復數的萌芽形成與發(fā)展論文
我們知道，在實(shí)數范圍內，解方程是無(wú)能為力的，只有把實(shí)數集擴充到復數集才能解決。對于復數a＋bi（a、b都是實(shí)數）來(lái)說(shuō)，當b=0時(shí)，就是實(shí)數；當b≠0時(shí)叫虛數，當a=0，b≠0時(shí)，叫做純虛數�？墒�，歷史上引進(jìn)虛數，把實(shí)數集擴充到復數集可不是件容易的事，那么，歷史上是如何引進(jìn)虛數的呢？
16世紀意大利米蘭學(xué)者卡當（1501—1576）在1545年發(fā)表的《重要的藝術(shù)》一書(shū)中，公布了三次方程的一般解法，被后人稱(chēng)之為“卡當公式”。他是第一個(gè)把負數的平方根寫(xiě)到公式中的數學(xué)家，并且在討論是否可能把10分成兩部分，使它們的乘積等于40時(shí)，他把答案寫(xiě)成=40，盡管他認為和這兩個(gè)表示式是沒(méi)有意義的、想象的、虛無(wú)飄渺的，但他還是把10分成了兩部分，并使它們的乘積等于40。給出“虛數”這一名稱(chēng)的是法國數學(xué)家笛卡爾（1596—1650），他在《幾何學(xué)》（1637年發(fā)表）中使“虛的數’‘與“實(shí)的數”相對應，從此，虛數才流傳開(kāi)來(lái)。
數系中發(fā)現一顆新星──虛數，于是引起了數學(xué)界的一片困惑，很多大數學(xué)家都不承認虛數。德國數學(xué)家菜不尼茨（1664—1716）在1702年說(shuō)：“虛數是神靈遁跡的精微而奇異的隱避所，它大概是存在和虛妄兩界中的兩棲物”。瑞士數學(xué)大師歐拉（1707—1783）說(shuō)；“一切形如，習的數學(xué)武子都是不可能有的，想象的數，因為它們所表示的是負數的平方根。對于這類(lèi)數，我們只能斷言，它們既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它們純屬虛幻�！比欢�，真理性的東西一定可以經(jīng)得住時(shí)間和空間的考驗，最終占有自己的一席之地。法國數學(xué)家達蘭貝爾（1717—1783）在1747年指出，如果按照多項式的四則運算規則對虛數進(jìn)行運算，那么它的結果總是的形式（a、b都是實(shí)數）（說(shuō)明：現行教科書(shū)中沒(méi)有使用記號＝－i，而使用=一1）。法國數學(xué)家棣莫佛（1667—1754）在1730年發(fā)現公式了，這就是著(zhù)名的探莫佛定理。歐拉在1748年發(fā)現了有名的關(guān)系式，并且是他在《微分公式》（1777年）一文中第一次用i來(lái)表示一1的平方根，首創(chuàng )了用符號i作為虛數的單位�！疤摂怠睂�(shí)際上不是想象出來(lái)的，而它是確實(shí)存在的。挪威的測量學(xué)家成塞爾（1745—1818）在1779年試圖給于這種虛數以直觀(guān)的幾何解釋?zhuān)⑹紫劝l(fā)表其作法，然而沒(méi)有得到學(xué)術(shù)界的重視。
德國數學(xué)家高斯（1777—1855）在1806年公布了虛數的圖象表示法，即所有實(shí)數能用一條數軸表示，同樣，虛數也能用一個(gè)平面上的點(diǎn)來(lái)表示。在直角坐標系中，橫軸上取對應實(shí)數a的點(diǎn)A，縱軸上取對應實(shí)數b的點(diǎn)B，并過(guò)這兩點(diǎn)引平行于坐標軸的直線(xiàn)，它們的交點(diǎn)C就表示復數a＋bi。象這樣，由各點(diǎn)都對應復數的平面叫做“復平面”，后來(lái)又稱(chēng)“高斯平面”。高斯在1831年，用實(shí)數組（a，b）代表復數a＋bi，并建立了復數的某些運算，使得復數的某些運算也象實(shí)數一樣地“代數化”。他又在1832年第一次提出了“復數”這個(gè)名詞，還將表示平面上同一點(diǎn)的兩種不同方法──直角坐標法和極坐標法加以綜合。統一于表示同一復數的代數式和三角式兩種形式中，并把數軸上的點(diǎn)與實(shí)數—一對應，擴展為平面上的點(diǎn)與復數—一對應。高斯不僅把復數看作平面上的點(diǎn)，而且還看作是一種向量，并利用復數與向量之間—一對應的關(guān)系，闡述了復數的幾何加法與乘法。至此，復數理論才比
較完整和系統地建立起來(lái)了。
經(jīng)過(guò)許多數學(xué)家長(cháng)期不懈的努力，深刻探討并發(fā)展了復數理論，才使得在數學(xué)領(lǐng)域游蕩了200年的幽靈──虛數揭去了神秘的面紗，顯現出它的本來(lái)面目，原來(lái)虛數不虛呵。虛數成為了數系大家庭中一員，從而實(shí)數集才擴充到了復數集。
隨著(zhù)科學(xué)和技術(shù)的進(jìn)步，復數理論已越來(lái)越顯出它的重要性，它不但對于數學(xué)本身的發(fā)展有著(zhù)極其重要的意義，而且為證明機翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解決堤壩滲水的問(wèn)題中顯示了它的威力，也為建立巨大水電站提供了重要的理論依據。
多考資料；
《趣味數學(xué)史話(huà)》張開(kāi)新
選自《中學(xué)生數學(xué)》2001年4月上
鴿籠原理
一、一個(gè)匈牙利數學(xué)家小時(shí)的故事
