因式分解教案

　　在教學(xué)工作者實(shí)際的教學(xué)活動(dòng)中，很有必要精心設計一份教案，教案是教學(xué)藍圖，可以有效提高教學(xué)效率。那么你有了解過(guò)教案嗎？以下是小編為大家整理的因式分解教案，歡迎閱讀與收藏。

因式分解教案1

　�。ㄒ唬�學(xué)習目標

　　1、會(huì )用因式分解進(jìn)行簡(jiǎn)單的多項式除法

　　2、會(huì )用因式分解解簡(jiǎn)單的方程

　　（二）學(xué)習重難點(diǎn)重點(diǎn)：因式分解在多項式除法和解方程中兩方面的應用。

　　難點(diǎn)：應用因式分解解方程涉及到的較多的推理過(guò)程是本節課的難點(diǎn)。

　�。ㄈ�）教學(xué)過(guò)程設計

　　看一看

　　1.應用因式分解進(jìn)行多項式除法.多項式除以多項式的一般步驟：

　�、賍_______________②__________

　　2.應用因式分解解簡(jiǎn)單的一元二次方程.

　　依據__________,一般步驟:__________

　　做一做

　　1.計算：

　　(1)(-a2b2+16)÷(4-ab);

　　(2)(18x2-12xy+2y2)÷(3x-y).

　　2.解下列方程：

　　(1)3x2+5x=0;

　　(2)9x2=(x-2)2;

　　(3)x2-x+=0.

　　3.完成課后練習題

　　想一想

　　你還有哪些地方不是很懂?請寫(xiě)出來(lái)。

　　____________________________________

　　（四）預習檢測

　　1.計算：

　　2.先請同學(xué)們思考、討論以下問(wèn)題：

　　(1)如果A×5=0，那么A的值

　　(2)如果A×0=0，那么A的值

　　(3)如果AB=0，下列結論中哪個(gè)正確( )

　�、貯、B同時(shí)都為零，即A=0，

　　且B=0;

　�、贏(yíng)、B中至少有一個(gè)為零，即A=0，或B=0;

　　（五）應用探究

　　1.解下列方程

　　2.化簡(jiǎn)求值：已知x-y=-3,-x+3y=2，求代數式x2-4xy+3y2的值

　　（六）拓展提高：

　　解方程：

　　1、(x2+4)2-16x2=0

　　2、已知a、b、c為三角形的三邊，試判斷a2-2ab+b2-c2大于零?小于零?等于零?

　　（七）堂堂清練習

　　1.計算

　　2.解下列方程

　�、�7x2+2x=0

　�、趚2+2x+1=0

　�、踴2=(2x-5)2

　�、躼2+3x=4x

因式分解教案2

　　教學(xué)目標

　　1．知識與技能

　　了解因式分解的意義，以及它與整式乘法的關(guān)系．

　　2．過(guò)程與方法

　　經(jīng)歷從分解因數到分解因式的類(lèi)比過(guò)程，掌握因式分解的概念，感受因式分解在解決問(wèn)題中的作用．

　　3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀(guān)

　　在探索因式分解的方法的活動(dòng)中，培養學(xué)生有條理的思考、表達與交流的能力，培養積極的進(jìn)取意識，體會(huì )數學(xué)知識的內在含義與價(jià)值．

　　重、難點(diǎn)與關(guān)鍵

　　1．重點(diǎn)：了解因式分解的意義，感受其作用．

　　2．難點(diǎn)：整式乘法與因式分解之間的關(guān)系．

　　3．關(guān)鍵：通過(guò)分解因數引入到分解因式，并進(jìn)行類(lèi)比，加深理解．

　　教學(xué)方法

　　采用“激趣導學(xué)”的教學(xué)方法．

　　教學(xué)過(guò)程

　　一、創(chuàng )設情境，激趣導入

　　【問(wèn)題牽引】

　　請同學(xué)們探究下面的2個(gè)問(wèn)題：

　　問(wèn)題1：720能被哪些數整除？談?wù)勀愕南敕ǎ?/p>

　　問(wèn)題2：當a=102，b=98時(shí)，求a2－b2的值．

　　二、豐富聯(lián)想，展示思維

　　探索：你會(huì )做下面的填空嗎？

　　1．ma+mb+mc=（ ）（ ）；

　　2．x2－4=（ ）（ ）；

　　3．x2－2xy+y2=（ ）2．

　　【師生共識】把一個(gè)多項式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫做把這個(gè)多項式因式分解，也叫做分解因式．

