòng))板演、解答.

　　設計意圖：課堂教學(xué)體現以學(xué)生為本，讓全體學(xué)生參與訓練，深刻揭示排列數公式的結構、特征及應用.

　　(三)小結

　　(師生活動(dòng))共同小結.

　　本節主要內容有

　　1.組合概念.

　　2.組合數計算的兩個(gè)公式.

　　(四)布置作業(yè)

　　1.課本作業(yè)：習題10 3第1(1)、(4)，3題.

　　2.思考題：某學(xué)習小組有8個(gè)同學(xué)，從男生中選2人，女生中選1人參加數學(xué)、物理、化學(xué)三種學(xué)科競賽，要求每科均有1人參加，共有180種不同的選法，那么該小組中，男、女同學(xué)各有多少人?

　　3.研究性題：

　　在 的 邊上除頂點(diǎn) 外有 5個(gè)點(diǎn)，在 邊上有 4個(gè)點(diǎn)，由這些點(diǎn)(包括 )能組成多少個(gè)四邊形?能組成多少個(gè)三角形?

　　(五)課后點(diǎn)評

　　在學(xué)習了排列知識的基礎上，本節課引進(jìn)了組合概念，并推導出組合數公式，同時(shí)調控進(jìn)行訓練，從而培養學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

高中數學(xué)教案3

　　【考綱要求】

　　了解雙曲線(xiàn)的定義，幾何圖形和標準方程，知道它的簡(jiǎn)單性質(zhì)。

　　【自學(xué)質(zhì)疑】

　　1.雙曲線(xiàn) 的 軸在 軸上， 軸在 軸上，實(shí)軸長(cháng)等于 ，虛軸長(cháng)等于 ，焦距等于 ，頂點(diǎn)坐標是 ，焦點(diǎn)坐標是 ，

　　漸近線(xiàn)方程是 ，離心率 ，若點(diǎn) 是雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)，則 ， 。

　　2.又曲線(xiàn) 的左支上一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離是7，則這點(diǎn)到雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)的距離是

　　3.經(jīng)過(guò)兩點(diǎn) 的雙曲線(xiàn)的標準方程是 。

　　4.雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是 ，則該雙曲線(xiàn)的離心率等于 。

　　5.與雙曲線(xiàn) 有公共的漸近線(xiàn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn) 的雙曲線(xiàn)的方程為

　　【例題精講】

　　1.雙曲線(xiàn)的離心率等于 ，且與橢圓 有公共焦點(diǎn)，求該雙曲線(xiàn)的方程。

　　2.已知橢圓具有性質(zhì)：若 是橢圓 上關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)的'兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn) 是橢圓上任意一點(diǎn)，當直線(xiàn) 的斜率都存在，并記為 時(shí)，那么 之積是與點(diǎn) 位置無(wú)關(guān)的定值，試對雙曲線(xiàn) 寫(xiě)出具有類(lèi)似特性的性質(zhì)，并加以證明。

　　3.設雙曲線(xiàn) 的半焦距為 ，直線(xiàn) 過(guò) 兩點(diǎn)，已知原點(diǎn)到直線(xiàn) 的距離為 ，求雙曲線(xiàn)的離心率。

　　【矯正鞏固】

　　1.雙曲線(xiàn) 上一點(diǎn) 到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為 ，則它到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為 。

　　2.與雙曲線(xiàn) 有共同的漸近線(xiàn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn) 的雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線(xiàn)的距離是 。

　　3.若雙曲線(xiàn) 上一點(diǎn) 到它的右焦點(diǎn)的距離是 ，則點(diǎn) 到 軸的距離是

　　4.過(guò)雙曲線(xiàn) 的左焦點(diǎn) 的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于 兩點(diǎn)，若 。則這樣的直線(xiàn)一共有 條。

　　【遷移應用】

　　1. 已知雙曲線(xiàn) 的焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離是其頂點(diǎn)到漸近線(xiàn)距離的2倍，則該雙曲線(xiàn)的離心率

　　2. 已知雙曲線(xiàn) 的焦點(diǎn)為 ，點(diǎn) 在雙曲線(xiàn)上，且 ，則點(diǎn) 到 軸的距離為 。

　　3. 雙曲線(xiàn) 的焦距為

　　4. 已知雙曲線(xiàn) 的一個(gè)頂點(diǎn)到它的一條漸近線(xiàn)的距離為 ，則

　　5. 設 是等腰三角形， ，則以 為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn) 的雙曲線(xiàn)的離心率為 .

　　6. 已知圓 。以圓 與坐標軸的交點(diǎn)分別作為雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，則適合上述條件的雙曲線(xiàn)的標準方程為

高中數學(xué)教案4

　　整體設計

　　教學(xué)分析

　　我們在初中的學(xué)習過(guò)程中，已了解了整數指數冪的概念和運算性質(zhì)。從本節開(kāi)始我們將在回顧平方根和立方根的基礎上，類(lèi)比出正數的n次方根的定義，從而把指數推廣到分數指數。進(jìn)而推廣到有理數指數，再推廣到實(shí)數指數，并將冪的運算性質(zhì)由整數指數冪推廣到實(shí)數指數冪。

　　教材為了讓學(xué)生在學(xué)習之外就感受到指數函數的實(shí)際背景，先給出兩個(gè)具體例子：GDP的增長(cháng)問(wèn)題和碳14的衰減問(wèn)題。前一個(gè)問(wèn)題，既讓學(xué)生回顧了初中學(xué)過(guò)的整數指數冪，也讓學(xué)生感受到其中的函數模型，并且還有思想教育價(jià)值。后一個(gè)問(wèn)題讓學(xué)生體會(huì )其中的函數模型的同時(shí)，激發(fā)學(xué)生探究分數指數冪、無(wú)理數指數冪的興趣與欲望，為新知識的學(xué)習作了鋪墊。

　　本節安排的內容蘊涵了許多重要的數學(xué)思想方法，如推廣的思想（指數冪運算律的推廣）、類(lèi)比的思想、逼近的思想（有理數指數冪逼近無(wú)理數指數冪）、數形結合的思想（用指數函數的圖象研究指數函數的性質(zhì)）等，同時(shí)，充分關(guān)注與實(shí)際問(wèn)題的結合，體現數學(xué)的應用價(jià)值。

　　根據本節內容的特點(diǎn)，教學(xué)中要注意發(fā)揮信息技術(shù)的力量，盡量利用計算器和計算機創(chuàng )設教學(xué)情境，為學(xué)生的數學(xué)探究與數學(xué)思維提供支持。

　　三維目標

　　1、通過(guò)與初中所學(xué)的知識進(jìn)行類(lèi)比，理解分數指數冪的概念，進(jìn)而學(xué)習指數冪的性質(zhì)。掌握分數指數冪和根式之間的互化，掌握分數指數冪的運算性質(zhì)。培養學(xué)生觀(guān)察分析、抽象類(lèi)比的能力。

　　2、掌握根式與分數指數冪的互化，滲透“轉化”的數學(xué)思想。通過(guò)運算訓練，養成學(xué)生嚴謹治學(xué)，一絲不茍的學(xué)習習慣，讓學(xué)生了解數學(xué)來(lái)自生活，數學(xué)又服務(wù)于生活的哲理。

　　3、能熟練地運用有理指數冪運算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值，培養學(xué)生嚴謹的思維和科學(xué)正確的計算能力。

　　4、通過(guò)訓練及點(diǎn)評，讓學(xué)生更能熟練掌握指數冪的運算性質(zhì)。展示函數圖象，讓學(xué)生通過(guò)觀(guān)察，進(jìn)而研究指數函數的性質(zhì)，讓學(xué)生體驗數學(xué)的簡(jiǎn)潔美和統一美。

　　重點(diǎn)難點(diǎn)

　　教學(xué)重點(diǎn)

　�。�1）分數指數冪和根式概念的理解。

　�。�2）掌握并運用分數指數冪的運算性質(zhì)。

　�。�3）運用有理指數冪的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值。

　　教學(xué)難點(diǎn)

　�。�1）分數指數冪及根式概念的理解。

　�。�2）有理指數冪性質(zhì)的靈活應用。

　　課時(shí)安排

　　3課時(shí)

　　教學(xué)過(guò)程

　　第1課時(shí)

　　作者：路致芳

　　導入新課

　　思路1.同學(xué)們在預習的過(guò)程中能否知道考古學(xué)家如何判斷生物的發(fā)展與進(jìn)化，又怎樣判斷它們所處的年代？（考古學(xué)家是通過(guò)對生物化石的研究來(lái)判斷生物的發(fā)展與進(jìn)化的，第二個(gè)問(wèn)題我們不太清楚）考古學(xué)家是按照這樣一條規律推測生物所處的年代的。教師板書(shū)本節課題：指數函數——指數與指數冪的運算。

　　思路2.同學(xué)們，我們在初中學(xué)習了平方根、立方根，那么有沒(méi)有四次方根、五次方根…n次方根呢？答案是肯定的，這就是我們本堂課研究的課題：指數函數——指數與指數冪的運算。

　　推進(jìn)新課

　　新知探究

　　提出問(wèn)題

　�。�1）什么是平方根？什么是立方根？一個(gè)數的平方根有幾個(gè)，立方根呢？

　�。�2）如x4=a，x5=a，x6=a，根據上面的結論我們又能得到什么呢？

　�。�3）根據上面的結論我們能得到一般性的結論嗎？

　�。�4）可否用一個(gè)式子表達呢？

　　活動(dòng)：教師提示，引導學(xué)生回憶初中的時(shí)候已經(jīng)學(xué)過(guò)的平方根、立方根是如何定義的，對照類(lèi)比平方根、立方根的定義解釋上面的式子，對問(wèn)題(2)的結論進(jìn)行引申、推廣，相互交流討論后回答，教師及時(shí)啟發(fā)學(xué)生，具體問(wèn)題一般化，歸納類(lèi)比出n次方根的概念，評價(jià)學(xué)生的思維。

　　討論結果：(1)若x2=a，則x叫做a的平方根，正實(shí)數的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數，如：4的平方根為±2，負數沒(méi)有平方根，同理，若x3=a，則x叫做a的立方根，一個(gè)數的立方根只有一個(gè)，如：-8的立方根為-2.

　�。�2）類(lèi)比平方根、立方根的定義，一個(gè)數的四次方等于a，則這個(gè)數叫a的四次方根。一個(gè)數的五次方等于a，則這個(gè)數叫a的五次方根。一個(gè)數的六次方等于a，則這個(gè)數叫a的六次方根。

　�。�3）類(lèi)比(2)得到一個(gè)數的n次方等于a，則這個(gè)數叫a的n次方根。

　�。�4）用一個(gè)式子表達是，若xn=a，則x叫a的n次方根。

　　教師板書(shū)n次方根的意義：

　　一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根(n th root)，其中n>1且n∈正整數集。

　　可以看出數的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例。

　　提出問(wèn)題

　�。�1）你能根據n次方根的意義求出下列數的n次方根嗎？（多媒體顯示以下題目）。

　�、�4的平方根；②±8的立方根；③16的4次方根；④32的5次方根；⑤-32的5次方根；⑥0的7次方根；⑦a6的立方根。

　�。�2）平方根，立方根，4次方根，5次方根，7次方根，分別對應的方根的指數是什么數，有什么特點(diǎn)？4，±8，16，-32，32，0，a6分別對應什么性質(zhì)的數，有什么特點(diǎn)？

　�。�3）問(wèn)題(2)中，既然方根有奇次的也有偶次的，數a有正有負，還有零，結論有一個(gè)的，也有兩個(gè)的，你能否總結一般規律呢？

　�。�4）任何一個(gè)數a的偶次方根是否存在呢？

　　活動(dòng)：教師提示學(xué)生切實(shí)緊扣n次方根的概念，求一個(gè)數a的n次方根，就是求出的那個(gè)數的n次方等于a，及時(shí)點(diǎn)撥學(xué)生，從數的分類(lèi)考慮，可以把具體的數寫(xiě)出來(lái)，觀(guān)察數的特點(diǎn)，對問(wèn)題(2)中的結論，類(lèi)比推廣引申，考慮要全面，對回答正確的學(xué)生及時(shí)表?yè)P，對回答不準確的學(xué)生提示引導考慮問(wèn)題的思路。

　　討論結果：(1)因為±2的平方等于4，±2的立方等于±8，±2的4次方等于16,2的5次方等于32，-2的5次方等于-32,0的7次方等于0，a2的立方等于a6，所以4的平方根，±8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，-32的5次方根，0的7次方根，a6的立方根分別是±2，±2，±2,2，-2,0，a2.

　�。�2）方根的指數是2,3,4,5,7…特點(diǎn)是有奇數和偶數�？偟膩�(lái)看，這些數包括正數，負數和零。

　�。�3）一個(gè)數a的奇次方根只有一個(gè)，一個(gè)正數a的偶次方根有兩個(gè)，是互為相反數。0的任何次方根都是0.

　�。�4）任何一個(gè)數a的偶次方根不一定存在，如負數的偶次方根就不存在，因為沒(méi)有一個(gè)數的偶次方是一個(gè)負數。

　　類(lèi)比前面的平方根、立方根，結合剛才的討論，歸納出一般情形，得到n次方根的性質(zhì)：

　�、佼攏為偶數時(shí)，正數a的n次方根有兩個(gè)，是互為相反數，正的n次方根用na表示，如果是負數，負的n次方根用-na表示，正的n次方根與負的n次方根合并寫(xiě)成±na(a>0)。

　�、趎為奇數時(shí)，正數的n次方根是一個(gè)正數，負數的n次方根是一個(gè)負數，這時(shí)a的n次方根用符號na表示。

　�、圬摂禌](méi)有偶次方根；0的任何次方根都是零。

　　上面的文字語(yǔ)言可用下面的式子表示：

　　a為正數：n為奇數，a的n次方根有一個(gè)為na，n為偶數，a的n次方根有兩個(gè)為±na.

　　a為負數：n為奇數，a的n次方根只有一個(gè)為na，n為偶數，a的n次方根不存在。

　　零的n次方根為零，記為n0=0.

　　可以看出數的平方根、立方根的性質(zhì)是n次方根的性質(zhì)的特例。

　　思考

　　根據n次方根的性質(zhì)能否舉例說(shuō)明上述幾種情況？

　　活動(dòng)：教師提示學(xué)生對方根的性質(zhì)要分類(lèi)掌握，即正數的奇偶次方根，負數的奇次方根，零的任何次方根，這樣才不重不漏，同時(shí)巡視學(xué)生，隨機給出一個(gè)數，我們寫(xiě)出它的平方根，立方根，四次方根等，看是否有意義，注意觀(guān)察方根的形式，及時(shí)糾正學(xué)生在舉例過(guò)程中的問(wèn)題。

　　解：答案不，比如，64的立方根是4,16的'四次方根為±2，-27的5次方根為5-27，而-27的4次方根不存在等。其中5-27也表示方根，它類(lèi)似于na的形式，現在我們給式子na一個(gè)名稱(chēng)——根式。

　　根式的概念：

　　式子na叫做根式，其中a叫做被開(kāi)方數，n叫做根指數。

　　如3-27中，3叫根指數，-27叫被開(kāi)方數。

　　思考

　　nan表示an的n次方根，式子nan=a一定成立嗎？如果不一定成立，那么nan等于什么？

　　活動(dòng)：教師讓學(xué)生注意討論n為奇偶數和a的符號，充分讓學(xué)生多舉實(shí)例，分組討論。教師點(diǎn)撥，注意歸納整理。

　　〔如3(-3)3=3-27=-3，4(-8)4=|-8|=8〕。

　　解答：根據n次方根的意義，可得：(na)n=a.

　　通過(guò)探究得到：n為奇數，nan=a.

　　n為偶數，nan=|a|=a，-a，a≥0，a<0.

　　因此我們得到n次方根的運算性質(zhì)：

　�、�(na)n=a.先開(kāi)方，再乘方（同次），結果為被開(kāi)方數。

　�、趎為奇數，nan=a.先奇次乘方，再開(kāi)方（同次），結果為被開(kāi)方數。

　　n為偶數，nan=|a|=a，-a，a≥0，a<0.先偶次乘方，再開(kāi)方（同次），結果為被開(kāi)方數的絕對值。

　　應用示例

　　思路1

　　例求下列各式的值：

　�。�1)3(-8)3;(2)(-10)2;(3)4(3-π）4;(4)(a-b)2(a>b)。

　　活動(dòng)：求某些式子的值，首先考慮的應是什么，明確題目的要求是什么，都用到哪些知識，關(guān)鍵是啥，搞清這些之后，再針對每一個(gè)題目仔細分析。觀(guān)察學(xué)生的解題情況，讓學(xué)生展示結果，抓住學(xué)生在解題過(guò)程中出現的問(wèn)題并對癥下藥。求下列各式的值實(shí)際上是求數的方根，可按方根的運算性質(zhì)來(lái)解，首先要搞清楚運算順序，目的是把被開(kāi)方數的符號定準，然后看根指數是奇數還是偶數，如果是奇數，無(wú)需考慮符號，如果是偶數，開(kāi)方的結果必須是非負數。

　　解：(1)3(-8)3=-8;

　�。�2）(-10)2=10;

　�。�3)4(3-π）4=π-3;

　�。�4）(a-b)2=a-b(a>b)。

　　點(diǎn)評：不注意n的奇偶性對式子nan的值的影響，是導致問(wèn)題出現的一個(gè)重要原因，要在理解的基礎上，記準，記熟，會(huì )用，活用。

　　變式訓練

　　求出下列各式的值：

　　(1)7(-2)7;

　　(2)3(3a-3)3(a≤1)；

　　(3)4(3a-3)4.

　　解：(1)7(-2)7=-2，

　　(2)3(3a-3)3(a≤1)=3a-3，

　　(3)4(3a-3)4=

　　點(diǎn)評：本題易錯的是第(3)題，往往忽視a與1大小的討論，造成錯解。

　　思路2

　　例1下列各式中正確的是（）

　　A.4a4=a

　　B.6(-2)2=3-2

　　C.a0=1

　　D.10(2-1)5=2-1

　　活動(dòng)：教師提示，這是一道選擇題，本題考查n次方根的運算性質(zhì)，應首先考慮根據方根的意義和運算性質(zhì)來(lái)解，既要考慮被開(kāi)方數，又要考慮根指數，嚴格按求方根的步驟，體會(huì )方根運算的實(shí)質(zhì)，學(xué)生先思考哪些地方容易出錯，再回答。

　　解析：(1)4a4=a，考查n次方根的運算性質(zhì)，當n為偶數時(shí)，應先寫(xiě)nan=|a|，故A項錯。

　　(2)6(-2)2=3-2，本質(zhì)上與上題相同，是一個(gè)正數的偶次方根，根據運算順序也應如此，結論為6(-2)2=32，故B項錯。

　　(3)a0=1是有條件的，即a≠0，故C項也錯。

　　(4)D項是一個(gè)正數的偶次方根，根據運算順序也應如此，故D項正確。所以答案選D.

　　答案：D

　　點(diǎn)評：本題由于考查n次方根的運算性質(zhì)與運算順序，有時(shí)極易選錯，選四個(gè)答案的情況都會(huì )有，因此解題時(shí)千萬(wàn)要細心。

　　例2 3+22+3-22=__________.

　　活動(dòng)：讓同學(xué)們積極思考，交流討論，本題乍一看內容與本節無(wú)關(guān)，但仔細一想，我們學(xué)習的內容是方根，這里是帶有雙重根號的式子，去掉一層根號，根據方根的運算求出結果是解題的關(guān)鍵，因此將根號下面的式子化成一個(gè)完全平方式就更為關(guān)鍵了，從何處入手？需利用和的平方公式與差的平方公式化為完全平方式。正確分析題意是關(guān)鍵，教師提示，引導學(xué)生解題的思路。

　　解析：因為3+22=1+22+(2)2=(1+2)2=2+1，

　　3-22=(2)2-22+1=(2-1)2=2-1，

　　所以3+22+3-22=22.

　　答案：22

　　點(diǎn)評：不難看出3-22與3+22形式上有些特點(diǎn)，即是對稱(chēng)根式，是A±2B形式的式子，我們總能找到辦法把其化成一個(gè)完全平方式。

　　思考

　　上面的例2還有別的解法嗎？

　　活動(dòng)：教師引導，去根號常常利用完全平方公式，有時(shí)平方差公式也可，同學(xué)們觀(guān)察兩個(gè)式子的特點(diǎn)，具有對稱(chēng)性，再考慮并交流討論，一個(gè)是“+”，一個(gè)是“-”，去掉一層根號后，相加正好抵消。同時(shí)借助平方差，又可去掉根號，因此把兩個(gè)式子的和看成一個(gè)整體，兩邊平方即可，探討得另一種解法。

　　另解：利用整體思想，x=3+22+3-22，

　　兩邊平方，得x2=3+22+3-22+2(3+22)(3-22)=6+232-(22)2=6+2=8，所以x=22.

　　點(diǎn)評：對雙重二次根式，特別是A±2B形式的式子，我們總能找到辦法將根號下面的式子化成一個(gè)完全平方式，問(wèn)題迎刃而解，另外對A+2B±A-2B的式子，我們可以把它們看成一個(gè)整體利用完全平方公式和平方差公式去解。

　　變式訓練

　　若a2-2a+1=a-1，求a的取值范圍。

　　解：因為a2-2a+1=a-1，而a2-2a+1=(a-1)2=|a-1|=a-1，

　　即a-1≥0，

　　所以a≥1.

