新版初一數學(xué)一元一次方程的應用

　　1、列一元一次方程解應用題的一般步驟

　�。�1）審題：弄清題意

　�。�2）找出等量關(guān)系：找出能夠表示本題含義的相等關(guān)系

　�。�3）設出未知數，列出方程：設出未知數后，表示出有關(guān)的含字母的式子，然后利用已找出的等量關(guān)系列出方程

　�。�4）解方程：解所列的方程，求出未知數的值

　�。�5）檢驗，寫(xiě)答案：檢驗所求出的未知數的值是否是方程的解，是否符合實(shí)際，檢驗后寫(xiě)出答案

　　2、和差倍分問(wèn)題

　　增長(cháng)量=原有量×增長(cháng)率 現在量=原有量+增長(cháng)量

　　3、等積變形問(wèn)題

　　常見(jiàn)幾何圖形的面積、體積、周長(cháng)計算公式，依據形雖變，但體積不變

　�、賵A柱體的體積公式 V=底面積×高=S·h=πr2h

　�、陂L(cháng)方體的體積 V=長(cháng)×寬×高=abc

　　4、數字問(wèn)題

　　一般可設個(gè)位數字為a，十位數字為b，百位數字為c

　　十位數可表示為10b+a， 百位數可表示為100c+10b+a

　　然后抓住數字間或新數、原數之間的關(guān)系找等量關(guān)系列方程

　　5、市場(chǎng)經(jīng)濟問(wèn)題

　�。�1）商品利潤=商品售價(jià)—商品成本價(jià) （2）商品利潤率=商品利潤/商品成本價(jià)×100%

　�。�3）商品銷(xiāo)售額=商品銷(xiāo)售價(jià)×商品銷(xiāo)售量

　�。�4）商品的銷(xiāo)售利潤=（銷(xiāo)售價(jià)—成本價(jià)）×銷(xiāo)售量

　�。�5）商品打幾折出售，就是按原標價(jià)的百分之幾十出售，如商品打8折出售，即按原標價(jià)的80%出售、

　　6、行程問(wèn)題：路程=速度×時(shí)間 時(shí)間=路程÷速度 速度=路程÷時(shí)間

　�。�1）相遇問(wèn)題： 快行距+慢行距=原距

　�。�2）追及問(wèn)題： 快行距—慢行距=原距

　�。�3）航行問(wèn)題：順水（風(fēng)）速度=靜水（風(fēng)）速度+水流（風(fēng)）速度

　　逆水（風(fēng)）速度=靜水（風(fēng)）速度—水流（風(fēng)）速度

　　抓住兩碼頭間距離不變，水流速和船速（靜不速）不變的特點(diǎn)考慮相等關(guān)系

　　7、工程問(wèn)題：工作量=工作效率×工作時(shí)間

　　完成某項任務(wù)的各工作量的和=總工作量=1

　　8、儲蓄問(wèn)題

　　利潤=每個(gè)期數內的利息/本金×100% 利息=本金×利率×期數

　　習題：

　　1、將一批工業(yè)最新動(dòng)態(tài)信息輸入管理儲存網(wǎng)絡(luò )，甲獨做需6小時(shí)，乙獨做需4小時(shí)，甲先做30分鐘，然后甲、乙一起做，則甲、乙一起做還需多少小時(shí)才能完成工作？

　　解：設甲、乙一起做還需x小時(shí)才能完成工作、

　　根據題意，得

　　1/6×1/2+（1/6+1/4）x=1

　　解這個(gè)方程，得x=11/5

　　11/5小時(shí)=2小時(shí)12分

　　答：甲、乙一起做還需2小時(shí)12分才能完成工作、

　　2、兄弟二人今年分別為15歲和9歲，多少年后兄的年齡是弟的年齡的2倍？

　　解：設x年后，兄的年齡是弟的年齡的2倍，則x年后兄的年齡是15+x，弟的年齡是9+x

　　由題意，得2×（9+x）=15+x

　　18+2x=15+x，2x—x=15—18

　　∴x=—3

　　答：3年前兄的年齡是弟的年齡的2倍

　�。�點(diǎn)撥：—3年的意義，并不是沒(méi)有意義，而是指以今年為起點(diǎn)前的3年，是與3年后具有相反意義的量）

　　3、將一個(gè)裝滿(mǎn)水的內部長(cháng)、寬、高分別為300毫米，300毫米和80毫米的長(cháng)方體鐵盒中的水，倒入一個(gè)內徑為200毫米的圓柱形水桶中，正好倒滿(mǎn)，求圓柱形水桶的高（精確到0、1毫米，π≈3、14）、

　　解：設圓柱形水桶的高為x毫米，依題意，得

　　π·（200/2）2x=300×300×80

　　x≈229.3

　　答：圓柱形水桶的高約為229.3毫米

　　4、有一火車(chē)以每分鐘600米的速度要過(guò)完第一、第二兩座鐵橋，過(guò)第二鐵橋比過(guò)第一鐵橋需多5秒，又知第二鐵橋的長(cháng)度比第一鐵橋長(cháng)度的2倍短50米，試求各鐵橋的長(cháng)