　　三、小組活動(dòng)，共同探究

　　【問(wèn)題牽引】

　�。�1）下列各式從左到右的變形是否為因式分解：

　�、伲▁+1）（x－1）=x2－1；

　�、赼2－1+b2=（a+1）（a－1）+b2；

　�、�7x－7=7（x－1）．

　�。�2）在下列括號里，填上適當的項，使等式成立．

　�、�9x2（______）+y2=（3x+y）（_______）；

　�、趚2－4xy+（_______）=（x－_______）2．

　　四、隨堂練習，鞏固深化

　　課本練習．

　　【探研時(shí)空】計算：993－99能被100整除嗎？

　　五、課堂總結，發(fā)展潛能

　　由學(xué)生自己進(jìn)行小結，教師提出如下綱目：

　　1．什么叫因式分解？

　　2．因式分解與整式運算有何區別？

　　六、布置作業(yè)，專(zhuān)題突破

　　選用補充作業(yè)．

　　板書(shū)設計

　　15.4.1 因式分解

　　1、因式分解 例：

　　練習：

　　15.4.2 提公因式法

　　教學(xué)目標

　　1．知識與技能

　　能確定多項式各項的公因式，會(huì )用提公因式法把多項式分解因式．

　　2．過(guò)程與方法

　　使學(xué)生經(jīng)歷探索多項式各項公因式的過(guò)程，依據數學(xué)化歸思想方法進(jìn)行因式分解．

　　3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀(guān)

　　培養學(xué)生分析、類(lèi)比以及化歸的思想，增進(jìn)學(xué)生的合作交流意識，主動(dòng)積極地積累確定公因式的初步經(jīng)驗，體會(huì )其應用價(jià)值．

　　重、難點(diǎn)與關(guān)鍵

　　1．重點(diǎn)：掌握用提公因式法把多項式分解因式．

　　2．難點(diǎn)：正確地確定多項式的最大公因式．

　　3．關(guān)鍵：提公因式法關(guān)鍵是如何找公因式．方法是：一看系數、二看字母．公因式的系數取各項系數的最大公約數；字母取各項相同的字母，并且各字母的指數取最低次冪．

　　教學(xué)方法

　　采用“啟發(fā)式”教學(xué)方法．

　　教學(xué)過(guò)程

　　一、回顧交流，導入新知

　　【復習交流】

　　下列從左到右的變形是否是因式分解，為什么？

　�。�1）2x2+4=2（x2+2）； （2）2t2－3t+1= （2t3－3t2+t）；

　�。�3）x2+4xy－y2=x（x+4y）－y2； （4）m（x+y）=mx+my；

　�。�5）x2－2xy+y2=（x－y）2．

　　問(wèn)題：

　　1．多項式mn+mb中各項含有相同因式嗎？

　　2．多項式4x2－x和xy2－yz－y呢？

　　請將上述多項式分別寫(xiě)成兩個(gè)因式的乘積的形式，并說(shuō)明理由．

　　【教師歸納】我們把多項式中各項都有的公共的因式叫做這個(gè)多項式的公因式，如在mn+mb中的公因式式是m，在4x2－x中的公因式是x，在xy2－yz－y中的公因式是y．

　　概念：如果一個(gè)多項式的各項含有公因式，那么就可以把這個(gè)公因式提出來(lái)，從而將多項式化成兩個(gè)因式乘積形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．

　　二、小組合作，探究方法

　　【教師提問(wèn)】 多項式4x2－8x6，16a3b2－4a3b2－8ab4各項的公因式是什么？

　　【師生共識】提公因式的方法是先確定各項的公因式再將多項式除以這個(gè)公因式得到另一個(gè)因式，找公因式一看系數、二看字母，公因式的系數取各項系數的最大公約數；字母取各項相同的字母，并且各字母的指數取最低次冪．

　　三、范例學(xué)習，應用所學(xué)

