數學(xué)有效教學(xué)與反思性學(xué)習的芻議
【前言】：學(xué)習的本質(zhì)體現在中國古代的象形文字中�！皩W(xué)”的下半部分表示一個(gè)小孩站在門(mén)口觀(guān)察外面世界的變化，上半部分則表示，知識和感悟不斷地積累起來(lái)；“習”所畫(huà)的是一只小鳥(niǎo)在不斷地練習飛行，意指不斷地練習。所以，“學(xué)習”的原始意義就是，為適應外界和未來(lái)的生活，不斷地練習，積累生存本領(lǐng)。從這里我們知道，“學(xué)習”是一個(gè)大概念，它不等同于坐在教室中聽(tīng)老師講課，不等同于看書(shū)。
在今天這個(gè)信息時(shí)代，可學(xué)的東西實(shí)在太多了�，F在的孩子已經(jīng)不只是“十五向學(xué)”了，很多比五歲還要早就開(kāi)始學(xué)習了。但是都學(xué)了什么呢？不少孩子會(huì )背圓周率，能夠背到小數點(diǎn)后很多很多位；有的孩子能夠背長(cháng)長(cháng)的古詩(shī)，成為在客人面前表演的節目。但是這些對他這一生真的有用嗎？
孔子說(shuō)，“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則怠”（《論語(yǔ)·為政》），一定要一邊學(xué)，一邊想，一邊應用。他所提倡的是這樣一種從容地把有限的知識放大到極限的學(xué)習方式。反思性學(xué)習以"學(xué)會(huì )學(xué)習"為目的，既關(guān)注學(xué)習的直接結果又關(guān)注間接結果，即學(xué)生眼前的學(xué)習成績(jì)和學(xué)生自身未來(lái)的發(fā)展。反思性學(xué)習不僅要完成學(xué)習的任務(wù)，而且使學(xué)生的理性思維得到發(fā)展。
靈感來(lái)源于公開(kāi)課前的準備階段
因為我在教學(xué)中經(jīng)常嘗試一些能體現學(xué)生自主能動(dòng)性的教學(xué)方式，在一堂用“換位法”上“二次函數在生活中的應用”的公開(kāi)課的準備階段，讓學(xué)生自己申請當“老師”，話(huà)音剛落，就有不少同學(xué)舉手要求當“老師”，我讓他們寫(xiě)出各自的教案。等到教案交上來(lái)時(shí)卻只有四份。我認真閱讀了他們交上來(lái)的教案，發(fā)現他們把二次函數在生活中的應用分為最大利潤問(wèn)題、最大面積問(wèn)題、船過(guò)橋拱、汽車(chē)過(guò)隧道問(wèn)題、球類(lèi)噴水問(wèn)題四大塊，并都配備了相應的例題。學(xué)生的這一“創(chuàng )舉”超出我的預料。我為之高興，他們備課的過(guò)程，也是他們自主學(xué)習的過(guò)程。為了把課講好，他們翻閱大量參考資料，提出講課中所碰到的難題，進(jìn)行充分備課。因而就帶動(dòng)了學(xué)習的積極性，促進(jìn)了學(xué)生各能力方面的發(fā)展。事實(shí)證明參與準備和上課的這些同學(xué)再碰到有關(guān)二次函數在生活中的應用的題時(shí)，各個(gè)所向披靡。
從中我深深地感到：如果能讓學(xué)生對原有學(xué)習內容、學(xué)習方法和學(xué)習活動(dòng)歷程等不斷回望，及時(shí)修正學(xué)習策略，學(xué)生在學(xué)習中反思，在反思中學(xué)習，充分調動(dòng)他們的主動(dòng)性，自覺(jué)性、自主性，最終使學(xué)生學(xué)會(huì )學(xué)習，促進(jìn)有效教學(xué)。
