兩條直線(xiàn)的平行與垂直教學(xué)設計
兩條直線(xiàn)的平行與垂直教學(xué)設計
教學(xué)目標
(一)知識教學(xué)
理解并掌握兩條直線(xiàn)平行與垂直的條件，會(huì )運用條件判定兩直線(xiàn)是否平行或垂直.
(二)能力訓練
通過(guò)探究?jì)芍本�(xiàn)平行或垂直的條件，培養學(xué)生運用已有知識解決新問(wèn)題的能力, 以及數形結合能力．
(三)學(xué)科滲透
通過(guò)對兩直線(xiàn)平行與垂直的位置關(guān)系的研究，培養學(xué)生的成功意識，合作交流的學(xué)習方式,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣．
重點(diǎn)：兩條直線(xiàn)平行和垂直的條件是重點(diǎn)，要求學(xué)生能熟練掌握，并靈活運用．
難點(diǎn)：?jiǎn)l(fā)學(xué)生, 把研究?jì)蓷l直線(xiàn)的平行或垂直問(wèn)題, 轉化為研究?jì)蓷l直線(xiàn)的斜率的關(guān)系問(wèn)題．
注意：對于兩條直線(xiàn)中有一條直線(xiàn)斜率不存在的情況, 在課堂上老師應提醒學(xué)生注意解決好這個(gè)問(wèn)題．
教學(xué)過(guò)程
(一)先研究特殊情況下的兩條直線(xiàn)平行與垂直
上一節課, 我們已經(jīng)學(xué)習了直線(xiàn)的傾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用傾斜角和斜率來(lái)表示直線(xiàn)相對于x軸的傾斜程度, 并推導出了斜率的坐標計算公式. 現在, 我們來(lái)研究能否通過(guò)兩條直線(xiàn)的斜率來(lái)判斷兩條直線(xiàn)的平行或垂直．
討論: 兩條直線(xiàn)中有一條直線(xiàn)沒(méi)有斜率, (1)當另一條直線(xiàn)的斜率也不存在時(shí)，兩直線(xiàn)的傾斜角都為90°，它們互相平行；(2)當另一條直線(xiàn)的斜率為0時(shí)，一條直線(xiàn)的傾斜角為90°，另一條直線(xiàn)的傾斜角為0°，兩直線(xiàn)互相垂直．
(二)兩條直線(xiàn)的斜率都存在時(shí), 兩直線(xiàn)的平行與垂直
設直線(xiàn) L1和L2的斜率分別為k1和k2. 我們知道, 兩條直線(xiàn)的平行或垂直是由兩條直線(xiàn)的方向決定的, 而兩條直線(xiàn)的方向又是由直線(xiàn)的傾斜角或斜率決定的. 所以我們下面要研究的問(wèn)題是: 兩條互相平行或垂直的直線(xiàn), 它們的斜率有什么關(guān)系?
首先研究?jì)蓷l直線(xiàn)互相平行(不重合)的情形．如果L1∥L2(圖1-29)，那么它們的傾斜角相等：α1=α2．(借助計算機, 讓學(xué)生通過(guò)度量, 感知α1, α2的關(guān)系)
∴tgα1=tgα2．
即 k1=k2．
反過(guò)來(lái)，如果兩條直線(xiàn)的斜率相等: 即k1=k2，那么tgα1=tgα2．
由于0°≤α1＜180°， 0°≤α＜180°，
∴α1=α2．
又∵兩條直線(xiàn)不重合，
∴L1∥L2．
結論: 兩條直線(xiàn)都有斜率而且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，那么它們平行，即
注意: 上面的等價(jià)是在兩條直線(xiàn)不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少這個(gè)前提，結論并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2; 反之則不一定.
下面我們研究?jì)蓷l直線(xiàn)垂直的情形．
如果L1⊥L2，這時(shí)α1≠α2，否則兩直線(xiàn)平行．
設α2＜α1(圖1-30)，甲圖的特征是L1與L2的交點(diǎn)在x軸上方；乙圖的特征是L1與L2的交點(diǎn)在x軸下方；丙圖的特征是L1與L2的交點(diǎn)在x軸上，無(wú)論哪種情況下都有
α1=90°+α2．
因為L(cháng)1、L2的斜率分別是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．
可以推出 : α1=90°+α2． L1⊥L2．
結論: 兩條直線(xiàn)都有斜率，如果它們互相垂直，那么它們的斜率互為負倒數；反之，如果它們的斜率互為負倒數，那么它們互相垂直，即
注意: 結論成立的條件. 即如果k1·k2 = -1, 那么一定有L1⊥L2; 反之則不一定.
(借助計算機, 讓學(xué)生通過(guò)度量, 感知k1, k2的關(guān)系, 并使L1(或L2)轉動(dòng)起來(lái), 但仍保持L1⊥L2, 觀(guān)察k1, k2的關(guān)系, 得到猜想, 再加以驗證. 轉動(dòng)時(shí), 可使α1為銳角,鈍角等).
例題
例1 已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 試判斷直線(xiàn)BA與PQ的位置關(guān)系, 并證明你的結論.
分析: 借助計算機作圖, 通過(guò)觀(guān)察猜想:BA∥PQ, 再通過(guò)計算加以驗證.(圖略)
解: 直線(xiàn)BA的斜率k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5,
直線(xiàn)PQ的斜率k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5,
因為 k1=k2=0.5, 所以 直線(xiàn)BA∥PQ.
例2 已知四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別為A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 試判斷四邊形ABCD的形狀,并給出證明. (借助計算機作圖, 通過(guò)觀(guān)察猜想: 四邊形ABCD是平行四邊形,再通過(guò)計算加以驗證)
解同上.
例3 已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 試判斷直線(xiàn)AB與PQ的位置關(guān)系.
例4
解: 直線(xiàn)AB的斜率k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3,
直線(xiàn)PQ的斜率k2= (6-3)(-2-0)=-3/2,
因為 k1·k2 = -1 所以 AB⊥PQ.
例4 已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 試判斷三角形ABC的形狀.
分析: 借助計算機作圖, 通過(guò)觀(guān)察猜想: 三角形ABC是直角三角形, 其中AB⊥BC, 再通過(guò)計算加以驗證.(圖略)
課堂練習
P94 練習 1. 2.
課后小結
(1)兩條直線(xiàn)平行或垂直的真實(shí)等價(jià)條件；(2)應用條件, 判定兩條直線(xiàn)平行或垂直.
(3) 應用直線(xiàn)平行的條件, 判定三點(diǎn)共線(xiàn).
布置作業(yè)
P94 習題3.1 5. 8.
板書(shū)設計
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