　　解：設第一鐵橋的長(cháng)為x米，那么第二鐵橋的長(cháng)為（2x—50）米，過(guò)完第一鐵橋所需的時(shí)間為x/600分

　　過(guò)完第二鐵橋所需的時(shí)間為2x—50/600分

　　依題意，可列出方程

　　x/600 + 5/60 = 2x—50/600

　　解方程x+50=2x—50

　　得x=100

　　∴2x—50=2×100—50=150

　　答：第一鐵橋長(cháng)100米，第二鐵橋長(cháng)150米。

　　5、有某種三色冰淇淋50克，咖啡色、紅色和白色配料的比是2：3：5，這種三色冰淇淋中咖啡色、紅色和白色配料分別是多少克？

　　解：設這種三色冰淇淋中咖啡色配料為2x克，那么紅色和白色配料分別為3x克和5x克

　　根據題意，得2x+3x+5x=50

　　解這個(gè)方程，得x=5

　　于是2x=10，3x=15，5x=25

　　答：這種三色冰淇淋中咖啡色、紅色和白色配料分別是10克，15克和25克

　　6、某車(chē)間有16名工人，每人每天可加工甲種零件5個(gè)或乙種零件4個(gè)、在這16名工人中，一部分人加工甲種零件，其余的加工乙種零件、已知每加工一個(gè)甲種零件可獲利16元，每加工一個(gè)乙種零件可獲利24元、若此車(chē)間一共獲利1440元，求這一天有幾個(gè)工人加工甲種零件

　　解：設這一天有x名工人加工甲種零件，則這天加工甲種零件有5x個(gè)，乙種零件有4（16—x）個(gè)

　　根據題意，得16×5x+24×4（16—x）=1440

　　解得x=6

　　答：這一天有6名工人加工甲種零件、

　　7、某地區居民生活用電基本價(jià)格為每千瓦時(shí)0.40元，若每月用電量超過(guò)a千瓦時(shí)，則超過(guò)部分按基本電價(jià)的70%收費、

　�。�1）某戶(hù)八月份用電84千瓦時(shí)，共交電費30.72元，求a

　�。�2）若該用戶(hù)九月份的平均電費為0.36元，則九月份共用電多少千瓦？應交電費是多少元？

　　解：（1）由題意，得

　　0.4a+（84—a）×0.40×70%=30.72

　　解得a=60

　�。�2）設九月份共用電x千瓦時(shí)，則

　　0.40×60+（x—60）×0.40×70%=0.36x

　　解得x=90

　　所以0.36×90=32.40（元）

　　答：九月份共用電90千瓦時(shí)，應交電費32.40元

　　8、某家電商場(chǎng)計劃用9萬(wàn)元從生產(chǎn)廠(chǎng)家購進(jìn)50臺電視機、已知該廠(chǎng)家生產(chǎn)3種不同型號的電視機，出廠(chǎng)價(jià)分別為A種每臺1500元，B種每臺2100元，C種每臺2500元

　�。�1）若家電商場(chǎng)同時(shí)購進(jìn)兩種不同型號的電視機共50臺，用去9萬(wàn)元，請你研究一下商場(chǎng)的進(jìn)貨方案

　�。�2）若商場(chǎng)銷(xiāo)售一臺A種電視機可獲利150元，銷(xiāo)售一臺B種電視機可獲利200元，銷(xiāo)售一臺C種電視機可獲利250元，在同時(shí)購進(jìn)兩種不同型號的電視機方案中，為了使銷(xiāo)售時(shí)獲利最多，你選擇哪種方案？

　　解：按購A，B兩種，B，C兩種，A，C兩種電視機這三種方案分別計算，設購A種電視機x臺，則B種電視機y臺

　�。�1）①當選購A，B兩種電視機時(shí)，B種電視機購（50—x）臺，可得方程

　　1500x+2100（50—x）=90000

　　即5x+7（50—x）=300

　　2x=50

　　x=25

　　50—x=25

　�、诋斶x購A，C兩種電視機時(shí)，C種電視機購（50—x）臺，可得方程1500x+2500（50—x）=90000

　　3x+5（50—x）=1800

　　x=35

　　50—x=15

　�、郛斮廈，C兩種電視機時(shí)，C種電視機為（50—y）臺

　　可得方程2100y+2500（50—y）=90000

　　21y+25（50—y）=900，4y=350，不合題意

　　由此可選擇兩種方案：一是購A，B兩種電視機25臺；二是購A種電視機35臺，C種電視機15臺

　�。�2）若選擇（1）中的方案①，可獲利

　　150×25+250×15=8750（元）

　　若選擇（1）中的方案②，可獲利

　　150×35+250×15=9000（元）

　　9000>8750 故為了獲利最多，選擇第二種方案

　　一元一次方程應用題是初一數學(xué)學(xué)習的重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)。主要困難體現在兩個(gè)方面：一是難以從實(shí)際問(wèn)題中找出相等關(guān)系，列出相應的方程；二是對數量關(guān)系稍復雜的方程，常常理不清楚基本量，也不知道如何用含未知數的式子來(lái)表示出這些基本量的相等關(guān)系，導致解題時(shí)無(wú)從下手。

　　事實(shí)上，方程就是一個(gè)含未知數的等式。列方程解應用題，就是要將實(shí)際問(wèn)題中的一些數量關(guān)系用這種含有未知數的等式的形式表示出來(lái)。而在這種等式中的每個(gè)式子又都有自身的實(shí)際意義，它們分別表示題設中某一相應過(guò)程的數量大小或數量關(guān)系。由此，解方程應用題的關(guān)鍵就是要“抓住基本量，找出相等關(guān)系”。