路易·波薩（Louis Pósa）是匈牙利的年青數學(xué)家，1988年時(shí)約40歲。他在14歲時(shí)就已能夠發(fā)表有相當深度的數學(xué)論文。大學(xué)還沒(méi)有讀完，就已獲得科學(xué)博士的頭銜。
他的媽媽是一個(gè)數學(xué)家。小時(shí)他受母親的影響，很愛(ài)思考問(wèn)題。母親看他對數學(xué)有興趣，也鼓勵他在這方面發(fā)展。她給他一些數學(xué)游戲，或數學(xué)玩具啟發(fā)他獨立思考問(wèn)題。在母親的循循善誘之下，他在讀小學(xué)時(shí)已經(jīng)自己拿高中的數學(xué)書(shū)來(lái)看了。真正訓練他成為一個(gè)數學(xué)家的是匈牙利鼎鼎有名的大數學(xué)家。
厄杜斯在數論、圖論等數學(xué)分支有很深入的研究，他把一生獻給數學(xué)，從來(lái)沒(méi)有想到結婚，只和自己的母親為伴，他經(jīng)常離開(kāi)自己的祖國到外國去作研究和演講。在東歐國家里像厄杜斯能這樣隨意離開(kāi)自己的國家進(jìn)出西方世界的數學(xué)家并不太多。他到處以數學(xué)會(huì )友，他在數學(xué)方面的多產(chǎn)，以及在解決問(wèn)題上有巧妙的方法，使他在世界數學(xué)界上享有甚高的聲譽(yù)。對于他的祖國來(lái)講，他重要的貢獻不單是在數學(xué)的研究，而是他一回到自己的國家就專(zhuān)心致志地培養年青一代的數學(xué)家，告訴他們外國目前數學(xué)家注意的問(wèn)題，擴大他們的視野。
我這里要講他怎么樣發(fā)現路易·波薩的才能的故事。
有一次他從國外回來(lái)后，聽(tīng)到朋友講起有一個(gè)很聰明的小東西，在小學(xué)能解決許多困難的數學(xué)問(wèn)題，于是就登門(mén)拜訪(fǎng)這小鬼的家庭。
波薩的家人很高興請厄杜斯教授共進(jìn)晚餐。在喝湯的時(shí)候，厄杜斯想考一考坐在他旁邊的12歲小孩的能力，于是就問(wèn)他這樣的一個(gè)問(wèn)題：
“如果你手頭上有n+1個(gè)整數，而這些整數是小于或等于2n，那么你一定會(huì )有一對數是互素的。你知道這是什么原因嗎？”
這小鬼不到半分鐘的思考，就很快給出這個(gè)問(wèn)題的解答。他的解答又是那么巧妙，使得厄杜斯教授嘆服。認為這是一個(gè)難得的“英才”，應該好好地培養。
厄杜斯以后系統地教這小鬼數學(xué)，不到兩年的時(shí)間波薩就成為一個(gè)“小數學(xué)家”了，而且發(fā)現在圖論一些深湛的定理。
二、波薩怎樣解決厄杜斯提的問(wèn)題
對于許多離開(kāi)學(xué)校很久的讀者，我想做一點(diǎn)解釋厄杜斯提出的問(wèn)題。
首先我們解釋?zhuān)阂粚凳腔ニ厥鞘裁匆馑迹?/p>
我們知道如果把自然數1，2，3，4，5，…照大小排起來(lái)，從2開(kāi)始像2，3，5，7，11，13，17，19，23，…，等數都有這樣特別的性質(zhì)：除1和本身以外，再找不到比它小的數能整除它。
具有這樣特殊性質(zhì)的數我們稱(chēng)它為素數（Prime number）。
我們小學(xué)時(shí)不是學(xué)習過(guò)把整數因子分解嗎？那就是把整數用素數的乘積來(lái)表示。例如50＝2×5×5，108=2×2×3×3×3＝22×33。
兩個(gè)自然數稱(chēng)為互素（Coprime），如果把它們表示成素數乘積時(shí)，找不到它們有公共的素因數。例如{8，11}一對數是互素。10和108不是互素，因為它們有公共的素因數2。
現在讓我們來(lái)理解厄杜斯的問(wèn)題。先對一些特殊的情況來(lái)考慮：
當n=2時(shí)，我們手頭上有3個(gè)整數，這些整數是小于或等于4，可以選出的只是{2，3，4}，不包含1，很明顯的看出{2，3}或{3，4}是互素的。
n=3時(shí)，在小于或等于6的整數找4個(gè)整數組（不要包含1），可能找出的有{2，3，4，5}，{2，3，4，6}，{3，4，5，6}，{2，4，5，6}等等。你一個(gè)個(gè)檢查一定會(huì )在每組中找出最少一對互素的數。
可以看出隨著(zhù)n增大時(shí)，構造n＋1個(gè)不同數的數組的個(gè)數就會(huì )增加很大。如果我們是這樣一個(gè)一個(gè)地對這些數組來(lái)檢查證明，這真會(huì )成為：“吾生也有涯，而數無(wú)涯”，那時(shí)候皓首不但窮盡不了，最后真是要“嗚呼哀哉”了！
如果讀者中有人說(shuō)：“我有苦干和拚命干的精神！”我還是要勸他不要用這樣的苦干法，應該學(xué)會(huì )“巧干”，這才是最重要的。不然的話(huà)，人家小孩子用不到半分鐘就解決了的問(wèn)題，而我們苦干再加上拚命干卻花一生還沒(méi)法子解決，這不是太浪費生命嗎？
我現在準備介紹波薩對這問(wèn)題的解法�？墒俏蚁Ｍx者先自己想想看怎么樣解決這問(wèn)題。如果你能找到和下面不同的解決方法，請來(lái)信告訴我。如果你花過(guò)一些時(shí)間還想不出，那么就請讀下去，你這時(shí)就會(huì )欣賞波薩解決方法的巧妙，而最重要的你會(huì )學(xué)懂“鴿籠原理”，說(shuō)不定以后你成為業(yè)余數學(xué)家或者專(zhuān)業(yè)數學(xué)家還會(huì )用到這個(gè)原理呢！
波薩是這樣考慮問(wèn)題：取n個(gè)盒子，在第一個(gè)盒子我們放1和2，在第二個(gè)盒子我們放3和4，第三個(gè)盒子是放5和6，依此類(lèi)推直到第n個(gè)盒子放2n-1和2n這兩個(gè)數。