　　點(diǎn)評：利用方根的運算性質(zhì)轉化為去絕對值符號，是解題的關(guān)鍵。

　　知能訓練

　�。ń處熡枚嗝襟w顯示在屏幕上）

　　1、以下說(shuō)法正確的是（）

　　A.正數的n次方根是一個(gè)正數

　　B.負數的n次方根是一個(gè)負數

　　C.0的n次方根是零

　　D.a的n次方根用na表示（以上n>1且n∈正整數集）

　　答案：C

　　2、化簡(jiǎn)下列各式：

　　(1)664;(2)4(-3)2;(3)4x8;(4)6x6y3;(5)(x-y)2.

　　答案：(1)2;(2)3;(3)x2;(4)|x|y;(5)|x-y|。

　　3、計算7+40+7-40=__________.

　　解析：7+40+7-40

　　=(5)2+25?2+(2)2+(5)2-25?2+(2)2

　　=(5+2)2+(5-2)2

　　=5+2+5-2

　　=25.

　　答案：25

　　拓展提升

　　問(wèn)題：nan=a與(na)n=a(n>1，n∈N)哪一個(gè)是恒等式，為什么？請舉例說(shuō)明。

　　活動(dòng)：組織學(xué)生結合前面的例題及其解答，進(jìn)行分析討論，解決這一問(wèn)題要緊扣n次方根的定義。

　　通過(guò)歸納，得出問(wèn)題結果，對a是正數和零，n為偶數時(shí)，n為奇數時(shí)討論一下。再對a是負數，n為偶數時(shí)，n為奇數時(shí)討論一下，就可得到相應的結論。

　　解：(1)(na)n=a(n>1，n∈N)。

　　如果xn=a(n>1，且n∈N)有意義，則無(wú)論n是奇數或偶數，x=na一定是它的一個(gè)n次方根，所以(na)n=a恒成立。

　　例如：(43)4=3，(3-5)3=-5.

　　(2)nan=a，|a|，當n為奇數，當n為偶數。

　　當n為奇數時(shí)，a∈R，nan=a恒成立。

　　例如：525=2，5(-2)5=-2.

　　當n為偶數時(shí)，a∈R，an≥0，nan表示正的n次方根或0，所以如果a≥0，那么nan=a.例如434=3，40=0;如果a<0，那么nan=|a|=-a，如(-3)2=32=3，

　　即(na)n=a(n>1，n∈N)是恒等式，nan=a(n>1，n∈N)是有條件的。

　　點(diǎn)評：實(shí)質(zhì)上是對n次方根的概念、性質(zhì)以及運算性質(zhì)的深刻理解。

　　課堂小結

　　學(xué)生仔細交流討論后，在筆記上寫(xiě)出本節課的學(xué)習收獲，教師用多媒體顯示在屏幕上。

　　1、如果xn=a，那么x叫a的n次方根，其中n>1且n∈正整數集。用式子na表示，式子na叫根式，其中a叫被開(kāi)方數，n叫根指數。

　�。�1）當n為偶數時(shí)，a的n次方根有兩個(gè)，是互為相反數，正的n次方根用na表示，如果是負數，負的n次方根用-na表示，正的n次方根與負的n次方根合并寫(xiě)成±na(a>0)。

　　(2)n為奇數時(shí)，正數的n次方根是一個(gè)正數，負數的n次方根是一個(gè)負數，這時(shí)a的n次方根用符號na表示。

　�。�3）負數沒(méi)有偶次方根。0的任何次方根都是零。

　　2、掌握兩個(gè)公式：n為奇數時(shí)，(na)n=a，n為偶數時(shí)，nan=|a|=a，-a，a≥0，a<0.

　　作業(yè)

　　課本習題2.1A組1.

　　補充作業(yè)：

　　1、化簡(jiǎn)下列各式：

　　(1)681;(2)15-32;(3)6a2b4.

　　解：(1)681=634=332=39;

　　(2)15-32=-1525=-32;

　　(3)6a2b4=6（|a|？b2）2=3|a|？b2.

　　2、若5

　　解析：因為5

　　答案：2a-13

　　3.5+26+5-26=__________.

　　解析：對雙重二次根式，我們覺(jué)得難以下筆，我們考慮只有在開(kāi)方的前提下才可能解出，由此提示我們想辦法去掉一層根式，

　　不難看出5+26=(3+2)2=3+2.

　　同理5-26=(3-2)2=3-2.

　　所以5+26+5-26=23.

　　答案：23

　　設計感想

　　學(xué)生已經(jīng)學(xué)習了數的平方根和立方根，根式的內容是這些內容的推廣，本節課由于方根和根式的概念和性質(zhì)難以理解，在引入根式的概念時(shí)，要結合已學(xué)內容，列舉具體實(shí)例，根式na的講解要分n是奇數和偶數兩種情況來(lái)進(jìn)行，每種情況又分a>0，a<0，a=0三種情況，并結合具體例子講解，因此設計了大量的類(lèi)比和練習題目，要靈活處理這些題目，幫助學(xué)生加以理解，所以需要用多媒體信息技術(shù)服務(wù)教學(xué)。

　　第2課時(shí)

　　作者：郝云靜

　　導入新課

　　思路1.碳14測年法。原來(lái)宇宙射線(xiàn)在大氣層中能夠產(chǎn)生放射性碳14，并與氧結合成二氧化碳后進(jìn)入所有活組織，先為植物吸收，再為動(dòng)物吸收，只要植物和動(dòng)物生存著(zhù)，它們就會(huì )不斷地吸收碳14在機體內保持一定的水平。而當有機體死亡后，即會(huì )停止吸收碳14，其組織內的碳14便以約5 730年的半衰期開(kāi)始衰變并消失。對于任何含碳物質(zhì)只要測定剩下的放射性碳14的含量，便可推斷其年代（半衰期：經(jīng)過(guò)一定的時(shí)間，變?yōu)樵瓉?lái)的一半）。引出本節課題：指數與指數冪的運算之分數指數冪。

　　思路2.同學(xué)們，我們在初中學(xué)習了整數指數冪及其運算性質(zhì)，那么整數指數冪是否可以推廣呢？答案是肯定的。這就是本節的主講內容，教師板書(shū)本節課題——指數與指數冪的運算之分數指數冪。

　　推進(jìn)新課

　　新知探究

　　提出問(wèn)題

　�。�1）整數指數冪的運算性質(zhì)是什么？

　�。�2）觀(guān)察以下式子，并總結出規律：a>0，

　�、�；

　�、赼8=(a4)2=a4=，；

　�、�4a12=4(a3)4=a3=；

　�、�2a10=2(a5)2=a5= 。

　�。�3）利用(2)的規律，你能表示下列式子嗎？

　　，，，(x>0，m，n∈正整數集，且n>1)。

　�。�4）你能用方根的意義來(lái)解釋(3)的式子嗎？

　�。�5）你能推廣到一般的情形嗎？

　　活動(dòng)：學(xué)生回顧初中學(xué)習的整數指數冪及運算性質(zhì)，仔細觀(guān)察，特別是每題的開(kāi)始和最后兩步的指數之間的關(guān)系，教師引導學(xué)生體會(huì )方根的意義，用方根的意義加以解釋?zhuān)�指點(diǎn)啟發(fā)學(xué)生類(lèi)比(2)的規律表示，借鑒(2)(3)，我們把具體推廣到一般，對寫(xiě)正確的同學(xué)及時(shí)表?yè)P，其他學(xué)生鼓勵提示。

　　討論結果：(1)整數指數冪的運算性質(zhì)：an=a?a?a?…？a，a0=1(a≠0)；00無(wú)意義；

　　a-n=1an(a≠0)；am?an=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn.

　�。�2）①a2是a10的5次方根；②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根；④a5是a10的2次方根。實(shí)質(zhì)上①5a10=，②a8=，③4a12=，④2a10=結果的a的指數是2,4,3,5分別寫(xiě)成了105，82，124，105，形式上變了，本質(zhì)沒(méi)變。

　　根據4個(gè)式子的最后結果可以總結：當根式的被開(kāi)方數的指數能被根指數整除時(shí)，根式可以寫(xiě)成分數作為指數的形式（分數指數冪形式）。

　�。�3）利用(2)的規律，453=，375=，5a7=，nxm= 。

　　(4)53的四次方根是，75的三次方根是，a7的五次方根是，xm的n次方根是。

　　結果表明方根的結果和分數指數冪是相通的。

　�。�5）如果a>0，那么am的n次方根可表示為nam=，即=nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1)。

　　綜上所述，我們得到正數的正分數指數冪的意義，教師板書(shū)：

　　規定：正數的正分數指數冪的意義是=nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1)。

　　提出問(wèn)題

　�。�1）負整數指數冪的意義是怎樣規定的？

　�。�2）你能得出負分數指數冪的意義嗎？

　�。�3）你認為應怎樣規定零的分數指數冪的意義？

　�。�4）綜合上述，如何規定分數指數冪的意義？

　�。�5）分數指數冪的意義中，為什么規定a>0，去掉這個(gè)規定會(huì )產(chǎn)生什么樣的后果？

　�。�6）既然指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數，那么整數指數冪的運算性質(zhì)是否也適用于有理數指數冪呢？

　　活動(dòng)：學(xué)生回想初中學(xué)習的情形，結合自己的學(xué)習體會(huì )回答，根據零的整數指數冪的意義和負整數指數冪的意義來(lái)類(lèi)比，把正分數指數冪的意義與負分數指數冪的意義融合起來(lái)，與整數指數冪的運算性質(zhì)類(lèi)比可得有理數指數冪的運算性質(zhì)，教師在黑板上板書(shū)，學(xué)生合作交流，以具體的實(shí)例說(shuō)明a>0的必要性，教師及時(shí)作出評價(jià)。

　　討論結果：(1)負整數指數冪的意義是：a-n=1an(a≠0)，n∈N+。

　�。�2）既然負整數指數冪的意義是這樣規定的，類(lèi)比正數的正分數指數冪的意義可得正數的負分數指數冪的意義。

　　規定：正數的負分數指數冪的意義是= =1nam(a>0，m，n∈=N+，n>1)。

　�。�3）規定：零的分數指數冪的意義是：零的正分數次冪等于零，零的負分數指數冪沒(méi)有意義。

　�。�4）教師板書(shū)分數指數冪的意義。分數指數冪的意義就是：

　　正數的正分數指數冪的意義是=nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1)，正數的負分數指數冪的意義是= =1nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1)，零的正分數次冪等于零，零的負分數指數冪沒(méi)有意義。

　�。�5）若沒(méi)有a>0這個(gè)條件會(huì )怎樣呢？

　　如=3-1=-1，=6(-1)2=1具有同樣意義的兩個(gè)式子出現了截然不同的結果，這只說(shuō)明分數指數冪在底數小于零時(shí)是無(wú)意義的。因此在把根式化成分數指數時(shí)，切記要使底數大于零，如無(wú)a>0的條件，比如式子3a2=，同時(shí)負數開(kāi)奇次方是有意義的，負數開(kāi)奇次方時(shí)，應把負號移到根式的外邊，然后再按規定化成分數指數冪，也就是說(shuō)，負分數指數冪在有意義的情況下總表示正數，而不是負數，負數只是出現在指數上。

　�。�6）規定了分數指數冪的意義后，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數。

　　有理數指數冪的運算性質(zhì)：對任意的有理數r，s，均有下面的運算性質(zhì)：

　�、賏r?as=ar+s(a>0，r，s∈Q)，

　�、�(ar)s=ars(a>0，r，s∈Q)，

　�、�(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈Q)。

　　我們利用分數指數冪的意義和有理數指數冪的運算性質(zhì)可以解決一些問(wèn)題，來(lái)看下面的例題。

　　應用示例

　　例1求值：(1)；(2)；(3)12-5;(4) 。

　　活動(dòng)：教師引導學(xué)生考慮解題的方法，利用冪的運算性質(zhì)計算出數值或化成最簡(jiǎn)根式，根據題目要求，把底數寫(xiě)成冪的形式，8寫(xiě)成23,25寫(xiě)成52，12寫(xiě)成2-1，1681寫(xiě)成234，利用有理數冪的運算性質(zhì)可以解答，完成后，把自己的答案用投影儀展示出來(lái)。

　　解：(1) =22=4;

　�。�2）=5-1=15;

　　(3)12-5=(2-1)-5=2-1×(-5)=32;

　�。�4）=23-3=278.

　　點(diǎn)評：本例主要考查冪值運算，要按規定來(lái)解。在進(jìn)行冪值運算時(shí)，要首先考慮轉化為指數運算，而不是首先轉化為熟悉的根式運算，如=382=364=4.

　　例2用分數指數冪的形式表示下列各式。

　　a3?a;a2?3a2;a3a(a>0)。

　　活動(dòng)：學(xué)生觀(guān)察、思考，根據解題的順序，把根式化為分數指數冪，再由冪的運算性質(zhì)來(lái)運算，根式化為分數指數冪時(shí)，要由里往外依次進(jìn)行，把握好運算性質(zhì)和順序，學(xué)生討論交流自己的解題步驟，教師評價(jià)學(xué)生的解題情況，鼓勵學(xué)生注意總結。

　　解：a3?a=a3? =；

　　a2?3a2=a2? =；

　　a3a= 。

　　點(diǎn)評：利用分數指數冪的意義和有理數指數冪的運算性質(zhì)進(jìn)行根式運算時(shí)，其順序是先把根式化為分數指數冪，再由冪的運算性質(zhì)來(lái)運算。對于計算的結果，不強求統一用什么形式來(lái)表示，沒(méi)有特別要求，就用分數指數冪的形式來(lái)表示，但結果不能既有分數指數又有根式，也不能既有分母又有負指數。

　　例3計算下列各式（式中字母都是正數）。

　�。�1）；

　�。�2）。

　　活動(dòng)：先由學(xué)生觀(guān)察以上兩個(gè)式子的特征，然后分析，四則運算的順序是先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號的先算括號內的，整數冪的運算性質(zhì)及運算規律擴充到分數指數冪后，其運算順序仍符合我們以前的四則運算順序，再解答，把自己的答案用投影儀展示出來(lái)，相互交流，其中要注意到(1)小題是單項式的乘除運算，可以用單項式的乘除法運算順序進(jìn)行，要注意符號，第(2)小題是乘方運算，可先按積的乘方計算，再按冪的乘方進(jìn)行計算，熟悉后可以簡(jiǎn)化步驟。

　　解：(1)原式=[2×(-6)÷(-3)] =4ab0=4a;

　�。�2）=m2n-3=m2n3.

　　點(diǎn)評：分數指數冪不表示相同因式的積，而是根式的另一種寫(xiě)法。有了分數指數冪，就可把根式轉化成分數指數冪的形式，用分數指數冪的運算法則進(jìn)行運算了。

　　本例主要是指數冪的運算法則的綜合考查和應用。

　　變式訓練

　　求值：(1)33?33?63;

　　(2)627m3125n64.

　　解：(1)33?33?63= =32=9;

　　(2)627m3125n64= =9m225n4=925m2n-4.

　　例4計算下列各式：

　�。�1）(325-125)÷425;

　　(2)a2a?3a2(a>0)。

　　活動(dòng)：先由學(xué)生觀(guān)察以上兩個(gè)式子的特征，然后分析，化為同底。利用分數指數冪計算，在第(1)小題中，只含有根式，且不是同次根式，比較難計算，但把根式先化為分數指數冪再計算，這樣就簡(jiǎn)便多了，第(2)小題也是先把根式轉化為分數指數冪后再由運算法則計算，最后寫(xiě)出解答。

　　解：(1)原式=

　　= =65-5;

　　(2)a2a?3a2= =6a5.

　　知能訓練

　　課本本節練習1,2,3

　　【補充練習】

　　教師用實(shí)物投影儀把題目投射到屏幕上讓學(xué)生解答，教師巡視，啟發(fā)，對做得好的同學(xué)給予表?yè)P鼓勵。

　　1、(1)下列運算中，正確的是（）

　　A.a2?a3=a6 B.(-a2)3=(-a3)2

　　C.(a-1)0=0 D.(-a2)3=-a6

　�。�2）下列各式①4(-4)2n，②4(-4)2n+1，③5a4，④4a5（各式的n∈N，a∈R）中，有意義的是（）

　　A.①② B.①③ C.①②③④ D.①③④

　�。�3）(34a6)2?(43a6)2等于（）

　　A.a B.a2 C.a3 D.a4

　�。�4）把根式-25(a-b)-2改寫(xiě)成分數指數冪的形式為（）

　　A. B.

　　C. D.

　�。�5）化簡(jiǎn)的結果是（）

　　A.6a B.-a C.-9a D.9a

　　2、計算：(1) --17-2+ -3-1+(2-1)0=__________.

　�。�2）設5x=4,5y=2，則52x-y=__________.

　　3、已知x+y=12，xy=9且x

　　答案：1.(1)D　(2)B　(3)B　(4)A　(5)C　2.(1)19　(2)8

　　3、解：。

　　因為x+y=12，xy=9，所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=4×27.

　　又因為x

　　所以原式= =12-6-63=-33.

　　拓展提升

　　1、化簡(jiǎn)：。

　　活動(dòng)：學(xué)生觀(guān)察式子特點(diǎn)，考慮x的指數之間的關(guān)系可以得到解題思路，應對原式進(jìn)行因式分解，根據本題的特點(diǎn)，注意到：

　　x-1= -13=；

　　x+1= +13=；

　　。

　　構建解題思路教師適時(shí)啟發(fā)提示。

　　解：

　　=

　　=

　　=

　　= 。

　　點(diǎn)撥：解這類(lèi)題目，要注意運用以下公式，

　　=a-b，

　　=a± +b，

　　=a±b.

　　2、已知，探究下列各式的值的求法。

　　(1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3) 。

　　解：(1)將，兩邊平方，得a+a-1+2=9，即a+a-1=7;

　�。�2）將a+a-1=7兩邊平方，得a2+a-2+2=49，即a2+ a-2=47;

　�。�3）由于，

　　所以有=a+a-1+1=8.

　　點(diǎn)撥：對“條件求值”問(wèn)題，一定要弄清已知與未知的聯(lián)系，然后采取“整體代換”或“求值后代換”兩種方法求值。

　　課堂小結

　　活動(dòng)：教師，本節課同學(xué)們有哪些收獲？請把你的學(xué)習收獲記錄在你的筆記本上，同學(xué)們之間相互交流。同時(shí)教師用投影儀顯示本堂課的知識要點(diǎn)：

　�。�1）分數指數冪的意義就是：正數的正分數指數冪的意義是=nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1)，正數的負分數指數冪的意義是= =1nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1)，零的正分數次冪等于零，零的負分數指數冪沒(méi)有意義。

　�。�2）規定了分數指數冪的意義后，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數。

　�。�3）有理數指數冪的運算性質(zhì)：對任意的有理數r，s，均有下面的運算性質(zhì)：

　�、賏r?as=ar+s(a>0，r，s∈Q)，

　�、�(ar)s=ars(a>0，r，s∈Q)，

　�、�(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈Q)。

　�。�4）說(shuō)明兩點(diǎn)：

　�、俜謹抵笖祪绲囊饬x是一種規定，我們前面所舉的例子只表明這種規定的合理性，其中沒(méi)有推出關(guān)系。

　�、谡麛抵笖祪绲倪\算性質(zhì)對任意的有理數指數冪也同樣適用。因而分數指數冪與根式可以互化，也可以利用=am來(lái)計算。

　　作業(yè)

　　課本習題2.1A組2,4.

