《圓和圓的位置關(guān)系》教案
教學(xué)目標
(一)教學(xué)知識點(diǎn)
1．了解圓與圓之間的幾種位置關(guān)系．
2．了解兩圓外切、內切與兩圓圓心距d、半徑R和r的數量關(guān)系的聯(lián)系．
(二) 能力訓練要求
1．經(jīng)歷探索兩個(gè)圓之間位置關(guān)系的過(guò)程，訓練學(xué)生的探索能力．
2．通過(guò)平移實(shí)驗直觀(guān)地探索圓和圓的位置關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的識圖能力和動(dòng)手操作能力．
(三)情感與價(jià)值觀(guān)要求
1．通過(guò)探索圓和圓的位置關(guān)系，體驗數學(xué)活動(dòng)充滿(mǎn)著(zhù)探索與創(chuàng )造，感受數學(xué)的嚴謹性以及數學(xué)結論的確定性．
2．經(jīng)歷探究圖形的位置關(guān)系，豐富對現實(shí)空間及圖形的認識，發(fā)展形象思維．
教學(xué)重點(diǎn)
探索圓與圓之間的幾種位置關(guān)系，了解兩圓外切、內切與兩圓圓心距d、半徑R和r的數量關(guān)系的聯(lián)系．
教學(xué)難點(diǎn)
探索兩個(gè)圓之間的位置關(guān)系，以及外切、內切時(shí)兩圓圓心距d、半徑R和r的數量關(guān)系的過(guò)程．
教學(xué)方法
教師講解與學(xué)生合作交流探索法
教具準備
投 影片三張
第一張：(記作3． 6A)
第二張：(記作3．6B)
第三張：(記作3．6C)
教學(xué)過(guò)程
�、瘢畡�(chuàng )設問(wèn)題情境，引入新課
[師]我們已經(jīng)研究過(guò)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，分別為點(diǎn)在圓內、點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓外三種；還探究了直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系，分別為相離、相切、相交．它們的位置關(guān)系都有三種．今天我們要學(xué)習的內容是圓和圓的位置關(guān)系，那么結果是不是也是三種呢？沒(méi)有調查就沒(méi)有發(fā)言權．下面我們就來(lái)進(jìn)行有關(guān)探討．
�、颍抡n講解
一、想一想
[師]大家思考一下，在現實(shí)生活中你見(jiàn)過(guò)兩個(gè)圓的哪些位置關(guān)系呢？
[生]如自行車(chē)的兩個(gè)車(chē)輪間的位置關(guān) 系；車(chē)輪輪胎的兩個(gè)邊界圓間的位置關(guān)系；用一只手拿住大小兩個(gè)圓環(huán)時(shí)兩個(gè)圓環(huán)間的位置關(guān)系等．
[師]很好，現實(shí)生活中我們見(jiàn)過(guò)的有關(guān)兩個(gè)圓的位置很多．下面我們就來(lái)討論這些位置關(guān)系分別是什么．
二、探索圓和圓的位置關(guān)系
在一張透明紙上作一個(gè)⊙O．再在另一張透明紙上作一個(gè)與⊙O1半徑不等的⊙O2．把兩張透明紙疊在一起，固定⊙O1，平移⊙O2，⊙O1與⊙O2有幾種位置關(guān)系？
[師]請大家先自己動(dòng)手操作，總結出不同的位置關(guān)系，然后互相交流．
[生]我總結出共有五種位置關(guān)系，如下圖：
[師]大家的歸納、總結能力很強，能說(shuō)出五種位置關(guān)系中各自有什么特點(diǎn)嗎？從公共點(diǎn)的個(gè)數和一個(gè)圓上的點(diǎn)在另一個(gè)圓的內部還是外 部來(lái)考慮．
[生]如圖：(1)外離：兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，并且每一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部；
(2)外切：兩個(gè)圓有唯一公共點(diǎn)，除公共點(diǎn)外一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部；
(3)相交：兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，一 個(gè)圓上的點(diǎn)有的在另一個(gè)圓的外部，有的在另一個(gè)圓的內部；
(4)內切：兩個(gè)圓有一個(gè)公共點(diǎn)，除公共點(diǎn)外，⊙O2上的點(diǎn)在⊙O1的內部；
(5)內含：兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，⊙O2上的點(diǎn)都在⊙O1的內部．
[師]總結得很出色，如果只從公共點(diǎn)的個(gè)數來(lái)考慮，上面的五種位置關(guān)系中有相同類(lèi)型嗎？
[生]外離和內含都沒(méi)有公共點(diǎn)；外切和內切都有一個(gè)公共點(diǎn)；相交有兩個(gè)公共點(diǎn)．
[師]因此只從公共點(diǎn)的個(gè)數來(lái)考慮，可分為相離、相切、相交三種．
經(jīng)過(guò)大家的討論我們可知：
投影片(24.3A)
(1)如果從公共點(diǎn)的個(gè)數，和一個(gè)圓上的點(diǎn)在另一個(gè)圓的外部還是內部來(lái)考慮，兩個(gè)圓的位置關(guān)系有五種：外離、外切、相交、內切、內含．
