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空間向量的數量積及其應用說(shuō)課稿
一、教材分析：
（一） 教材的地位、作用：
向量作為一種基本工具，在數學(xué)解題中有著(zhù)極其重要的地位和作用。利用向量知識，可以解決不少復雜的的代數幾何問(wèn)題�！犊臻g向量數量積及其應用》，計劃安排兩節課時(shí)，本節課是第2課時(shí)。也就是，在有了平面向量數量積公式，空間向量坐標表示，以及空間向量數量積的基礎知識之后，本節課是進(jìn)一步去認識、掌握空間向量數量積的變形公式，然后，圍繞著(zhù)空間向量的幾何應用展開(kāi)討論和研究。
通常，按照傳統方法解立體幾何題，需要有較強的空間想象能力、邏輯推理能力以及作圖能力，學(xué)生往往由于這些能力的不足造成解題困難。用向量處理立體幾何問(wèn)題，可使學(xué)生克服空間想象力的障礙而順利解題，為研究立體幾何提供了新的思想方法和工具，具有相當大的優(yōu)越性；而且，在豐富學(xué)生思維結構的同時(shí)，應用數學(xué)的能力也得到了鍛煉和提高。
（二） 教學(xué)目標：
知識目標：① 掌握空間向量的數量積公式及向量的夾角公式；
�、� 運用公式解決立體幾何中的有關(guān)問(wèn)題。
能力目標：① 比較平面、空間向量，培養學(xué)生觀(guān)察、分析、類(lèi)比轉化的能力；
�、� 探究空間幾何圖形，將幾何問(wèn)題代數化，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。
情感態(tài)度、價(jià)值觀(guān)目標：
�、� 通過(guò)師生的合作與交流，體現教師為主導、學(xué)生為主體的教學(xué)模式；
�、� 通過(guò)空間向量在立體幾何中的應用，提高學(xué)生的空間想象力，培養學(xué)生探索精神和創(chuàng )新意識，讓學(xué)生感受數學(xué)，體會(huì )數學(xué)美的魅力，激發(fā)學(xué)生學(xué)數學(xué)、用數學(xué)的熱情。
（三）教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：
重點(diǎn)：空間向量數量積公式及其應用。
難點(diǎn)：如何將幾何問(wèn)題等價(jià)轉化為向量問(wèn)題；在此基礎上，通過(guò)向量運算解決幾何問(wèn)題。
二、教法、學(xué)法分析：
教法：采取啟發(fā)引導、形數轉化、反饋評價(jià)等方式；
學(xué)法：體現自主探索、觀(guān)察發(fā)現、類(lèi)比猜想、合作交流等形式。
三、教學(xué)過(guò)程分析：
根據二期課改的精神，本著(zhù)“以學(xué)生發(fā)展為本”的教學(xué)理念，結合學(xué)生實(shí)際，對教學(xué)內容作了如下的調整：基于教材中主要是運用向量夾角求異面直線(xiàn)所成的角，所以，首先讓學(xué)生掌握教材所要求的基本面；其次，鑒于向量兼容了代數、幾何的特色，有著(zhù)其獨特的魅力和發(fā)展前景，為進(jìn)一步讓學(xué)生感受“向量法”的優(yōu)勢，安排了兩個(gè)分別運用向量的“代數運算”和“幾何運算”來(lái)處理空間幾何問(wèn)題的典型例題，為解決空間的度量、位置關(guān)系問(wèn)題找到一種新方法，進(jìn)一步拓展了學(xué)生的思維渠道。以下，是我制定的教學(xué)流程：
創(chuàng )設情境，提出問(wèn)題 類(lèi)比猜想，探求新知 公式運用，鞏固提高 回顧小結，整體感知 課外探究，激發(fā)熱情
教學(xué)過(guò)程如下：
（一） 創(chuàng )設情境：
給出問(wèn)題一：已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AE=EA1，
D1F= ，如何確定 的夾角？
[設計意圖]：?jiǎn)?wèn)題的給出，一時(shí)之間可能會(huì )使學(xué)生感到突然，但預計應該會(huì )讓他們聯(lián)想到平面向量的夾角公式，由此作一番類(lèi)比猜想，起到溫故知新的作用。
[處理過(guò)程]：
設問(wèn)：平面向量的夾角問(wèn)題如何求得的？
是否可將平面內求得兩向量的夾角公式推廣到空間？公式的形式是否會(huì )有所變化？
學(xué)生活動(dòng)：回顧平面向量數量積、向量夾角公式及其坐標表示；類(lèi)比猜想，認識空間向量的夾角問(wèn)題。
（二） 建構數學(xué)：（板書(shū)）
對于空間兩個(gè)非零向量
（三） 公式運用：
1、問(wèn)題一的解決：
�、賹W(xué)生活動(dòng)：解決上述問(wèn)題。
�、�.變式運用：已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中，
AE=EA1，D1F= ，求BE、FD所成的角？
[設計意圖]：初步體會(huì )立幾法、向量法來(lái)解決幾何問(wèn)題，并注意區分兩個(gè)向量夾角與兩條異面直線(xiàn)間的夾角。
[處理過(guò)程]：（由以往教學(xué)實(shí)踐，部分學(xué)生可能想到用傳統的幾何方法）