數學(xué)教育家威費登塔爾提出：“數學(xué)教學(xué)方法的核心是學(xué)生再創(chuàng )造，而只有以反思為核心的數學(xué)教育才能使學(xué)生實(shí)現再創(chuàng )造�！痹趯�(shí)施新課程的今天，當我們以創(chuàng )造性意識和解決新問(wèn)題的能力，作為衡量和評價(jià)學(xué)生數學(xué)學(xué)習成績(jì)優(yōu)劣的主要標準時(shí)，更應該重視引導和激勵學(xué)生在數學(xué)學(xué)習活動(dòng)中進(jìn)行反思性學(xué)習。
反思性學(xué)習的意義
1．培養學(xué)生知識遷移的能力。反思性學(xué)習有利于學(xué)生找出一個(gè)知識點(diǎn)、一節課、一個(gè)學(xué)習階段的或其他方面的得與失。通過(guò)反思性學(xué)習學(xué)生能用自己的話(huà)去解釋、表達所學(xué)的知識；能基于這一知識作出推論和預測，從而解釋相關(guān)的現象，解決有關(guān)的問(wèn)題；能運用這一知識解決變式問(wèn)題；能綜合幾方面的相關(guān)知識解決比較復雜的問(wèn)題；能將所學(xué)的到實(shí)際問(wèn)題中去，學(xué)會(huì )學(xué)習。
2．增強學(xué)生思維的深刻性。反思性學(xué)習不僅僅是對數學(xué)學(xué)習一般性的回顧或重復，而是不斷發(fā)現問(wèn)題，提出問(wèn)題，解決問(wèn)題，找出思考過(guò)程中的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)，尋找發(fā)揮自己的長(cháng)處，彌補自己不足的策略的過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中學(xué)生補充和完善了自己的知識結構，喚起思維，激發(fā)探究、發(fā)現、再創(chuàng )新的欲望，獲得了解決問(wèn)題的策略，培養了學(xué)生思維的批判性和深刻性。使學(xué)生實(shí)現由學(xué)習者到“研究者”的轉變。
3．磨礪學(xué)生的創(chuàng )新能力。通過(guò)反思性學(xué)習，可以深化對問(wèn)題的理解，優(yōu)化思維過(guò)程，揭示問(wèn)題本質(zhì)，探索一般規律,獲得的不只是一個(gè)問(wèn)題的解決辦法,而是一組問(wèn)題、一類(lèi)問(wèn)題的解決辦法。溝通知識間的相互聯(lián)系，從而促進(jìn)知識的同化和遷移，產(chǎn)生新的發(fā)現，帶動(dòng)學(xué)生積極、主動(dòng)、探究性地投入到數學(xué)活動(dòng)中，增強學(xué)生數學(xué)思維的靈敏性，提高學(xué)生的創(chuàng )新能力。
貫徹反思性學(xué)習的有效途徑
1．于課堂教學(xué)中培養學(xué)生反思性學(xué)習的能力：
�。�1）于新課引入。先前的見(jiàn)解經(jīng)驗就是學(xué)生反思的起點(diǎn)。在數學(xué)課堂教學(xué)中，教師應創(chuàng )造合適的條件在引入新課時(shí)，通過(guò)適當的啟發(fā)點(diǎn)撥，加強新知與舊知的聯(lián)系，組織學(xué)生進(jìn)行有效的反思，使學(xué)生學(xué)會(huì )反思,提高教學(xué)的有效性。例如在引入華師大八下《探索三角形全等條件》時(shí)創(chuàng )設一個(gè)引例老師在備課紙上畫(huà)了兩個(gè)三角形準備上課，一不小心把墨水弄灑涂抹了這兩個(gè)三角形，你能把這兩個(gè)三角形還原嗎？自然引出判斷三角形全等的思考？這一問(wèn)題具有挑戰性，需要學(xué)生認真調動(dòng)和組織原有的知識和經(jīng)驗才能進(jìn)一步探究。這時(shí)引導學(xué)生反思：“課題與以前學(xué)過(guò)的哪些知識有聯(lián)系？
