求函數最值的方法總結
一般的，函數最值分為函數最小值與函數最大值。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，最小值即定義域中函數值的最小值，最大值即定義域中函數值的最大值。下面就是小編整理的求函數最值的方法總結，一起來(lái)看一下吧。
函數的最值問(wèn)題既是歷年高考重點(diǎn)考查的內容之一，也是中學(xué)數學(xué)的主要內容。函數最值問(wèn)題的概念性、綜合性和靈活性較強，考題的知識涉及面較廣，對于學(xué)生的分析和邏輯推理能力要求較高。通過(guò)對函數最值問(wèn)題的相關(guān)研究，結合自身的感觸和學(xué)習的心得，總結歸納出了求解函數最值的幾種常用的方法，并討論了學(xué)習函數最值求解中應該注意的問(wèn)題，這將有利于提高學(xué)生的數學(xué)建模能力和解題能力。文章主要通過(guò)舉例說(shuō)明的方式來(lái)闡述求解函數最值的幾種常用解法，希望對培養學(xué)生數學(xué)學(xué)習能力，提高學(xué)生的解題能力有所幫助。
函數f（x）在區間I上的最大值和最小值問(wèn)題，本質(zhì)上是一個(gè)最優(yōu)化的問(wèn)題。求解函數最大值與最小值的實(shí)際問(wèn)題，包括三方面的工作：一是根據實(shí)際問(wèn)題建立目標函數，通�？偸沁x取待求的最優(yōu)量為因變量：二是按上述的求解方法求出目標函數在相應區間上的最大值或最小值；三是對所求得的解進(jìn)行相應實(shí)際背景的幾何意義的解釋。同時(shí)一方面要深刻理解題意，提高閱讀能力，要加強對常見(jiàn)的數學(xué)模型的理解，弄清其產(chǎn)生的實(shí)際背景，把數學(xué)問(wèn)題生活化；另一方面要不斷拓寬知識面，提高間接的生活閱歷，如了解一些諸如物價(jià)、行程、產(chǎn)值、利潤、環(huán)保等實(shí)際問(wèn)題，也涉及角度、面積、體積、造價(jià)等最優(yōu)化問(wèn)題，培養實(shí)際問(wèn)題數學(xué)化的意識和能力。
最值問(wèn)題綜合性強，幾乎涉及高中數學(xué)各個(gè)分支，要學(xué)好各個(gè)數學(xué)分支知識，透徹地理解題意，能綜合運用各種數學(xué)技能，熟練地掌握常用的解題方法，才能收到較好的效果。
�。�1）代數法。代數法包括判別式法（主要是應用方程的思想來(lái)解決函數最值問(wèn)題）配方法（解決二次函數可轉化為求二次函數的`最值問(wèn)題）不等式法（基本不等式是求最值問(wèn)題的重要工具，靈活運用不等式，能有效地解決一些給定約束條件的函數最值問(wèn)題）④換元法（利用題設條件，用換元的方法消去函數中的一部分變量，將問(wèn)題化歸為一元函數的最值，以促成問(wèn)題順利解決，常用的換元法有代數換元法和三角換元法）。
�、倥袆e法：判別式法是等式與不等式聯(lián)系的重要橋梁，若能在解多元函數最值過(guò)程中巧妙地運用，就能給人一種簡(jiǎn)單明快、耳目一新的感覺(jué)。而應用判別式的核心在于能否合理地構造二次方程或二次函數，還需注意是否能取等號。若函數可化成一個(gè)系數含有y的關(guān)于x的二次方程a（y）x2+b（y）x+c（y）=0，在a（y）≠0時(shí)，由于x，y為實(shí)數，必須有：△=[b（y）]—4a（y）c（y）≥0，由此求出y所在的范圍確定函數最值。