　　一、 列方程解應用題的步驟：

　�、艑忣}：理解題意。

　　1、弄清題目中的對象，找出題目中代表著(zhù)對象之間關(guān)系的句子和詞；

　　2、弄清題目中有什么，要我們干什么，找出有什么（已知）和干什么（未知）之間的關(guān)系；

　　從應用題來(lái)看一個(gè)題一般存在這兩個(gè)以上的關(guān)系，這兩關(guān)系一是題目中給出，二是題目中只給出一個(gè)，另一個(gè)關(guān)系是我們日常生活中常用到的一些等量關(guān)系（例如：路程=速度×時(shí)間等）所以解應用題關(guān)鍵是找出題目的等量關(guān)系，先就要長(cháng)到代表等量關(guān)系的句子和詞語(yǔ)（如：誰(shuí)比誰(shuí)多，誰(shuí)比誰(shuí)少，誰(shuí)是誰(shuí)的幾倍，誰(shuí)是誰(shuí)的幾分之幾等）。解題時(shí)常用橫線(xiàn)畫(huà)出代表等量關(guān)系的句子和詞語(yǔ)。

　�、圃O元（未知數）。

　�、僦苯游粗獢担侯}目中問(wèn)什么設什么；

　�、陂g接未知數：先通過(guò)設未知數求出與與問(wèn)題相關(guān)的量，然后再通過(guò)一些關(guān)系求出題目中的問(wèn)題。（往往二者兼用）。一般來(lái)說(shuō)，未知數越多，方程越易列，但越難解。但一元一次方程一般都只設一個(gè)未知數列一個(gè)方程。

　�、怯煤�未知數的代數式表示相關(guān)的量。

　�、攘蟹匠蹋簩ふ蚁嗟汝P(guān)系（有的由題目給出，有的由該問(wèn)題所涉及的等量關(guān)系給出），列方程。一般地，未知數個(gè)數與方程個(gè)數是相同的。

　�、山夥匠蹋�6）檢驗：一是檢驗是否使方程有意義，例如分母不為0等；二是檢驗是否使實(shí)際實(shí)際問(wèn)題有意義（如；2/3個(gè)人等）。

　�。�7）答題：回答出題目所問(wèn)。

　　二、常見(jiàn)的常識性等量關(guān)系及關(guān)鍵詞語(yǔ)

　�。�1）和、差、倍、分問(wèn)題。

　�。�2）　此問(wèn)題中常用“多、少、大、小、幾分之幾”或“增加、減少、縮小”等等詞語(yǔ)體現等量關(guān)系。審題時(shí)要抓住關(guān)鍵詞，確定標準量與比校量，并注意每個(gè)詞的細微差別。

　�。�2）等積變形問(wèn)題。

　　此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在“等積”上，是等量關(guān)系的所在，必須掌握常見(jiàn)幾何圖形的面積、體積公式�！暗确e變形”是以形狀改變而體積不變?yōu)榍疤�。常用等量關(guān)系為：

　�、傩螤蠲娣e變了，周長(cháng)沒(méi)變；②原料體積=成品體積。

　�。�3）調配問(wèn)題。

　　從調配后的數量關(guān)系中找等量關(guān)系，常見(jiàn)是“和、差、倍、分”關(guān)系，要注意調配對象流動(dòng)的方向和數量。這類(lèi)問(wèn)題要搞清人數的變化，常見(jiàn)題型有：

　�、偌扔姓{入又有調出；

　�、谥挥姓{入沒(méi)有調出，調入部分變化，其余不變；

　�、壑挥姓{出沒(méi)有調入，調出部分變化，其余不變。

　　調配與比例問(wèn)題在日常生活中十分常見(jiàn)，比如合理安排工人生產(chǎn)，按比例選取工程材料，調劑人數或貨物等。調配問(wèn)題中關(guān)鍵是要認識清楚部分量、總量以及兩者之間的關(guān)系。在調配問(wèn)題中主要考慮“總量不變”；而在比例問(wèn)題中則主要考慮總量與部分量之間的關(guān)系，或是量與量之間的比例關(guān)系。

　　例14、甲、乙兩書(shū)架各有若干本書(shū)，如果從乙架拿100本放到甲架上，那么甲架上的書(shū)比乙架上所剩的書(shū)多5倍，如果從甲架上拿100本書(shū)放到乙架上，兩架所有書(shū)相等。問(wèn)原來(lái)每架上各有多少書(shū)？

　　講評：本題難點(diǎn)是正確設未知數，并用含未知數的代數式將另一書(shū)架上書(shū)的本數表示出來(lái)。在調配問(wèn)題中，調配后數量相等，即將原來(lái)多的一方多出的數量進(jìn)行平分。由題設中“從甲書(shū)架拿100本書(shū)到乙書(shū)架，兩架書(shū)相等”，可知甲書(shū)架原有的書(shū)比乙書(shū)架上原有的書(shū)多200本。故設乙架原有x本書(shū)，則甲架原有（x+200）本書(shū)。從乙架拿100本放到甲架上，乙架剩下的書(shū)為（x—100）本，甲架書(shū)變?yōu)椋▁+200）+100本。又甲架的書(shū)比乙架多5倍，即是乙架的六倍，有 （x+200）+100=6（x—100） ∴x=180 x+200=380

　　例15、教室內共有燈管和吊扇總數為13個(gè)。已知每條拉線(xiàn)管3個(gè)燈管或2個(gè)吊扇，共有這樣的拉線(xiàn)5條，求室內燈管有多少個(gè)？