　　【例1】把－4x2yz－12xy2z+4xyz分解因式．

　　解：－4x2yz－12xy2z+4xyz

　　=－（4x2yz+12xy2z－4xyz）

　　=－4xyz（x+3y－1）

　　【例2】分解因式，3a2（x－y）3－4b2（y－x）2

　　【思路點(diǎn)撥】觀(guān)察所給多項式可以找出公因式（y－x）2或（x－y）2，于是有兩種變形，（x－y）3=－（y－x）3和（x－y）2=（y－x）2，從而得到下面兩種分解方法．

　　解法1：3a2（x－y）3－4b2（y－x）2

　　=－3a2（y－x）3－4b2（y－x）2

　　=－[（y－x）23a2（y－x）+4b2（y－x）2]

　　=－（y－x）2 [3a2（y－x）+4b2]

　　=－（y－x）2（3a2y－3a2x+4b2）

　　解法2：3a2（x－y）3－4b2（y－x）2

　　=（x－y）23a2（x－y）－4b2（x－y）2

　　=（x－y）2 [3a2（x－y）－4b2]

　　=（x－y）2（3a2x－3a2y－4b2）

　　【例3】用簡(jiǎn)便的方法計算：0.84×12+12×0.6－0.44×12．

　　【教師活動(dòng)】引導學(xué)生觀(guān)察并分析怎樣計算更為簡(jiǎn)便．

　　解：0.84×12+12×0.6－0.44×12

　　=12×（0.84+0.6－0.44）

　　=12×1=12．

　　【教師活動(dòng)】在學(xué)生完全例3之后，指出例3是因式分解在計算中的應用，提出比較例1，例2，例3的公因式有什么不同？

　　四、隨堂練習，鞏固深化

　　課本P167練習第1、2、3題．

　　【探研時(shí)空】

　　利用提公因式法計算：

　　0.582×8.69+1.236×8.69+2.478×8.69+5.704×8.69

　　五、課堂總結，發(fā)展潛能

　　1．利用提公因式法因式分解，關(guān)鍵是找準最大公因式．在找最大公因式時(shí)應注意：（1）系數要找最大公約數；（2）字母要找各項都有的；（3）指數要找最低次冪．

　　2．因式分解應注意分解徹底，也就是說(shuō)，分解到不能再分解為止．

　　六、布置作業(yè)，專(zhuān)題突破

　　課本P170習題15．4第1、4（1）、6題．

　　板書(shū)設計

　　15.4.2 提公因式法

　　1、提公因式法 例：

　　練習：

　　15.4.3 公式法（一）

　　教學(xué)目標

　　1．知識與技能

　　會(huì )應用平方差公式進(jìn)行因式分解，發(fā)展學(xué)生推理能力．

　　2．過(guò)程與方法

　　經(jīng)歷探索利用平方差公式進(jìn)行因式分解的過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的逆向思維，感受數學(xué)知識的完整性．

　　3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀(guān)

　　培養學(xué)生良好的互動(dòng)交流的習慣，體會(huì )數學(xué)在實(shí)際問(wèn)題中的應用價(jià)值．

　　重、難點(diǎn)與關(guān)鍵

　　1．重點(diǎn)：利用平方差公式分解因式．

　　2．難點(diǎn)：領(lǐng)會(huì )因式分解的解題步驟和分解因式的徹底性．

　　3．關(guān)鍵：應用逆向思維的方向，演繹出平方差公式，對公式的應用首先要注意其特征，其次要做好式的變形，把問(wèn)題轉化成能夠應用公式的方面上來(lái)．

