兩角差的余弦公式人教版高一數學(xué)說(shuō)課稿
各位領(lǐng)導、各位老師：
大家好!
今天我說(shuō)課的題目是《兩角差的余弦公式》。我計劃從教材背景、教學(xué)目標、教學(xué)方法、教學(xué)過(guò)程、教學(xué)評價(jià)等方面來(lái)談?wù)勎覍Ρ竟澱n的理解。
背景分析
1、教材所處的地位和作用：
《兩角差的余弦公式》是新課標人教版數學(xué)必修四第三章第一課時(shí)的教學(xué)內容，是本模塊第一章《三角函數》和第二章《平面向量》相關(guān)知識的延續和拓展。其中心任務(wù)是通過(guò)已學(xué)知識,探索建立兩角差的余弦公式。它不僅是前面已學(xué)的誘導公式的推廣，也是后面其它和(差)角公式推導的基礎和核心，具有承前啟后的作用，是本章的重點(diǎn)內容之一。
2、重點(diǎn)，難點(diǎn)以及確定的依據：
對本節課來(lái)說(shuō)，學(xué)生最大的困惑在于如何得到公式.所以，
本節課的教學(xué)重點(diǎn)是：兩角差的余弦公式的探究和應用;
教學(xué)難點(diǎn)是：兩角差的余弦公式的由來(lái)及證明;
引導學(xué)生通過(guò)主動(dòng)參與,獨立探索。
教學(xué)目標設計
(1)知識與技能：
本節課的知識技能目標定位在公式的向量法證明和應用上;學(xué)會(huì )運用分類(lèi)討論思想完善證明;學(xué)會(huì )正用、逆用、變用公式;學(xué)會(huì )運用整體思想，抓住公式的本質(zhì).在新舊知識的沖撞過(guò)程中，讓學(xué)生自主地對知識進(jìn)行重組、構建，形成屬于自己的知識結構體系.
(2)過(guò)程與方法：
創(chuàng )設問(wèn)題情景，調動(dòng)學(xué)生已有的認知結構，激發(fā)學(xué)生的問(wèn)題意識，展開(kāi)提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的學(xué)習活動(dòng)，讓學(xué)生體會(huì )從“特殊”到“一般”的探究過(guò)程;在探究過(guò)程中體會(huì )化歸、數形結合等數學(xué)思想;在公式的證明過(guò)程中，培養學(xué)生反思的好習慣;在公式的理解記憶過(guò)程中，讓學(xué)生發(fā)現數學(xué)中的簡(jiǎn)潔、對稱(chēng)美;在公式的運用過(guò)程中，培養學(xué)生嚴謹的思維習慣和自我糾錯能力.
(3)情感、態(tài)度與價(jià)值觀(guān)：
體驗科學(xué)探索的過(guò)程，鼓勵學(xué)生大膽質(zhì)疑、大膽猜想，培養學(xué)生的“問(wèn)題意識”，使學(xué)生感受科學(xué)探索的樂(lè )趣，激勵勇氣，培養創(chuàng )新精神和良好的團隊合作意識. 通過(guò)對猜想的驗證，對公式證明的完善，培養學(xué)生實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和科學(xué)精神.
教法設計
1、學(xué)情分析：
學(xué)生剛剛學(xué)習了同角三角函數的變換及平面向量的知識，對用舉反例推翻猜想、運用單位圓、用向量解決三角問(wèn)題已經(jīng)有了一定的基礎，但還遠未達到綜合運用這些方法自主探究和證明的水平.
教學(xué)手段：
(1)從知識的認知程序上看，老師看問(wèn)題從整體到局部，而學(xué)生卻是從局部到整體。本節課嘗試將“帶著(zhù)知識走向學(xué)生”的接受式教學(xué)模式轉變?yōu)椤皫е?zhù)學(xué)生走向知識”的探究式教學(xué)模式，充分尊重學(xué)生的主體地位.
(2)本節課的教法采用了“一個(gè)主題兩種教學(xué)”的設計模式.一個(gè)主題：公式探究與應用，兩種教學(xué)：顯形教學(xué)(知識能力教學(xué))、隱性教學(xué)(情商培養)，實(shí)踐兩種教學(xué)相互促進(jìn)的人性化教學(xué)理念.