現在我們在n個(gè)盒子里隨意抽出n＋1個(gè)數。我們馬上看到一定有一個(gè)盒子是被抽空的。因此在這n+1個(gè)數中曾有兩個(gè)數是連續數，很明顯的連續數是互素的。因此這問(wèn)題就解決了！
你說(shuō)這個(gè)解法是不是很容易明白又非常巧妙呢？！
三、鴿籠原理
波薩在證明過(guò)程中用到在數學(xué)上稱(chēng)為鴿籠原理（PigeonholePrinciple）的東西。這原理是這樣說(shuō)的：如果把n+1個(gè)東西放進(jìn)n個(gè)盒子里，有一些盒子必須包含最少2個(gè)東西。
有高六層的鴿籠，每一層有四個(gè)間隔，所以總共有6×4＝24個(gè)鴿籠�，F在我放進(jìn)25只鴿進(jìn)去，你一定看到有一個(gè)鴿籠會(huì )有2只鴿要擠在一起。
鴿籠原理就是這么簡(jiǎn)單，3歲以上的小孩子都會(huì )明白。
可是這原理在數學(xué)上卻是有很重要的應用。
在19世紀時(shí)一個(gè)名叫狄利克雷（Dirichlet 1805—1859）的數學(xué)家，在研究數論的問(wèn)題時(shí)最早很巧妙運用鴿籠原理去解決問(wèn)題。后來(lái)德國數學(xué)家敏古斯基（Minkowski 1864—1909）也運用這原理得到一些結果。
到了20世紀初期杜爾（A．Thue 1863—1922）在不知道狄利克雷和敏古斯基的工作情況下，很機巧地利用鴿籠原理來(lái)解決不定方程的有理數解的問(wèn)題，有12篇論文是用到這個(gè)原理。
后來(lái)西根（C．L．Siegel，1896—？）利用杜爾的結果發(fā)現了現在稱(chēng)為西根引理的東西，這引理（Lemma）是在研究超越數時(shí)是最基本必用的工具。
因此讀者不要小看這個(gè)看來(lái)簡(jiǎn)單的原理，你如果善于運用是能幫助你解決一些數學(xué)難題的。
四、鴿籠原理的日常運用
我這里舉一些和日常生活有關(guān)的一些問(wèn)題，你可以看到數學(xué)在這里的運用。
�。�1）月黑風(fēng)高穿襪子
有一個(gè)晚上你的房間的電燈忽然間壞了，伸手不見(jiàn)五指，而你又要出去，于是你就摸床底下的襪子。你有三雙分別為紅、白、藍顏色的襪子，可是你平時(shí)做事隨便，一脫襪就亂丟，在黑暗中不能知道哪一雙是顏色相同的。
你想拿最少數目的襪子出去，在外面借街燈配成同顏色的一雙。這最少數目應該是多少？
如果你懂得鴿籠原理，你就會(huì )知道只需拿出去四只襪子就行了。
為什么呢？因為如果我們有三個(gè)涂上紅、白、藍的盒子，里面各放進(jìn)相對顏色的襪子，只要我們抽出4只襪子一定有一個(gè)盒子是空的，那么這空的盒子取出的襪子是可以拿來(lái)穿。
�。�2）手指紋和頭發(fā)
據說(shuō)世界上沒(méi)有兩個(gè)人的手指紋是一樣的，因此警方在處理犯罪問(wèn)題時(shí)很重視手指紋，希望通過(guò)手指紋來(lái)破案或檢定犯人。
可是你知道不知道：在12億中國人當中，最少有兩個(gè)人的頭發(fā)是一樣的多？
道理是很簡(jiǎn)單，人的頭發(fā)數目是不會(huì )超過(guò)12億這么大的數目字！假定人最多有N根頭發(fā)�，F在我們想像有編上號碼1，2，3，4，…一直到N的房子。
誰(shuí)有多少頭發(fā)，誰(shuí)就進(jìn)入那編號和他的頭發(fā)數相同的房子去。因此張樂(lè )平先生的“三毛”應該進(jìn)入“3號房子”。
現在假定每間房巳進(jìn)入一個(gè)人，那么還剩下“九億減N”個(gè)人，這數目不會(huì )等于零，我們現在隨便挑一個(gè)放進(jìn)一間和他頭發(fā)數相同的房子，他就會(huì )在里面遇到和他有相同頭發(fā)數目的同志了。
�。�3）戲院觀(guān)眾的生日
在一間能容納1500個(gè)座位的戲院里，證明如果戲院坐滿(mǎn)人時(shí)，一定最少有五個(gè)觀(guān)眾是同月同日生。
現在假定一年有三百六十五天。想像有一個(gè)很大的鴿子籠，這籠有編上“一月一日”，“一月二日”，至到“十二月三十一日”為止的標志的間隔。
假定現在每個(gè)間隔都塞進(jìn)四個(gè)人，那么 4×365=1460個(gè)是進(jìn)去鴿子籠子里去，還剩下1500-1460=40人。只要任何一人進(jìn)入鴿子籠，就有五個(gè)人是有相同的生日了。
五、鴿籠原理在數學(xué)上的運用
現在我想舉一些數學(xué)上的問(wèn)題說(shuō)明鴿籠原理的運用。
�。�1）斐波那契數的一個(gè)性質(zhì)
斐波那契數列是這樣的數列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…。從1，1以后的各項是前面兩項的數的和組成。
在18世紀時(shí)法國大數學(xué)家和物理學(xué)家拉格朗日（J．L．La-grange）發(fā)現這斐波那契數有這樣有趣的性質(zhì)：
如果你用2來(lái)除各項，并寫(xiě)下它的余數，你會(huì )看到這樣的情形1，1，0，1，1，0，1，1，0，…
如果用3來(lái)除各項，寫(xiě)下它的余數，你就得到
1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，…
如果用4來(lái)除各項，寫(xiě)下它的余數，你就會(huì )得到