　　講評：這是一道對開(kāi)關(guān)拉線(xiàn)的分配問(wèn)題。設燈管有x支，則吊扇有（13—x）個(gè)，燈管拉線(xiàn)為x/3條，吊扇拉線(xiàn)為13—x/2條，依題意“共有5條拉線(xiàn)”，有x/3 + 13—x/2=5 ∴x=9

　　例16、某車(chē)間22名工人參加生產(chǎn)一種螺母和螺絲。每人每天平均生產(chǎn)螺絲120個(gè)或螺母200個(gè)，一個(gè)螺絲要配兩個(gè)螺母，應分配多少名工人生產(chǎn)螺絲，多少名工人生產(chǎn)螺母，才能使每天生產(chǎn)的產(chǎn)品剛好配套？

　　講評：產(chǎn)品配套（工人調配）問(wèn)題，要根據產(chǎn)品的配套關(guān)系（比例關(guān)系）正確地找到它們間得數量關(guān)系，并依此作相等關(guān)系列出方程。本題中，設有x名工人生產(chǎn)螺母，生產(chǎn)螺母的個(gè)數為200x個(gè)，則有（22—x）人生產(chǎn)螺絲，生產(chǎn)螺絲的個(gè)數為120（22—x）個(gè)。由“一個(gè)螺絲要配兩個(gè)螺母”即“螺母的個(gè)數是螺絲個(gè)數的2倍”，有 200x=2×120（22—x）

　　∴x=12 22—x=10

　　例17、 地板磚廠(chǎng)的坯料由白土、沙土、石膏、水按25∶2∶1∶6的比例配制攪拌而成�，F已將前三種料稱(chēng)好，公5600千克，應加多少千克的水攪拌？前三種料各稱(chēng)了多少千克？

　　講評：解決比例問(wèn)題的一般方法是：按比例設未知數，并根據題設中的相等關(guān)系列出方程進(jìn)行求解。本題中，由四種坯料比例25∶2∶1∶6，設四種坯料分別為25x、2x、x、6x千克，由前三種坯料共5600千克，有 25x+2x+x=5600

　　∴　x=200 25x=5000 2x=400 x=200 6x=1200

　　例18、 蘋(píng)果若干個(gè)分給小朋友，每人m個(gè)余14個(gè)，每人9個(gè)，則最后一人得6個(gè)。問(wèn)小朋友有幾人？

　　講評：這是一個(gè)分配問(wèn)題。設小朋友x人，每人分m個(gè)蘋(píng)果余14個(gè)，蘋(píng)果總數為mx+14，每人9個(gè)蘋(píng)果最后一人6個(gè)，則蘋(píng)果總數為9（x—1）+6。蘋(píng)果總數不變，有

　　mx+14=9（x—1）+6 ∴x=17/9—m∵x、m均為整數 ∴9—m=1

　　x=17

　　例19、 出口1噸豬肉可以換5噸鋼材，7噸豬肉價(jià)格與4噸砂糖的價(jià)格相等，現有288噸砂糖，把這些砂糖出口，可換回多少?lài)嶄摬模?/p>

　　講評：本題可轉換成一個(gè)比例問(wèn)題。由豬肉∶鋼材=1∶5，豬肉∶砂糖=7∶4，得豬肉∶鋼材∶砂糖=7∶35∶4，設可換回鋼材x噸，則有 x∶288=35∶4 ∴x=2620

　　7、需設中間（間接）未知數求解的問(wèn)題

　　一些應用題中，設直接未知數很難列出方程求解，而根據題中條件設間接未知數，卻較容易列出方程，再通過(guò)中間未知數求出結果。

　　例20、甲、乙、丙、丁四個(gè)數的和是43，甲數的2倍加8，乙數的3倍，丙數的4倍，丁數的5倍減去4，得到的4個(gè)數卻相等。求甲、乙、丙、丁四個(gè)數。

　　講評：本題中要求4個(gè)量，在后面可用方程組求解。若用一元一次方程求解，如果設某個(gè)數為未知數，其余的數用未知數表示很麻煩。這里由甲、乙、丙、丁變化后得到的數相等，故設這個(gè)相等的數為x，則甲數為x—8/2，乙數為x/3，丙數為x/4，丁數為x+4/5，由四個(gè)數的和是43，有 x—8/2 + x/3 + x/4+x + 4/5 = 43 ∴x = 36

　　∴ x—8/2=14 x/3=12 x/4=9 x+4/5=8

　　例21、某縣中學(xué)生足球聯(lián)賽共賽10輪（即每隊均需比賽10場(chǎng)），其中勝1場(chǎng)得3分，平1場(chǎng)得1分，負1場(chǎng)得0分。向明中學(xué)足球隊在這次聯(lián)賽中所負場(chǎng)數比平場(chǎng)數少3場(chǎng)，結果公得19分。向明中學(xué)在這次聯(lián)賽中勝了多少場(chǎng)？

　　講評：本題中若直接將勝的場(chǎng)次設為未知數，無(wú)法用未知數的式子表示出負的場(chǎng)數和平的場(chǎng)數，但設平或負的場(chǎng)數，則可表示出勝的場(chǎng)數。故設平_場(chǎng)，則負x—3場(chǎng)，勝10—（x+x—3）場(chǎng)，依題意有 3[10—（x+x—3）]+x=19 ∴x=4 ∴ 10—（x+x—3）= 5

　�。�4）行程問(wèn)題。

　　要掌握行程中的基本關(guān)系：路程=速度×時(shí)間。

　　相遇問(wèn)題（相向而行），這類(lèi)問(wèn)題的相等關(guān)系是：各人走路之和等于總路程或同時(shí)走時(shí)兩人所走的時(shí)間相等為等量關(guān)系。甲走的路程+乙走的路程=全路程