(3)在課堂上營(yíng)造民主、開(kāi)放、平等的教學(xué)氛圍，注重教學(xué)評價(jià)的多元性，將簡(jiǎn)單的結果評價(jià)上升為對過(guò)程的評價(jià);將一味的'知識評價(jià)拓展為能力評價(jià)，突出學(xué)生的主體性，實(shí)現顯形教學(xué)與隱性教學(xué)的雙重評價(jià)，為全面發(fā)展學(xué)生打下基礎.
(4)利用幾何畫(huà)板，通過(guò)計算機技術(shù)，給學(xué)生提供一種驗證猜想合理性的途徑. (教學(xué)媒體設計)
課堂結構設計：
引入課題，提出猜想，實(shí)驗探究，嚴謹證明，例題訓練，課堂小結
教學(xué)過(guò)程設計
1、引入課題：
例：如圖所示,一個(gè)斜坡的高為6m,斜坡的水平長(cháng)度為8m,已知作用在物體上的力F與水平方向的夾角為60°,且大小為10N ,在力F的作用下物體沿斜坡運動(dòng)了3m,求力F作用在物體上的功W.
解： W =
= 30.
提問(wèn)：1、解決問(wèn)題需要求什么?
2、你能找到哪些與有關(guān)的條件?
3、能否利用這些條件求出?如果能，提出你的猜想.
4、怎樣檢驗這些猜想是否正確?
【設計意圖】生活實(shí)例引入，體現數學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系，也與物理(功的定義)、哲學(xué)(透過(guò)現象看本質(zhì))等相關(guān)學(xué)科相聯(lián)系，增強學(xué)生的應用意識，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習熱情，同時(shí)也讓學(xué)生體會(huì )數學(xué)知識的產(chǎn)生、發(fā)展過(guò)程.
2、提出猜想：
從特殊情況去猜測公式的結構形式.
令
令
分析：可見(jiàn)，我們的公式的形式應該與均有關(guān)系?他們之間存在怎樣的代數關(guān)系呢?請同學(xué)們根據下表中數據，相互交流討論，提出你的猜想.
用具體值檢驗猜想的合理性.
令則=
三角函數
三角函數值
猜想：
【設計意圖】鼓勵學(xué)生發(fā)揮想象力，大膽猜測，然后再去驗證其合理性，增強學(xué)生探索問(wèn)題、挑戰困難的勇氣.
3、實(shí)驗探究：
【設計意圖】讓學(xué)生用幾何畫(huà)板進(jìn)行數學(xué)實(shí)驗, 激起學(xué)生的好奇心和探究欲望, 使學(xué)生體會(huì )到數學(xué)的系統演繹性和實(shí)驗歸納性的兩個(gè)側面.
4、嚴謹證明：
(利用向量)
前一章我們剛剛學(xué)習完向量，并用向量知識解決了相關(guān)的幾何問(wèn)題，這里，我們能否用向量知識來(lái)推導兩角差的余弦公式呢?我們來(lái)仔細觀(guān)察猜想的結構，我們在什么地方見(jiàn)到過(guò)類(lèi)似結構?在向量部分，求角的余弦有什么方法嗎?
(學(xué)生：向量的數量積!)
證明：在平面直角坐標系xOy內作單位圓O，以Ox為始邊作角，它們終邊與單位圓O的交點(diǎn)分別為A、B，則：
=， =
=
∴= (0≤≤)
思考：1、作為兩向量的夾角，有沒(méi)有限制條件?
2、如果不在[0，]這個(gè)區間內，我們的結論還會(huì )成立嗎?怎樣給出證明?(引導學(xué)生找到與夾角之間的關(guān)系)
【設計意圖】讓學(xué)生經(jīng)歷用向量知識解出一個(gè)數學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì )向量方法在數學(xué)探究過(guò)程中的簡(jiǎn)潔性。
思考：1、作為兩向量的夾角，有沒(méi)有限制條件?