�。�2）于探究過(guò)程中。學(xué)習新知中反思指向于當前學(xué)習，是對學(xué)習過(guò)程本身的反思，包括知識的形成過(guò)程、學(xué)習方法、操作程序以及獲得的結論等。例如在出示分式的加減課題后，教師可引導學(xué)生反思：根據分式的乘除是類(lèi)比分數的乘除，那么分式的加減能否也類(lèi)比分數的加減來(lái)運算？然后出示例子下列題目你一定會(huì )計算，雖然沒(méi)有學(xué)習分式的加減運算但通過(guò)類(lèi)比分數的加減運算，收到事半功倍的效果。若每次都能讓學(xué)生先反思再學(xué)習,可以產(chǎn)生主動(dòng)探索學(xué)習的愿望，由被動(dòng)的等待學(xué)習轉為主動(dòng)的參與，提高了教學(xué)的有效性。
另外當學(xué)生經(jīng)歷、體驗了不同的探索方案后，再引導學(xué)生反思：從剛才的探究中，你又發(fā)現了什么？你是怎么推導出來(lái)的？這種思考方法對自己今后學(xué)習有什么啟發(fā)？也就是解決問(wèn)題后,要善于把它改頭換面變成為多個(gè)和原問(wèn)題內容形式不同或類(lèi)似但解決問(wèn)題的方法類(lèi)似或不同的問(wèn)題,即進(jìn)行一題多解、多題一解的訓練,這樣可以擴大視野,深化知識,從而提高學(xué)習的能力。
�。�3）于鞏固新知識中。數學(xué)教育家波利亞也說(shuō)，“如果沒(méi)有了反思，他們就錯過(guò)了解題的一次重要而有效益的方面�！睂W(xué)習新知后，應重視知識的概括和提煉，讓學(xué)生在練習中反思，在反思后再練習。反思探究知識的縱橫聯(lián)系，檢查自我數學(xué)認知結構，從而達到優(yōu)化認知結構。反思解決問(wèn)題有關(guān)的合理的知識結構，總結探求各知識點(diǎn)的內在聯(lián)系（縱向聯(lián)系，橫向聯(lián)系）。這樣的反思既有利于學(xué)生學(xué)習新知識，又有利于學(xué)生形成良好的知識結構。例如浙教版?/SPAN5.1同底數冪的乘法法則講完后，補充例題
判一判：下面的計算對不對，如果不對，怎樣改正？
并在練習后引導學(xué)生反思“以后我怎樣避免再出現類(lèi)似的錯誤？通過(guò)這次糾錯，我有什么收獲？”學(xué)生通過(guò)反思得出：
�、偻讛祪缦喑藭r(shí)，指數是相加的
�、谧⒁馀c+的區別
�、鄄荒芎鲆曋笖禐�1的情況。
學(xué)生在鞏固練習的反思過(guò)程中取其精華棄其糟粕，發(fā)展了思維，使所學(xué)知識更加深刻，更加系統化，提高了教學(xué)的有效性。
培養學(xué)生在課堂中養成自我提問(wèn)的習慣，如：“怎樣做”、“為什么這樣做”、“可以用幾種方法做”、“同學(xué)的回答與我想得有什么不一樣”、“哪一種方法更好”……在課堂傾聽(tīng)過(guò)程中，這樣一些自我反思式的提問(wèn)，可以把學(xué)生的數學(xué)思維引向深層次的思考，學(xué)會(huì )捕捉引起反思的問(wèn)題或提出具有反思性的見(jiàn)解，從而讓學(xué)生樂(lè )思、巧思、善思,真正成為課堂的主人。