(2)如果只從公共點(diǎn)的個(gè)數來(lái)考慮分三種：相離、相切、相交，并且相離 ，相切
三、例題講解
投影片(24.3B)
兩個(gè)同樣大小的肥皂 泡黏在一起，其剖面如圖所示(點(diǎn)O，O＇是圓心)，分隔兩個(gè)肥皂泡的肥皂膜PQ成一條直 線(xiàn)，TP、NP分別為兩圓的切線(xiàn)，求TPN的大�。�
分析：因為兩個(gè)圓大小相同，所以 半徑OP＝O＇P＝OO＇，又TP、NP分別為兩圓的切 線(xiàn)，所以PTOP，PNO＇P，即OPT＝O＇PN＝90，所以TPN等于36 0減去OPT＋O＇PN＋OPO＇即可．
解 ：∵OP＝OO＇＝PO＇，
△PO＇O是一個(gè)等邊三角形．
OPO＇＝60．
又∵TP與NP分別為兩圓的切線(xiàn)，
TPO ＝NPO＇＝90．
TPN＝360－290－60＝120．
四、想一想
如圖(1)，⊙O1與⊙O2外切，這個(gè)圖是 軸對稱(chēng)圖形嗎？如果是，它的對稱(chēng)軸是什么？切點(diǎn)與對稱(chēng)軸有什么位置關(guān)系？如果⊙O1與⊙O2內切呢？〔如圖(2 )〕
[師]我們知道圓是軸對稱(chēng)圖形，對稱(chēng)軸是任一直徑所在的直線(xiàn)，兩個(gè)圓是否也組成一 個(gè)軸對稱(chēng)圖形呢？這就要看切點(diǎn)T是否在連接兩個(gè)圓心的直線(xiàn)上，下面我們用反證法來(lái)證明．反證法的步驟有三 步：第一步是假設結論不成立；第二步是根據假設推出和已知條件或定理相矛盾的結論；第三步是證明假設錯誤，則原來(lái)的結論成立．
證明：假設切點(diǎn)T不在O1O2上．
因為圓是軸對稱(chēng)圖形，所以T關(guān)于O1O2的對稱(chēng)點(diǎn)T＇也是兩圓的`公共點(diǎn)，這與已知條件⊙O1和⊙O2相切矛盾，因此假設不成立．
則T在O1O2上．
由此可知圖(1)是軸對稱(chēng)圖形，對 稱(chēng)軸是兩圓的連心線(xiàn)，切點(diǎn)與對稱(chēng)軸的位置關(guān)系是切點(diǎn)在對稱(chēng)軸上．
在圖(2)中應有同樣的結論．
通過(guò)上面的討論，我們可以得出結論：兩圓相內切或外切時(shí)，兩圓的連心線(xiàn)一定經(jīng)過(guò)切點(diǎn)，圖(1)和圖(2)都是軸對稱(chēng)圖形，對稱(chēng)軸是它們的連心 線(xiàn)．
五、議一議
投影片(24.3C)
設兩圓的半徑分別為R和r．
(1)當兩圓外切時(shí)，兩圓圓心之間的距離(簡(jiǎn)稱(chēng)圓心距)d與R和r具有怎樣的關(guān)系？反之當d與R和r滿(mǎn)足這一關(guān)系時(shí)，這兩個(gè)圓一定外切嗎？
(2)當兩圓內切時(shí)(R＞r)，圓心距d與R和r具有怎樣的關(guān)系？反之，當d與R和r滿(mǎn)足這一關(guān)系時(shí)，這兩個(gè)圓一定內切嗎？
[師]如圖，請大家互相交流．
[生]在圖(1)中，兩圓相外切，切點(diǎn)是A．因為切點(diǎn)A在連心線(xiàn) O1O2上，所以O1O2＝O1A＋O2A＝R＋r，即d＝R＋r；反之，當d＝R＋r時(shí)，說(shuō)明圓心距等于兩圓半徑之和，O1、A、O2在一條直線(xiàn)上，所以⊙O1與⊙O2只有一個(gè)交點(diǎn)A，即⊙O1與⊙O2外切．
在圖(2)中，⊙O1與⊙O2相內切，切點(diǎn)是 B．因為切點(diǎn)B在連心線(xiàn)O1O2上，所以 O1O2＝O1B－O2B，即d＝R－r；反之，當d＝R－r時(shí)，圓心距等于兩半徑之差，即O1O2＝O1B－O2B，說(shuō)明O1、O2、B在一條直線(xiàn)上，B既在⊙O1上，又在⊙O2上，所以⊙O1與⊙O2內切．
[師]由此可知，當兩圓相外切時(shí)，有d＝R＋r，反過(guò)來(lái)，當d＝R＋r時(shí)，兩圓相外切，即兩圓相外切 d＝R＋r．
當兩圓相內切時(shí)，有d＝R－r，反過(guò)來(lái)，當d＝R－r時(shí)，兩圓相內 切，即兩圓相內切 d＝R－r．
�、螅n堂練習
隨堂練習
�、簦n時(shí)小結
本節課學(xué)習了如下內容：
1．探索圓和圓的五種位置關(guān)系；
2．討論在兩圓外切或內切情況下，圖形的軸對稱(chēng)性及對稱(chēng)軸，以及切點(diǎn)和對稱(chēng)軸的位置關(guān)系；
3． 探討在兩圓外切或內切時(shí)，圓心距d與R和r之間的關(guān)系．
�、酰n后作業(yè) 習題24.3
�、觯顒�(dòng)與探究
已知圖中各圓兩兩相切，⊙O的半徑為2R，⊙O1、⊙O2的半徑為R，求⊙O3的半徑．
分析：根據兩圓相外切連心線(xiàn)的長(cháng)為兩半徑之和，如果設⊙O 3的半徑為r，則O1O3＝O2O3＝R＋r，連接OO3就有OO3O1O2，所以OO2O3構成了直角三角形，利用勾股定理可求得⊙O3的半徑r．
解：連接O2O3、OO3，
O2OO3＝90，OO3＝2R－r，
O2O3＝R＋r，OO2＝R．
(R＋r)2＝(2R－r)2＋R2．
r＝ R．
板書(shū)設計
24.3 圓和圓的位置關(guān)系
一、1．想一想
2．探索圓和圓的位置關(guān)系
3．例題講解
4．想一想
5．議一議
二、課堂練習
三、課時(shí)小結
四、課后作業(yè)
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