　　追及問(wèn)題（同向而行），這類(lèi)問(wèn)題的等量關(guān)系是：兩人的路程差等于追及的路程或以追及時(shí)間為等量關(guān)系。

　�、� 同時(shí)不同地：甲的時(shí)間=乙的時(shí)間 甲走的路程—乙走的路程=原來(lái)甲、乙相距的路程

　�、� 同地不同時(shí)；甲的時(shí)間=乙的時(shí)間—時(shí)間差 甲的路程=乙的路程

　　環(huán)形跑道上的相遇和追及問(wèn)題：同地反向而行的等量關(guān)系是兩人走的路程和等于一圈的路程；同地同向而行的等量關(guān)系是兩人所走的路程差等于一圈的路程。

　　船（飛機）航行問(wèn)題：相對運動(dòng)的合速度關(guān)系是：

　　順水（風(fēng)）速度=靜水（無(wú)風(fēng)）中速度+水（風(fēng)）流速度；逆水（風(fēng)）速度=靜水（無(wú)風(fēng)）中速度—水（風(fēng)）流速度。

　　車(chē)上（離）橋問(wèn)題：

　�、佘�(chē)上橋指車(chē)頭接觸橋到車(chē)尾接觸橋的一段過(guò)程，所走路程為一個(gè)車(chē)長(cháng)。

　�、谲�(chē)離橋指車(chē)頭離開(kāi)橋到車(chē)尾離開(kāi)橋的一段路程。所走的路程為一個(gè)成長(cháng)

　�、圮�(chē)過(guò)橋指車(chē)頭接觸橋到車(chē)尾離開(kāi)橋的一段路程，所走路成為一個(gè)車(chē)長(cháng)+橋長(cháng)

　�、苘�(chē)在橋上指車(chē)尾接觸橋到車(chē)頭離開(kāi)橋的一段路程，所行路成為橋長(cháng)—車(chē)長(cháng)

　　行程問(wèn)題可以采用畫(huà)示意圖的輔助手段來(lái)幫助理解題意，并注意兩者運動(dòng)時(shí)出發(fā)的時(shí)間和地點(diǎn)。

　　尋找的相等關(guān)系有：路程關(guān)系、時(shí)間關(guān)系、速度關(guān)系。在不同的問(wèn)題中，相等關(guān)系是靈活多變的。如相遇問(wèn)題中多以路程作相等關(guān)系，而對有先后順序的問(wèn)題卻通常以時(shí)間作相等關(guān)系，在航行問(wèn)題中很多時(shí)候還用速度作相等關(guān)系。

　　例1、某隊伍450米長(cháng)，以每分鐘90米速度前進(jìn)，某人從排尾到排頭取東西后，立即返回排尾，速度為3米/秒。問(wèn)往返共需多少時(shí)間？

　　講評：這一問(wèn)題實(shí)際上分為兩個(gè)過(guò)程：①從排尾到排頭的過(guò)程是一個(gè)追及過(guò)程，相當于最后一個(gè)人追上最前面的人；②從排頭回到排尾的過(guò)程則是一個(gè)相遇過(guò)程，相當于從排頭走到與排尾的人相遇。

　　在追及過(guò)程中，設追及的時(shí)間為x秒，隊伍行進(jìn)（即排頭）速度為90米/分=1.5米/秒，則排頭行駛的路程為1.5x米；追及者的速度為3米/秒，則追及者行駛的路程為3x米。由追及問(wèn)題中的相等關(guān)系“追趕者的路程—被追者的路程=原來(lái)相隔的路程”，有：

　　3x—1.5x=450 ∴x=300

　　在相遇過(guò)程中，設相遇的時(shí)間為y秒，隊伍和返回的人速度未變，故排尾人行駛的路程為1.5y米，返回者行駛的路程為3y米，由相遇問(wèn)題中的相等關(guān)系“甲行駛的路程+乙行駛的路程=總路程”有： 3y+1.5y=450 ∴y=100

　　故往返共需的時(shí)間為 x+y=300+100=400（秒）

　　例2 汽車(chē)從A地到B地，若每小時(shí)行駛40km，就要晚到半小時(shí)：若每小時(shí)行駛45km，就可以早到半小時(shí)。求A、B 兩地的距離。

　　講評：先出發(fā)后到、后出發(fā)先到、快者要早到慢者要晚到等問(wèn)題，我們通常都稱(chēng)其為“先后問(wèn)題”。在這類(lèi)問(wèn)題中主要考慮時(shí)間量，考察兩者的時(shí)間關(guān)系，從相隔的時(shí)間上找出相等關(guān)系。本題中，設A、B兩地的路程為x km，速度為40 km/小時(shí)，則時(shí)間為x/40小時(shí)；速度為45 km/小時(shí)，則時(shí)間為x/45小時(shí)，又早到與晚到之間相隔1小時(shí)，故有

　　x/40—x/45 = 1 ∴　x = 360

　　例3 一艘輪船在甲、乙兩地之間行駛，順流航行需6小時(shí)，逆流航行需8小時(shí)，已知水流速度每小時(shí)2 km。求甲、乙兩地之間的距離。

　　講評：設甲、乙兩地之間的距離為x km，則順流速度為x/6km/小時(shí)，逆流速度為x/8km/小時(shí)，由航行問(wèn)題中的重要等量關(guān)系有：

　　x/6—2= x/8 +2 ∴ x = 96

　�。�5）工程問(wèn)題。

　　其基本數量關(guān)系：工作總量=工作效率×工作時(shí)間；合做的效率=各單獨做的效率的和。當工作總量未給出具體數量時(shí)，常設總工作量為“1”，分析時(shí)可采用列表或畫(huà)圖來(lái)幫助理解題意。