�。�4）于課堂小結中。成功的課堂小結，并不僅僅停留在對本堂課中出現的知識點(diǎn)的回顧，更重要的是要使學(xué)生對形成知識的過(guò)程進(jìn)行反思，揭示教學(xué)過(guò)程中的數學(xué)思想方法，并把形成的知識建構到自己已有的知識網(wǎng)絡(luò )中去，從而提高了學(xué)生解決問(wèn)題的能力。例如：在教學(xué)二元一次方程組應用的課堂小結中，不僅要讓學(xué)生回顧列二元一次方程組解應用題的基本步驟，讓學(xué)生從中審題在各個(gè)環(huán)節中的重要性，還應該讓學(xué)生反思把找等量關(guān)系中的'列表法、列式法、畫(huà)圖法這幾種方法構建到自己的知識體系中去，使之系統化，掌握了解應用題的基本策略。又例如：我們學(xué)習了利用相似三角形測量金字塔后。抽象出了兩個(gè)基本模型，通過(guò)交流后發(fā)現凡是測量垂直的物體AB可以用以下幾種方法：
方法1：利用太陽(yáng)光互相平行原理，陽(yáng)光下的影子OD，構造出相似三角形，測量輔助工具竹竿CD及其影長(cháng)OD，垂直的物體AB的影長(cháng)，由相似三角形性質(zhì)，有
計算出垂直的物體AB）
方法2：利用標桿。
需測量數據：觀(guān)察者的腳D到旗桿底部B的距離，B到標桿F的距離，EF長(cháng)，人CD高，作CG⊥AB構造相似三角形。
方法3：利用鏡子的反射。
直線(xiàn)L表示鏡子，△ABH∽△CDH，則
通過(guò)親身體驗、反饋、反思，學(xué)生獲得了的有價(jià)值的數學(xué)模型，培養了舉一反三的能力。從這些不同的側面，多角度地思考體會(huì )探索的方法、策略，使學(xué)生在不斷的反思中，加強數學(xué)知識和能力的相互溝通，提高進(jìn)行數學(xué)活動(dòng)的能力。
2．于評價(jià)中培養學(xué)生反思性學(xué)習的能力：
�。�1）自我評價(jià)。自我評價(jià)是學(xué)生對自己的學(xué)習過(guò)程、學(xué)習結果進(jìn)行自我評判與分析的一種自我審視的行為。自我評價(jià)應該是課堂教學(xué)中一種最主要、最經(jīng)常的評價(jià)方式，組織有效的自我評價(jià)有助于學(xué)生隨時(shí)進(jìn)行自我反饋、自我調整、自我完善，有助于提高自我評價(jià)能力。教師在教學(xué)中若能引導學(xué)生把評價(jià)和反思結合起來(lái)，學(xué)生就能更快地提高自己的分析水平，因為他人的評價(jià)，只有通過(guò)自己的反思，才能轉化為自己內在的智慧。
經(jīng)常引導學(xué)生站在評價(jià)者的角度上，對自己的顯性的學(xué)習結果和隱性的思考過(guò)程進(jìn)行評價(jià)，反思自己的學(xué)習過(guò)程。如，在一題多問(wèn)、一題多解的教學(xué)中，面對學(xué)生的多種解題思路和方法，教師要引導學(xué)生反思這些思路和解法正確與否，簡(jiǎn)捷與否，不斷提高其思維品質(zhì)。同時(shí)學(xué)生與學(xué)生間，
�。�2）教師評價(jià)。教師的評價(jià)包括課堂上的評價(jià)和作業(yè)、考試的評價(jià)。作業(yè)批改也是培養學(xué)生的反思性學(xué)習的出發(fā)點(diǎn)，對于學(xué)生的作業(yè)，在過(guò)程和結果均正確的題目上打"√"。對于過(guò)程錯誤或結果錯誤的題目，對于學(xué)習能力較強的學(xué)生，可以在該題旁打上一個(gè)"（？）"號；對學(xué)習能力一般的學(xué)生則在出錯這一步后用記號"？"標出；而對學(xué)習有一定困難的學(xué)生，則先在具體錯誤處劃"-"，并打上"×"。目的是讓不同層次的學(xué)生根據老師的批改符號的提示去反思："哪里錯了？"、"錯誤的原因是什么？"、"怎樣進(jìn)行改正？"等。通過(guò)對學(xué)生有針對性地培養，使學(xué)生不僅提高了思辨能力，糾正了錯誤，而且為進(jìn)一步學(xué)習和創(chuàng )新作了思維上和心理上的鋪墊。