設問(wèn)：如何用向量方法求BE、FD所成的角？
�。ㄒ龑W(xué)生建立空間直角坐標系，求得B、D、E、F的坐標，進(jìn)一步得到 的坐標，最后代入空間向量夾角公式…計算得出的向量夾角是鈍角，而異面直線(xiàn)成銳角。）
[評價(jià)]：
�、� 異面直線(xiàn)所成的角可由向量的夾角來(lái)解決，可見(jiàn)，解決立體幾何的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，方法并不唯一。在此，可以比較向量法和幾何法，選擇適當方法，解決問(wèn)題。
�、� 兩個(gè)向量夾角與兩條異面直線(xiàn)間的夾角是有區別的。
2.問(wèn)題二的探究：
如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，
AC=1，CB= ，側棱AA1=1，側面AA1B1B的
兩條對角線(xiàn)交點(diǎn)為D，B1C1中點(diǎn)為M。
�。�1）求證：CD⊥平面BDM；
�。�2）求面B1BD與面CBD所成二面角的大小。
[設計意圖]：通過(guò)立幾法、向量法的嘗試，讓學(xué)生明顯感受到運用向量法的優(yōu)越性。
[處理過(guò)程]：
�、� 學(xué)生活動(dòng)：讓學(xué)生先試行用傳統方法解決問(wèn)題，估計不少學(xué)生會(huì )感到有一定困難。
[設問(wèn)]：類(lèi)似于上題做法，能否用向量法解決這一問(wèn)題？
�、� 學(xué)生活動(dòng)：進(jìn)入思考討論
�、� 相互分析交流——達成共識：
�。╥） 證明線(xiàn)面垂直可轉化為證線(xiàn)線(xiàn)垂直，進(jìn)一步轉化為證向量間的垂直，即向量的數量積等于零;
�。╥i） 求二面角的平面角，轉化為求那兩條與二面角的棱垂直的射線(xiàn)所成的角，在此，可構造兩向量（提醒其方向，及向量始點(diǎn)的自由、不唯一性），然后求其夾角，從而解決問(wèn)題。
�、� 解題過(guò)程：
[評價(jià)]：“傳統解法”需作輔助線(xiàn)，有時(shí)不易作出；而使用“向量解法”，程序化強，便于操作，求解的關(guān)鍵在于建立適當的空間直角坐標系（基本原則：使圖中盡可能多的點(diǎn)落在坐標軸上，這樣便于用坐標表示相關(guān)的點(diǎn)及向量），然后利用坐標系確定各相關(guān)的點(diǎn)及向量坐標，再借助向量坐標運算法則及公式，無(wú)需添加輔助線(xiàn)，即可達到解題的目的。
3.小結，利用空間向量解決立體幾何中有關(guān)問(wèn)題的一般步驟：(學(xué)生回答，教師補充，板書(shū))
�。�1）適當地構建空間直角坐標系；
�。�2）用坐標表示相關(guān)的點(diǎn)、空間向量；
�。�3）進(jìn)行空間向量的運算；
�。�4）體煉共性，轉化為幾何結論。
（四） 歸納總結：
引導學(xué)生總結本節課的收獲，相互交流。
（五） 課外探究：
�。ㄟ@是2000年高考題）如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的
底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°，
當 的值是多少時(shí)，能使A1C⊥平面C1BD，請給出證明。
[設計意圖]：這是2000年高考第18題第3小題，是個(gè)探索型問(wèn)題。把它放在這里，一方面：在高二階段，接觸到高考題，學(xué)生的興趣頗高，可調動(dòng)學(xué)生的學(xué)習熱情，增強學(xué)生的主體意識；另一方面，解題中，再次讓學(xué)生感受到：?jiǎn)渭冇昧Ⅲw幾何知識解答較繁，而利用向量法去思考，思路清晰，目標明確，從而大大降低了求解的難度，同時(shí)亦可激發(fā)他們不斷求知、不斷探索的欲望。
（六） 布置作業(yè)
[板書(shū)設計]
課題引入： 問(wèn)題一的解決： 課外探究：
空間向量數量積、夾角公式：
問(wèn)題二的解決： 布置作業(yè)：
用向量解幾何題的步驟：
四、教學(xué)反思：
本節課的設計，力求體現“以學(xué)生發(fā)展為本”的教學(xué)理念。教學(xué)過(guò)程中，以問(wèn)題為載體，學(xué)生活動(dòng)為主線(xiàn)，為學(xué)生提供了探究問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的活動(dòng)空間。例題內容的安排上，注意逐步推進(jìn)，力求使教師的啟發(fā)引導與學(xué)生的思維同步，順應學(xué)生學(xué)習數學(xué)的過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生認知結構的發(fā)展；另外，課外探究題給學(xué)生留下廣闊的思維空間和拓展探索的余地，讓學(xué)生體驗到數學(xué)活動(dòng)充滿(mǎn)了探索和創(chuàng )造。在教學(xué)過(guò)程中，注意到培養學(xué)生合作交流的意識和能力。
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