　　教學(xué)方法

　　采用“問(wèn)題解決”的教學(xué)方法，讓學(xué)生在問(wèn)題的牽引下，推進(jìn)自己的思維．

　　教學(xué)過(guò)程

　　一、觀(guān)察探討，體驗新知

　　【問(wèn)題牽引】

　　請同學(xué)們計算下列各式．

　�。�1）（a+5）（a－5）； （2）（4m+3n）（4m－3n）．

　　【學(xué)生活動(dòng)】動(dòng)筆計算出上面的兩道題，并踴躍上臺板演．

　�。�1）（a+5）（a－5）=a2－52=a2－25；

　�。�2）（4m+3n）（4m－3n）=（4m）2－（3n）2=16m2－9n2．

　　【教師活動(dòng)】引導學(xué)生完成下面的兩道題目，并運用數學(xué)“互逆”的思想，尋找因式分解的規律．

　　1．分解因式：a2－25； 2．分解因式16m2－9n．

　　【學(xué)生活動(dòng)】從逆向思維入手，很快得到下面答案：

　�。�1）a2－25=a2－52=（a+5）（a－5）．

　�。�2）16m2－9n2=（4m）2－（3n）2=（4m+3n）（4m－3n）．

　　【教師活動(dòng)】引導學(xué)生完成a2－b2=（a+b）（a－b）的同時(shí)，導出課題：用平方差公式因式分解．

　　平方差公式：a2－b2=（a+b）（a－b）．

　　評析：平方差公式中的字母a、b，教學(xué)中還要強調一下，可以表示數、含字母的代數式（單項式、多項式）．

　　二、范例學(xué)習，應用所學(xué)

　　【例1】把下列各式分解因式：（投影顯示或板書(shū)）

　�。�1）x2－9y2； （2）16x4－y4；

　�。�3）12a2x2－27b2y2； （4）（x+2y）2－（x－3y）2；

　�。�5）m2（16x－y）+n2（y－16x）．

　　【思路點(diǎn)撥】在觀(guān)察中發(fā)現1～5題均滿(mǎn)足平方差公式的特征，可以使用平方差公式因式分解．

　　【教師活動(dòng)】啟發(fā)學(xué)生從平方差公式的角度進(jìn)行因式分解，請5位學(xué)生上講臺板演．

　　【學(xué)生活動(dòng)】分四人小組，合作探究．

　　解：（1）x2－9y2=（x+3y）（x－3y）；

　�。�2）16x4－y4=（4x2+y2）（4x2－y2）=（4x2+y2）（2x+y）（2x－y）；

　�。�3）12a2x2－27b2y2=3（4a2x2－9b2y2）=3（2ax+3by）（2ax－3by）；

　�。�4）（x+2y）2－（x－3y）2=[（x+2y）+（x－3y）][（x+2y）－（x－3y）] =5y（2x－y）；

　�。�5）m2（16x－y）+n2（y－16x）

　　=（16x－y）（m2－n2）=（16x－y）（m+n）（m－n）．

　　三、隨堂練習，鞏固深化

　　課本P168練習第1、2題．

　　【探研時(shí)空】

　　1．求證：當n是正整數時(shí)，n3－n的值一定是6的倍數．

　　2．試證兩個(gè)連續偶數的平方差能被一個(gè)奇數整除．連續偶數的平方差能被一個(gè)奇數整除．

　　四、課堂總結，發(fā)展潛能

　　運用平方差公式因式分解，首先應注意每個(gè)公式的特征．分析多項式的次數和項數，然后再確定公式．如果多項式是二項式，通�？紤]應用平方差公式；如果多項式中有公因式可提，應先提取公因式，而且還要“提”得徹底，最后應注意兩點(diǎn)：一是每個(gè)因式要化簡(jiǎn)，二是分解因式時(shí)，每個(gè)因式都要分解徹底．

　　五、布置作業(yè)，專(zhuān)題突破

　　課本P171習題15．4第2、4（2）、11題．

　　板書(shū)設計

　　15.4.3 公式法（一）

　　1、平方差公式： 例：

　　a2－b2=（a+b）（a－b） 練習：

　　15.4.3 公式法（二）

　　教學(xué)目標

　　1．知識與技能

　　領(lǐng)會(huì )運用完全平方公式進(jìn)行因式分解的方法，發(fā)展推理能力．

　　2．過(guò)程與方法

　　經(jīng)歷探索利用完全平方公式進(jìn)行因式分解的過(guò)程，感受逆向思維的意義，掌握因式分解的基本步驟．

　　3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀(guān)

　　培養良好的推理能力，體會(huì )“化歸”與“換元”的思想方法，形成靈活的應用能力．

　　重、難點(diǎn)與關(guān)鍵

　　1．重點(diǎn)：理解完全平方公式因式分解，并學(xué)會(huì )應用．

　　2．難點(diǎn)：靈活地應用公式法進(jìn)行因式分解．

　　3．關(guān)鍵：應用“化歸”、“換元”的思想方法，把問(wèn)題進(jìn)行形式上的轉化，達到能應用公式法分解因式的目的．

　　教學(xué)方法

　　采用“自主探究”教學(xué)方法，在教師適當指導下完成本節課內容．

　　教學(xué)過(guò)程

　　一、回顧交流，導入新知

　　【問(wèn)題牽引】

　　1．分解因式：

　�。�1）－9x2+4y2； （2）（x+3y）2－（x－3y）2；

　�。�3） x2－0.01y2．

因式分解教案3

　　整式乘除與因式分解

　　一.回顧知識點(diǎn)

　　1、主要知識回顧：

　　冪的運算性質(zhì)：

　　aman=am+n(m、n為正整數)

　　同底數冪相乘，底數不變，指數相加.