�。�3）互動(dòng)評價(jià)。由于文化背景，生活環(huán)境以及知識、經(jīng)驗等方面的差異，對于同一問(wèn)題，學(xué)生解答的思路是不會(huì )完全一致的，所以教學(xué)中應注意引導學(xué)生對照他人的經(jīng)驗反思自己的學(xué)習過(guò)程，例如進(jìn)行“互換評批作業(yè)”，通過(guò)互動(dòng)的評價(jià)，學(xué)生在互動(dòng)評價(jià)的交流中博采眾長(cháng)，反思學(xué)習過(guò)程、解決數學(xué)問(wèn)題所采用的策略，這樣不但讓學(xué)生輕松鞏固所學(xué)數學(xué)知識，還可以培養學(xué)生的主動(dòng)意識并使學(xué)生學(xué)會(huì )了許多解決數學(xué)問(wèn)題的策略，可以?xún)?yōu)化學(xué)習，促進(jìn)教學(xué)的有效性，收到事半功倍的效果。
3．于自我感悟中培養學(xué)生反思性學(xué)習的能力：
培養學(xué)生反思性學(xué)習于自我感悟中，可以提高學(xué)生的思維自我評價(jià)水平，這是提高教學(xué)效率，培養數學(xué)能力行之有效的方法�？梢酝ㄟ^(guò)課后要求學(xué)生寫(xiě)反思性學(xué)習日記。通過(guò)反思性學(xué)習日記，學(xué)生可以對所學(xué)的數學(xué)知識進(jìn)行反思。使學(xué)生超越認知層面，對本節數學(xué)知識的再認知，促使學(xué)生形成反思習慣。同時(shí)建一個(gè)屬于自己的數學(xué)錯題庫，是一條很好的培養學(xué)生反思學(xué)習的途徑。
培養反思性學(xué)習的案例
圖形折疊問(wèn)題是近年來(lái)中考的一個(gè)熱點(diǎn)，在中考專(zhuān)題復習之前，布置學(xué)生去反思：矩形折疊問(wèn)題實(shí)質(zhì)上用了那些知識點(diǎn)，可以用幾種模式去做？學(xué)生通過(guò)知識整理和反思在課上學(xué)生情緒高漲，最后得出：矩形折疊問(wèn)題其實(shí)質(zhì)是軸對稱(chēng)問(wèn)題，折疊重合部分必全等，折痕所在直線(xiàn)就是這兩個(gè)全等形的對稱(chēng)軸，互相重合的兩點(diǎn)（對稱(chēng)點(diǎn)）連線(xiàn)必被折痕垂直平分。要充分運用以上結論，作輔助線(xiàn)構造直角三角形，結合相似形、銳角三角函數定義等知識來(lái)解決折疊問(wèn)題�？梢詺w納為以下幾種模式：
模式一：折疊后兩個(gè)頂點(diǎn)相重合
如圖1，矩形紙片ABCD的長(cháng)為8cm，寬為6cm，把紙片對折，使相對頂點(diǎn)A、C重合，求其折痕的長(cháng)。
圖1
規律：折痕是對折兩點(diǎn)連線(xiàn)的中垂線(xiàn)，是解該類(lèi)問(wèn)題的突破口。本題中折疊后使點(diǎn)A與C重合），而折痕未知，如圖1，設折痕為EF，由折疊的對稱(chēng)性，可知EF就是AC的中垂線(xiàn)。易證
模式二：沿對角線(xiàn)折疊
如圖2，將矩形ABCD（AB＜AD＝沿BD折疊后，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，且BE交AD于點(diǎn)F.