　　設計感想

　　本節課是分數指數冪的意義的引出及應用，分數指數是指數概念的又一次擴充，要讓學(xué)生反復理解分數指數冪的意義，教學(xué)中可以通過(guò)根式與分數指數冪的互化來(lái)鞏固加深對這一概念的理解，用觀(guān)察、歸納和類(lèi)比的方法完成，由于是硬性的規定，沒(méi)有合理的解釋?zhuān)�因此多安排一些練習，強化訓練，鞏固知識，要輔助以信息技術(shù)的手段來(lái)完成大容量的課堂教學(xué)任務(wù)。

　　第3課時(shí)

　　作者：鄭芳鳴

　　導入新課

　　思路1.同學(xué)們，既然我們把指數從正整數推廣到整數，又從整數推廣到正分數到負分數，這樣指數就推廣到有理數，那么它是否也和數的推廣一樣，到底有沒(méi)有無(wú)理數指數冪呢？回顧數的擴充過(guò)程，自然數到整數，整數到分數（有理數），有理數到實(shí)數。并且知道，在有理數到實(shí)數的擴充過(guò)程中，增添的數是無(wú)理數。對無(wú)理數指數冪，也是這樣擴充而來(lái)。既然如此，我們這節課的主要內容是：教師板書(shū)本堂課的課題〔指數與指數冪的運算(3)〕之無(wú)理數指數冪。

　　思路2.同學(xué)們，在初中我們學(xué)習了函數的知識，對函數有了一個(gè)初步的了解，到了高中，我們又對函數的概念進(jìn)行了進(jìn)一步的學(xué)習，有了更深的理解，我們僅僅學(xué)了幾種簡(jiǎn)單的函數，如一次函數、二次函數、正比例函數、反比例函數、三角函數等，這些遠遠不能滿(mǎn)足我們的需要，隨著(zhù)科學(xué)的發(fā)展，社會(huì )的進(jìn)步，我們還要學(xué)習許多函數，其中就有指數函數，為了學(xué)習指數函數的知識，我們必須學(xué)習實(shí)數指數冪的運算性質(zhì)，為此，我們必須把指數冪從有理數指數冪擴充到實(shí)數指數冪，因此我們本節課學(xué)習：指數與指數冪的運算(3)之無(wú)理數指數冪，教師板書(shū)本節課的課題。

　　推進(jìn)新課

　　新知探究

　　提出問(wèn)題

　�。�1）我們知道2=1.414 213 56…，那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…，是2的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22，…，是2的什么近似值？

　�。�2）多媒體顯示以下圖表：同學(xué)們從上面的兩個(gè)表中，能發(fā)現什么樣的規律？

　　2的過(guò)剩近似值

　　的近似值

　　1.5 11.180 339 89

　　1.42 9.829 635 328

　　1.415 9.750 851 808

　　1.414 3 9.739 872 62

　　1.414 22 9.738 618 643

　　1.414 214 9.738 524 602

　　1.414 213 6 9.738 518 332

　　1.414 213 57 9.738 517 862

　　1.414 213 563 9.738 517 752

　　… …

　　的近似值

　　2的不足近似值

　　9.518 269 694 1.4

　　9.672 669 973 1.41

　　9.735 171 039 1.414

　　9.738 305 174 1.414 2

　　9.738 461 907 1.414 21

　　9.738 508 928 1.414 213

　　9.738 516 765 1.414 213 5

　　9.738 517 705 1.414 213 56

　　9.738 517 736 1.414 213 562

　　… …

　�。�3）你能給上述思想起個(gè)名字嗎？

　�。�4）一個(gè)正數的無(wú)理數次冪到底是一個(gè)什么性質(zhì)的數呢？如，根據你學(xué)過(guò)的知識，能作出判斷并合理地解釋嗎？

　�。�5）借助上面的結論你能說(shuō)出一般性的結論嗎？

　　活動(dòng)：教師引導，學(xué)生回憶，教師提問(wèn)，學(xué)生回答，積極交流，及時(shí)評價(jià)學(xué)生，學(xué)生有困惑時(shí)加以解釋?zhuān)�可用多媒體顯示輔助內容：

　　問(wèn)題(1)從近似值的分類(lèi)來(lái)考慮，一方面從大于2的方向，另一方面從小于2的方向。

　　問(wèn)題(2)對圖表的觀(guān)察一方面從上往下看，再一方面從左向右看，注意其關(guān)聯(lián)。

　　問(wèn)題(3)上述方法實(shí)際上是無(wú)限接近，最后是逼近。

　　問(wèn)題(4)對問(wèn)題給予大膽猜測，從數軸的觀(guān)點(diǎn)加以解釋。

　　問(wèn)題(5)在(3)(4)的基礎上，推廣到一般的情形，即由特殊到一般。

　　討論結果：(1)1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…這些數都小于2，稱(chēng)2的不足近似值，而1.42，1.415,1.414 3,1.414 22，…，這些數都大于2，稱(chēng)2的過(guò)剩近似值。

　�。�2）第一個(gè)表：從大于2的方向逼近2時(shí)，就從51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大于的方向逼近。

　　第二個(gè)表：從小于2的方向逼近2時(shí)，就從51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小于的方向逼近。

　　從另一角度來(lái)看這個(gè)問(wèn)題，在數軸上近似地表示這些點(diǎn)，數軸上的數字表明一方面從51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小于的方向接近，而另一方面從51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大于的方向接近，可以說(shuō)從兩個(gè)方向無(wú)限地接近，即逼近，所以是一串有理數指數冪51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，和另一串有理數指數冪51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，按上述變化規律變化的結果，事實(shí)上表示這些數的點(diǎn)從兩個(gè)方向向表示的點(diǎn)靠近，但這個(gè)點(diǎn)一定在數軸上，由此我們可得到的結論是一定是一個(gè)實(shí)數，即51.4<51.41<51.414<51.414 2<51.414 21<…< <…<51.414 22<51.414 3<51.415<51.42<51.5.

　　充分表明是一個(gè)實(shí)數。

　�。�3）逼近思想，事實(shí)上里面含有極限的思想，這是以后要學(xué)的知識。

　�。�4）根據(2)(3)我們可以推斷是一個(gè)實(shí)數，猜測一個(gè)正數的無(wú)理數次冪是一個(gè)實(shí)數。

　�。�5）無(wú)理數指數冪的意義：

　　一般地，無(wú)理數指數冪aα（a>0，α是無(wú)理數）是一個(gè)確定的實(shí)數。

　　也就是說(shuō)無(wú)理數可以作為指數，并且它的結果是一個(gè)實(shí)數，這樣指數概念又一次得到推廣，在數的擴充過(guò)程中，我們知道有理數和無(wú)理數統稱(chēng)為實(shí)數。我們規定了無(wú)理數指數冪的意義，知道它是一個(gè)確定的實(shí)數，結合前面的有理數指數冪，那么，指數冪就從有理數指數冪擴充到實(shí)數指數冪。

　　提出問(wèn)題

　�。�1）為什么在規定無(wú)理數指數冪的意義時(shí)，必須規定底數是正數？

　�。�2）無(wú)理數指數冪的運算法則是怎樣的？是否與有理數指數冪的運算法則相通呢？

　�。�3）你能給出實(shí)數指數冪的運算法則嗎？

　　活動(dòng)：教師組織學(xué)生互助合作，交流探討，引導他們用反例說(shuō)明問(wèn)題，注意類(lèi)比，歸納。

　　對問(wèn)題(1)回顧我們學(xué)習分數指數冪的意義時(shí)對底數的規定，舉例說(shuō)明。

　　對問(wèn)題（2)結合有理數指數冪的運算法則，既然無(wú)理數指數冪aα(a>0，α是無(wú)理數）是一個(gè)確定的實(shí)數，那么無(wú)理數指數冪的運算法則應當與有理數指數冪的運算法則類(lèi)似，并且相通。

　　對問(wèn)題(3)有了有理數指數冪的運算法則和無(wú)理數指數冪的運算法則，實(shí)數的運算法則自然就得到了。

　　討論結果：(1)底數大于零的必要性，若a=-1，那么aα是+1還是-1就無(wú)法確定了，這樣就造成混亂，規定了底數是正數后，無(wú)理數指數冪aα是一個(gè)確定的實(shí)數，就不會(huì )再造成混亂。

　�。�2）因為無(wú)理數指數冪是一個(gè)確定的實(shí)數，所以能進(jìn)行指數的運算，也能進(jìn)行冪的運算，有理數指數冪的運算性質(zhì)，同樣也適用于無(wú)理數指數冪。類(lèi)比有理數指數冪的運算性質(zhì)可以得到無(wú)理數指數冪的運算法則：

　�、賏r?as=ar+s（a>0，r，s都是無(wú)理數）。

　�、冢╝r)s=ars(a>0，r，s都是無(wú)理數）。

　�、郏╝?b)r=arbr(a>0，b>0，r是無(wú)理數）。

　�。�3）指數冪擴充到實(shí)數后，指數冪的運算性質(zhì)也就推廣到了實(shí)數指數冪。

　　實(shí)數指數冪的運算性質(zhì)：

　　對任意的實(shí)數r，s，均有下面的運算性質(zhì)：

　�、賏r?as=ar+s(a>0，r，s∈R)。

　�、�(ar)s=ars(a>0，r，s∈R)。

　�、�(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈R)。

　　應用示例

　　例1利用函數計算器計算。（精確到0.001）

　　(1)0.32.1;(2)3.14-3;(3)；(4) 。

　　活動(dòng)：教師教會(huì )學(xué)生利用函數計算器計算，熟悉計算器的各鍵的功能，正確輸入各類(lèi)數，算出數值，對于(1)，可先按底數0.3，再按xy鍵，再按冪指數2.1，最后按=，即可求得它的值；

　　對于(2)，先按底數3.14，再按xy鍵，再按負號-鍵，再按3，最后按=即可；

　　對于(3)，先按底數3.1，再按xy鍵，再按3÷4，最后按=即可；

　　對于(4)，這種無(wú)理指數冪，可先按底數3，其次按xy鍵，再按鍵，再按3，最后按=鍵。有時(shí)也可按2ndf或shift鍵，使用鍵上面的功能去運算。

　　學(xué)生可以相互交流，挖掘計算器的用途。

　　解：(1)0.32.1≈0.080;(2)3.14-3≈0.032;(3) ≈2.336;(4) ≈6.705.

　　點(diǎn)評：熟練掌握用計算器計算冪的值的方法與步驟，感受現代技術(shù)的威力，逐步把自己融入現代信息社會(huì )；用四舍五入法求近似值，若保留小數點(diǎn)后n位，只需看第(n+1)位能否進(jìn)位即可。

　　例2求值或化簡(jiǎn)。

　　(1)a-4b23ab2(a>0，b>0)；

　�。�2）(a>0，b>0)；

　　(3)5-26+7-43-6-42.

　　活動(dòng)：學(xué)生觀(guān)察，思考，所謂化簡(jiǎn)，即若能化為常數則化為常數，若不能化為常數則應使所化式子達到最簡(jiǎn)，對既有分數指數冪又有根式的式子，應該把根式統一化為分數指數冪的形式，便于運算，教師有針對性地提示引導，對(1)由里向外把根式化成分數指數冪，要緊扣分數指數冪的意義和運算性質(zhì)，對(2)既有分數指數冪又有根式，應當統一起來(lái)，化為分數指數冪，對(3)有多重根號的式子，應先去根號，這里是二次根式，被開(kāi)方數應湊完全平方，這樣，把5,7,6拆成(3)2+(2)2,22+(3)2,22+(2)2，并對學(xué)生作及時(shí)的評價(jià)，注意總結解題的方法和規律。

　　解：(1)a-4b23ab2= =3b46a11 。

　　點(diǎn)評：根式的運算常�；�成冪的運算進(jìn)行，計算結果如沒(méi)有特殊要求，就用根式的形式來(lái)表示。

高中數學(xué)教案5

　　教學(xué)目標

　　1使學(xué)生理解本章的知識結構，并通過(guò)本章的知識結構掌握本章的全部知識；

　　2對線(xiàn)段、射線(xiàn)、直線(xiàn)、角的概念及它們之間的關(guān)系有進(jìn)一步的認識；

　　3掌握本章的全部定理和公理；

　　4理解本章的數學(xué)思想方法；

　　5了解本章的題目類(lèi)型。

　　教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

　　重點(diǎn)是理解本章的知識結構，掌握本章的全部定和公理；難點(diǎn)是理解本章的數學(xué)思想方法。

　　教學(xué)設計過(guò)程

　　一、本章的知識結構

　　二、本章中的概念

　　1直線(xiàn)、射線(xiàn)、線(xiàn)段的概念。

　　2線(xiàn)段的中點(diǎn)定義。

　　3角的兩個(gè)定義。

　　4直角、平角、周角、銳角、鈍角的概念。

　　5互余與互補的角。

　　三、本章中的公理和定理

　　1直線(xiàn)的公理；線(xiàn)段的公理。

　　2補角和余角的性質(zhì)定理。

　　四、本章中的主要習題類(lèi)型

　　1對直線(xiàn)、射線(xiàn)、線(xiàn)段的概念的理解。

　　例1下列說(shuō)法中正確的是( )。

　　A延長(cháng)射線(xiàn)OP B延長(cháng)直線(xiàn)CD

　　C延長(cháng)線(xiàn)段CD D反向延長(cháng)直線(xiàn)CD

　　解：C因為射線(xiàn)和直線(xiàn)是可以向一方或兩方無(wú)限延伸的，所以任何延長(cháng)射線(xiàn)或直線(xiàn)的說(shuō)法都是錯誤的。而線(xiàn)段有兩個(gè)端點(diǎn)，可以向兩方延長(cháng)。

　　例2如圖1-57中的線(xiàn)段共有多少條?

　　解：15條，它們是：線(xiàn)段AB，AD，AF，AC，AE，AG，BD，BF，DF，CE，CG，EG，BC，DE，FG。

　　2線(xiàn)段的和、差、倍、分。

　　例3已知線(xiàn)段AB，延長(cháng)AB到C，使AC=2BC，反向延長(cháng)AB到D使AD= BC，那么線(xiàn)段AD是線(xiàn)段AC的( )。

　　A．B. C. D.

　　解：B如圖1-58，因為AD是BC的二分之一，BC又是AC的二分之一，所以AD是AC的四分之一。

　　例4如圖1-59，B為線(xiàn)段AC上的一點(diǎn)，AB=4cm，BC=3cm，M，N分別為AB，BC的中點(diǎn)，求MN的長(cháng)。

　　解：因為AB=4，M是AB的中點(diǎn)，所以MB=2，又因為N是BC的中點(diǎn)，所以BN=1.5。則MN=2+1.5=3.5

　　3角的概念性質(zhì)及角平分線(xiàn)。

　　例5如圖1-60，已知AOC是一條直線(xiàn)，OD是∠AOB的平分線(xiàn)，OE是∠BOC的平分線(xiàn)，求∠EOD的度數。

　　解：因為OD是∠AOB的平分線(xiàn)，所以∠BOD= ∠AOB；又因為OE是∠BOC的平分線(xiàn)，所以∠BOE= ∠BOC；又∠AOB+∠BOC=180°，

　　所以∠BOE+∠BOD=(∠AOB+∠BOC)÷2=90°。

　　則∠EOD=90°。

　　例6如圖1-61，已知∠AOB=∠COD=90°，又∠AOD=150°，那么∠AOC與∠COB的度數的比是多少?

　　解：因為∠AOB=90°，又∠AOD=150°，所以∠BOD=60°。

　　又∠COD=90°，所以∠COB=30°。

　　則∠AOC=60°，(同角的.余角相等)

　　∠AOC與∠COB的度數的比是2∶1。

　　4互余與互補角的性質(zhì)。

　　例7如圖1-62，直線(xiàn)AB，CD相交于O，∠BOE=90°，若∠BOD=45°，求∠COE，∠COA，∠AOD的度數。

　　解：因為COD為直線(xiàn)，∠BOE=90°，∠BOD=45°，

　　所以∠COE=180°-90°-45°=45°

　　又AOB為直線(xiàn)，∠BOE=90°，∠COE=45°

　　故∠COA=180°-90°-45°=45°，

　　而AOB為直線(xiàn)，∠BOD=45°，

　　因此∠AOD=180°-45°=135°。

　　例8一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，且小有的余角與大角的余角之差為20°，求這兩個(gè)角的度數。

　　解：設第一個(gè)角為x°，則另一個(gè)角為3x°，

　　依題義列方程得：(90-x)-(90-3x)=20，解得：x=10，3x=30。

　　答：一個(gè)角為10°，另一個(gè)角為30°。

　　5度分秒的換算及和、差、倍、分的計算。

　　例9 (1)將4589°化成度、分、秒的形式。

　　(2)將80°34′45″化成度。

　　(3)計算：(36°55′40″-23°56′45″)。

　　解：(1)45°53′24″。

　　(2)約為8058°。

　　(3)約為9°44′11″(第一步，做減法后得12°58′55″；再做乘法后得36°174′165″，可以先不進(jìn)位，做除法后得9°44′11″)

　　五、本章中所學(xué)到的數學(xué)思想

　　1運動(dòng)變化的觀(guān)點(diǎn)：幾何圖形不是孤立和靜止的，也應看作不斷發(fā)展和變化的，如線(xiàn)段向一個(gè)方向延長(cháng)，就發(fā)展成為射線(xiàn)；射線(xiàn)向另一方向延長(cháng)就發(fā)展成直線(xiàn)。又如射線(xiàn)饒它的端點(diǎn)旋轉就形成角；角的終邊不斷旋轉就變化成直角、平角和周角。從圖形的運動(dòng)中可以看到變化，從變化中看到聯(lián)系和區別及特性。

　　2數形結合的思想：在幾何的知識中經(jīng)常遇到計算問(wèn)題，對形的研究離不開(kāi)數。正如數學(xué)家華羅庚所說(shuō)：“數缺形時(shí)少直觀(guān)，形缺數時(shí)難如微”。本章的知識中，將線(xiàn)段的長(cháng)度用數量表示，利用方程的方法解決余角與補角的問(wèn)題。因此我們對幾何的學(xué)習不能與代數的學(xué)習截然分開(kāi)，在形的問(wèn)題難以解決時(shí)，發(fā)揮數的功能，在數的問(wèn)題遇到困難時(shí)，畫(huà)出與它相關(guān)的圖形，都會(huì )給問(wèn)題的解決帶來(lái)新的思路。從幾何的起始課，就注意數形結合，就會(huì )養成良好的思維習慣。

　　3聯(lián)系實(shí)際，從實(shí)際事物中抽象出數學(xué)模型。數學(xué)的產(chǎn)生來(lái)源于生產(chǎn)和生活實(shí)踐，因此學(xué)習數學(xué)不能脫離實(shí)際生活，尤其是幾乎何的學(xué)習更離不開(kāi)實(shí)際生活。一方面要讓學(xué)生知道本章的主要內容是線(xiàn)和角，都在生活中有大量的原型存在，另一方面又要引導學(xué)生將所學(xué)的知識去解決某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，這才是理論聯(lián)系實(shí)際的觀(guān)點(diǎn)。

　　六、本章的疑點(diǎn)和誤點(diǎn)分析

　　概念在應用中的混淆。

　　例10判斷正誤：

　　(1)在∠AOB的邊OA的延長(cháng)線(xiàn)上取一點(diǎn)D。

　　(2)大于90°的角是鈍角。

　　(3)任何一個(gè)角都可以有余角。

　　(4)∠A是銳角，則∠A的所有余角都相等。

　　(5)兩個(gè)銳角的和一定小于平角。

　　(6)直線(xiàn)MN是平角。

　　(7)互補的兩個(gè)角的和一定等于平角。

　　(8)如果一個(gè)角的補角是銳角，那么這個(gè)角就沒(méi)有余角。

　　(9)鈍角一定大于它的補角。

　　(10)經(jīng)過(guò)三點(diǎn)一定可以畫(huà)一條直線(xiàn)。

　　解：(1)錯。因為角的兩邊是射線(xiàn)，而射線(xiàn)是可以向一方無(wú)限延伸的，所以就不能再說(shuō)射線(xiàn)的延長(cháng)線(xiàn)了。

　　(2)錯。鈍角的定義是：大于直角且小于平角的角，叫做鈍角。

　　(3)錯。余角的定義是：如果兩個(gè)角的和是一個(gè)直角，這兩個(gè)角互為余角。因此大于直角的角沒(méi)有余角。

　　(4)對.∠A的所有余角都是90°-∠A。

　　(5)對.若∠A＜90°，∠B＜90°則∠A+∠B＜90°+90°=180°.

　　(6)錯。平角是一個(gè)角就要有頂點(diǎn)，而直線(xiàn)上沒(méi)有表示平角頂點(diǎn)的點(diǎn)。如果在直線(xiàn)上標出表示角的頂點(diǎn)的點(diǎn)，就可以了。

　　(7)對。符合互補的角的定義。

　　(8)對。如果一個(gè)角的補角是銳角，那么這個(gè)角一定是鈍角，而鈍角是沒(méi)有余角的。

　　(9)對。因為鈍角的補角是銳角，鈍角一定大于銳角。

　　(10)錯。這個(gè)題應該分情況討論：如果這三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，這個(gè)結論是正確的。如果這三個(gè)點(diǎn)不在同一條直線(xiàn)上，那么過(guò)這三個(gè)點(diǎn)就不能畫(huà)一條直線(xiàn)。

　　板書(shū)設計

　　回顧與反思

　　(一)知識結構(四)主要習題類(lèi)型(五)本章的數學(xué)思想

　　略例1 1

　　· 2

　　(二)本章概念· 3

　　略· (六)疑誤點(diǎn)分析

　　(三)本章的公理和定理·

　　例9

高中數學(xué)教案6

　　教材分析：

　　三角函數的誘導公式是普通高中課程標準實(shí)驗教科書(shū)(人教B版)數學(xué)必修四，第一章第二節內容，其主要內容是公式(一)至公式(四)。本節課是第二課時(shí)，教學(xué)內容是公式(三)。教材要求通過(guò)學(xué)生在已經(jīng)掌握的任意角的三角函數定義和公式(一)(二)的基礎上，發(fā)現他們與單位圓的交點(diǎn)坐標之間關(guān)系，進(jìn)而發(fā)現三角函數值的關(guān)系。同時(shí)教材滲透了轉化與化歸等數學(xué)思想方法。

　　教案背景：

　　通過(guò)學(xué)生在已經(jīng)掌握的任意角的三角函數定義和公式(一)(二)的基礎上，發(fā)現他們與單位圓的交點(diǎn)坐標之間關(guān)系，進(jìn)而發(fā)現三角函數值的關(guān)系。同時(shí)教材滲透了轉化與化歸等數學(xué)思想方法，為培養學(xué)生養成良好的學(xué)習習慣提出了要求。因此本節內容在三角函數中占有非常重要的地位.

　　教學(xué)方法：

　　以學(xué)生為主題，以發(fā)現為主線(xiàn)，盡力滲透類(lèi)比、化歸、數形結合等數學(xué)思想方法，采用提出問(wèn)題、啟發(fā)引導、共同探究、綜合應用等教學(xué)模式。

　　教學(xué)目標：

　　借助單位圓探究誘導公式。

　　能正確運用誘導公式將任意角的三角函數化為銳角三角函數。

　　教學(xué)重點(diǎn)：

　　誘導公式(三)的推導及應用。

　　教學(xué)難點(diǎn)：

　　誘導公式的應用。

　　教學(xué)手段：

　　多媒體。

　　教學(xué)情景設計：

　　一.復習回顧：

　　1. 誘導公式(一)(二)。

　　2. 角 (終邊在一條直線(xiàn)上)

　　3. 思考：下列一組角有什么特征?( )能否用式子來(lái)表示?