1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…
現在觀(guān)察用2除所得的數列，從開(kāi)頭算起每隔三段，后面的數列就重復前面的數列。用3除所得的數列，從開(kāi)頭算起每隔八段，后面的數列就重復前面的數列樣子。對于以4除所得的余數數列也有同樣的情況：每隔六段，后面的數列就重復前面的數列樣子。
拉格朗日發(fā)現不管你用什么數字去除，余數數列會(huì )出現有規律的重復現象。
為什么會(huì )有這樣的現象呢？
如果我們用一個(gè)整數K來(lái)除斐波那契數列的數，它可能的余數是0，1，2，…，K－1。
由于在斐波那契數的每一項是前面兩項的和，它被K除后的余數是等于前兩項被K除余數的和。（注意：如果這和是大過(guò)K，我們取它被K除后的余數）只要有一對相鄰的余數重復出現，那么以后的數列從那對數開(kāi)始就會(huì )重復出現了。不同對相鄰余數可能的數目有K2個(gè)，因此由鴿籠原理，我們知道只要適當大的項數，一定會(huì )有一對相鄰余數重復。因此斐波那契數列的余數數列會(huì )有周期重復現象。
�。�2）五個(gè)大頭釘在等邊三角板里的位置
有一個(gè)每邊長(cháng)2單位的正三角形（即三邊都相等的三角形）的三角板。
你隨便在上面釘上五個(gè)大頭釘，一定會(huì )有一對大頭釘的距離是小過(guò)一單位。
你不相信的話(huà)，可以做幾次實(shí)驗看看是否一直是如此。我現在要用鴿籠原理來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。
在三角板的每邊取中點(diǎn)，然后用線(xiàn)段連結這些中點(diǎn)，把這正三角形分成四個(gè)全等的小正三角形圖�，F在在每一個(gè)小三角形里任何兩點(diǎn)的距離是不會(huì )超過(guò)1個(gè)單位。
由于我們有五個(gè)大頭釘，不管怎么樣放一定有兩個(gè)要落進(jìn)同一個(gè)小正三角形里，因此這兩個(gè)大頭釘的距離是不會(huì )超過(guò)一個(gè)單位。
六、動(dòng)腦筋 想想看
�。�1）給出任意12個(gè)數字，證明當用11來(lái)除時(shí)，一定有一對數的余數是相同。
�。�2）如果在一個(gè)每邊都是2單位的正三角形板上隨便釘上17個(gè)大
�。�3）如果在一個(gè)每邊都是2單位的正方形板上隨便釘上5根釘，
�。�4）我們一定能夠在一個(gè)每邊都是2單位長(cháng)的正方形板上適當的釘上9根釘，使它們之中不存在有兩根釘的距離是小于1單位。
�。�5）（英國數學(xué)奧林匹克1975年的問(wèn)題）在一個(gè)半徑為1單位的圓板上釘7個(gè)釘，使得沒(méi)有兩個(gè)釘的距離是大過(guò)或等于1，那么這7個(gè)釘一定會(huì )有一個(gè)位置恰好是在圓心上。
�。�6）任意6個(gè)人在一起，一定會(huì )有其中兩種情形之一發(fā)生：第一種情形──有3個(gè)人互相認識。第二種情形──有3個(gè)人，他們之間完全不認識。
�。�7）（a）你能不能在從1到200的整數里挑選出100個(gè)自然數，使到任何其中之一不能整除剩下的99個(gè)數。
�。╞）證明如果在從1到200間隨便取101個(gè)自然數，那么一定最少有兩個(gè)自然數，其中之一能整除另外的數。
�。�8）隨便給出10個(gè)10位數的數字，我們一定能把它分成兩部分，使到每一部分的整數的和是等于其他一部分的整數的和。
高一數學(xué)學(xué)習：數學(xué)學(xué)習從學(xué)會(huì )到會(huì )學(xué)二
為大家提供“高一數學(xué)學(xué)習：數學(xué)學(xué)習從學(xué)會(huì )到會(huì )學(xué)二”一文，供大家參考使用：
高一數學(xué)學(xué)習：數學(xué)學(xué)習從學(xué)會(huì )到會(huì )學(xué)二
善于歸納總結知識間的聯(lián)系
學(xué)習數學(xué)并非我做題就可以取得好的成績(jì)，而是要將精力花在歸納總結上。特別對課本或課堂上出現的例題，只要善于總結，就可以了解這一小節數學(xué)內容有哪幾種題型，每種題目的一般解法和思路是什么，從而提高運用所學(xué)知識分析解題的能力。同時(shí)，每學(xué)完一個(gè)單元，要建立本單元的知識框架，將本章的主要思路、推理方法及運用技巧等轉變成自己的實(shí)際技能。
學(xué)會(huì )發(fā)現問(wèn)題，并重視質(zhì)疑在學(xué)習中�？吹匠煽�(jì)好看同學(xué)，總是有很多問(wèn)題問(wèn)老師，而成績(jì)差的同學(xué)卻提不出什么問(wèn)題。提出疑問(wèn)不僅是發(fā)現真知的起點(diǎn)，而且是發(fā)明創(chuàng )造的開(kāi)端。提高學(xué)習成績(jì)的過(guò)程就是發(fā)現，提出并解決疑問(wèn)的過(guò)程。大膽向老師質(zhì)疑，不是笨的反映，而是在追求真知、積極進(jìn)取的表現。在聽(tīng)課中，不但要“知其然”，還要“知其所以然”，這樣疑問(wèn)也就在不斷產(chǎn)生，再加以分析思考使問(wèn)題得以解決，學(xué)習也就得到了長(cháng)進(jìn)。
以上就是“高一數學(xué)學(xué)習：數學(xué)學(xué)習從學(xué)會(huì )到會(huì )學(xué)二”的所有內容，希望對大家有所幫助!