規律：如圖將矩形紙片ABCD沿直線(xiàn)BD,折疊一次（折痕與折疊后得到的圖形用虛線(xiàn)表示）將得到的所有
可得到：全等三角形（包括實(shí)線(xiàn)虛線(xiàn)在內）
△ABD≌△CDB≌△EDB△ABF≌△EDF
�。ㄈ鐖D∠AFB=∠EFD，∠A=∠E，AB=ED，所以△ABF≌△EDF）
模式三：折疊一個(gè)角，一個(gè)頂點(diǎn)落特殊位置頂點(diǎn)落在對角線(xiàn)上
如圖3，折疊矩形紙片ABCD，先折出折痕（對角線(xiàn)）BD，再折疊，使AD落在對角線(xiàn)BD上，得折痕DG，求AG.
規律：折疊后的圖形（如圖3），設A點(diǎn)落在BD上的位置為A1，則A點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)DG的對稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)A1，連結A1G，（如圖4）
可知△ADG≌△A1DG，AG=A1G，
AD=A1D。在Rt△BA1G中，
利用勾股定理列出方程：
頂點(diǎn)落在中位線(xiàn)上
用一張矩形紙，把矩形ＡＢＣＤ紙對折，設折痕為ＭＮ，再把Ｂ點(diǎn)疊在折痕線(xiàn)上，得到Rt△ＡＢＥ，沿著(zhù)ＥＢ線(xiàn)折疊，得到△ＥＡＦ（如圖5）。判斷△ＥＡＦ的形狀。
答案：△ＥＡＦ為等邊三角形。
規律：根據折疊情況，可知，N為CD中點(diǎn)，PN//AD
∴點(diǎn)P是AE的中點(diǎn)，
∴在Rt△ABE中，PA=PB
∴∠2=∠3
又∵PN//AD∴∠1=∠3
根據折疊規律（圖6）：∠4=∠2
∴∠1=∠2=∠4=30?/SPAN
∴∠EAF=60?/SPAN=∠AEF
∴△ＥＡＦ為等邊三角形。
模式四：折疊后一個(gè)頂點(diǎn)落在對邊上
如圖，長(cháng)方形ABCD沿AE折疊，使D落在邊BC上的F點(diǎn)處
規律：用△ADE≌△AFE,△AB∽△FCE,Rt△ABF用勾股定理，
在復習課前，通過(guò)教師的引導，事先讓學(xué)生對已學(xué)學(xué)知識畫(huà)結構圖、找疑惑處、找典型題、常見(jiàn)題，使學(xué)生帶著(zhù)問(wèn)題、帶著(zhù)興趣進(jìn)入課堂，在課堂中學(xué)生就不會(huì )被老師牽著(zhù)鼻子走了。同時(shí)培養了學(xué)生學(xué)會(huì )總結、學(xué)會(huì )引申、學(xué)會(huì )推廣的能力。
學(xué)生養成了“反思性學(xué)習”方式，在學(xué)習過(guò)程中，會(huì )不斷地對知識、方法、思路、策略等進(jìn)行深入分析、研究、探索等，這種學(xué)習方式不僅對數學(xué)的學(xué)習有所幫助，并對學(xué)生今后的任何課程的學(xué)習都有很大的幫助。(
【數學(xué)有效教學(xué)與反思性學(xué)習的芻議】相關(guān)文章：
培養學(xué)生數學(xué)反思性學(xué)習促進(jìn)有效教學(xué)探討10-29
學(xué)習有效教學(xué)反思05-14
淺析教學(xué)反思的有效性09-11
有效性學(xué)習的教學(xué)總結11-18
數學(xué)課堂教學(xué)的有效性活動(dòng)反思06-27
課堂教學(xué)有效性的反思12-29