　　二.新課：

　　已知 由

　　可知

　　而 (課件演示，學(xué)生發(fā)現)

　　所以

　　于是可得： (三)

　　設計意圖：結合幾何畫(huà)板的演示利用同一點(diǎn)的坐標變換，導出公式。

　　由公式(一)(三)可以看出，角 角 相等。即：

　　.

　　公式(一)(二)(三)都叫誘導公式。利用誘導公式可以求三角函數式的值或化簡(jiǎn)三角函數式。

　　設計意圖：結合學(xué)過(guò)的公式(一)(二)，發(fā)現特點(diǎn)，總結公式。

　　1. 練習

　　(1)

　　設計意圖：利用公式解決問(wèn)題，發(fā)現新問(wèn)題，小組研究討論，得到新公式。

　　(學(xué)生板演，老師點(diǎn)評，用彩色粉筆強調重點(diǎn)，引導學(xué)生總結公式。)

　　三.例題

　　例3：求下列各三角函數值：

　　(1)

　　(2)

　　(3)

　　(4)

　　例4：化簡(jiǎn)

　　設計意圖：利用公式解決問(wèn)題。

　　練習：

　　(1)

　　(2) (學(xué)生板演，師生點(diǎn)評)

　　設計意圖：觀(guān)察公式特點(diǎn)，選擇公式解決問(wèn)題。

　　四.課堂小結：將任意角三角函數轉化為銳角三角函數，體現轉化化歸，數形結合思想的應用，培養了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，熟練應用解決問(wèn)題。

　　五.課后作業(yè)：課后練習A、B組

　　六.課后反思與交流

　　很榮幸大家來(lái)聽(tīng)我的課，通過(guò)這課，我學(xué)習到如下的東西：

　　1.要認真的研讀新課標，對教學(xué)的目標，重難點(diǎn)把握要到位

　　2.注意板書(shū)設計，注重細節的東西，語(yǔ)速需要改正

　　3.進(jìn)一步的學(xué)習網(wǎng)頁(yè)制作，讓你的網(wǎng)頁(yè)更加的完善，學(xué)生更容易操作

　　4.盡可能讓你的學(xué)生自主提出問(wèn)題，自主的思考，能夠化被動(dòng)學(xué)習為主動(dòng)學(xué)習，充分享受學(xué)習數學(xué)的樂(lè )趣

　　5.上課的生動(dòng)化，形象化需要加強

　　聽(tīng)課者評價(jià)：

　　1.評議者：網(wǎng)絡(luò )輔助教學(xué)，起到了很好的效果;教態(tài)大方，作為新教師，開(kāi)設校際課，勇氣可嘉!建議：感覺(jué)到老師有點(diǎn)緊張，其實(shí)可以放開(kāi)點(diǎn)的，相信效果會(huì )更好的!重點(diǎn)不夠清晰，有引導數學(xué)時(shí)，最好值有個(gè)側重點(diǎn);網(wǎng)絡(luò )設計上，網(wǎng)頁(yè)上公開(kāi)的推導公式為上，留有更大的空間讓學(xué)生來(lái)思考。

　　2.評議者：網(wǎng)絡(luò )教學(xué)效果良好，給學(xué)生自主思考，學(xué)習的空間發(fā)揮，教學(xué)設計得好;建議：課堂講課聲音，語(yǔ)調可以更有節奏感一些，抑揚頓挫應注意課堂例題練習可以多兩題。

　　3.評議者：學(xué)科網(wǎng)絡(luò )平臺的使用;建議：應重視引導學(xué)生將一些唾手可得的有用結論總結出來(lái)，并形成自我的經(jīng)驗。

　　4.評議者：引導學(xué)生通過(guò)網(wǎng)絡(luò )進(jìn)行探究。

　　建議：課件制作在線(xiàn)測評部分，建議不能重復選擇，應全部做完后，顯示結果，再重復測試;多提問(wèn)學(xué)生。

　　( 1)給學(xué)生思考的時(shí)間較長(cháng)，語(yǔ)調相對平緩，總結時(shí)，給學(xué)生一些激勵的語(yǔ)言更好

　　( 2)這樣子的'教學(xué)可以提高上課效率，讓學(xué)生更多的時(shí)間思考

　　( 3)網(wǎng)絡(luò )平臺的使用，使得學(xué)生的參與度明顯提高，存在問(wèn)題：1.公式對稱(chēng)性的誘導，點(diǎn)與點(diǎn)的對稱(chēng)的誘導，終邊的關(guān)系的誘導，要進(jìn)一步的修正;2.公式的概括要注意引導學(xué)生怎么用，學(xué)習這個(gè)誘導公式的作用

　　( 4)給學(xué)生答案，這個(gè)網(wǎng)頁(yè)要進(jìn)一步的修正，答案能否不要一點(diǎn)就出來(lái)

　　( 5)1.板書(shū)設計要進(jìn)一步的加強，2.語(yǔ)速相對是比較快的3.練習量比較少

　　( 6)讓學(xué)生多探究，課堂會(huì )更熱鬧

　　( 7)注意引入的過(guò)程要帶有目的，帶著(zhù)問(wèn)題來(lái)教學(xué)，學(xué)生帶著(zhù)問(wèn)題來(lái)學(xué)習

　　( 8)教學(xué)模式相對簡(jiǎn)單重復

　　( 9)思路較為清晰，規范化的推理

高中數學(xué)教案7

　�。ㄒ唬┙虒W(xué)具準備

　　直尺，投影儀．

　�。ǘ�）教學(xué)目標

　　1．掌握，的定義域、值域、最值、單調區間．

　　2．會(huì )求含有、的三角式的定義域．

　�。ㄈ�）教學(xué)過(guò)程

　　1．設置情境

　　研究函數就是要討論一些性質(zhì)，，是函數，我們當然也要探討它的一些屬性．本節課，我們就來(lái)研究正弦函數、余弦函數的最基本的兩條性質(zhì)．

　　2．探索研究

　　師：同學(xué)們回想一下，研究一個(gè)函數常要研究它的哪些性質(zhì)？

　　生：定義域、值域，單調性、奇偶性、等等．

　　師：很好，今天我們就來(lái)探索，兩條最基本的性質(zhì)定義域、值域．（板書(shū)課題正、余弦函數的定義域、值域．）

　　師：請同學(xué)看投影，大家仔細觀(guān)察一下正弦、余弦曲線(xiàn)的圖像．

　　師：請同學(xué)思考以下幾個(gè)問(wèn)題：

　�。�1）正弦、余弦函數的定義域是什么？

　�。�2）正弦、余弦函數的值域是什么？

　�。�3）他們最值情況如何？

　�。�4）他們的正負值區間如何分？

　�。�5）的解集如何？

　　師生一起歸納得出：

　�。�1）正弦函數、余弦函數的定義域都是．

　�。�2）正弦函數、余弦函數的值域都是即，，稱(chēng)為正弦函數、余弦函數的有界性．

　�。�3）取最大值、最小值情況：

　　正弦函數，當時(shí)，（）函數值取最大值1，當時(shí)，（）函數值取最小值－1．

　　余弦函數，當，（）時(shí)，函數值取最大值1，當，（）時(shí)，函數值取最小值－1．

　�。�4）正負值區間：

　�。ǎ�

　�。�5）零點(diǎn)：（）

　�。ǎ�

　　3．例題分析

　　【例1】求下列函數的定義域、值域：

　�。�1）；（2）；（3）．

　　解：（1），

　�。�2）由（）

　　又∵，∴

　　∴定義域為（），值域為．

　�。�3）由（），又由

　　∴

　　∴定義域為（），值域為．

　　指出：求值域應注意用到或有界性的條件．

　　【例2】求下列函數的最大值，并求出最大值時(shí)的集合：

　�。�1），；（2），；

　�。�3）（4）．

　　解：（1）當，即（）時(shí)，取得最大值

　　∴函數的最大值為2，取最大值時(shí)的集合為．

　�。�2）當時(shí)，即（）時(shí)，取得最大值．

　　∴函數的最大值為1，取最大值時(shí)的集合為．

　�。�3）若，，此時(shí)函數為常數函數．

　　若時(shí)，∴時(shí)，即（）時(shí)，函數取最大值，

　　∴時(shí)函數的最大值為，取最大值時(shí)的集合為．

　�。�4）若，則當時(shí)，函數取得最大值．

　　若，則，此時(shí)函數為常數函數．

　　若，當時(shí)，函數取得最大值．

　　∴當時(shí)，函數取得最大值，取得最大值時(shí)的集合為；當時(shí)，函數取得最大值，取得最大值時(shí)的集合為，當時(shí)，函數無(wú)最大值．

　　指出：對于含參數的'最大值或最小值問(wèn)題，要對或的系數進(jìn)行討論．

　　思考：此例若改為求最小值，結果如何？

　　【例3】要使下列各式有意義應滿(mǎn)足什么條件？

　�。�1）；（2）．

　　解：（1）由，

　　∴當時(shí)，式子有意義．

　�。�2）由，即

　　∴當時(shí)，式子有意義．

　　4．演練反饋（投影）

　�。�1）函數，的簡(jiǎn)圖是（）

　�。�2）函數的最大值和最小值分別為（）

　　A．2，－2 B．4，0 C．2，0 D．4，－4

　�。�3）函數的最小值是（）

　　A．B．－2 C．D．

　�。�4）如果與同時(shí)有意義，則的取值范圍應為（）

　　A．B．C．D．或

　�。�5）與都是增函數的區間是（）

　　A．，B．，

　　C．，D．，

　�。�6）函數的定義域________，值域________，時(shí)的集合為_(kāi)________．

　　參考答案：1．B 2．B 3．A 4．C 5．D

　　6．；；

　　5．總結提煉

　�。�1），的定義域均為．

　�。�2）、的值域都是

　�。�3）有界性：

　�。�4）最大值或最小值都存在，且取得極值的集合為無(wú)限集．

　�。�5）正負敬意及零點(diǎn)，從圖上一目了然．

　�。�6）單調區間也可以從圖上看出．

　�。ㄋ模┌鍟�(shū)設計

　　1．定義域

　　2．值域

　　3．最值

　　4．正負區間

　　5．零點(diǎn)

　　例1

　　例2

　　例3

　　課堂練習

　　課后思考題：求函數的最大值和最小值及取最值時(shí)的集合

　　提示：

高中數學(xué)教案8

　　教學(xué)目標：1．進(jìn)一步理解線(xiàn)性規劃的概念；會(huì )解簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規劃問(wèn)題；

　　2．在運用建模和數形結合等數學(xué)思想方法分析、解決問(wèn)題的過(guò)程中；提高解決問(wèn)題的能力；

　　3．進(jìn)一步提高學(xué)生的合作意識和探究意識。

　　教學(xué)重點(diǎn)：線(xiàn)性規劃的概念及其解法

　　教學(xué)難點(diǎn)：

　　代數問(wèn)題幾何化的過(guò)程

　　教學(xué)方法：啟發(fā)探究式

　　教學(xué)手段：運用多媒體技術(shù)

　　教學(xué)過(guò)程：1．實(shí)際問(wèn)題引入。

　　問(wèn)題一：小王和小李合租了一輛小轎車(chē)外出旅游.小王駕車(chē)平均速度為每小時(shí)70公里，平均耗油量為每小時(shí)6公升；小李駕車(chē)平均速度為每小時(shí)50公里，平均耗油量為每小時(shí)4公升.現知道油箱內油量為60公升，兩人駕車(chē)時(shí)間累計不能超過(guò)12小時(shí).問(wèn)小王和小李分別駕車(chē)多少時(shí)間時(shí)，行駛路程最遠？

　　2．探究和討論下列問(wèn)題。

　　(1)實(shí)際問(wèn)題轉化為一個(gè)怎樣的數學(xué)問(wèn)題？

　　(2)滿(mǎn)足不等式組①的條件的點(diǎn)構成的區域如何表示？

　　(3)關(guān)于x、y的一個(gè)表達式z＝70x＋50y的幾何意義是什么？

　　(4)z的幾何意義是什么？

　　(5)z的最大值如何確定？

　　讓學(xué)生達成以下共識：小王駕車(chē)時(shí)間x和小李駕車(chē)時(shí)間y受到時(shí)間(12小時(shí))和油量(60公升)的限制，即

　　x＋y≤12

　　6x＋4y≤60 ①

　　x≥0

　　y≥0

　　行駛路程可以表示成關(guān)于x、y的一個(gè)表達式：z＝70x＋50y 由數形結合可知：經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(6，6)的直線(xiàn)所對應的z最大.

　　則zmax＝6×70＋6×50＝720

　　結論：小王和小李分別駕車(chē)6小時(shí)時(shí)，行駛路程最遠為720公里.

　　解題反思：

　　問(wèn)題解決過(guò)程中體現了那些重要的數學(xué)思想？

　　3．線(xiàn)性規劃的有關(guān)概念。

　　什么是“線(xiàn)性規劃問(wèn)題”？涉及約束條件、線(xiàn)性約束條件、目標函數、線(xiàn)性目標函數、可行解、可行域和最優(yōu)解等概念.

　　4．進(jìn)一步探究線(xiàn)性規劃問(wèn)題的解。

　　問(wèn)題二：若小王和小李駕車(chē)平均速度為每小時(shí)60公里和40公里，其它條件不變，問(wèn)小王和小李分別駕車(chē)多少時(shí)間時(shí)，行駛路程最遠？

　　要求：請你寫(xiě)出約束條件、目標函數，作出可行域，求出最優(yōu)解。

　　問(wèn)題三：如果把不等式組①中的兩個(gè)“≤”改為“≥”，是否存在最優(yōu)解？

　　5．小結。

　　(1)數學(xué)知識；(2)數學(xué)思想。

　　6．作業(yè)。

　　(1)閱讀教材：P.60-63；

　　(2)課后練習：教材P.65-2，3；

　　(3)在自己生活中尋找一個(gè)簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規劃問(wèn)題，寫(xiě)出約束條件，確定目標函數，作出可行域，并求出最優(yōu)解。

　　《一個(gè)數列的研究》教學(xué)設計

　　教學(xué)目標：

　　1．進(jìn)一步理解和掌握數列的有關(guān)概念和性質(zhì)；

　　2．在對一個(gè)數列的探究過(guò)程中，提高提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；

　　3．進(jìn)一步提高問(wèn)題探究意識、知識應用意識和同伴合作意識。

　　教學(xué)重點(diǎn)：

　　問(wèn)題的提出與解決

　　教學(xué)難點(diǎn)：

　　如何進(jìn)行問(wèn)題的探究

　　教學(xué)方法：

　　啟發(fā)探究式

　　教學(xué)過(guò)程：

　　問(wèn)題：已知{an}是首項為1，公比為 的無(wú)窮等比數列。對于數列{an}，提出你的問(wèn)題，并進(jìn)行研究，你能得到一些什么樣的結論？

　　研究方向提示：

　　1．數列{an}是一個(gè)等比數列，可以從等比數列角度來(lái)進(jìn)行研究；

　　2．研究所給數列的項之間的關(guān)系；

　　3．研究所給數列的子數列；

　　4．研究所給數列能構造的新數列；

　　5．數列是一種特殊的函數，可以從函數性質(zhì)角度來(lái)進(jìn)行研究；

　　6．研究所給數列與其它知識的聯(lián)系（組合數、復數、圖形、實(shí)際意義等）。

　　針對學(xué)生的研究情況，對所提問(wèn)題進(jìn)行歸類(lèi)，選擇部分類(lèi)型問(wèn)題共同進(jìn)行研究、分析與解決。

　　課堂小結：

　　1．研究一個(gè)數列可以從哪些方面提出問(wèn)題并進(jìn)行研究？

　　2．你最喜歡哪位同學(xué)的研究？為什么？

　　課后思考題： 1．將{an}推廣為一般的無(wú)窮等比數列：1，q，q2，…，qn－1，… ，上述一些研究結論會(huì )有什么變化？

　　2．若將{an}改為等差數列：1，1＋d，2＋d，…，1＋(n－1)d，… ，是否可以進(jìn)行類(lèi)比研究？

　　開(kāi)展研究性學(xué)習，培養問(wèn)題解決能力

　　一、對“研究性學(xué)習”和“問(wèn)題解決”的認識 研究性學(xué)習是一種與接受性學(xué)習相對應的學(xué)習方式，泛指學(xué)生主動(dòng)探究問(wèn)題的學(xué)習。研究性學(xué)習也可以說(shuō)是一種學(xué)習活動(dòng)：學(xué)生在教師指導下，在自己的學(xué)習生活和社會(huì )生活中選擇課題，以類(lèi)似科學(xué)研究的方式去主動(dòng)地獲取知識、應用知識、解決問(wèn)題。

　　“問(wèn)題解決”(problem solving)是美國數學(xué)教育界在二十世紀八十年代的主要口號，即認為應當以“問(wèn)題解決”作為學(xué)校數學(xué)教育的中心。

　　問(wèn)題解決能力是一種重要的數學(xué)能力，其核心是“創(chuàng )新精神”與“實(shí)踐能力”。在數學(xué)教學(xué)活動(dòng)中開(kāi)展研究性學(xué)習是培養問(wèn)題解決能力的主要途徑。

　　二、“問(wèn)題解決”課堂教學(xué)模式的建構與實(shí)踐 以研究性學(xué)習活動(dòng)為載體，以培養問(wèn)題解決能力為核心的課堂教學(xué)模式（以下簡(jiǎn)稱(chēng)為“問(wèn)題解決”課堂教學(xué)模式）試圖通過(guò)問(wèn)題情境創(chuàng )設，激發(fā)學(xué)生的求知欲，以獨立思考和交流討論的形式，發(fā)現、分析并解決問(wèn)題，培養處理信息、獲取新知、應用知識的能力，提高合作意識、探究意識和創(chuàng )新意識。

　�。ㄒ唬╆P(guān)于“問(wèn)題解決”課堂教學(xué)模式

　　通過(guò)實(shí)施“問(wèn)題解決”課堂教學(xué)模式，希望能夠達到以下的功能目標：學(xué)習發(fā)現問(wèn)題的`方法，開(kāi)掘創(chuàng )造性思維潛力，培養主動(dòng)參與、團結協(xié)作精神，增進(jìn)師生、同伴之間的情感交流，形成自覺(jué)運用數學(xué)基礎知識、基本技能和數學(xué)思想方法分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和意識。

　�。ǘ�）數學(xué)學(xué)科中的問(wèn)題解決能力的培養目標

　　數學(xué)問(wèn)題解決能力培養的目標可以有不同層次的要求：會(huì )審題，會(huì )建模，會(huì )轉化，會(huì )歸類(lèi)，會(huì )反思，會(huì )編題。

　�。ㄈ�）“問(wèn)題解決”課堂教學(xué)模式的教學(xué)流程

　�。ㄋ模�“問(wèn)題解決”課堂教學(xué)評價(jià)標準

　　1. 教學(xué)目標的確定；

　　2. 教學(xué)方法的選擇；

　　3. 問(wèn)題的選擇；

　　4. 師生主體意識的體現；

　　5.教學(xué)策略的運用。

　�。ㄎ澹┝私鈱W(xué)生的數學(xué)問(wèn)題解決能力的途徑

　�。�六）開(kāi)展研究性學(xué)習活動(dòng)對教師的能力要求

高中數學(xué)教案9

　　教學(xué)目標：

　　1、理解并掌握曲線(xiàn)在某一點(diǎn)處的切線(xiàn)的概念；

　　2、理解并掌握曲線(xiàn)在一點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率的定義以及切線(xiàn)方程的求法；

　　3、理解切線(xiàn)概念實(shí)際背景，培養學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力和培養學(xué)生轉化

　　問(wèn)題的能力及數形結合思想。

　　教學(xué)重點(diǎn)：

　　理解并掌握曲線(xiàn)在一點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率的定義以及切線(xiàn)方程的求法。

　　教學(xué)難點(diǎn)：

　　用“無(wú)限逼近”、“局部以直代曲”的思想理解某一點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率。

　　教學(xué)過(guò)程：

　　一、問(wèn)題情境

　　1、問(wèn)題情境。

　　如何精確地刻畫(huà)曲線(xiàn)上某一點(diǎn)處的變化趨勢呢？

　　如果將點(diǎn)P附近的曲線(xiàn)放大，那么就會(huì )發(fā)現，曲線(xiàn)在點(diǎn)P附近看上去有點(diǎn)像是直線(xiàn)。

　　如果將點(diǎn)P附近的曲線(xiàn)再放大，那么就會(huì )發(fā)現，曲線(xiàn)在點(diǎn)P附近看上去幾乎成了直線(xiàn)。事實(shí)上，如果繼續放大，那么曲線(xiàn)在點(diǎn)P附近將逼近一條確定的'直線(xiàn)，該直線(xiàn)是經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的所有直線(xiàn)中最逼近曲線(xiàn)的一條直線(xiàn)。

　　因此，在點(diǎn)P附近我們可以用這條直線(xiàn)來(lái)代替曲線(xiàn)，也就是說(shuō)，點(diǎn)P附近，曲線(xiàn)可以看出直線(xiàn)（即在很小的范圍內以直代曲）。

　　2、探究活動(dòng)。

　　如圖所示，直線(xiàn)l1，l2為經(jīng)過(guò)曲線(xiàn)上一點(diǎn)P的兩條直線(xiàn)，

　�。�1）試判斷哪一條直線(xiàn)在點(diǎn)P附近更加逼近曲線(xiàn)；

　�。�2）在點(diǎn)P附近能作出一條比l1，l2更加逼近曲線(xiàn)的直線(xiàn)l3嗎？

　�。�3）在點(diǎn)P附近能作出一條比l1，l2，l3更加逼近曲線(xiàn)的直線(xiàn)嗎？

　　二、建構數學(xué)