　　工程問(wèn)題中，一般常將全部工作量看作整體1，如果完成全部工作的時(shí)間為t，則工作效率為。常見(jiàn)的相等關(guān)系有兩種：①如果以工作量作相等關(guān)系，部分工作量之和=總工作量。②如果以時(shí)間作相等關(guān)系，完成同一工作的時(shí)間差=多用的時(shí)間。

　　在工程問(wèn)題中，還要注意有些問(wèn)題中工作量給出了明確的數量，這時(shí)不能看作整體1，此時(shí)工作效率也即工作速度。

　　例4、 加工某種工件，甲單獨作要20天完成，乙只要10就能完成任務(wù)，現在要求二人在12天內完成任務(wù)。問(wèn)乙需工作幾天后甲再繼續加工才可正好按期完成任務(wù)？

　　講評：將全部任務(wù)的工作量看作整體1，由甲、乙單獨完成的時(shí)間可知，甲的工作效率為1/20，乙的工作效率為1/10，設乙需工作x 天，則甲再繼續加工（12—x）天，乙完成的工作量為x/10，甲完成的工作量為，依題意有 x/10 + 12—x/20 = 1 ∴x =8

　　例5、 收割一塊麥地，每小時(shí)割4畝，預計若干小時(shí)割完。收割了2/3后，改用新式農具收割，工作效率提高到原來(lái)的1、5倍。因此比預計時(shí)間提前1小時(shí)完工。求這塊麥地有多少畝？

　　講評：設麥地有x畝，即總工作量為x畝，改用新式工具前工作效率為4畝/小時(shí)，割完x畝預計時(shí)間為x/4小時(shí)，收割2/3x畝工作時(shí)間為2/3x/4=小時(shí)；改用新式工具后，工作效率為1.5×4=6畝/小時(shí)，割完剩下1/3x畝時(shí)間為1/3x /6 = x/18 小時(shí)，則實(shí)際用的時(shí)間為（x/6+ x/18）小時(shí)，依題意“比預計時(shí)間提前1小時(shí)完工”有

　　x/4—（x/6+x/18）=1 ∴ x =36

　　例6、 一水池裝有甲、乙、丙三個(gè)水管，加、乙是進(jìn)水管，丙是排水管，甲單獨開(kāi)需10小時(shí)注滿(mǎn)一池水，乙單獨開(kāi)需6小時(shí)注滿(mǎn)一池水，丙單獨開(kāi)15小時(shí)放完一池水�，F在三管齊開(kāi)，需多少時(shí)間注滿(mǎn)水池？

　　講評：由題設可知，甲、乙、丙工作效率分別為1/10、1/6、—1/15（進(jìn)水管工作效率看作正數，排水管效率則記為負數），設x小時(shí)可注滿(mǎn)水池，則甲、乙、丙的工作量分別為x/10，x/6、—x/15，由三水管完成整體工作量1，有 x/10 +x/6 — x/15 = 1 ∴　x = 5

　�。�6）溶液（混合物）問(wèn)題

　　溶液（混合物）問(wèn)題有四個(gè)基本量：溶質(zhì)（純凈物）、溶劑（雜質(zhì)）、溶液（混合物）、濃度（含量）。其關(guān)系式為：①溶液=溶質(zhì)+溶劑（混合物=純凈物+雜質(zhì)）；②濃度=溶質(zhì)/溶液×100%=溶質(zhì)/溶質(zhì)+溶劑×100%【純度（含量）=純凈物/混合物×100%=純凈物/純凈物+雜×100%】；③由①②可得到：溶質(zhì)=濃度×溶液=濃度×（溶質(zhì)+溶劑）。在溶液?jiǎn)?wèn)題中關(guān)鍵量是“溶質(zhì)”：“溶質(zhì)不變”，混合前溶質(zhì)總量等于混合后的溶質(zhì)量，是很多方程應用題中的主要等量關(guān)系。

　　例11、把1000克濃度為80%的酒精配成濃度為60%的酒精，某同學(xué)未經(jīng)考慮先加了300克水。⑴試通過(guò)計算說(shuō)明該同學(xué)加水是否過(guò)量？⑵如果加水不過(guò)量，則應加入濃度為20%的酒精多少克？如果加水過(guò)量，則需再加入濃度為95%的酒精多少克？

　　講評：溶液?jiǎn)?wèn)題中濃度的變化有稀釋?zhuān)ㄍㄟ^(guò)加溶劑或濃度低的溶液，將濃度高的溶液的濃度降低）、濃化（通過(guò)蒸發(fā)溶劑、加溶質(zhì)、加濃度高的溶液，將低濃度溶液的濃度提高）兩種情況。在濃度變化過(guò)程中主要要抓住溶質(zhì)、溶劑兩個(gè)關(guān)鍵量，并結合有關(guān)公式進(jìn)行分析，就不難找到相等關(guān)系，從而列出方程。

　　本題中，⑴加水前，原溶液1000克，濃度為80%，溶質(zhì)（純酒精）為1000×80%克；設加x克水后，濃度為60%，此時(shí)溶液變?yōu)椋?000+x）克，則溶質(zhì)（純酒精）為（1000+x）×60%克。由加水前后溶質(zhì)未變，有（1000+x）×60%=1000×80%