高考數學(xué)復習需重視的五個(gè)問(wèn)題
一、應用性問(wèn)題
教學(xué)大綱指出：要增強用數學(xué)的意識，一方面通過(guò)背景材料，進(jìn)行觀(guān)察、比較、分析、綜合、抽象和推理，得出數學(xué)概念和規律，另一方面更重要的是能夠運用已有的知識將實(shí)際問(wèn)題抽象為數學(xué)問(wèn)題，建立數學(xué)模型。近幾年的數學(xué)高考加大了應用性試題的考查力度，數量上穩定為兩小一大;質(zhì)量上更加貼近生產(chǎn)和生活實(shí)際，體現科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，更加貼近中學(xué)數學(xué)教學(xué)的實(shí)際。解答應用性試題，要重視兩個(gè)環(huán)節，一是閱讀、理解問(wèn)題中陳述的材料;二是通過(guò)抽象，轉換成為數學(xué)問(wèn)題，建立數學(xué)模型。函數模型、數列模型、不等式模型、幾何模型、計數模型是幾種最常見(jiàn)的數學(xué)模型，要注意歸納整理，用好這幾種數學(xué)模型。
二、最值和定值問(wèn)題
最值和定值是變量在變化過(guò)程中的兩個(gè)特定狀態(tài)，最值著(zhù)眼于變量的最大?。定值著(zhù)眼于變量在變化過(guò)程中的某個(gè)不變量。近幾年的數學(xué)高考試題中，出現過(guò)各種各樣的最值問(wèn)題和定值問(wèn)題，選用的知識載體多種多樣，代數、三角、立體幾何、解析幾何都曾出現過(guò)有關(guān)最值或定值的試題，有些應用問(wèn)題也常以最大?。設問(wèn)的方式。分析和解決最值問(wèn)題和定值問(wèn)題的思路和方法也是多種多樣的。命制最值問(wèn)題和定值問(wèn)題能較好體現數學(xué)高考試題的命題原則。應對最值問(wèn)題和定值問(wèn)題，最重要的是認真分析題目的情景，合理選用解題的方法。
三、參數問(wèn)題
參數兼有常數和變數的雙重特征，是數學(xué)中的“活潑”元素，曲線(xiàn)的參數方程，含參數的曲線(xiàn)方程，含參變系數的函數式、方程、不等式等，都與參數有關(guān)。函數圖象與幾何圖形的各種變換也與參數有關(guān)，有的探究性問(wèn)題也與參數有關(guān)。參數具有很強的“親和力”，能廣泛選用知識載體，能有效考查數形結合、分類(lèi)討論、運動(dòng)變換等數學(xué)思想方法。應對參數問(wèn)題要把握好兩個(gè)環(huán)節，一是搞清楚參數的意義特別是具有幾何意義的參數，一定要運用數形結合的思想方法處理好圖形的幾何特征與相應的數量關(guān)系的相互聯(lián)系及相互轉換。二是要重視參數的取值的討論，或是用待定系數法確定參數的值，或是用不等式的變換確定參數的取值范圍。
四、代數證明題
近幾年的數學(xué)高考注意控制立體幾何試題的難度，推理論證能力的考查重點(diǎn)轉移到代數與解析幾何證明題。函數的性質(zhì)及相關(guān)函數的證明題;數列的性質(zhì)及相關(guān)數列的證明題;不等式的證明題，尤其是與函數或數列相綜合的不等式的證明題等，都頻頻出現在近幾年的數學(xué)高考試題之中。應對代數證明題，一是要全面審視各相關(guān)因素的關(guān)系，注意題目的整體結構;二是要完整、準確表述推理論證的過(guò)程，對于具有幾何意義的代數證明題，要妥善處理幾何直觀(guān)、數式變換及推理論證的關(guān)系，注意防止簡(jiǎn)單運用“如圖可知”替代推理論證。
五、探究性問(wèn)題
近幾年的數學(xué)高考貫徹了“多考一點(diǎn)想，少考一點(diǎn)算”的命題意圖，加大試題的思維量，控制試題的運算量，突出對數學(xué)的“核心能力”——思維能力的考查。有些試題設計了新穎的情景，有些試題設計了靈活的設問(wèn)方式，有些試題設計了新的題型結構或必要條件的問(wèn)題等?這樣的試題有助于克服死記硬背和機械照搬，優(yōu)化考查功能。應對探究性問(wèn)題要審慎處理“閱讀理解”和“整體設計”兩個(gè)環(huán)節，首先要把題目讀懂，全面、準確把握題目提供的所有信息和題目提出的所有要求，在此基礎上分析題目的整體結構，找好解題的切入點(diǎn)，對解題的主要過(guò)程有一個(gè)初步的設計，再落筆解題。在思維受阻時(shí)，及時(shí)調整解題方案。切忌一知半解就動(dòng)手解題。
以上就是為大家提供的“高考數學(xué)復習需重視的五個(gè)問(wèn)題”希望能對考生產(chǎn)生幫助，更多資料請咨詢(xún)中考頻道。
坐標系的由來(lái)
傳說(shuō)中有這么一個(gè)故事：