　　=amn(m、n為正整數)

　　冪的乘方，底數不變，指數相乘.

　　(n為正整數)

　　積的乘方等于各因式乘方的積.

　　=am-n(a≠0，m、n都是正整數，且m>n)

　　同底數冪相除，底數不變，指數相減.

　　零指數冪的概念：

　　a0=1(a≠0)

　　任何一個(gè)不等于零的數的零指數冪都等于l.

　　負指數冪的概念：

　　a-p=(a≠0，p是正整數)

　　任何一個(gè)不等于零的數的-p(p是正整數)指數冪，等于這個(gè)數的p指數冪的倒數.

　　也可表示為：(m≠0，n≠0，p為正整數)

　　單項式的乘法法則：

　　單項式相乘，把系數、同底數冪分別相乘，作為積的因式;對于只在一個(gè)單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個(gè)因式.

　　單項式與多項式的乘法法則：

　　單項式與多項式相乘，用單項式和多項式的每一項分別相乘，再把所得的積相加.

　　多項式與多項式的乘法法則：

　　多項式與多項式相乘，先用一個(gè)多項式的每一項與另一個(gè)多項式的每一項相乘，再把所得的積相加.

　　單項式的除法法則：

　　單項式相除，把系數、同底數冪分別相除，作為商的因式：對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個(gè)因式.

　　多項式除以單項式的法則：

　　多項式除以單項式，先把這個(gè)多項式的每一項除以這個(gè)單項式，再把所得的商相加.

　　2、乘法公式：

　�、倨椒讲罟�式：(a+b)(a-b)=a2-b2

　　文字語(yǔ)言敘述：兩個(gè)數的和與這兩個(gè)數的差相乘，等于這兩個(gè)數的平方差.

　�、谕耆�平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2

　　(a-b)2=a2-2ab+b2

　　文字語(yǔ)言敘述：兩個(gè)數的和(或差)的平方等于這兩個(gè)數的平方和加上(或減去)這兩個(gè)數的積的2倍.

　　3、因式分解：

　　因式分解的定義.

　　把一個(gè)多項式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項式因式分解.

　　掌握其定義應注意以下幾點(diǎn)：

　　(1)分解對象是多項式，分解結果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個(gè)要素缺一不可;

　　(2)因式分解必須是恒等變形;

　　(3)因式分解必須分解到每個(gè)因式都不能分解為止.

　　弄清因式分解與整式乘法的內在的關(guān)系.

　　因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式.

　　二、熟練掌握因式分解的常用方法.

　　1、提公因式法

　　(1)掌握提公因式法的概念;

　　(2)提公因式法的關(guān)鍵是找出公因式，公因式的構成一般情況下有三部分：①系數一各項系數的最大公約數;②字母——各項含有的相同字母;③指數——相同字母的最低次數;

　　(3)提公因式法的步驟：第一步是找出公因式;第二步是提取公因式并確定另一因式.需注意的是，提取完公因式后，另一個(gè)因式的項數與原多項式的項數一致，這一點(diǎn)可用來(lái)檢驗是否漏項.

　　(4)注意點(diǎn)：①提取公因式后各因式應該是最簡(jiǎn)形式，即分解到“底”;②如果多項式的第一項的系數是負的，一般要提出“-”號，使括號內的第一項的系數是正的.