　　∴x = 1000/3>300 ∴該同學(xué)加水未過(guò)量。

　�、圃O應加入濃度為20%的酒精y克，此時(shí)總溶液為（1000+300+y）克，濃度為60%，溶質(zhì)（純酒精）為（1000+300+y）×60%；原兩種溶液的濃度分別為1000×80%、20%y，由混合前后溶質(zhì)量不變，有（1000+300+y）×60%=1000×80%+20% ∴ y=50

　�。�7）經(jīng)濟問(wèn)題

　　與生活、生產(chǎn)實(shí)際相關(guān)的經(jīng)濟類(lèi)應用題，是近年中考數學(xué)創(chuàng )新題中的一個(gè)突出類(lèi)型。經(jīng)濟類(lèi)問(wèn)題主要體現為三大類(lèi)：①銷(xiāo)售利潤問(wèn)題、②優(yōu)惠（促銷(xiāo)）問(wèn)題、③存貸問(wèn)題。這三類(lèi)問(wèn)題的基本量各不相同，在尋找相等關(guān)系時(shí)，一定要聯(lián)系實(shí)際生活情景去思考，才能更好地理解問(wèn)題的本質(zhì)，正確列出方程。

　�、配N(xiāo)售利潤問(wèn)題。利潤問(wèn)題中有四個(gè)基本量：成本（進(jìn)價(jià)）、銷(xiāo)售價(jià)（收入）、利潤、利潤率�；�本關(guān)系式有：①利潤=銷(xiāo)售價(jià)（收入）—成本（進(jìn)價(jià)）【成本（進(jìn)價(jià)）=銷(xiāo)售價(jià)（收入）—利潤】；②利潤率=利潤/成本（進(jìn)價(jià)）【利潤=成本（進(jìn)價(jià)）×利潤率】。在有折扣的銷(xiāo)售問(wèn)題中，實(shí)際銷(xiāo)售價(jià)=標價(jià)×折扣率。打折問(wèn)題中常以進(jìn)價(jià)不變作相等關(guān)系。

　�、苾�(yōu)惠（促銷(xiāo)）問(wèn)題。日常生活中有很多促銷(xiāo)活動(dòng)，不同的購物（消費）方式可以得到不同的優(yōu)惠。這類(lèi)問(wèn)題中，一般從“什么情況下效果一樣分析起”。并以求得的數值為基準，取一個(gè)比它大的數及一個(gè)比它小的數進(jìn)行檢驗，預測其變化趨勢。

　�、谴尜J問(wèn)題。存貸問(wèn)題與日常生活密切相關(guān)，也是中考命題時(shí)最好選取的問(wèn)題情景之一。存貸問(wèn)題中有本金、利息、利息稅三個(gè)基本量，還有與之相關(guān)的利率、本息和、稅率等量。其關(guān)系式有：①利息=本金×利率×期數；（注意利率有日利率、月利率和年利率，年利率=月利率×12=日利率×365。）②利息稅=利息×稅率；③本息和（本利）=本金+利息—利息稅。

　　例7、某商店先在廣州以每件15元的價(jià)格購進(jìn)某種商品10件，后來(lái)又到深圳以每件12、5元的價(jià)格購進(jìn)同樣商品40件。如果商店銷(xiāo)售這種商品時(shí)，要獲利12%，那么這種商品的銷(xiāo)售價(jià)應定多少？

　　講評：設銷(xiāo)售價(jià)每件x 元，銷(xiāo)售收入則為（10+40）x元，而成本（進(jìn)價(jià)）為（5×10+40×12.5），利潤率為12%，利潤為（5×10+40×12.5）×12%。由關(guān)系式①有

　�。�10+40）x—（5×10+40×12.5）=（5×10+40×12.5）×12% ∴x=14.56

　　例8、某種商品因換季準備打折出售，如果按定價(jià)七五折出售，則賠25元，而按定價(jià)的九折出售將賺20元。問(wèn)這種商品的定價(jià)是多少？

　　講評：設定價(jià)為x元，七五折售價(jià)為75%x，利潤為—25元，進(jìn)價(jià)則為75%x—（—25）=75%x+25；九折銷(xiāo)售售價(jià)為90%x，利潤為20元，進(jìn)價(jià)為90%x—20。由進(jìn)價(jià)一定，有

　　75%x+25=90%x—20 ∴ x = 300

　　例9、 李勇同學(xué)假期打工收入了一筆工資，他立即存入銀行，存期為半年。整存整取，年利息為2.16%。取款時(shí)扣除20%利息稅。李勇同學(xué)共得到本利504.32元。問(wèn)半年前李勇同學(xué)共存入多少元？

　　講評：本題中要求的未知數是本金。設存入的本金為x元，由年利率為2.16%，期數為0.5年，則利息為0.5×2.16%x，利息稅為20%×0.5×2.16%x，由存貸問(wèn)題中關(guān)系式③有 x +0.5×2.16%x—20%×0.5×2.16%x=504.32 ∴ x = 500

　　例10、某服裝商店出售一種優(yōu)惠購物卡，花200元買(mǎi)這種卡后，憑卡可在這家商店8折購物，什么情況下買(mǎi)卡購物合算？

　　講評：購物優(yōu)惠先考慮“什么情況下情況一樣”。設購物x元買(mǎi)卡與不買(mǎi)卡效果一樣，買(mǎi)卡花費金額為（200+80%x）元，不買(mǎi)卡花費金額為x元，故有