有一天，笛卡爾（1596—1650，法國哲學(xué)家、數學(xué)家、物理學(xué)家）生病臥床，但他頭腦一直沒(méi)有休息，在反復思考一個(gè)問(wèn)題：幾何圖形是直觀(guān)的，而代數方程則比較抽象，能不能用幾何圖形來(lái)表示方程呢？這里，關(guān)鍵是如何把組成幾何的圖形的點(diǎn)和滿(mǎn)足方程的每一組“數”掛上鉤。他就拼命琢磨。通過(guò)什么樣的辦法、才能把“點(diǎn)”和“數”聯(lián)系起來(lái)。突然，他看見(jiàn)屋頂角上的一只蜘蛛，拉著(zhù)絲垂了下來(lái)，一會(huì )兒，蜘蛛又順著(zhù)絲爬上去，在上邊左右拉絲。蜘蛛的“表演”，使笛卡爾思路豁然開(kāi)朗。他想，可以把蜘蛛看做一個(gè)點(diǎn)，它在屋子里可以上、下、左、右運動(dòng)，能不能把蜘蛛的每個(gè)位置用一組數確定下來(lái)呢？他又想，屋子里相鄰的兩面墻與地面交出了三條線(xiàn)，如果把地面上的墻角作為起點(diǎn)，把交出來(lái)的三條線(xiàn)作為三根數軸，那么空間中任意一點(diǎn)的位置，不是都可以用這三根數軸上找到的有順序的三個(gè)數來(lái)表示嗎？反過(guò)來(lái)，任意給一組三個(gè)有順序的數，例如3、2、1，也可以用空間中的一個(gè)點(diǎn) P來(lái)表示它們（如圖 1）。同樣，用一組數（a， b）可以表示平面上的一個(gè)點(diǎn)，平面上的一個(gè)點(diǎn)也可以用一組二個(gè)有順序的數來(lái)表示（如圖2）。于是在蜘蛛的啟示下，笛卡爾創(chuàng )建了直角坐標系。
圖1
圖2
無(wú)論這個(gè)傳說(shuō)的可靠性如何，有一點(diǎn)是可以肯定的，就是笛卡爾是個(gè)勤于思考的人。這個(gè)有趣的傳說(shuō)，就象瓦特看到蒸汽沖起開(kāi)水壺蓋發(fā)明了蒸汽機一樣，說(shuō)明笛卡爾在創(chuàng )建直角坐標系的過(guò)程中，很可能是受到周?chē)恍┦挛锏膯l(fā)，觸發(fā)了靈感。
直角坐標系的創(chuàng )建，在代數和幾何上架起了一座橋梁。它使幾何概念得以用代數的方法來(lái)描述，幾何圖形可以通過(guò)代數形式來(lái)表達，這樣便可將先進(jìn)的代數方法應用于幾何學(xué)的研究 高中地理。
笛卡爾在創(chuàng )建直角坐標系的基礎上，創(chuàng )造了用代數方法來(lái)研究幾何圖形的數學(xué)分支——解析幾何。他的設想是：只要把幾何圖形看成是動(dòng)點(diǎn)的運動(dòng)軌跡，就可以把幾何圖形看成是由具有某種共同特性的點(diǎn)組成的。比如，我們把圓看成是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)對定點(diǎn)O作等距離運動(dòng)的軌跡，也就可以把圓看作是由無(wú)數到定點(diǎn)O的距離相等的點(diǎn)組成的。我們把點(diǎn)看作是留成圖形的基本元素，把數看成是組成方程的基本元素，只要把點(diǎn)和數掛上鉤，也就可以把幾何和代數掛上鉤。
把圖形看成點(diǎn)的運動(dòng)軌跡，這個(gè)想法很重要！它從指導思想上，改變了傳統的幾何方法。笛卡爾根據自己的這個(gè)想法，在《幾何學(xué)》中，最早為運動(dòng)著(zhù)的點(diǎn)建立坐標，開(kāi)創(chuàng )了幾何和代數掛鉤的解析幾何。在解析幾何中，動(dòng)點(diǎn)的坐標就成了變數，這是數學(xué)第一次引進(jìn)變數。
恩格斯高度評價(jià)笛卡爾的工作，他說(shuō)：“數學(xué)中的轉折點(diǎn)是笛卡爾的變數。有了變數，運動(dòng)進(jìn)入了數學(xué)，有了變數，辯證法進(jìn)入了數學(xué)�！�
坐標方法在日常生活中用得很多。例如象棋、國際象棋中棋子的定位；電影院、劇院、體育館的看臺、火車(chē)車(chē)廂的座位及高層建筑的房間編號等都用到坐標的概念。
隨著(zhù)同學(xué)們知識的不斷增加，坐標方法的應用會(huì )更加廣泛。
高三數學(xué)教學(xué)進(jìn)度及復習計劃
一、目的
為了能做到有計劃、有步驟、有地完成學(xué)科教學(xué)，正確把握整個(gè)的節奏，明確不同階段的任務(wù)及其目標，做到針對性強，使得各方面的具體要求落實(shí)到位，特制定此計劃，并作出具體要求。
二、計劃
1、第一輪復習順序：
�。�1）集合與簡(jiǎn)易邏輯→不等式→函數→導數（含積分）→數列（含數學(xué)歸納法、推理與證明）。
�。�2）三角函數→向量→立體幾何→解析幾何。
�。�3）排列與組合→概率與統計→復數→算法與框圖。
2、第一輪復習目標：全面掌握好概念、公式、定理、公理、推論等基礎，切實(shí)落實(shí)好課本中典型的例題和課后典型的練習題，落實(shí)好每次課的作業(yè)，使能較熟練地運用基礎解決簡(jiǎn)單的數學(xué)問(wèn)題。同時(shí)搞好每個(gè)單元的跟蹤檢測，注重課本習題的改造，單元存在的問(wèn)題在月考中去強化、落實(shí)。
3、第二輪復習順序：選擇題解法→填空題解法→數學(xué)→數學(xué)思想→重要知識點(diǎn)的專(zhuān)題深化。