2、如果不在[0，]這個(gè)區間內，我們的結論還會(huì )成立嗎?怎樣給出證明?(引導學(xué)生找到與夾角之間的關(guān)系)
推廣完善：令為、的夾角，
則
無(wú)論哪種情況，都有
小結：兩角差的余弦公式：
(其中為任意角，簡(jiǎn)記為)
思考：請同學(xué)們仔細觀(guān)察一下公式的結構，說(shuō)說(shuō)公式的結構有什么特點(diǎn)?應怎樣記憶?(對學(xué)生的回答給予及時(shí)肯定)
【設計意圖】引導學(xué)生關(guān)注兩個(gè)向量的夾角θ與α-β的聯(lián)系與區別，并通過(guò)觀(guān)察和討論，增強學(xué)生用數形結合、分類(lèi)討論的方法解決問(wèn)題的意識，感受數學(xué)思維的嚴謹性.
(介紹單位圓的三角函數線(xiàn)法)
除了以上的證明方法，是否還有其它證法呢?
我們發(fā)現，這里涉及的是三角函數，是這個(gè)角的余弦問(wèn)題，那我們還能不能考慮在單位圓里用三角函數線(xiàn)來(lái)推導呢?
請同學(xué)們課后自己在單位圓中畫(huà)出、，并考慮如何用角的正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)來(lái)表示的余弦線(xiàn)?
這個(gè)問(wèn)題作為課后思考題，請同學(xué)們課下相互討論，共同探索。
【設計意圖】根據教學(xué)實(shí)際，對教材進(jìn)行適當安排，把單位圓三角函數線(xiàn)證法留作課后學(xué)生思考，為學(xué)生的課后探討留有空間。
5、例題訓練：
1、解決引例中的問(wèn)題.
2、P127練習：已知，求.
(運用公式時(shí)應根據角的范圍，正確確定兩角正、余弦值的范圍)
公式的逆用：.
4、公式活用：.
【設計意圖】例1讓學(xué)生運用所學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題;例2利用變式突破學(xué)生在運用公式過(guò)程中的易錯點(diǎn);例3對逆用公式解題加深認識;例4活用公式，加深學(xué)生對公式中兩角形式變化的認識，強化整體思想。
6：課堂小結：
公式探索的一般步驟;公式的結構和功能;公式的運用應注意的問(wèn)題。
7、作業(yè)：
P127 練習1、2、3;
.
【設計意圖】讓學(xué)生通過(guò)自己小結，反思學(xué)習過(guò)程，加深對公式的推導和應用過(guò)程的理解，促進(jìn)知識的內化;然后用作業(yè)鞏固本節課所學(xué)知識。
(附：板書(shū)設計)
§3.1.1 兩角差的余弦公式
一、公式
二、證明
引例：
例2：
例3：
4：
小結：
教學(xué)評價(jià)分析
診斷性評價(jià)：
1.按常規，學(xué)生很可能想到先探究?jì)山呛偷恼夜�，怎樣想到先研究�(jì)山遣畹挠嘞夜绞且粋�(gè)難點(diǎn)(但非重點(diǎn))，教學(xué)時(shí)可以直接提出研究?jì)山遣畹挠嘞夜�。但后面補充老教材的證明方法，讓學(xué)生明白和與差內在的聯(lián)系性與統一性，努力讓學(xué)習過(guò)程自然。
2.盡管教材在前面的習題中，已經(jīng)為用向量法證明兩角差的余弦公式做了鋪墊，多數學(xué)生仍難以想到.教師需要引導學(xué)生，聯(lián)想到向量的數量積公式和單位圓上點(diǎn)的坐標特點(diǎn)，努力使數學(xué)思維顯得自然、合理。
3.用向量的數量積公式證明兩角差的余弦公式時(shí)，學(xué)生容易犯思維不嚴謹的錯誤，教學(xué)時(shí)需要引導學(xué)生搞清楚兩角差與相應向量的夾角的聯(lián)系與區別。
預期效果:
1、讓學(xué)生在掌握兩角差的余弦公式探究方法的基礎上，能夠自我總結形成公式探究的一般方法。
2、激發(fā)學(xué)生的探究欲望，能夠獨立或合作提出推導其它三角恒等式的方案，形成對三角恒等變換的本質(zhì)認識，加深對靈活運用公式的理解。
3、培養學(xué)生的“問(wèn)題意識”，在探索的過(guò)程中學(xué)會(huì )將“知識問(wèn)題化”，大膽、合理地提出猜測，通過(guò)證明、完善，最終達到將“問(wèn)題知識化”的目的.
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