　　200+80%x = x ∴ x = 1000

　　當x >1000時(shí)，如x=2000 買(mǎi)卡消費的花費為：200+80%×2000=1800（元）

　　不買(mǎi)卡花費為：2000（元 ） 此時(shí)買(mǎi)卡購物合算。

　　當x<1000時(shí)，如x=800 買(mǎi)卡消費的花費為：200+80%×800=840（元）

　　不買(mǎi)卡花費為：800（元） 此時(shí)買(mǎi)卡不合算。

　�。�8）數字問(wèn)題。

　　要正確區分“數”與“數字”兩個(gè)概念，這類(lèi)問(wèn)題通常采用間接設法，常見(jiàn)的解題思路分析是抓住數字間或新數、原數之間的關(guān)系尋找等量關(guān)系。列方程的前提還必須正確地表示多位數的代數式，一個(gè)多位數是各位上數字與該位計數單位的積之和。數字問(wèn)題是常見(jiàn)的數學(xué)問(wèn)題。一元一次方程應用題中的數字問(wèn)題多是整數，要注意數位、數位上的數字、數值三者間的關(guān)系：任何數=∑（數位上的數字×位權），如兩位數

　　=10a+b；三位數

　　=100a+10b+c。在求解數字問(wèn)題時(shí)要注意整體設元思想的運用。

　　例12、 一個(gè)三位數，三個(gè)數位上的和是17，百位上的數比十位上的數大7，個(gè)位上的數是十位上的數的3倍。求這個(gè)數。

　　講評：設這個(gè)數十位上的數字為x，則個(gè)位上的數字為3x，百位上的數字為（x+7），這個(gè)三位數則為100（x+7）+10x+3x。依題意有（x+7）+x+3x=17 ∴x=2

　　∴100（x+7）+10x+3x=900+20+6=926

　　例13、 一個(gè)六位數的最高位上的數字是1，如果把這個(gè)數字移到個(gè)位數的右邊，那么所得的數等于原數的3倍，求原數。

　　講評：這個(gè)六位數最高位上的數移到個(gè)位后，后五位數則相應整體前移1位，即每個(gè)數位上的數字被擴大10倍，可將后五位數看成一個(gè)整體設未知數。設除去最高位上數字1后的5位數為x，則原數為10+x，移動(dòng)后的數為10x+1，依題意有 10x+1=10+x

　　∴x = 42857 則原數為142857

　�。�9）年齡問(wèn)題其基本數量關(guān)系：大小兩個(gè)年齡差不會(huì )變。

　　這類(lèi)問(wèn)題主要尋找的等量關(guān)系是：抓住年齡增長(cháng)，一年一歲，人人平等。

　�。�10）比例分配問(wèn)題：

　　這類(lèi)問(wèn)題的一般思路為：設其中一份為x，利用已知的比，寫(xiě)出相應的代數式。常用等量關(guān)系：各部分之和=總量。

　�。�11）設而不求（設中間參數）的問(wèn)題

　　一些應用題中，所給出的已知條件不夠滿(mǎn)足基本量關(guān)系式的需要，而且其中某些量不需要求解。這時(shí)，我們可以通過(guò)設出這個(gè)量，并將其看成已知條件，然后在計算中消去。這將有利于我們對問(wèn)題本質(zhì)的理解。

　　例22、一艘輪船從重慶到上海要5晝夜，從上海駛向重慶要7晝夜，問(wèn)從重慶放竹牌到上海要幾晝夜？（竹排的速度為水的流速）

　　分析：航行問(wèn)題要抓住路程、速度、時(shí)間三個(gè)基本量，一般有兩種已知量才能求出第三種未知量。本題中已知時(shí)間量，所求也是時(shí)間量，故需在路程和速度兩個(gè)量中設一個(gè)中間參數才能列出方程。本題中考慮到路程量不變，故設兩地路程為a公里，則順水速度為a/5，逆水速度為a/7，設水流速度為x，有a/5—x=a/7+x

　　∴x=a/35，又設竹排從重慶到上海的時(shí)間為y晝夜，有 a/35·x=a ∴x=35

　　例23、 某校兩名教師帶若干名學(xué)生去旅游，聯(lián)系兩家標價(jià)相同的旅行社，經(jīng)洽談后，甲旅行社的優(yōu)惠條件是：1名教師全部收費，其余7.5折收費；乙旅行社的優(yōu)惠條件是：全部師生8折優(yōu)惠。

　�、女攲W(xué)生人數等于多少人時(shí)，甲旅行社與乙旅行社收費價(jià)格一樣？

　�、迫艉怂憬Y果，甲旅行社的優(yōu)惠價(jià)相對乙旅行社的優(yōu)惠價(jià)要便宜，問(wèn)學(xué)生人數是多少？

　　講評：在本題中兩家旅行社的標價(jià)和學(xué)生人數都是未知量，又都是列方程時(shí)不可少的基本量，但標價(jià)不需求解。

　�、胖性O標價(jià)為a元，學(xué)生人數x人，甲旅行社的收費為a+0.75a（x+1）元，乙旅行社收費為0.8a（x+2）元，有 a+0.75a（x+1）=0.8a（x+2） ∴ x=3

　�、圃O學(xué)生人數為y 人，甲旅行社收費為a+0.75a（y+1）元，乙旅行社收費為0.8a（y+2）元，有0.8a（y+2）—[a+0.75a（y+1）]= ×0.8a（y+2）

　　∴y=8。

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