4、第二輪復習目標：在進(jìn)一步鞏固基礎知識的前提下，注重方法、思想、重要知識的專(zhuān)題深化，使學(xué)生能熟練地運用基礎知識和數學(xué)方法、思想解決較為復雜的'數學(xué)問(wèn)題。同時(shí)落實(shí)好每次測試，每月一次的診斷性綜合，并對存在的問(wèn)題作好整理，為第三輪復習作好前期工作。
5、第三輪復習順序：每周一次模擬考試→查漏補缺訓練→規范答題卡訓練。
6、第三輪復習目標：對準常見(jiàn)題型進(jìn)行強化落實(shí)訓練、查漏補缺訓練和答題卡作答規范化的訓練，同時(shí)落實(shí)好每次課的作業(yè)，每周扎扎實(shí)實(shí)地完成一套模擬，使學(xué)生形成完整的知識體系和較高的適應的數學(xué)綜合。
7、復習時(shí)間表：
周次起止時(shí)間內容
下學(xué)期和暑期集合的概念與運算，函數的概念；函數的解析式與定義域；函數的值域，函數的奇偶性與單調性；函數的圖象；二次函數，指數、對數和冪函數；綜合應用，導數的概念及運算，導數的應用，積分的概念和應用
等差數列；等比數列
第1周8.8——8.12；數列的通項與求和
第2周8.13——8.19三角函數的概念；三角函數的恒等變形；三角函數中的求值問(wèn)題
第3周8.20——8.26三角函數的性質(zhì)；y=Asin（ωx+φ）的圖象及性質(zhì)；三角形內的三角函數問(wèn)題；三角函數的最值、綜合應用
第4周8.27——9.2向量的基本運算；向量的坐標運算；平面向量的數量積
第5周9.3——9.9正弦和余弦定理；解三角形；綜合應用
第6周9.10——9.16不等式和一元二次不等式
第7周9.17——9.23二元一次不等式和簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規劃；綜合應用
第8周9.24——9.30簡(jiǎn)單幾何體的三視圖和直觀(guān)圖；柱體、椎體和球體的表面積和體積
第9周10.1——10.7空間兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系；線(xiàn)面平行和垂直的性質(zhì)和判定定理
第10周10.8——10.14空間中角與距離的解法；空間向量運算及在立體幾何中的應用
第11周10.15——10.21復習，章節訓練
第12周10.22——10.28復習，綜合訓練；期試
第13周11.3——11.11直線(xiàn)的方程；兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系；圓的方程
第14周11.12——11.18直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系；綜合應用
第15周11.19——11.25橢圓；
第16周11.26——12.2雙曲線(xiàn)；拋物線(xiàn)
第17周12.3——12.9直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)；軌跡；綜合應用
第18周12.10——12.16排列與組合；.二項式定理；
第19周12.17——12.23等可能事件的概率；有關(guān)互斥事件、相互獨立事件的概率；綜合應用
第20周12.24——12.30離散型隨機變量的分布列、期望與方差；統計的應用；獨立性檢驗
第21周1.1&mdash 高中數學(xué);—1.6算法
第22周1.7——1.13綜合訓練
三、具體要求
1.三輪復習總體要求：科學(xué)安排，狠抓落實(shí)。要求第一輪復習立足于基礎知識和基本方法，起點(diǎn)不能太高，復習要有層次感，選題以容易題和中檔題為主，盡可能照顧絕大多數學(xué)生。這樣才能創(chuàng )造良好的氛圍，確�；A和方法扎實(shí)，同時(shí)盡可能縮短第一輪復習時(shí)間，給后面的拔高和的反復訓練提供足夠的時(shí)間。第二、三輪復習要求起點(diǎn)較高，對準中等及其以上學(xué)生，選題難度以中檔題為主，根據知識點(diǎn)的需要穿插少量綜合性較大的題，在整個(gè)復習過(guò)程中堅持講練結合，體現學(xué)生的主動(dòng)性，加強對所學(xué)方法的模仿訓練，切實(shí)落實(shí)好作業(yè)、跟蹤檢測和信息反饋。
2、多互相，吸取他人優(yōu)點(diǎn)，揚長(cháng)避短，提高復習效率，在可能的情況下盡快統一一種可行的、科學(xué)的復習模式。
3、積極參加教研活動(dòng)，利用教研活動(dòng)，能創(chuàng )新、群策能力。本屆高三的教研活動(dòng)以高考中的知識專(zhuān)題為主，如高考考什么？怎樣考？同時(shí)確定專(zhuān)題專(zhuān)人發(fā)言，并提供這方面的集。加強對每次單元測試和月考試卷考前的審題、考后的總結和評估，加強對和信息整理的互通，特別要加強對第三輪復習中高考常見(jiàn)大題的研討，加強針對性訓練，突出效果。