　　2、公式法

　　運用公式法分解因式的實(shí)質(zhì)是把整式中的乘法公式反過(guò)來(lái)使用;

　　常用的公式：

　�、倨椒讲罟�式：a2-b2=(a+b)(a-b)

　�、谕耆�平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2

　　a2-2ab+b2=(a-b)2

因式分解教案4

　　教學(xué)目標：

　　1、進(jìn)一步鞏固因式分解的概念;

　　2、鞏固因式分解常用的三種方法

　　3、選擇恰當的方法進(jìn)行因式分解4、應用因式分解來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題

　　5、體驗應用知識解決問(wèn)題的樂(lè )趣

　　教學(xué)重點(diǎn)：靈活運用因式分解解決問(wèn)題

　　教學(xué)難點(diǎn)：靈活運用恰當的因式分解的方法，拓展練習2、3

　　教學(xué)過(guò)程：

　　一、創(chuàng )設情景：若a=101，b=99，求a2—b2的值

　　利用因式分解往往能將一些復雜的運算簡(jiǎn)單化，那么我們先來(lái)回顧一下什么是因式分解和怎樣來(lái)因式分解。

　　二、知識回顧

　　1、因式分解定義：把一個(gè)多項式化成幾個(gè)整式積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項式分解因式。

　　判斷下列各式哪些是因式分解？（讓學(xué)生先思考，教師提問(wèn)講解，讓學(xué)生明確因式分解的概念以及與乘法的關(guān)系）

　�。�1）、x2—4y2=（x+2y）（x—2y）因式分解（2）。2x（x—3y）=2x2—6xy整式乘法

　�。�3）、（5a—1）2=25a2—10a+1整式乘法（4）。x2+4x+4=（x+2）2因式分解

　�。�5）、（a—3）（a+3）=a2—9整式乘法（6）。m2—4=（m+4）（m—4）因式分解

　�。�7）、2πR+2πr=2π（R+r）因式分解

　　2、規律總結（教師講解）：分解因式與整式乘法是互逆過(guò)程。

　　分解因式要注意以下幾點(diǎn)：

　�。�1）。分解的對象必須是多項式。

　�。�2）。分解的結果一定是幾個(gè)整式的乘積的形式。

　�。�3）。要分解到不能分解為止。

　　3、因式分解的方法

　　提取公因式法：—6x2+6xy+3x=—3x（2x—2y—1）公因式的概念;公因式的求法

　　公式法：平方差公式：a2—b2=（a+b）（a—b）完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2

　　4、強化訓練

　　教學(xué)引入

　　師：教材在《四邊形》這一章《引言》里有這樣一句話(huà)：把一個(gè)長(cháng)方形折疊就可以得到一個(gè)正方形�，F在請同學(xué)們拿出一個(gè)長(cháng)方形紙條，按動(dòng)畫(huà)所示進(jìn)行折疊處理。

　　動(dòng)畫(huà)演示：

　　場(chǎng)景一：正方形折疊演示

　　師：這就是我們得到的正方形。下面請同學(xué)們拿出三角板（刻度尺）和圓規，我們來(lái)研究正方形的幾何性質(zhì)—邊、角以及對角線(xiàn)之間的關(guān)系。請大家測量各邊的長(cháng)度、各角的大小、對角線(xiàn)的長(cháng)度以及對角線(xiàn)交點(diǎn)到各頂點(diǎn)的長(cháng)度。

　　[學(xué)生活動(dòng)：各自測量。]

　　鼓勵學(xué)生將測量結果與鄰近同學(xué)進(jìn)行比較，找出共同點(diǎn)。

　　講授新課

　　找一兩個(gè)學(xué)生表述其結論，表述是要注意糾正其語(yǔ)言的規范性。

　　動(dòng)畫(huà)演示：

　　場(chǎng)景二：正方形的性質(zhì)

　　師：這些性質(zhì)里那些是矩形的性質(zhì)？

　　[學(xué)生活動(dòng)：尋找矩形性質(zhì)。]

　　動(dòng)畫(huà)演示：

　　場(chǎng)景三：矩形的性質(zhì)

　　師：同樣在這些性質(zhì)里尋找屬于菱形的性質(zhì)。

　　[學(xué)生活動(dòng);尋找菱形性質(zhì)。]

　　動(dòng)畫(huà)演示：

　　場(chǎng)景四：菱形的性質(zhì)

　　師：這說(shuō)明正方形具有矩形和菱形的全部性質(zhì)。

　　及時(shí)提出問(wèn)題，引導學(xué)生進(jìn)行思考。

　　師：根據這些性質(zhì)，我們能不能給正方形下一個(gè)定義？怎么樣給正方形下一個(gè)準確的定義？

　　[學(xué)生活動(dòng)：積極思考，有同學(xué)做躍躍欲試狀。]