　　切線(xiàn)定義： 如圖，設Q為曲線(xiàn)C上不同于P的一點(diǎn)，直線(xiàn)PQ稱(chēng)為曲線(xiàn)的割線(xiàn)。 隨著(zhù)點(diǎn)Q沿曲線(xiàn)C向點(diǎn)P運動(dòng)，割線(xiàn)PQ在點(diǎn)P附近逼近曲線(xiàn)C，當點(diǎn)Q無(wú)限逼近點(diǎn)P時(shí)，直線(xiàn)PQ最終就成為經(jīng)過(guò)點(diǎn)P處最逼近曲線(xiàn)的直線(xiàn)l，這條直線(xiàn)l也稱(chēng)為曲線(xiàn)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)。這種方法叫割線(xiàn)逼近切線(xiàn)。

　　思考：如上圖，P為已知曲線(xiàn)C上的一點(diǎn)，如何求出點(diǎn)P處的切線(xiàn)方程？

　　三、數學(xué)運用

　　例1 試求在點(diǎn)（2，4）處的切線(xiàn)斜率。

　　解法一 分析：設P（2，4），Q（xQ，f（xQ）），

　　則割線(xiàn)PQ的斜率為：

　　當Q沿曲線(xiàn)逼近點(diǎn)P時(shí)，割線(xiàn)PQ逼近點(diǎn)P處的切線(xiàn)，從而割線(xiàn)斜率逼近切線(xiàn)斜率；

　　當Q點(diǎn)橫坐標無(wú)限趨近于P點(diǎn)橫坐標時(shí)，即xQ無(wú)限趨近于2時(shí)，kPQ無(wú)限趨近于常數4。

　　從而曲線(xiàn)f（x）＝x2在點(diǎn)（2，4）處的切線(xiàn)斜率為4。

　　解法二 設P（2，4），Q（xQ，xQ2），則割線(xiàn)PQ的斜率為：

　　當？x無(wú)限趨近于0時(shí)，kPQ無(wú)限趨近于常數4，從而曲線(xiàn)f（x）＝x2，在點(diǎn)（2，4）處的切線(xiàn)斜率為4。

　　練習 試求在x＝1處的切線(xiàn)斜率。

　　解：設P（1，2），Q（1＋Δx，（1＋Δx）2＋1），則割線(xiàn)PQ的斜率為：

　　當？x無(wú)限趨近于0時(shí)，kPQ無(wú)限趨近于常數2，從而曲線(xiàn)f（x）＝x2＋1在x＝1處的切線(xiàn)斜率為2。

　　小結 求曲線(xiàn)上一點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率的一般步驟：

　�。�1）找到定點(diǎn)P的坐標，設出動(dòng)點(diǎn)Q的坐標；

　�。�2）求出割線(xiàn)PQ的斜率；

　�。�3）當時(shí)，割線(xiàn)逼近切線(xiàn)，那么割線(xiàn)斜率逼近切線(xiàn)斜率。

　　思考 如上圖，P為已知曲線(xiàn)C上的一點(diǎn)，如何求出點(diǎn)P處的切線(xiàn)方程？

　　解 設

　　所以，當無(wú)限趨近于0時(shí)，無(wú)限趨近于點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率。

　　變式訓練

　　1。已知，求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)斜率和切線(xiàn)方程；

　　2。已知，求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)斜率和切線(xiàn)方程；

　　3。已知，求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)斜率和切線(xiàn)方程。

　　課堂練習

　　已知，求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)斜率和切線(xiàn)方程。

　　四、回顧小結

　　1、曲線(xiàn)上一點(diǎn)P處的切線(xiàn)是過(guò)點(diǎn)P的所有直線(xiàn)中最接近P點(diǎn)附近曲線(xiàn)的直線(xiàn)，則P點(diǎn)處的變化趨勢可以由該點(diǎn)處的切線(xiàn)反映（局部以直代曲）。

　　2、根據定義，利用割線(xiàn)逼近切線(xiàn)的方法， 可以求出曲線(xiàn)在一點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率和方程。

　　五、課外作業(yè)

高中數學(xué)教案10

　　第一章：空間幾何體

　　1.1.1柱、錐、臺、球的結構特征

　　一、教學(xué)目標

　　1．知識與技能

　�。�1）通過(guò)實(shí)物操作，增強學(xué)生的直觀(guān)感知。

　�。�2）能根據幾何結構特征對空間物體進(jìn)行分類(lèi)。

　�。�3）會(huì )用語(yǔ)言概述棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、棱臺、圓臺、球的結構特征。

　�。�4）會(huì )表示有關(guān)于幾何體以及柱、錐、臺的分類(lèi)。

　　2．過(guò)程與方法

　�。�1）讓學(xué)生通過(guò)直觀(guān)感受空間物體，從實(shí)物中概括出柱、錐、臺、球的幾何結構特征。

　�。�2）讓學(xué)生觀(guān)察、討論、歸納、概括所學(xué)的知識。

　　3．情感態(tài)度與價(jià)值觀(guān)

　�。�1）使學(xué)生感受空間幾何體存在于現實(shí)生活周?chē)�，增強學(xué)生學(xué)習的積極性，同時(shí)提高學(xué)生的觀(guān)察能力。

　�。�2）培養學(xué)生的空間想象能力和抽象括能力。

　　二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

　　重點(diǎn)：讓學(xué)生感受大量空間實(shí)物及模型、概括出柱、錐、臺、球的結構特征。

　　難點(diǎn)：柱、錐、臺、球的結構特征的概括。

　　三、教學(xué)用具

　�。�1）學(xué)法：觀(guān)察、思考、交流、討論、概括。

　�。�2）實(shí)物模型、投影儀

　　四、教學(xué)思路

　�。ㄒ唬﹦�(chuàng )設情景，揭示課題

　　1．教師提出問(wèn)題：在我們生活周?chē)�中有不少有特色的建筑物，你能舉出一些例子嗎？這些建筑的幾何結構特征如何？引導學(xué)生回憶，舉例和相互交流。教師對學(xué)生的活動(dòng)及時(shí)給予評價(jià)。

　　2．所舉的建筑物基本上都是由這些幾何體組合而成的，（展示具有柱、錐、臺、球結構特征的空間物體），你能通過(guò)觀(guān)察。根據某種標準對這些空間物體進(jìn)行分類(lèi)嗎？這是我們所要學(xué)習的內容。

　�。ǘ�）、研探新知

　　1．引導學(xué)生觀(guān)察物體、思考、交流、討論，對物體進(jìn)行分類(lèi)，分辯棱柱、圓柱、棱錐。

　　2．觀(guān)察棱柱的幾何物件以及投影出棱柱的圖片，它們各自的特點(diǎn)是什么？它們的共同特點(diǎn)是什么？

　　3．組織學(xué)生分組討論，每小組選出一名同學(xué)發(fā)表本組討論結果。在此基礎上得出棱柱的主要結構特征。（1）有兩個(gè)面互相平行；（2）其余各面都是平行四邊形；（3）每相鄰兩上四邊形的公共邊互相平行。概括出棱柱的概念。

　　4．教師與學(xué)生結合圖形共同得出棱柱相關(guān)概念以及棱柱的表示。

　　5．提出問(wèn)題：各種這樣的棱柱，主要有什么不同？可不可以根據不同對棱柱分類(lèi)？請列舉身邊具有已學(xué)過(guò)的幾何結構特征的物體，并說(shuō)出組成這些物體的.幾何結構特征？它們由哪些基本幾何體組成的？

　　6．以類(lèi)似的方法，讓學(xué)生思考、討論、概括出棱錐、棱臺的結構特征，并得出相關(guān)的概念，分類(lèi)以及表示。

　　7．讓學(xué)生觀(guān)察圓柱，并實(shí)物模型演示，如何得到圓柱，從而概括出圓標的概念以及相關(guān)的概念及圓柱的表示。

　　8．引導學(xué)生以類(lèi)似的方法思考圓錐、圓臺、球的結構特征，以及相關(guān)概念和表示，借助實(shí)物模型演示引導學(xué)生思考、討論、概括。

　　9．教師指出圓柱和棱柱統稱(chēng)為柱體，棱臺與圓臺統稱(chēng)為臺體，圓錐與棱錐統稱(chēng)為錐體。

　　10．現實(shí)世界中，我們看到的物體大多由具有柱、錐、臺、球等幾何結構特征的物體組合而成。請列舉身邊具有已學(xué)過(guò)的幾何結構特征的物體，并說(shuō)出組成這些物體的幾何結構特征？它們由哪些基本幾何體組成的？

　�。ㄈ�）質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維，教師提出問(wèn)題，讓學(xué)生思考。

　　1．有兩個(gè)面互相平行，其余后面都是平行四邊形的幾何體是不是棱柱（舉反例說(shuō)明，如圖）

　　2．棱柱的何兩個(gè)平面都可以作為棱柱的底面嗎？

　　3．課本P8，習題1.1A組第1題。

　　4．圓柱可以由矩形旋轉得到，圓錐可以由直角三角形旋轉得到，圓臺可以由什么圖形旋轉得到？如何旋轉？

　　5．棱臺與棱柱、棱錐有什么關(guān)系？圓臺與圓柱、圓錐呢？

　　四、鞏固深化

　　練習：課本P7練習1、2（1）（2）

　　課本P8習題1.1第2、3、4題

　　五、歸納整理

　　由學(xué)生整理學(xué)習了哪些內容

　　六、布置作業(yè)

　　課本P8練習題1.1B組第1題

　　課外練習課本P8習題1.1B組第2題

　　1.2.1空間幾何體的三視圖（1課時(shí)）

　　一、教學(xué)目標

　　1．知識與技能

　�。�1）掌握畫(huà)三視圖的基本技能

　�。�2）豐富學(xué)生的空間想象力

　　2．過(guò)程與方法

　　主要通過(guò)學(xué)生自己的親身實(shí)踐，動(dòng)手作圖，體會(huì )三視圖的作用。

　　3．情感態(tài)度與價(jià)值觀(guān)

　�。�1）提高學(xué)生空間想象力

　�。�2）體會(huì )三視圖的作用

　　二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

　　重點(diǎn)：畫(huà)出簡(jiǎn)單組合體的三視圖

　　難點(diǎn)：識別三視圖所表示的空間幾何體

　　三、學(xué)法與教學(xué)用具

　　1．學(xué)法：觀(guān)察、動(dòng)手實(shí)踐、討論、類(lèi)比

　　2．教學(xué)用具：實(shí)物模型、三角板

　　四、教學(xué)思路

　�。ㄒ唬﹦�(chuàng )設情景，揭開(kāi)課題

　　“橫看成嶺側看成峰”，這說(shuō)明從不同的角度看同一物體視覺(jué)的效果可能不同，要比較真實(shí)反映出物體，我們可從多角度觀(guān)看物體，這堂課我們主要學(xué)習空間幾何體的三視圖。

　　在初中，我們已經(jīng)學(xué)習了正方體、長(cháng)方體、圓柱、圓錐、球的三視圖（正視圖、側視圖、俯視圖），你能畫(huà)出空間幾何體的三視圖嗎？

　�。ǘ�）實(shí)踐動(dòng)手作圖

　　1．講臺上放球、長(cháng)方體實(shí)物，要求學(xué)生畫(huà)出它們的三視圖，教師巡視，學(xué)生畫(huà)完后可交流結果并討論;

　　2．教師引導學(xué)生用類(lèi)比方法畫(huà)出簡(jiǎn)單組合體的三視圖

　�。�1）畫(huà)出球放在長(cháng)方體上的三視圖

　�。�2）畫(huà)出礦泉水瓶（實(shí)物放在桌面上）的三視圖

　　學(xué)生畫(huà)完后，可把自己的作品展示并與同學(xué)交流，總結自己的作圖心得。

　　作三視圖之前應當細心觀(guān)察，認識了它的基本結構特征后，再動(dòng)手作圖。

　　3．三視圖與幾何體之間的相互轉化。

　�。�1）投影出示圖片（課本P10，圖1.2-3）

　　請同學(xué)們思考圖中的三視圖表示的幾何體是什么？

　�。�2）你能畫(huà)出圓臺的三視圖嗎？

　�。�3）三視圖對于認識空間幾何體有何作用？你有何體會(huì )？

　　教師巡視指導，解答學(xué)生在學(xué)習中遇到的困難，然后讓學(xué)生發(fā)表對上述問(wèn)題的看法。

　　4．請同學(xué)們畫(huà)出1.2-4中其他物體表示的空間幾何體的三視圖，并與其他同學(xué)交流。

　�。ㄈ�）鞏固練習

　　課本P12練習1、2P18習題1.2A組1

　�。ㄋ模�歸納整理

　　請學(xué)生回顧發(fā)表如何作好空間幾何體的三視圖

　�。ㄎ澹┱n外練習

　　1．自己動(dòng)手制作一個(gè)底面是正方形，側面是全等的三角形的棱錐模型，并畫(huà)出它的三視圖。

　　2．自己制作一個(gè)上、下底面都是相似的正三角形，側面是全等的等腰梯形的棱臺模型，并畫(huà)出它的三視圖。

　　1.2.2空間幾何體的直觀(guān)圖（1課時(shí)）

　　一、教學(xué)目標

　　1．知識與技能

　�。�1）掌握斜二測畫(huà)法畫(huà)水平設置的平面圖形的直觀(guān)圖。

　�。�2）采用對比的方法了解在平行投影下畫(huà)空間圖形與在中心投影下畫(huà)空間圖形兩種方法的各自特點(diǎn)。

　　2．過(guò)程與方法

　　學(xué)生通過(guò)觀(guān)察和類(lèi)比，利用斜二測畫(huà)法畫(huà)出空間幾何體的直觀(guān)圖。

　　3．情感態(tài)度與價(jià)值觀(guān)

　�。�1）提高空間想象力與直觀(guān)感受。

　�。�2）體會(huì )對比在學(xué)習中的作用。

　�。�3）感受幾何作圖在生產(chǎn)活動(dòng)中的應用。

　　二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

　　重點(diǎn)、難點(diǎn)：用斜二測畫(huà)法畫(huà)空間幾何值的直觀(guān)圖。

　　三、學(xué)法與教學(xué)用具

　　1．學(xué)法：學(xué)生通過(guò)作圖感受圖形直觀(guān)感，并自然采用斜二測畫(huà)法畫(huà)空間幾何體的過(guò)程。

　　2．教學(xué)用具：三角板、圓規

　　四、教學(xué)思路

　�。ㄒ唬﹦�(chuàng )設情景，揭示課題

　　1．我們都學(xué)過(guò)畫(huà)畫(huà)，這節課我們畫(huà)一物體：圓柱

　　把實(shí)物圓柱放在講臺上讓學(xué)生畫(huà)。

　　2．學(xué)生畫(huà)完后展示自己的結果并與同學(xué)交流，比較誰(shuí)畫(huà)的效果更好，思考怎樣才能畫(huà)好物體的直觀(guān)圖呢？這是我們這節主要學(xué)習的內容。

　�。ǘ�）研探新知

　　1．例1，用斜二測畫(huà)法畫(huà)水平放置的正六邊形的直觀(guān)圖，由學(xué)生閱讀理解，并思考斜二測畫(huà)法的關(guān)鍵步驟，學(xué)生發(fā)表自己的見(jiàn)解，教師及時(shí)給予點(diǎn)評。

　　畫(huà)水平放置的多邊形的直觀(guān)圖的關(guān)鍵是確定多邊形頂點(diǎn)的位置，因為多邊形頂點(diǎn)的位置一旦確定，依次連結這些頂點(diǎn)就可畫(huà)出多邊形來(lái)，因此平面多邊形水平放置時(shí)，直觀(guān)圖的畫(huà)法可以歸結為確定點(diǎn)的位置的畫(huà)法。強調斜二測畫(huà)法的步驟。

　　練習反饋

　　根據斜二測畫(huà)法，畫(huà)出水平放置的正五邊形的直觀(guān)圖，讓學(xué)生獨立完成后，教師檢查。

　　2．例2，用斜二測畫(huà)法畫(huà)水平放置的圓的直觀(guān)圖

　　教師引導學(xué)生與例1進(jìn)行比較，與畫(huà)水平放置的多邊形的直觀(guān)圖一樣，畫(huà)水平放置的圓的直觀(guān)圖，也是要先畫(huà)出一些有代表性的點(diǎn)，由于不能像多邊那樣直接以頂點(diǎn)為代表點(diǎn)，因此需要自己構造出一些點(diǎn)。

　　教師組織學(xué)生思考、討論和交流，如何構造出需要的一些點(diǎn)，與學(xué)生共同完成例2并詳細板書(shū)畫(huà)法。

　　3．探求空間幾何體的直觀(guān)圖的畫(huà)法

　�。�1）例3，用斜二測畫(huà)法畫(huà)長(cháng)、寬、高分別是4cm、3cm、2cm的長(cháng)方體ABCD-A’B’C’D’的直觀(guān)圖。

　　教師引導學(xué)生完成，要注意對每一步驟提出嚴格要求，讓學(xué)生按部就班地畫(huà)好每一步，不能敷衍了事。

　�。�2）投影出示幾何體的三視圖、課本P15圖1.2-9，請說(shuō)出三視圖表示的幾何體？并用斜二測畫(huà)法畫(huà)出它的直觀(guān)圖。教師組織學(xué)生思考，討論和交流完成，教師巡視幫不懂的同學(xué)解疑，引導學(xué)生正確把握圖形尺寸大小之間的關(guān)系。

　　4．平行投影與中心投影

　　投影出示課本P17圖1.2-12，讓學(xué)生觀(guān)察比較概括在平行投影下畫(huà)空間圖形與在中心投影下畫(huà)空間圖形的各自特點(diǎn)。

　　5．鞏固練習，課本P16練習1（1），2，3，4

　　三、歸納整理

　　學(xué)生回顧斜二測畫(huà)法的關(guān)鍵與步驟

　　四、作業(yè)

　　1．書(shū)畫(huà)作業(yè)，課本P17練習第5題

　　2．課外思考課本P16，探究（1）（2）

高中數學(xué)教案11

　　一、教學(xué)目標

　　【知識與技能】

　　掌握三角函數的單調性以及三角函數值的取值范圍。

　　【過(guò)程與方法】

　　經(jīng)歷三角函數的單調性的探索過(guò)程，提升邏輯推理能力。

　　【情感態(tài)度價(jià)值觀(guān)】

　　在猜想計算的過(guò)程中，提高學(xué)習數學(xué)的興趣。

　　二、教學(xué)重難點(diǎn)

　　【教學(xué)重點(diǎn)】

　　三角函數的單調性以及三角函數值的取值范圍。

　　【教學(xué)難點(diǎn)】

　　探究三角函數的`單調性以及三角函數值的取值范圍過(guò)程。

　　三、教學(xué)過(guò)程

　�。ㄒ唬┮�入新課

　　提出問(wèn)題：如何研究三角函數的單調性

　�。ㄋ模┬〗Y作業(yè)

　　提問(wèn)：今天學(xué)習了什么？

　　引導學(xué)生回顧：基本不等式以及推導證明過(guò)程。

　　課后作業(yè)：

　　思考如何用三角函數單調性比較三角函數值的大小。

高中數學(xué)教案12

　　一、教學(xué)目標

　　1.知識與技能

　　(1)掌握斜二測畫(huà)法畫(huà)水平設置的平面圖形的直觀(guān)圖。

　　(2)采用對比的方法了解在平行投影下畫(huà)空間圖形與在中心投影下畫(huà)空間圖形兩種方法的各自特點(diǎn)。

　　2.過(guò)程與方法

　　學(xué)生通過(guò)觀(guān)察和類(lèi)比，利用斜二測畫(huà)法畫(huà)出空間幾何體的直觀(guān)圖。

　　3.情感態(tài)度與價(jià)值觀(guān)

　　(1)提高空間想象力與直觀(guān)感受。

　　(2)體會(huì )對比在學(xué)習中的作用。

　　(3)感受幾何作圖在生產(chǎn)活動(dòng)中的應用。

　　二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

　　重點(diǎn)、難點(diǎn)：用斜二測畫(huà)法畫(huà)空間幾何值的直觀(guān)圖。

　　三、學(xué)法與教學(xué)用具

　　1.學(xué)法：學(xué)生通過(guò)作圖感受圖形直觀(guān)感，并自然采用斜二測畫(huà)法畫(huà)空間幾何體的過(guò)程。

　　2.教學(xué)用具：三角板、圓規

　　四、教學(xué)思路

　　(一)創(chuàng )設情景，揭示課題

　　1.我們都學(xué)過(guò)畫(huà)畫(huà)，這節課我們畫(huà)一物體：圓柱

　　把實(shí)物圓柱放在講臺上讓學(xué)生畫(huà)。

　　2.學(xué)生畫(huà)完后展示自己的結果并與同學(xué)交流，比較誰(shuí)畫(huà)的效果更好，思考怎樣才能畫(huà)好物體的直觀(guān)圖呢?這是我們這節主要學(xué)習的內容。

　　(二)研探新知

　　1.例1，用斜二測畫(huà)法畫(huà)水平放置的正六邊形的直觀(guān)圖，由學(xué)生閱讀理解，并思考斜二測畫(huà)法的關(guān)鍵步驟，學(xué)生發(fā)表自己的見(jiàn)解，教師及時(shí)給予點(diǎn)評。