�、谂浞椒ǎ号浞椒ǘ嗍褂糜诙魏瘮抵�，通過(guò)變量代換，能變?yōu)殛P(guān)于t（x）的二次函數形式，函數可先配方成為f（x）=a[t（x）—m]2+n的形式，再根據二次函數的性質(zhì)確定其最值（此類(lèi)題的解法關(guān)鍵在于用“配方法”將二次函數一般式化為頂點(diǎn)式，同時(shí)要考慮頂點(diǎn)的橫坐標的值是否落在定義域內，若不在定義域內則需考慮函數的單調性）。
�、鄄坏仁椒ǎ壕挡坏仁角笞钪�，必須符合“一正、二定、三相”這三個(gè)必要條件，因此當其中一些條件不滿(mǎn)足時(shí)應考慮通過(guò)恰當的恒等變形，使這些條件得以滿(mǎn)足“和定積最大，積定和最小”，特別是其等號成立的條件。（在滿(mǎn)足基本不等式的條件下，如果變量的和為定值，則積有最大值；變量的積為定值，則和有最小值。本例中計算的目的，是利用隱含在條件之中的和為定值，當然這里還需要利用系數的湊合才能達到目的，具有一定技巧）
�、軗Q元法：換元法又叫變量替換法，即把某個(gè)部分看成一個(gè)式子，并用一個(gè)字母代替，于是使原式變得簡(jiǎn)化，使解題過(guò)程更簡(jiǎn)捷（在利用三角換元法求解問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵還是要在掌握好三角函數常用關(guān)系式的基礎上，結合所求解的函數式，慎重使用）。
�。�2）數形結合法。數形結合法是數學(xué)中的一種重要的思想方法，即考慮函數的幾何意義，結合幾何背景，把代數問(wèn)題轉化為幾何問(wèn)題，解法往往顯得直觀(guān)、簡(jiǎn)捷。通過(guò)數與形之間的對應和轉化來(lái)解題，有許多的優(yōu)越性。將抽象的數學(xué)語(yǔ)言和直觀(guān)的圖形結合起來(lái)，借助幾何圖形活躍解題思路，使解題過(guò)程簡(jiǎn)化。有時(shí)函數最值也借助數形結合方法來(lái)求解。
�、俳馕鍪剑航馕龇ㄊ怯^(guān)察函數的解析式，結合函數相關(guān)的性質(zhì)，求解函數最值的方法。
�、诤瘮敌再|(zhì)法：函數性質(zhì)法主要是討論利用已學(xué)函數的性質(zhì)，如函數的單調性求函數最值等。
�、蹣嬙鞆蛿捣ǎ簶嬙鞆蛿捣ㄊ窃谝呀�(jīng)學(xué)習復數章節的基礎上，把所求結論與復數的相關(guān)知識聯(lián)系起來(lái)，充分利用復數的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行求解。
�、芮髮Хǎㄎ⒎址ǎ簩凳歉咧鞋F行教材新增加的內容，求導法求函數最值是應用高等數學(xué)的知識解決初等問(wèn)題，可以解決一類(lèi)高次函數的最值問(wèn)題。找閉區間[a，b]上連續的函數f（x）的最大（或最�。┲禃r(shí)，將不可導點(diǎn)、穩定點(diǎn)及a，b處的函數值作比較，最大（或最�。┱呒礊樽畲螅ɑ蜃钚。┲�。
綜上可知，函數最值問(wèn)題內涵豐富，解法靈活，沒(méi)有通用的方法和固定的模式，在解題時(shí)要因題而異；而且上述方法并非彼此孤立，而是相互聯(lián)系、相互滲透的，有時(shí)一個(gè)問(wèn)題需要多法并舉，互為補充，有時(shí)一個(gè)題目又會(huì )有多種解法。因此，解題的關(guān)鍵在于認真分析和思考，因題而異地選擇恰當的解題方法，當一題有多種解法時(shí)，當然應該注意選擇最優(yōu)解法。
以上八種方法僅作為個(gè)人的一點(diǎn)愚見(jiàn)，僅是滄海一粟，希望在應用的時(shí)候千萬(wàn)不能按部就班，難免會(huì )遇到瓶頸，只有弄清其本質(zhì)，在應用時(shí)才能取得事半功倍的效果。
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