4、作業(yè)要求：堅持三輪都有單元測試的做法。務(wù)必落實(shí)好測試的做和評，搞好課后鞏固這一重要環(huán)節，力求在這方面有所突破和提高。
5、考試要求：堅持考前審題和考后小結與評估，注重對反饋信息的整理（如知識和方法掌握不好的），大題各種方法探索及整理，每次考試主要采用自主命題、確定一人負責，全組共同討論的方式命制試題。模擬考試試題研究方向分組如下：文科：一組：侯曉玲，朱燕燕；二組：杜主任，于主任；理科：一組；于主任、冷曉輝；二組：侯曉玲、呂曉輝；三組：張，朱燕燕。
6、努力抓好各班總分靠前而數學(xué)成績(jì)偏弱的這一部分學(xué)生，通過(guò)重視、關(guān)注、關(guān)心、個(gè)別輔導，提高他們的學(xué)數學(xué)的積極性，確保升學(xué)率和平均分的提高。
衷心希望大家能同舟共濟，團結協(xié)作，研討創(chuàng )新，發(fā)揚拼搏、奉獻、吃苦耐勞精神，切實(shí)落實(shí)好工作中每一個(gè)環(huán)節，爭取取得優(yōu)異成績(jì)。
《3.1.2 用二分法求方程的近似解》測試題
一、選擇題
1.用二分法求函數的零點(diǎn)時(shí)，初始區間可選為( ).
A. B. C. D.
考查目的：考查函數零點(diǎn)的存在性定理.
答案：B.
解析：∵，，∴，∴初始區間應選為.
2.下列函數圖象與軸均有交點(diǎn)，其中能用二分法求函數零點(diǎn)近似值的是( ).
A.① B.② C.③ D.④
考查目的：考查能用二分法求零點(diǎn)的函數必須滿(mǎn)足的條件.
答案：C.
解析：能用二分法求零點(diǎn)的函數必須滿(mǎn)足在區間上連續不斷，且.
3.用二分法求方程在內的近似根，要求精確度為0.01，則至少要使用( )次二分法.
A.5 B.6 C.7 D.8
考查目的：考查精確度的意義及用二分法求方程近似解的基本方法.
答案：C.
解析：精確度為0.01是指二分法停止在二分區間時(shí)，區間的長(cháng)度.對于區間，二分一次區間長(cháng)度為，二分二次區間長(cháng)度為，二分三次區間長(cháng)度為，…，二分六次區間長(cháng)度為，二分七次區間長(cháng)度為，故至少要使用七次二分法.
二、填空題
4.設，用二分法求方程在內近似解過(guò)程中，得到，，，則方程的根落在的區間是 .
考查目的：考查函數零點(diǎn)存在性定理及用二分法求方程近似解的基本方法.
答案：.
解析：∵，∴答案應該為.
5.用二分法求方程在區間內的實(shí)根，取區間中點(diǎn)，那么下一個(gè)有根區間是__________．
考查目的：考查二分法求方程近似解的方法.
答案：.
解析：設，由計算器計算得，
，故，∴下一個(gè)有根區間是.
6.若函數的一個(gè)正數零點(diǎn)附近的函數值部分參考數據如下：
1
1.5
1.25
1.375
1.4375
1.40625
-2
0.625
-0.984
-0.260
0.162
-0.054
那么方程的一個(gè)近似根(精確度為0.1)為_(kāi)_________.
考查目的：考查二分法求方程近似解的基本方法與精確度的意義.
答案：.
解析：由表格知，，∴，而
，∴函數的一個(gè)零點(diǎn)近似值是，即為方程的一個(gè)近似根.
三、解答題
7.求方程的近似解(精確到0.1).
考查目的：考查函數零點(diǎn)的意義、精確度的意義和二分法求方程近似解的基本方法.
答案：1.4.
解析：令，結合與的圖象可知方程有唯一解.
∵，∴在區間內，方程有一解，記為.取區間的中點(diǎn)，用計算器可得，∴.取的中點(diǎn)，計算，∴.如此繼續下去，得
∵1.375與1.4375精確到0.1的近似值都是1.4，∴原方程精確到0.1的近似值為1.4.
8.用二分法求函數在區間內的零點(diǎn)(精確到0.1).
考查目的：考查二分法求方程近似解的基本步驟及精確度的理解.
答案：2.3.
解析：∵的定義域為，，
，∴，∴函數在區間內有零點(diǎn).
又∵在定義域上是單調遞增的，
∴函數在區間內只有一個(gè)零點(diǎn).
利用二分法計算，列表如下：
區間
中點(diǎn)值
中點(diǎn)函數近似值
(2，3)
2.5
0.12
(2，2.5)
2.25
-0.08
(2.25，2.5)
2.375
0.023
(2.25，2.375)
2.3125
-0.027
(2.3125，2.375)
2.34375
-0.0016
(2.34375，2.375)
2.359375
0.01
(2.34375，2.359375)
2.3515625
0.0046
(2.34375，2.3515625)
2.34765625
0.0015
(2.34375，2.34765625)
∵2.343 75與2.347 656 25精確到0.1的近似值都是2.3，
∴函數在區間內零點(diǎn)的近似值是2.3.
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