　　畫(huà)水平放置的多邊形的直觀(guān)圖的關(guān)鍵是確定多邊形頂點(diǎn)的位置，因為多邊形頂點(diǎn)的位置一旦確定，依次連結這些頂點(diǎn)就可畫(huà)出多邊形來(lái)，因此平面多邊形水平放置時(shí)，直觀(guān)圖的畫(huà)法可以歸結為確定點(diǎn)的位置的畫(huà)法。強調斜二測畫(huà)法的步驟。

　　練習反饋

　　根據斜二測畫(huà)法，畫(huà)出水平放置的正五邊形的直觀(guān)圖，讓學(xué)生獨立完成后，教師檢查。

　　2.例2，用斜二測畫(huà)法畫(huà)水平放置的圓的`直觀(guān)圖

　　教師引導學(xué)生與例1進(jìn)行比較，與畫(huà)水平放置的多邊形的直觀(guān)圖一樣，畫(huà)水平放置的圓的直觀(guān)圖，也是要先畫(huà)出一些有代表性的點(diǎn)，由于不能像多邊那樣直接以頂點(diǎn)為代表點(diǎn)，因此需要自己構造出一些點(diǎn)。

　　教師組織學(xué)生思考、討論和交流，如何構造出需要的一些點(diǎn)，與學(xué)生共同完成例2并詳細板書(shū)畫(huà)法。

　　3.探求空間幾何體的直觀(guān)圖的畫(huà)法

　　(1)例3，用斜二測畫(huà)法畫(huà)長(cháng)、寬、高分別是4cm、3cm、2cm的長(cháng)方體ABCD-A’B’C’D’的直觀(guān)圖。

　　教師引導學(xué)生完成，要注意對每一步驟提出嚴格要求，讓學(xué)生按部就班地畫(huà)好每一步，不能敷衍了事。

　　(2)投影出示幾何體的三視圖、課本P15圖1.2-9，請說(shuō)出三視圖表示的幾何體?并用斜二測畫(huà)法畫(huà)出它的直觀(guān)圖。教師組織學(xué)生思考，討論和交流完成，教師巡視幫不懂的同學(xué)解疑，引導學(xué)生正確把握圖形尺寸大小之間的關(guān)系。

　　4.平行投影與中心投影

　　投影出示課本P17圖1.2-12，讓學(xué)生觀(guān)察比較概括在平行投影下畫(huà)空間圖形與在中心投影下畫(huà)空間圖形的各自特點(diǎn)。

　　5.鞏固練習，課本P16練習1(1)，2，3，4

　　三、歸納整理

　　學(xué)生回顧斜二測畫(huà)法的關(guān)鍵與步驟

　　四、作業(yè)

　　1.書(shū)畫(huà)作業(yè)，課本P17練習第5題

　　2.課外思考課本P16，探究(1)(2)

高中數學(xué)教案13

　　教學(xué)目標：

　�。�1）了解坐標法和解析幾何的意義，了解解析幾何的基本問(wèn)題。

　�。�2）進(jìn)一步理解曲線(xiàn)的方程和方程的曲線(xiàn)。

　�。�3）初步掌握求曲線(xiàn)方程的方法。

　�。�4）通過(guò)本節內容的教學(xué)，培養學(xué)生分析問(wèn)題和轉化的能力。

　　教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

　　求曲線(xiàn)的方程。

　　教學(xué)用具：

　　計算機。

　　教學(xué)方法：

　　啟發(fā)引導法，討論法。

　　教學(xué)過(guò)程：

　　【引入】

　　1、提問(wèn)：什么是曲線(xiàn)的方程和方程的曲線(xiàn)。

　　學(xué)生思考并回答。教師強調。

　　2、坐標法和解析幾何的意義、基本問(wèn)題。

　　對于一個(gè)幾何問(wèn)題，在建立坐標系的基礎上，用坐標表示點(diǎn)；用方程表示曲線(xiàn)，通過(guò)研究方程的性質(zhì)間接地來(lái)研究曲線(xiàn)的性質(zhì)，這一研究幾何問(wèn)題的方法稱(chēng)為坐標法，這門(mén)科學(xué)稱(chēng)為解析幾何。解析幾何的兩大基本問(wèn)題就是：

　�。�1）根據已知條件，求出表示平面曲線(xiàn)的方程。

　�。�2）通過(guò)方程，研究平面曲線(xiàn)的性質(zhì)。

　　事實(shí)上，在前邊所學(xué)的直線(xiàn)方程的理論中也有這樣兩個(gè)基本問(wèn)題。而且要先研究如何求出曲線(xiàn)方程，再研究如何用方程研究曲線(xiàn)。本節課就初步研究曲線(xiàn)方程的求法。

　　【問(wèn)題】

　　如何根據已知條件，求出曲線(xiàn)的方程。

　　【實(shí)例分析】

　　例1：設、兩點(diǎn)的坐標是、(3，7)，求線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的方程。

　　首先由學(xué)生分析：根據直線(xiàn)方程的知識，運用點(diǎn)斜式即可解決。

　　解法一：易求線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標為(1，3)，

　　由斜率關(guān)系可求得l的斜率為

　　于是有

　　即l的方程為

　�、�

　　分析、引導：上述問(wèn)題是我們早就學(xué)過(guò)的，用點(diǎn)斜式就可解決�？墒�，你們是否想過(guò)①恰好就是所求的嗎？或者說(shuō)①就是直線(xiàn)的方程？根據是什么，有證明嗎？

　�。ㄍㄟ^(guò)教師引導，是學(xué)生意識到這是以前沒(méi)有解決的問(wèn)題，應該證明，證明的依據就是定義中的兩條）。

　　證明：(1)曲線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標都是這個(gè)方程的解。

　　設是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上任意一點(diǎn)，則

　　即

　　將上式兩邊平方，整理得

　　這說(shuō)明點(diǎn)的坐標是方程的解。

　�。�2）以這個(gè)方程的解為坐標的點(diǎn)都是曲線(xiàn)上的點(diǎn)。

　　設點(diǎn)的坐標是方程①的任意一解，則

　　到、的距離分別為

　　所以，即點(diǎn)在直線(xiàn)上。

　　綜合(1)、(2)，①是所求直線(xiàn)的方程。

　　至此，證明完畢�；仡櫳鲜鰞热菸覀儠�(huì )發(fā)現一個(gè)有趣的現象：在證明(1)曲線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標都是這個(gè)方程的解中，設是線(xiàn)段的.垂直平分線(xiàn)上任意一點(diǎn)，最后得到式子，如果去掉腳標，這不就是所求方程嗎？可見(jiàn)，這個(gè)證明過(guò)程就表明一種求解過(guò)程，下面試試看：

　　解法二：設是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上任意一點(diǎn)，也就是點(diǎn)屬于集合

　　由兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)所適合的條件可表示為

　　將上式兩邊平方，整理得

　　果然成功，當然也不要忘了證明，即驗證兩條是否都滿(mǎn)足。顯然，求解過(guò)程就說(shuō)明第一條是正確的（從這一點(diǎn)看，解法二也比解法一優(yōu)越一些）；至于第二條上邊已證。

　　這樣我們就有兩種求解方程的方法，而且解法二不借助直線(xiàn)方程的理論，又非常自然，還體現了曲線(xiàn)方程定義中點(diǎn)集與對應的思想。因此是個(gè)好方法。

　　讓我們用這個(gè)方法試解如下問(wèn)題：

　　例2：點(diǎn)與兩條互相垂直的直線(xiàn)的距離的積是常數求點(diǎn)的軌跡方程。

　　分析：這是一個(gè)純粹的幾何問(wèn)題，連坐標系都沒(méi)有。所以首先要建立坐標系，顯然用已知中兩條互相垂直的直線(xiàn)作坐標軸，建立直角坐標系。然后仿照例1中的解法進(jìn)行求解。

　　求解過(guò)程略。

　　【概括總結】通過(guò)學(xué)生討論，師生共同總結：

　　分析上面兩個(gè)例題的求解過(guò)程，我們總結一下求解曲線(xiàn)方程的大體步驟：

　　首先應有坐標系；其次設曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)；然后寫(xiě)出表示曲線(xiàn)的點(diǎn)集；再代入坐標；最后整理出方程，并證明或修正。說(shuō)得更準確一點(diǎn)就是：

　�。�1）建立適當的坐標系，用有序實(shí)數對例如表示曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)的坐標；

　�。�2）寫(xiě)出適合條件的點(diǎn)的集合

　��；

　�。�3）用坐標表示條件，列出方程；

　�。�4）化方程為最簡(jiǎn)形式；

　�。�5）證明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標的點(diǎn)都是曲線(xiàn)上的點(diǎn)。

　　一般情況下，求解過(guò)程已表明曲線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標都是方程的解；如果求解過(guò)程中的轉化都是等價(jià)的，那么逆推回去就說(shuō)明以方程的解為坐標的點(diǎn)都是曲線(xiàn)上的點(diǎn)。所以，通常情況下證明可省略，不過(guò)特殊情況要說(shuō)明。

　　上述五個(gè)步驟可簡(jiǎn)記為：建系設點(diǎn)；寫(xiě)出集合；列方程；化簡(jiǎn)；修正。

　　下面再看一個(gè)問(wèn)題：

　　例3：已知一條曲線(xiàn)在軸的上方，它上面的每一點(diǎn)到點(diǎn)的距離減去它到軸的距離的差都是2，求這條曲線(xiàn)的方程。

　　【動(dòng)畫(huà)演示】用幾何畫(huà)板演示曲線(xiàn)生成的過(guò)程和形狀，在運動(dòng)變化的過(guò)程中尋找關(guān)系。

　　解：設點(diǎn)是曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，軸，垂足是（如圖2），那么點(diǎn)屬于集合

　　由距離公式，點(diǎn)適合的條件可表示為

　�、�

　　將①式移項后再兩邊平方，得

　　化簡(jiǎn)得

　　由題意，曲線(xiàn)在軸的上方，所以，雖然原點(diǎn)的坐標(0，0)是這個(gè)方程的解，但不屬于已知曲線(xiàn)，所以曲線(xiàn)的方程應為，它是關(guān)于軸對稱(chēng)的拋物線(xiàn)，但不包括拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，如圖2中所示。

　　【練習鞏固】

　　題目：在正三角形內有一動(dòng)點(diǎn)，已知到三個(gè)頂點(diǎn)的距離分別為、、，且有，求點(diǎn)軌跡方程。

　　分析、略解：首先應建立坐標系，以正三角形一邊所在的直線(xiàn)為一個(gè)坐標軸，這條邊的垂直平分線(xiàn)為另一個(gè)軸，建立直角坐標系比較簡(jiǎn)單，如圖3所示。設、的坐標為、，則的坐標為，的坐標為。

　　根據條件，代入坐標可得

　　化簡(jiǎn)得

　�、�

　　由于題目中要求點(diǎn)在三角形內，所以，在結合①式可進(jìn)一步求出、的范圍，最后曲線(xiàn)方程可表示為

　　【小結】師生共同總結：

　�。�1）解析幾何研究研究問(wèn)題的方法是什么？

　�。�2）如何求曲線(xiàn)的方程？

　�。�3）請對求解曲線(xiàn)方程的五個(gè)步驟進(jìn)行評價(jià)。各步驟的作用，哪步重要，哪步應注意什么？

　　【作業(yè)】課本第72頁(yè)練習1，2，3;

高中數學(xué)教案14

　　教學(xué)目標：

　　1、使學(xué)生了解角的形成，理解角的概念掌握角的各種表示法；

　　2、通過(guò)觀(guān)察、操作培養學(xué)生的觀(guān)察能力和動(dòng)手操作能力。

　　3、使學(xué)生掌握度、分、秒的進(jìn)位制,會(huì )作度、分、秒間的單位互化

　　4、采用自學(xué)與小組合作學(xué)習相結合的方法，培養學(xué)生主動(dòng)參與、勇于探究的精神。

　　教學(xué)重點(diǎn)：

　　理解角的概念，掌握角的三種表示方法

　　教學(xué)難點(diǎn)：

　　掌握度、分、秒的進(jìn)位制, ,會(huì )作度、分、秒間的單位互化

　　教學(xué)手段：

　　教具：電腦課件、實(shí)物投影、量角器

　　學(xué)具：量角器需測量的角

　　教學(xué)過(guò)程：

　　一、建立角的概念

　�。ㄒ唬┮�入角（利用課件演示）

　　1、從生活中引入

　　提問(wèn)：

　　A、以前我們曾經(jīng)認識過(guò)角，那你們能從這兩個(gè)圖形中指出哪些地方是角嗎？

　　B、在我們的生活當中存在著(zhù)許許多多的角。一起看一看。誰(shuí)能從這些常用的物品中找出角？

　　2、從射線(xiàn)引入

　　提問(wèn)：

　　A、昨天我們認識了射線(xiàn)，想從一點(diǎn)可以引出多少條射線(xiàn)？

　　B、如果從一點(diǎn)出發(fā)任意取兩條射線(xiàn)，那出現的是什么圖形？

　　C、哪兩條射線(xiàn)可以組成一個(gè)角？誰(shuí)來(lái)指一指。

　�。ǘ�）認識角，總結角的定義

　　3、 過(guò)渡：角是怎么形成的呢？一起看

　�。�1）、演示：老師在這畫(huà)上一個(gè)點(diǎn)，現在從這點(diǎn)出發(fā)引出一條射線(xiàn)，再從這點(diǎn)出發(fā)引出第二條射線(xiàn)。

　　提問(wèn)：觀(guān)察從這點(diǎn)引出了幾條射線(xiàn)？此時(shí)所組成的圖形是什么圖形？

　�。�2）、判斷下列哪些圖形是角。

　�。ā蹋� （×） （√） （×） （√）

　　為何第二幅和第四幅圖形不是角？（學(xué)生回答）

　　誰(shuí)能用自己的話(huà)來(lái)概括一下怎樣組成的圖形叫做角？

　　總結：有公共端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)所組成的圖形叫做角（angle）

　　角的第二定義：角也可以看做由一條射線(xiàn)繞端點(diǎn)旋轉所形成的圖形.如下圖中的角，可以看做射線(xiàn)OA繞端點(diǎn)0按逆時(shí)針?lè )较蛐�轉到OB所形成的我們把OA叫做角的始邊，OB叫做角的終邊.

　　B

　　0 A

　　4、認識角的各部分名稱(chēng)，明確頂點(diǎn)、邊的作用

　�。�1）觀(guān)看角的圖形提問(wèn)：這個(gè)點(diǎn)叫什么？這兩條射線(xiàn)叫什么？（學(xué)生邊說(shuō)師邊標名稱(chēng)）

　�。�2）角可以畫(huà)在本上、黑板上，那角的.位置是由誰(shuí)決定的?

　�。�3）頂點(diǎn)可以確定角的位置，從頂點(diǎn)引出的兩條邊可以組成一個(gè)角。

　　5、學(xué)會(huì )用符號表示角

　　提問(wèn)：那么,角的符號是什么?該怎么寫(xiě),怎么讀的呢?(電腦顯示)

　�。�1）可以標上三個(gè)大寫(xiě)字母,寫(xiě)作:∠ABC或∠CBA,讀作:角ABC或角CBA.

　�。�2）觀(guān)察這兩種方法,有什么特點(diǎn)?(字母B都在中間)

　�。�3）所以,在只有一個(gè)角的時(shí)候,我們還可以寫(xiě)作: ∠B,讀作:角B

　�。�4）為了方便,有時(shí)我們還可以標上數字,寫(xiě)作∠1,讀作:角1

　�。�5）注:區別 “∠”和“<”的不同。請同學(xué)們指著(zhù)用學(xué)具折出的一個(gè)角,訓練一下這三種讀法。

　　6、強調角的大小與兩邊張開(kāi)的程度有關(guān)，與兩條邊的長(cháng)短無(wú)關(guān)。

　　二、 角的度量

　　1、學(xué)習角的度量

　�。�1）教學(xué)生認識量角器

　　(2) 認識了量角器，那怎樣使用它去測量角的度數呢？這部分知識請同學(xué)們合作學(xué)習。

　　提出要求：小組合作邊學(xué)習測量方法邊嘗試測量

　　第一個(gè)角，想想有幾種方法？

　　1、要求合作學(xué)習探究、測量。

　　2、反饋匯報：學(xué)生邊演示邊復述過(guò)程

　　3、教師利用課件演示正確的操作過(guò)程，糾正學(xué)生中存在的問(wèn)題。

　　4、歸納概括測量方法（兩重合一對）

　�。�1）用量角器的中心點(diǎn)與角的頂點(diǎn)重合

　�。�2）零刻度線(xiàn)與角的一邊重合（可與內零度刻度線(xiàn)重合；也可與外零度刻度線(xiàn)重合）

　�。�3）另一條邊所對的角的度數，就是這個(gè)角的度數。

　　5、小結：同一個(gè)角無(wú)論是用內刻度量角，還是用外刻度量角，結果都一樣。

　　6、獨立練習測量角的度數（書(shū)做一做中第一題1，3與第二題）

　�。�1） 獨立測量，師注意查看學(xué)生中存在的問(wèn)題。

　�。�2） 課件演示糾正問(wèn)題

　　三、度、分、秒的進(jìn)位制及這些單位間的互化

　　為了更精細地度量角，我們引入更小的角度單位：分、秒.把1°的角等分成60份，每份叫做1分記作1′；把1′的角再等分成60份，每份叫做1秒的角，1秒記作1″.

　　1°=60′，1′=60″；

　　1′=（ ）°，1″=（ ）′.

　　例1 將57.32°用度、分、秒表示.

　　解：先把0.32°化為分，

　　0.32°=60′×0.32=19.2′.

　　再把0.2′化為秒，

　　0.2′=60″×0.2=12″.

　　所以 57.32″=57°19′12″.

　　例2 把10°6′36″用度表示.

　　解：先把36″化為分，

　　36″=（ ）′×36=0.6′

　　6′+0.6′=6.6′.

　　再把6.6′化為度，

　　6.6′=（ ）°×6.6=0.11°.

　　所以 10°6′36″=10.11°.

　　四、鞏固練習

　　課本P122練習

　　五、總結：請大家回憶一下，今天都學(xué)了那些知識，通過(guò)學(xué)習你想說(shuō)些什么？

　　六、作業(yè)：課本P123 3、4.（1）（3）、5.（2）（4）

高中數學(xué)教案15

　　教學(xué)目標：

　　1.了解反函數的概念，弄清原函數與反函數的定義域和值域的關(guān)系.

　　2.會(huì )求一些簡(jiǎn)單函數的反函數.

　　3.在嘗試、探索求反函數的過(guò)程中，深化對概念的認識，總結出求反函數的一般步驟，加深對函數與方程、數形結合以及由特殊到一般等數學(xué)思想方法的認識.

　　4.進(jìn)一步完善學(xué)生思維的深刻性，培養學(xué)生的逆向思維能力，用辯證的觀(guān)點(diǎn)分析問(wèn)題，培養抽象、概括的能力.

　　教學(xué)重點(diǎn)：求反函數的方法.

　　教學(xué)難點(diǎn)：反函數的概念.

　　教學(xué)過(guò)程：

　　教學(xué)活動(dòng)

　　設計意圖一、創(chuàng )設情境，引入新課

　　1.復習提問(wèn)

　�、俸瘮档母拍�

　�、趛=f(x)中各變量的意義

　　2.同學(xué)們在物理課學(xué)過(guò)勻速直線(xiàn)運動(dòng)的位移和時(shí)間的函數關(guān)系，即S=vt和t=(其中速度v是常量)，在S=vt　中位移S是時(shí)間t的函數;在t=中，時(shí)間t是位移S的函數.在這種情況下，我們說(shuō)t=是函數S=vt的反函數.什么是反函數，如何求反函數，就是本節課學(xué)習的內容.

　　3.板書(shū)課題

　　由實(shí)際問(wèn)題引入新課，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習興趣，展示了教學(xué)目標.這樣既可以撥去"反函數"這一概念的神秘面紗，也可使學(xué)生知道學(xué)習這一概念的必要性.

　　二、實(shí)例分析，組織探究

　　1.問(wèn)題組一：

　　(用投影給出函數與;與()的圖象)

　　(1)這兩組函數的圖像有什么關(guān)系?這兩組函數有什么關(guān)系?(生答：與的圖像關(guān)于直線(xiàn)y=x對稱(chēng);與()的圖象也關(guān)于直線(xiàn)y=x對稱(chēng).是求一個(gè)數立方的運算，而是求一個(gè)數立方根的運算，它們互為逆運算.同樣，與()也互為逆運算.)

　　(2)由，已知y能否求x?

　　(3)是否是一個(gè)函數?它與有何關(guān)系?

　　(4)與有何聯(lián)系?

　　2.問(wèn)題組二：

　　(1)函數y=2x 1(x是自變量)與函數x=2y 1(y是自變量)是否是同一函數?

　　(2)函數(x是自變量)與函數x=2y 1(y是自變量)是否是同一函數?

　　(3)函數 ()的定義域與函數()的值域有什么關(guān)系?

　　3.滲透反函數的概念.

　　(教師點(diǎn)明這樣的函數即互為反函數，然后師生共同探究其特點(diǎn))

　　從學(xué)生熟知的函數出發(fā)，抽象出反函數的概念，符合學(xué)生的認知特點(diǎn)，有利于培養學(xué)生抽象、概括的能力.

　　通過(guò)這兩組問(wèn)題，為反函數概念的引出做了鋪墊，利用舊知，引出新識，在"最近發(fā)展區"設計問(wèn)題，使學(xué)生對反函數有一個(gè)直觀(guān)的粗略印象，為進(jìn)一步抽象反函數的概念奠定基礎.