　　師：請同學(xué)們回想矩形與菱形的定義，可以根據矩形與菱形的定義類(lèi)似的給出正方形的定義。

　　學(xué)生應能夠向出十種左右的定義方式，其余作相應鼓勵，把以下三種板書(shū)：

　　“有一組鄰邊相等的矩形叫做正方形�！�

　　“有一個(gè)角是直角的菱形叫做正方形�！�

　　“有一個(gè)角是直角且有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做正方形�！�

　　[學(xué)生活動(dòng)：討論這三個(gè)定義正確不正確？三個(gè)定義之間有什么共同和不同的地方？這出教材中采用的是第三種定義方式。]

　　師：根據定義，我們把平行四邊形、矩形、菱形和正方形它們之間的關(guān)系梳理一下。

　　試一試把下列各式因式分解：

　�。�1）。1—x2=（1+x）（1—x）（2）。4a2+4a+1=（2a+1）2

　�。�3）。4x2—8x=4x（x—2）（4）。2x2y—6xy2=2xy（x—3y）

　　三、例題講解

　　例1、分解因式

　�。�1）—x3y3+x2y+xy（2）6（x—2）+2x（2—x）

　�。�3）（4）y2+y+

　　例2、分解因式

　　1、a3—ab2=2、（a—b）（x—y）—（b—a）（x+y）=3、（a+b）2+2（a+b）—15=

　　4、—1—2a—a2=5、x2—6x+9—y26、x2—4y2+x+2y=

　　例3、分解因式

　　1、72—2（13x—7）22、8a2b2—2a4b—8b3

　　四、知識應用

　　1、（4x2—9y2）÷（2x+3y）2、（a2b—ab2）÷（b—a）

　　3、解方程：（1）x2=5x（2）（x—2）2=（2x+1）2

　　4、。若x=—3，求20x2—60x的值。5、1993—199能被200整除嗎？還能被哪些整數整除？

　　五、拓展應用

　　1。計算：7652×17—2352×17解：7652×17—2352×17=17（7652—2352）=17（765+235）（765—235）

　　2、20042+20xx被20xx整除嗎？

　　3、若n是整數，證明（2n+1）2—（2n—1）2是8的倍數。

　　五、課堂小結

　　今天你對因式分解又有哪些新的認識？

因式分解教案5

　　知識點(diǎn)：

　　因式分解定義，提取公因式、應用公式法、分組分解法、二次三項式的因式（十字相乘法、求根）、因式分解一般步驟。

　　教學(xué)目標：

　　理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分組分解法等因式分解方法，掌握利用二次方程求根公式分解二次二項式的方法，能把簡(jiǎn)單多項式分解因式。

　　考查重難點(diǎn)與常見(jiàn)題型：

　　考查因式分解能力，在中考試題中，因式分解出現的頻率很高。重點(diǎn)考查的分式提取公因式、應用公式法、分組分解法及它們的綜合運用。習題類(lèi)型以填空題為多，也有選擇題和解答題。

　　教學(xué)過(guò)程：

　　因式分解知識點(diǎn)

　　多項式的因式分解，就是把一個(gè)多項式化為幾個(gè)整式的積。分解因式要進(jìn)行到每一個(gè)因式都不能再分解為止。分解因式的常用方法有：

　�。�1）提公因式法

　　如多項式

　　其中m叫做這個(gè)多項式各項的公因式， m既可以是一個(gè)單項式，也可以是一個(gè)多項式。

　�。�2）運用公式法，即用

　　寫(xiě)出結果。

　�。�3）十字相乘法

　　對于二次項系數為l的二次三項式 尋找滿(mǎn)足ab=q，a+b=p的a，b，如有，則對于一般的二次三項式尋找滿(mǎn)足

　　a1a2=a，c1c2=c,a1c2+a2c1=b的a1，a2，c1，c2，如有，則

　�。�4）分組分解法：把各項適當分組，先使分解因式能分組進(jìn)行，再使分解因式在各組之間進(jìn)行。

　　分組時(shí)要用到添括號：括號前面是“+”號，括到括號里的各項都不變符號；括號前面是“-”號，括到括號里的各項都改變符號。

　�。�5）求根公式法：如果有兩個(gè)根X1，X2，那么

　　2、教學(xué)實(shí)例：學(xué)案示例

　　3、課堂練習：學(xué)案作業(yè)