　　三、師生互動(dòng)，歸納定義

　　1.(根據上述實(shí)例，教師與學(xué)生共同歸納出反函數的定義)

　　函數y=f(x)(x∈A) 中，設它的值域為 C.我們根據這個(gè)函數中x,y的關(guān)系，用 y 把 x 表示出來(lái)，得到 x = j (y) .如果對于y在C中的任何一個(gè)值，通過(guò)x = j (y)，x在A(yíng)中都有的`值和它對應，那么, x = j (y)就表示y是自變量，x是自變量 y 的函數.這樣的函數 x = j (y)(y ∈C)叫做函數y=f(x)(x∈A)的反函數.記作: .考慮到"用 x表示自變量, y表示函數"的習慣，將中的x與y對調寫(xiě)成.

　　2.引導分析：

　　1)反函數也是函數;

　　2)對應法則為互逆運算;

　　3)定義中的"如果"意味著(zhù)對于一個(gè)任意的函數y=f(x)來(lái)說(shuō)不一定有反函數;

　　4)函數y=f(x)的定義域、值域分別是函數x=f(y)的值域、定義域;

　　5)函數y=f(x)與x=f(y)互為反函數;

　　6)要理解好符號f;

　　7)交換變量x、y的原因.

　　3.兩次轉換x、y的對應關(guān)系

　　(原函數中的自變量x與反函數中的函數值y 是等價(jià)的，原函數中的函數值y與反函數中的自變量x是等價(jià)的)

　　4.函數與其反函數的關(guān)系

　　函數y=f(x)

　　函數

　　定義域

　　A

　　C

　　值 域

　　C

　　A

　　四、應用解題，總結步驟

　　1.(投影例題)

　　【例1】求下列函數的反函數

　　(1)y=3x-1 (2)y=x 1

　　【例2】求函數的反函數.

　　(教師板書(shū)例題過(guò)程后，由學(xué)生總結求反函數步驟.)

　　2.總結求函數反函數的步驟:

　　1° 由y=f(x)反解出x=f(y).

　　2° 把x=f(y)中 x與y互換得.

　　3° 寫(xiě)出反函數的定義域.

　　(簡(jiǎn)記為：反解、互換、寫(xiě)出反函數的定義域)【例3】(1)有沒(méi)有反函數?

　　(2)的反函數是________.

　　(3)(x<0)的反函數是__________.

　　在上述探究的基礎上，揭示反函數的定義，學(xué)生有針對性地體會(huì )定義的特點(diǎn)，進(jìn)而對定義有更深刻的認識，與自己的預設產(chǎn)生矛盾沖突，體會(huì )反函數.在剖析定義的過(guò)程中，讓學(xué)生體會(huì )函數與方程、一般到特殊的數學(xué)思想，并對數學(xué)的符號語(yǔ)言有更好的把握.

　　通過(guò)動(dòng)畫(huà)演示，表格對照，使學(xué)生對反函數定義從感性認識上升到理性認識，從而消化理解.

　　通過(guò)對具體例題的講解分析，在解題的步驟上和方法上為學(xué)生起示范作用，并及時(shí)歸納總結，培養學(xué)生分析、思考的習慣，以及歸納總結的能力.

　　題目的設計遵循了從了解到理解，從掌握到應用的不同層次要求，由淺入深，循序漸進(jìn).并體現了對定義的反思理解.學(xué)生思考練習，師生共同分析糾正.

　　五、鞏固強化，評價(jià)反饋

　　1.已知函數 y=f(x)存在反函數，求它的反函數 y =f( x)

　　(1)y=-2x 3(xR) (2)y=-(xR,且x)

　　( 3 ) y=(xR,且x)

　　2.已知函數f(x)=(xR,且x)存在反函數，求f(7)的值.

　　五、反思小結，再度設疑

　　本節課主要研究了反函數的定義，以及反函數的求解步驟.互為反函數的兩個(gè)函數的圖象到底有什么特點(diǎn)呢?為什么具有這樣的特點(diǎn)呢?我們將在下節研究.

　　(讓學(xué)生談一下本節課的學(xué)習體會(huì )，教師適時(shí)點(diǎn)撥)

　　進(jìn)一步強化反函數的概念，并能正確求出反函數.反饋學(xué)生對知識的掌握情況，評價(jià)學(xué)生對學(xué)習目標的落實(shí)程度.具體實(shí)踐中可采取同學(xué)板演、分組競賽等多種形式調動(dòng)學(xué)生的積極性."問(wèn)題是數學(xué)的心臟"學(xué)生帶著(zhù)問(wèn)題走進(jìn)課堂又帶著(zhù)新的問(wèn)題走出課堂.

　　六、作業(yè)

　　習題2.4第1題，第2題

　　進(jìn)一步鞏固所學(xué)的知識.

　　教學(xué)設計說(shuō)明

　　"問(wèn)題是數學(xué)的心臟".一個(gè)概念的形成是螺旋式上升的，一般要經(jīng)過(guò)具體到抽象，感性到理性的過(guò)程.本節教案通過(guò)一個(gè)物理學(xué)中的具體實(shí)例引入反函數，進(jìn)而又通過(guò)若干函數的圖象進(jìn)一步加以誘導剖析，最終形成概念.

　　反函數的概念是教學(xué)中的難點(diǎn)，原因是其本身較為抽象，經(jīng)過(guò)兩次代換，又采用了抽象的符號.由于沒(méi)有一一映射，逆映射等概念的支撐，使學(xué)生難以從本質(zhì)上去把握反函數的概念.為此，我們大膽地使用教材，把互為反函數的兩個(gè)函數的圖象關(guān)系預先揭示，進(jìn)而探究原因，尋找規律，程序是從問(wèn)題出發(fā)，研究性質(zhì)，進(jìn)而得出概念，這正是數學(xué)研究的順序，符合學(xué)生認知規律，有助于概念的建立與形成.另外，對概念的剖析以及習題的配備也很精當，通過(guò)不同層次的問(wèn)題，滿(mǎn)足學(xué)生多層次需要，起到評價(jià)反饋的作用.通過(guò)對函數與方程的分析，互逆探索，動(dòng)畫(huà)演示，表格對照、學(xué)生討論等多種形式的教學(xué)環(huán)節，充分調動(dòng)了學(xué)生的探求欲，在探究與剖析的過(guò)程中，完善學(xué)生思維的深刻性，培養學(xué)生的逆向思維.使學(xué)生自然成為學(xué)習的主人。

高中數學(xué)教案16

　　內容分析：

　　1、 集合是中學(xué)數學(xué)的一個(gè)重要的基本概念

　　在小學(xué)數學(xué)中，就滲透了集合的初步概念，到了初中，更進(jìn)一步應用集合的語(yǔ)言表述一些問(wèn)題。例如，在代數中用到的有數集、解集等；在幾何中用到的有點(diǎn)集。至于邏輯，可以說(shuō)，從開(kāi)始學(xué)習數學(xué)就離不開(kāi)對邏輯知識的掌握和運用，基本的邏輯知識在日常生活、學(xué)習、工作中，也是認識問(wèn)題、研究問(wèn)題不可缺少的工具。這些可以幫助學(xué)生認識學(xué)習本章的意義，也是本章學(xué)習的基礎。

　　把集合的初步知識與簡(jiǎn)易邏輯知識安排在高中數學(xué)的最開(kāi)始，是因為在高中數學(xué)中，這些知識與其他內容有著(zhù)密切聯(lián)系，它們是學(xué)習、掌握和使用數學(xué)語(yǔ)言的基礎

　　例如，下一章講函數的概念與性質(zhì)，就離不開(kāi)集合與邏輯。

　　本節首先從初中代數與幾何涉及的集合實(shí)例入手，引出集合與集合的元素的概念，并且結合實(shí)例對集合的概念作了說(shuō)明

　　然后，介紹了集合的常用表示方法，包括列舉法、描述法，還給出了畫(huà)圖表示集合的例子。

　　這節課主要學(xué)習全章的引言和集合的基本概念

　　學(xué)習引言是引發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣，使學(xué)生認識學(xué)習本章的意義

　　本節課的教學(xué)重點(diǎn)是集合的基本概念。

　　集合是集合論中的原始的、不定義的概念

　　在開(kāi)始接觸集合的概念時(shí)，主要還是通過(guò)實(shí)例，對概念有一個(gè)初步認識

　　教科書(shū)給出的“一般地，某些指定的對象集在一起就成為一個(gè)集合，也簡(jiǎn)稱(chēng)集

　　”這句話(huà)，只是對集合概念的描述性說(shuō)明。

　　教學(xué)過(guò)程：

　　一、復習引入：

　　1．簡(jiǎn)介數集的發(fā)展，復習最大公約數和最小公倍數，質(zhì)數與和數；

　　2．教材中的章頭引言；

　　3．集合論的創(chuàng )始人——康托爾（德國數學(xué)家）（見(jiàn)附錄）；

　　4．“物以類(lèi)聚”，“人以群分”；

　　5．教材中例子（P4）。

　　二、講解新課：

　　閱讀教材第一部分，問(wèn)題如下：

　�。�1）有那些概念？是如何定義的？

　�。�2）有那些符號？是如何表示的？

　�。�3）集合中元素的特性是什么？

　�。ㄒ唬┘�合的有關(guān)概念：由一些數、一些點(diǎn)、一些圖形、一些整式、一些物體、一些人組成的.我們說(shuō)，每一組對象的全體形成一個(gè)集合，或者說(shuō)，某些指定的對象集在一起就成為一個(gè)集合，也簡(jiǎn)稱(chēng)集.集合中的每個(gè)對象叫做這個(gè)集合的元素.

　　定義：一般地，某些指定的對象集在一起就成為一個(gè)集合．

　　1、集合的概念

　�。�1）集合：某些指定的對象集在一起就形成一個(gè)集合（簡(jiǎn)稱(chēng)集）

　�。�2）元素：集合中每個(gè)對象叫做這個(gè)集合的元素

　　2、常用數集及記法

　�。�1）非負整數集（自然數集）：全體非負整數的集合，記作N，N={0,1,2,…}

　�。�2）正整數集：非負整數集內排除0的集，記作N*或N+，N*={1,2,3,…}

　�。�3）整數集：全體整數的集合，記作Z ,Z={0,±1,±2,…}

　�。�4）有理數集：全體有理數的集合，記作Q，Q={整數與分數}

　�。�5）實(shí)數集：全體實(shí)數的集合，記作R，R={數軸上所有點(diǎn)所對應的數}

　　注：（1）自然數集與非負整數集是相同的，也就是說(shuō)，自然數集包括數0

　�。�2）非負整數集內排除0的.集，記作N*或N+

　　Q、Z、R等其它數集內排除0的集，也是這樣表示，例如，整數集內排除0的集，表示成Z*

　　3、元素對于集合的隸屬關(guān)系

　�。�1）屬于：如果a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于A(yíng)，記作a∈A

　�。�2）不屬于：如果a不是集合A的元素，就說(shuō)a不屬于A(yíng)，記作aA

　　4、集合中元素的特性

　�。�1）確定性：按照明確的判斷標準給定一個(gè)元素或者在這個(gè)集合里，或者不在，不能模棱兩可

　�。�2）互異性：集合中的元素沒(méi)有重復

　�。�3）無(wú)序性：集合中的元素沒(méi)有一定的順序（通常用正常的順序寫(xiě)出）

　　5、⑴集合通常用大寫(xiě)的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……

　　元素通常用小寫(xiě)的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……

　�、啤啊省钡拈_(kāi)口方向，不能把a∈A顛倒過(guò)來(lái)寫(xiě)。

高中數學(xué)教案17

　　1.課題

　　填寫(xiě)課題名稱(chēng)（高中代數類(lèi)課題）

　　2.教學(xué)目標

　　(1)知識與技能：

　　通過(guò)本節課的學(xué)習，掌握......知識，提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力；

　　(2)過(guò)程與方法：

　　通過(guò)......（討論、發(fā)現、探究），提高......（分析、歸納、比較和概括）的能力；

　　(3)情感態(tài)度與價(jià)值觀(guān)：

　　通過(guò)本節課的學(xué)習，增強學(xué)生的學(xué)習興趣，將數學(xué)應用到實(shí)際生活中，增加學(xué)生數學(xué)學(xué)習的樂(lè )趣。

　　3.教學(xué)重難點(diǎn)

　　(1)教學(xué)重點(diǎn)：本節課的知識重點(diǎn)

　　(2)教學(xué)難點(diǎn)：易錯點(diǎn)、難以理解的知識點(diǎn)

　　4.教學(xué)方法（一般從中選擇3個(gè)就可以了）

　　(1)討論法

　　(2)情景教學(xué)法

　　(3)問(wèn)答法

　　(4)發(fā)現法

　　(5)講授法

　　5.教學(xué)過(guò)程

　　(1)導入

　　簡(jiǎn)單敘述導入課題的方式和方法（例：復習、類(lèi)比、情境導出本節課的課題）

　　(2)新授課程（一般分為三個(gè)小步驟）

　�、俸�(jiǎn)單講解本節課基礎知識點(diǎn)（例：奇函數的定義）。

　�、跉w納總結該課題中的重點(diǎn)知識內容，尤其對該注意的一些情況設置易錯點(diǎn)，進(jìn)行強調�？梢栽O計分組討論環(huán)節（分組判斷幾組函數圖像是否為奇函數，并歸納奇函數圖像的特點(diǎn)。設置定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)的函數是否為奇函數的易錯點(diǎn)）。

　�、弁卣寡由�，將所學(xué)知識拓展延伸到實(shí)際題目中，去解決實(shí)際生活中的問(wèn)題。

　�。ㄔ谛率谡n里面一定要表下出講課的大體流程，但是不必太過(guò)詳細。）

　　(3)課堂小結

　　教師提問(wèn)，學(xué)生回答本節課的收獲。

　　(4)作業(yè)提高

　　布置作業(yè)（盡量與實(shí)際生活相聯(lián)系，有所創(chuàng )新）。

　　6.教學(xué)板書(shū)

　　2.高中數學(xué)教案格式

　　一．課題（說(shuō)明本課名稱(chēng)）

　　二．教學(xué)目的（或稱(chēng)教學(xué)要求，或稱(chēng)教學(xué)目標，說(shuō)明本課所要完成的教學(xué)任務(wù)）

　　三．課型（說(shuō)明屬新授課，還是復習課）

　　四．課時(shí)（說(shuō)明屬第幾課時(shí)）

　　五．教學(xué)重點(diǎn)（說(shuō)明本課所必須解決的關(guān)鍵性問(wèn)題）

　　六．教學(xué)難點(diǎn)（說(shuō)明本課的學(xué)習時(shí)易產(chǎn)生困難和障礙的知識傳授與能力培養點(diǎn)）

　　七．教學(xué)方法要根據學(xué)生實(shí)際，注重引導自學(xué)，注重啟發(fā)思維

　　八．教學(xué)過(guò)程（或稱(chēng)課堂結構，說(shuō)明教學(xué)進(jìn)行的內容、方法步驟）

　　九．作業(yè)處理（說(shuō)明如何布置書(shū)面或口頭作業(yè)）

　　十．板書(shū)設計（說(shuō)明上課時(shí)準備寫(xiě)在黑板上的內容）

　　十一．教具（或稱(chēng)教具準備，說(shuō)明輔助教學(xué)手段使用的工具）

　　十二．教學(xué)反思：（教者對該堂課教后的感受及學(xué)生的收獲、改進(jìn)方法）

　　3.高中數學(xué)教案范文

　　【教學(xué)目標】

　　1.知識與技能

　　(1)理解等差數列的定義，會(huì )應用定義判斷一個(gè)數列是否是等差數列：

　　(2)賬務(wù)等差數列的通項公式及其推導過(guò)程：

　　(3)會(huì )應用等差數列通項公式解決簡(jiǎn)單問(wèn)題。

　　2.過(guò)程與方法

　　在定義的理解和通項公式的推導、應用過(guò)程中，培養學(xué)生的觀(guān)察、分析、歸納能力和嚴密的邏輯思維的能力，體驗從特殊到一般，一般到特殊的認知規律，提高熟悉猜想和歸納的能力，滲透函數與方程的思想。

　　3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀(guān)

　　通過(guò)教師指導下學(xué)生的自主學(xué)習、相互交流和探索活動(dòng)，培養學(xué)生主動(dòng)探索、用于發(fā)現的求知精神，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣，讓學(xué)生感受到成功的喜悅。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，使學(xué)生養成細心觀(guān)察、認真分析、善于總結的良好習慣。

　　【教學(xué)重點(diǎn)】

　�、俚炔顢盗械母拍�;

　�、诘炔顢盗械耐�項公式

　　【教學(xué)難點(diǎn)】

　�、倮斫獾炔顢盗小暗炔睢钡奶攸c(diǎn)及通項公式的含義;

　�、诘炔顢盗械耐�項公式的推導過(guò)程.

　　【學(xué)情分析】

　　我所教學(xué)的學(xué)生是我校高一(7)班的學(xué)生(平行班學(xué)生)，經(jīng)過(guò)一年的高中數學(xué)學(xué)習，大部分學(xué)生知識經(jīng)驗已較為豐富，他們的智力發(fā)展已到了形式運演階段，具備了較強的抽象思維能力和演繹推理能力，但也有一部分學(xué)生的基礎較弱，學(xué)習數學(xué)的興趣還不是很濃，所以我在授課時(shí)注重從具體的生活實(shí)例出發(fā)，注重引導、啟發(fā)、研究和探討以符合這類(lèi)學(xué)生的心理發(fā)展特點(diǎn)，從而促進(jìn)思維能力的進(jìn)一步發(fā)展。

　　【設計思路】

　　1、教法

　�、賳�發(fā)引導法：這種方法有利于學(xué)生對知識進(jìn)行主動(dòng)建構;有利于突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn);有利于調動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性和積極性，發(fā)揮其創(chuàng )造性.

　�、诜纸M討論法：有利于學(xué)生進(jìn)行交流，及時(shí)發(fā)現問(wèn)題，解決問(wèn)題，調動(dòng)學(xué)生的積極性.

　�、壑v練結合法：可以及時(shí)鞏固所學(xué)內容，抓住重點(diǎn)，突破難點(diǎn).

　　2、學(xué)法

　　引導學(xué)生首先從三個(gè)現實(shí)問(wèn)題(數數問(wèn)題、水庫水位問(wèn)題、儲蓄問(wèn)題)概括出數組特點(diǎn)并抽象出等差數列的概念;接著(zhù)就等差數列概念的特點(diǎn)，推導出等差數列的通項公式;可以對各種能力的同學(xué)引導認識多元的推導思維方法.

　　【教學(xué)過(guò)程】

　　一、創(chuàng )設情境，引入新課

　　1、從0開(kāi)始，將5的倍數按從小到大的順序排列，得到的數列是什么?

　　2、水庫管理人員為了保證優(yōu)質(zhì)魚(yú)類(lèi)有良好的生活環(huán)境，用定期放水清庫的辦法清理水庫中的雜魚(yú).如果一個(gè)水庫的水位為18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m.那么從開(kāi)始放水算起，到可以進(jìn)行清理工作的那天，水庫每天的水位(單位：m)組成一個(gè)什么數列?

　　3、我國現行儲蓄制度規定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本息計算下一期的利息.按照單利計算本利和的公式是：本利和=本金×(1+利率×存期).按活期存入10000元錢(qián)，年利率是0.72%，那么按照單利，5年內各年末的本利和(單位：元)組成一個(gè)什么數列?

　　教師：以上三個(gè)問(wèn)題中的數蘊涵著(zhù)三列數.

　　學(xué)生：

　�、�0，5，10，15，20，25，….

　�、�18，15.5，13，10.5，8，5.5.

　�、�10072，10144，10216，10288，10360.

　　(設置意圖：從實(shí)例引入,實(shí)質(zhì)是給出了等差數列的現實(shí)背景,目的是讓學(xué)生感受到等差數列是現實(shí)生活中大量存在的數學(xué)模型.通過(guò)分析,由特殊到一般，激發(fā)學(xué)生學(xué)習探究知識的自主性，培養學(xué)生的歸納能力.

　　二、觀(guān)察歸納，形成定義

　�、�0，5，10，15，20，25，….

　�、�18，15.5，13，10.5，8，5.5.

　�、�10072，10144，10216，10288，10360.

　　思考1上述數列有什么共同特點(diǎn)?

　　思考2根據上數列的共同特點(diǎn)，你能給出等差數列的一般定義嗎?

　　思考3你能將上述的文字語(yǔ)言轉換成數學(xué)符號語(yǔ)言嗎?

　　教師：引導學(xué)生思考這三列數具有的共同特征，然后讓學(xué)生抓住數列的特征，歸納得出等差數列概念.

　　學(xué)生：分組討論，可能會(huì )有不同的答案：前數和后數的差符合一定規律;這些數都是按照一定順序排列的…只要合理教師就要給予肯定.

　　教師引導歸納出：等差數列的定義;另外，教師引導學(xué)生從數學(xué)符號角度理解等差數列的定義.

　　(設計意圖：通過(guò)對一定數量感性材料的觀(guān)察、分析，提煉出感性材料的本質(zhì)屬性;使學(xué)生體會(huì )到等差數列的規律和共同特點(diǎn);一開(kāi)始抓�。骸皬牡诙�項起，每一項與它的前一項的差為同一常數”，落實(shí)對等差數列概念的準確表達.)

　　三、舉一反三，鞏固定義

　　1、判定下列數列是否為等差數列?若是，指出公差d.

　　(1)1,1,1,1,1;

　　(2)1,0,1,0,1;

　　(3)2,1,0,-1,-2;

　　(4)4,7,10,13,16.

　　教師出示題目,學(xué)生思考回答.教師訂正并強調求公差應注意的問(wèn)題.

　　注意：公差d是每一項(第2項起)與它的前一項的差，防止把被減數與減數弄顛倒，而且公差可以是正數，負數，也可以為0.

　　(設計意圖：強化學(xué)生對等差數列“等差”特征的理解和應用).

　　2、思考4:設數列{an}的通項公式為an=3n+1，該數列是等差數列嗎?為什么?

　　(設計意圖：強化等差數列的.證明定義法)

　　四、利用定義，導出通項

　　1、已知等差數列：8，5，2，…，求第200項?

　　2、已知一個(gè)等差數列{an｝的首項是a1，公差是d，如何求出它的任意項an呢?

　　教師出示問(wèn)題，放手讓學(xué)生探究，然后選擇列式具有代表性的上去板演或投影展示.根據學(xué)生在課堂上的具體情況進(jìn)行具體評價(jià)、引導，總結推導方法，體會(huì )歸納思想以及累加求通項的方法;讓學(xué)生初步嘗試處理數列問(wèn)題的常用方法.

　　(設計意圖：引導學(xué)生觀(guān)察、歸納、猜想，培養學(xué)生合理的推理能力.學(xué)生在分組合作探究過(guò)程中，可能會(huì )找到多種不同的解決辦法，教師要逐一點(diǎn)評，并及時(shí)肯定、贊揚學(xué)生善于動(dòng)腦、勇于創(chuàng )新的品質(zhì)，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng )造意識.鼓勵學(xué)生自主解答，培養學(xué)生運算能力)

　　五、應用通項，解決問(wèn)題

　　1、判斷100是不是等差數列2，9，16，…的項?如果是，是第幾項?

　　2、在等差數列{an}中，已知a5=10，a12=31，求a1，d和an.

　　3、求等差數列3,7,11，…的第4項和第10項

　　教師：給出問(wèn)題，讓學(xué)生自己操練，教師巡視學(xué)生答題情況.

　　學(xué)生：教師叫學(xué)生代表總結此類(lèi)題型的解題思路，教師補充：已知等差數列的首項和公差就可以求出其通項公式

　　(設計意圖：主要是熟悉公式,使學(xué)生從中體會(huì )公式與方程之間的聯(lián)系.初步認識“基本量法”求解等差數列問(wèn)題.)

　　六、反饋練習：教材13頁(yè)練習1

　　七、歸納總結：

　　1、一個(gè)定義：

　　等差數列的定義及定義表達式

　　2、一個(gè)公式：

　　等差數列的通項公式

　　3、二個(gè)應用：

　　定義和通項公式的應用

　　教師：讓學(xué)生思考整理，找幾個(gè)代表發(fā)言，最后教師給出補充

　　(設計意圖：引導學(xué)生去聯(lián)想本節課所涉及到的各個(gè)方面，溝通它們之間的聯(lián)系，使學(xué)生能在新的高度上去重新認識和掌握基本概念，并靈活運用基本概念.)

　　【設計反思】

　　本設計從生活中的數列模型導入，有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習的主動(dòng)性，增強學(xué)生學(xué)習數列的興趣.在探索的過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)分析、觀(guān)察，歸納出等差數列定義，然后由定義導出通項公式，強化了由具體到抽象，由特殊到一般的思維過(guò)程，有助于提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.本節課教學(xué)采用啟發(fā)方法，以教師提出問(wèn)題、學(xué)生探討解決問(wèn)題為途徑，以相互補充展開(kāi)教學(xué)，總結科學(xué)合理的知識體系，形成師生之間的良性互動(dòng)，提高課堂教學(xué)效率.

高中數學(xué)教案18

　　【課題名稱(chēng)】

　　《等差數列》的導入

　　【授課年級】

　　高中二年級

　　【教學(xué)重點(diǎn)】

　　理解等差數列的概念，能夠運用等差數列的定義判斷一個(gè)數列是否為等差數列。

　　【教學(xué)難點(diǎn)】

　　等差數列的性質(zhì)、等差數列“等差”特點(diǎn)的理解，

　　【教具準備】多媒體課件、投影儀

　　【三維目標】

　　㈠知識目標：

　　了解公差的概念，明確一個(gè)等差數列的限定條件，能根據定義判斷一個(gè)等差數列是否是一個(gè)等差數列；

　　㈡能力目標：

　　通過(guò)尋找等差數列的共同特征，培養學(xué)生的觀(guān)察力以及歸納推理的能力；

　　㈢情感目標：

　　通過(guò)對等差數列概念的歸納概括，培養學(xué)生的觀(guān)察、分析資料的能力。

　　【教學(xué)過(guò)程】

　　導入新課

　　師：上兩節課我們已經(jīng)學(xué)習了數列的定義以及給出表示數列的幾種方法—列舉法、通項法，遞推公式、圖像法。這些方法分別從不同的角度反映了數列的特點(diǎn)。下面我們觀(guān)察以下的幾個(gè)數列的.例子：

　　(1)我們經(jīng)常這樣數數，從0開(kāi)始，每個(gè)5個(gè)數可以得到數列：0,5,10,15,20,()

　　(2)2000年，在澳大利亞悉尼舉行的奧運會(huì )上，女子舉重被正式列為比賽項目，該項目工設置了7個(gè)級別，其中較輕的4個(gè)級別體重組成的數列（單位：kg）為48,53,58,63,()試問(wèn)第五個(gè)級別體重多少？

　　(3)為了保證優(yōu)質(zhì)魚(yú)類(lèi)有良好的生活環(huán)境，水庫管理員定期放水清庫以清除水庫中的雜魚(yú)。如果一個(gè)水庫的水位為18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。即可得到一個(gè)數列：18,15.5,13,10.5,8，（），則第六個(gè)數應為多少？

　　(4)10072,10144,10216,(),10360

　　請同學(xué)們回答以上的四個(gè)問(wèn)題

　　生：第一個(gè)數列的第6項為25，第二個(gè)數列的第5個(gè)數為68，第三個(gè)數列的第6個(gè)數為5.5，第四個(gè)數列的第4個(gè)數為10288。

　　師：我來(lái)問(wèn)一下，你是依據什么得到了這幾個(gè)數的呢？請以第二個(gè)數列為例說(shuō)明一下。

　　生：第二個(gè)數列的后一項總比前一項多5，依據這個(gè)規律我就得到了這個(gè)數列的第5個(gè)數為68.

　　師：說(shuō)的很好！同學(xué)們再仔細地觀(guān)察一下以上的四個(gè)數列，看看以上的四個(gè)數列是否有什么共同特征？請注意，是共同特征。

　　生1：相鄰的兩項的差都等于同一個(gè)常數。

　　師：很好！那作差是否有順序？是否可以顛倒？

　　生2：作差的順序是后項減去前項，不能顛倒！

　　師：正如生1的總結，這四個(gè)數列有共同的特征：從第二項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個(gè)常數（即等差）。我們叫這樣的數列為等差數列。這就是我們這節課要研究的內容。

　　推進(jìn)新課

　　等差數列的定義：一般地，如果一個(gè)數列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個(gè)常數，那么這個(gè)數列就叫做等差數列，這個(gè)常數就叫做等差數列的公差，公差常用字母d表示。從剛才的分析，同學(xué)們應該注意公差d一定是由后項減前項。

　　師：有哪個(gè)同學(xué)知道定義中的關(guān)鍵字是什么？

　　生2：“從第二項起”和“同一個(gè)常數”

高中數學(xué)教案19

　　教學(xué)目標：

　　1。通過(guò)生活中優(yōu)化問(wèn)題的學(xué)習，體會(huì )導數在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用，促進(jìn)

　　學(xué)生全面認識數學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應用價(jià)值和文化價(jià)值。

　　2。通過(guò)實(shí)際問(wèn)題的研究，促進(jìn)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題以及數學(xué)建模能力的提高。

　　教學(xué)重點(diǎn)：

　　如何建立實(shí)際問(wèn)題的目標函數是教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)。

　　教學(xué)過(guò)程：

　　一、問(wèn)題情境

　　問(wèn)題1把長(cháng)為60cm的鐵絲圍成矩形，長(cháng)寬各為多少時(shí)面積最大？

　　問(wèn)題2把長(cháng)為100cm的鐵絲分成兩段，各圍成正方形，怎樣分法，能使兩個(gè)正方形面積之各最��？

　　問(wèn)題3做一個(gè)容積為256L的方底無(wú)蓋水箱，它的高為多少時(shí)材料最��？

　　二、新課引入

　　導數在實(shí)際生活中有著(zhù)廣泛的應用，利用導數求最值的方法，可以求出實(shí)際生活中的某些最值問(wèn)題。

　　1。幾何方面的應用（面積和體積等的最值）。

　　2。物理方面的應用（功和功率等最值）。

　　3。經(jīng)濟學(xué)方面的應用（利潤方面最值）。

　　三、知識建構

　　例1在邊長(cháng)為60cm的正方形鐵片的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線(xiàn)折起(如圖)，做成一個(gè)無(wú)蓋的方底箱子，箱底的邊長(cháng)是多少時(shí)，箱底的容積最大？最大容積是多少？

　　說(shuō)明1解應用題一般有四個(gè)要點(diǎn)步驟：設——列——解——答。

　　說(shuō)明2用導數法求函數的最值，與求函數極值方法類(lèi)似，加一步與幾個(gè)極

　　值及端點(diǎn)值比較即可。

　　例2圓柱形金屬飲料罐的容積一定時(shí)，它的高與底與半徑應怎樣選取，才

　　能使所用的材料最��？

　　變式當圓柱形金屬飲料罐的`表面積為定值S時(shí)，它的高與底面半徑應怎樣選取，才能使所用材料最��？

　　說(shuō)明1這種在定義域內僅有一個(gè)極值的函數稱(chēng)單峰函數。

　　說(shuō)明2用導數法求單峰函數最值，可以對一般的求法加以簡(jiǎn)化，其步驟為：

　　S1列：列出函數關(guān)系式。

　　S2求：求函數的導數。

　　S3述：說(shuō)明函數在定義域內僅有一個(gè)極大（�。┲�，從而斷定為函數的最大（�。┲�，必要時(shí)作答。

　　例3在如圖所示的電路中，已知電源的內阻為，電動(dòng)勢為。外電阻為

　　多大時(shí)，才能使電功率最大？最大電功率是多少？

　　說(shuō)明求最值要注意驗證等號成立的條件，也就是說(shuō)取得這樣的值時(shí)對應的自變量必須有解。

　　例4強度分別為a，b的兩個(gè)光源A，B，它們間的距離為d，試問(wèn)：在連接這兩個(gè)光源的線(xiàn)段AB上，何處照度最��？試就a＝8，b＝1，d＝3時(shí)回答上述問(wèn)題（照度與光的強度成正比，與光源的距離的平方成反比）。

　　例5在經(jīng)濟學(xué)中，生產(chǎn)單位產(chǎn)品的成本稱(chēng)為成本函數，記為；出售單位產(chǎn)品的收益稱(chēng)為收益函數，記為；稱(chēng)為利潤函數，記為。

　�。�1）設，生產(chǎn)多少單位產(chǎn)品時(shí)，邊際成本最低？

　�。�2）設，產(chǎn)品的單價(jià)，怎樣的定價(jià)可使利潤最大？

　　四、課堂練習

　　1。將正數a分成兩部分，使其立方和為最小，這兩部分應分成____和___。

　　2。在半徑為R的圓內，作內接等腰三角形，當底邊上高為 時(shí)，它的面積最大。

　　3。有一邊長(cháng)分別為8與5的長(cháng)方形，在各角剪去相同的小正方形，把四邊折起做成一個(gè)無(wú)蓋小盒，要使紙盒的容積最大，問(wèn)剪去的小正方形邊長(cháng)應為多少？

　　4。一條水渠，斷面為等腰梯形，如圖所示，在確定斷面尺寸時(shí)，希望在斷面ABCD的面積為定值S時(shí)，使得濕周l＝AB＋BC＋CD最小，這樣可使水流阻力小，滲透少，求此時(shí)的高h和下底邊長(cháng)b。

　　五、回顧反思

　�。�1）解有關(guān)函數最大值、最小值的實(shí)際問(wèn)題，需要分析問(wèn)題中各個(gè)變量之間的關(guān)系，找出適當的函數關(guān)系式，并確定函數的定義區間；所得結果要符合問(wèn)題的實(shí)際意義。

　�。�2）根據問(wèn)題的實(shí)際意義來(lái)判斷函數最值時(shí)，如果函數在此區間上只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么這個(gè)極值就是所求最值，不必再與端點(diǎn)值比較。

　�。�3）相當多有關(guān)最值的實(shí)際問(wèn)題用導數方法解決較簡(jiǎn)單。

　　六、課外作業(yè)

　　課本第38頁(yè)第1，2，3，4題。

高中數學(xué)教案20

　　教學(xué)目標：

　　1．進(jìn)一步熟練掌握比較法證明不等式；

　　2．了解作商比較法證明不等式；

　　3．提高學(xué)生解題時(shí)應變能力.

　　教學(xué)重點(diǎn)：

　　比較法的應用

　　教學(xué)難點(diǎn)：

　　常見(jiàn)解題技巧

　　教學(xué)方法啟發(fā)引導式

　　教學(xué)活動(dòng)

　�。ㄒ唬�導入新課

　�。ń處熁顒�(dòng)）教師打出字幕（復習提問(wèn)），請三位同學(xué)回答問(wèn)題，教師點(diǎn)評．

　�。▽W(xué)生活動(dòng)）思考問(wèn)題，回答．

　�。圩帜唬�1．比較法證明不等式的步驟是怎樣的？

　　2．比較法證明不等式的步驟中，依據、手段、目的各是什么？

　　3．用比較法證明不等式的步驟中，最關(guān)鍵的是哪一步？學(xué)了哪些常用的變形方法？對式子的變形還有其它方法嗎？

　　[點(diǎn)評]用比較法證明不等式步驟中，關(guān)鍵是對差式的變形．在我們所學(xué)的知識中，對式子變形的常用方法除了配方、通分，還有因式分解．這節課我們將繼續學(xué)習比較法證明不等式，積累對差式變形的常用方法和比較法思想的應用．（板書(shū)課題）

　　設計意圖：復習鞏固已學(xué)知識，銜接新知識，引入本節課學(xué)習的內容．

　�。ǘ�）新課講授

　　【嘗試探索，建立新知】

　�。ń處熁顒�(dòng)）提出問(wèn)題，引導學(xué)生研究解決問(wèn)題，并點(diǎn)評．

　�。▽W(xué)生活動(dòng)）嘗試解決問(wèn)題．

　　[問(wèn)題]

　　1．化簡(jiǎn)

　　2．比較與（）的大�。�

　�。▽W(xué)生解答問(wèn)題）

　�。埸c(diǎn)評］

　�、賳�(wèn)題1，我們采用了因式分解的方法進(jìn)行簡(jiǎn)化．

　�、谕ㄟ^(guò)學(xué)習比較法證明不等式，我們不難發(fā)現，比較法的思想方法還可用來(lái)比較兩個(gè)式子的大�。�

　　設計意圖：?jiǎn)�發(fā)學(xué)生研究問(wèn)題，建立新知，形成新的知識體系．

　　【例題示范，學(xué)會(huì )應用】

　�。ń處熁顒�(dòng)）教師打出字幕（例題），引導、啟發(fā)學(xué)生研究問(wèn)題，井點(diǎn)評解題過(guò)程．

　�。▽W(xué)生活動(dòng)）分析，研究問(wèn)題．

　�。圩帜唬堇�題3已知 a ， b 是正數，且，求證

　�。鄯治觯菀李}目特點(diǎn)，作差后重新組項，采用因式分解來(lái)變形．

　　證明：（見(jiàn)課本）

　�。埸c(diǎn)評］因式分解也是對差式變形的一種常用方法．此例將差式變形為幾個(gè)因式的積的形式，在確定符號中，表達過(guò)程較復雜，如何書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程，例3給出了一個(gè)好的示范．

　�。埸c(diǎn)評］解這道題在判斷符號時(shí)用了分類(lèi)討論，分類(lèi)討論是重要的數學(xué) 思想方法．要理解為什么分類(lèi)，怎樣分類(lèi)．分類(lèi)時(shí)要不重不漏．

　�。圩帜唬堇�5甲、乙兩人同時(shí)同地沿同一條路線(xiàn)走到同一地點(diǎn)．甲有一半時(shí)間以速度 m 行走，另一半時(shí)間以速度 n 行走；有一半路程乙以速度 m 行走，另一半路程以速度 n 行走，如果，問(wèn)甲、乙兩人誰(shuí)先到達指定地點(diǎn)．

　　[分析]設從出發(fā)地點(diǎn)至指定地點(diǎn)的路程為，甲、乙兩人走完這段路程用的時(shí)間分別為，要回答題目中的問(wèn)題，只要比較、的`大小就可以了．

　　解：（見(jiàn)課本）

　�。埸c(diǎn)評］此題是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，學(xué)習了如何利用比較法證明不等式的思想方法解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題．要培養自己學(xué)數學(xué)，用數學(xué)的良好品質(zhì)．

　　設計意圖：鞏固比較法證明不等式的方法，掌握因式分解的變形方法和分類(lèi)討論確定符號的方法．培養學(xué)生應用知識解決實(shí)際問(wèn)題的能力．

　　【課堂練習】

　�。ń處熁顒�(dòng)）教師打出字幕練習，要求學(xué)生獨立思考，完成練習；請甲、乙兩位學(xué)生板演；巡視學(xué)生的解題情況，對正確的給予肯定，對偏差及時(shí)糾正；點(diǎn)評練習中存在的問(wèn)題．

　�。▽W(xué)生活動(dòng)）在筆記本上完成練習，甲、乙兩位同學(xué)板演．

　�。圩帜唬菥毩暎�1．設，比較與的大�。�

　　2．已知，求證

　　設計意圖：掌握比較法證明不等式及思想方法的應用．靈活掌握因式分解法對差式的變形和分類(lèi)討論確定符號．反饋信息，調節課堂教學(xué)．

　　【分析歸納、小結解法】

　�。ń處熁顒�(dòng)）分析歸納例題的解題過(guò)程，小結對差式變形、確定符號的常用方法和利用不等式解決實(shí)際問(wèn)題的解題步驟．

　�。▽W(xué)生活動(dòng)）與教師一道小結，并記錄在筆記本上．

　　1．比較法不僅是證明不等式的一種基本、重要的方法，也是比較兩個(gè)式子大小的一種重要方法．

　　2．對差式變形的常用方法有：配方法，通分法，因式分解法等．

　　3．會(huì )用分類(lèi)討論的方法確定差式的符號．

　　4．利用不等式解決實(shí)際問(wèn)題的解題步驟：①類(lèi)比列方程解應用題的步驟．②分析題意，設未知數，找出數量關(guān)系（函數關(guān)系，相等關(guān)系或不等關(guān)系），③列出函數關(guān)系、等式或不等式，④求解，作答．

　　設計意圖：培養學(xué)生分析歸納問(wèn)題的能力，掌握用比較法證明不等式的知識體系．

　�。ㄈ�）小結

　�。ń處熁顒�(dòng)）教師小結本節課所學(xué)的知識及數學(xué) 思想與方法．

　�。▽W(xué)生活動(dòng)）與教師一道小結，并記錄筆記．

　　本節課學(xué)習了對差式變形的一種常用方法因式分解法；對符號確定的分類(lèi)討論法；應用比較法的思想解決實(shí)際問(wèn)題．

　　通過(guò)學(xué)習比較法證明不等式，要明確比較法證明不等式的理論依據，理解轉化，使問(wèn)題簡(jiǎn)化是比較法證明不等式中所蘊含的重要數學(xué)思想，掌握求差后對差式變形以及判斷符號的重要方法，并在以后的學(xué)習中繼續積累方法，培養用數學(xué)知識解決實(shí)際問(wèn)題的能力．

　　設計意圖：培養學(xué)生對所學(xué)的知識進(jìn)行概括歸納的能力，鞏固所學(xué)的知識，領(lǐng)會(huì )化歸、類(lèi)比、分類(lèi)討論的重要數學(xué) 思想方法．

　�。ㄋ模┎贾米鳂I(yè)

　　1．課本作業(yè)：P17 7、8。

　　2，思考題：已知，求證

　　3．研究性題：對于同樣的距離，船在流水中來(lái)回行駛一次的時(shí)間和船在靜水中來(lái)回行駛一次的時(shí)間是否相等？（假設船在流水中的速度和部在靜水中的速度保持不變）

　　設計意圖：思考題讓學(xué)生了解商值比較法，掌握分類(lèi)討論的思想．研究性題是使學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際，用數學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題，提高應用數學(xué)的能力．

　�。ㄎ澹┱n后點(diǎn)評

　　1．教學(xué)評價(jià)、反饋調節措施的構想：本節課采用啟發(fā)引導，講練結合的授課方式，發(fā)揮教師主導作用，體現學(xué)生主體地位，通過(guò)啟發(fā)誘導學(xué)生深入思考問(wèn)題，解決問(wèn)題，反饋學(xué)習信息，調節教學(xué)活動(dòng)．

　　2．教學(xué)措施的設計：由于對差式變形，確定符號是掌握比較法證明不等式的關(guān)鍵，本節課在上節課的基礎上繼續學(xué)習差式變形的方法和符號的確定，例3和例4分別使學(xué)生掌握因式分解變形和分類(lèi)討論確定符號，例5使學(xué)生對所學(xué)的知識會(huì )應用．例題設計目的在于突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，學(xué)會(huì )應用

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