　　4、課堂：

　　5、板書(shū)：

　　6、課堂作業(yè)：學(xué)案作業(yè)

　　7、教學(xué)反思：

因式分解教案6

　　第十五章 整式的乘除與因式分解

　　根據定義，我們不難得出a+b+c、t-5、3x+5+2z、 ab-3.12r2、x2+2x+18都是多項式．請分別指出它們的項和次數．

　　15．1．2 整式的加減

　�。�3）x－（1－2x＋x2）+（－1－x2） （4）（8x－3x2）－5x－2（3x－2x2）

　　四、提高練習：

　　1、已知A＝a2＋b2－c2，B＝－4a2＋2b2＋3c2，并且A＋B＋C＝0，問(wèn)C是什么樣的多項式？

　　2、設A＝2x2－3x＋2－x＋2，B＝4x2－6x＋22－3x－，若│x－2a│＋（＋3）2＝0，且B－2A＝a，求A的值。

　　3、已知有理數a、b、c在數軸上（0為數軸原點(diǎn)）的對應點(diǎn)如圖：

　　試化簡(jiǎn)：│a│－│a＋b│＋│c－a│＋│b＋c│

　　小 結：要善于在圖形變化中發(fā)現規律，能熟練的對整式加減進(jìn)行運算。

　　作 業(yè)：課本P14習題1.3：1（2）、（3）、（6），2。

　　《課堂感悟與探究》

因式分解教案7

　　學(xué)習目標

　　1、學(xué)會(huì )用平方差公式進(jìn)行因式法分解

　　2、學(xué)會(huì )因式分解的而基本步驟.

　　學(xué)習重難點(diǎn)重點(diǎn)：

　　用平方差公式進(jìn)行因式法分解.

　　難點(diǎn)：

　　因式分解化簡(jiǎn)的過(guò)程

　　自學(xué)過(guò)程設計教學(xué)過(guò)程設計

　看一看

　平方差公式：

　　平方差公式的逆運用：

　　做一做：

　1.填空題.

　　(1)25a2-_______=(5a+2b)(5a-2b);(2)x2-=(x-)(________).

　　(3)-a2+b2=(b+a)(________);(4)36x2-81y2=9(_______)(_______).

　　2.把下列各式分解因式結果為-(x-2y)(x+2y)的多項式是()

　　A.x2-4yB.x2+4y2C.-x2+4y2D.-x2-4y2

　　3.多項式-1+0.04a2分解因式的結果是()

　　A.(-1+0.2a)2B.(1+0.2a)(1-0.2a)

　　C.(0.2a+1)(0.2a-1)D.(0.04a+1)(0.04a-1)

　　4.把下列各式分解因式：

　　(1)4x2-25y2;(2)0.81m2-n2;

　　(3)a3-9a;(4)8x3y3-2xy.

　　5.把下列各式分解因式：

　　(1)(3a+2b)2-(a-b)2;(2)4(x+2y)2-25(x-y)2.

　　6.用簡(jiǎn)便方法計算：3492-2512.

　　想一想

　你還有哪些地方不是很懂?請寫(xiě)出來(lái)。

　　____________________________________________________________________________________

　　Xkb1.com預習展示一：

　　1、下列多項式能否用平方差公式分解因式?

　　說(shuō)說(shuō)你的理由。

　　4x2+y2

　　4x2-(-y)2

　　-4x2-y2-4x2+y2

　　a2-4a2+3

　　2.把下列各式分解因式：

　　(1)16-a2

　　(2)0.01s2-t2

　　(4)-1+9x2

　　(5)(a-b)2-(c-b)2

　　(6)-(x+y)2+(x-2y)2

　　應用探究：

　1、分解因式

　　4x3y-9xy3

　　變式：把下列各式分解因式

　�、賦4-81y4

　�、�2a-8a

　　2、從前有一位張老漢向地主租了一塊“十字型”土地(尺寸如圖)。為便于種植，他想換一塊相同面積的長(cháng)方形土地。同學(xué)們，你能幫助張老漢算出這塊長(cháng)方形土地的長(cháng)和寬嗎?w

　　3、在日常生活中如上網(wǎng)等都需要密碼.有一種因式分解法產(chǎn)生的密碼方便記憶又不易破譯.

　　例如用多項式x4-y4因式分解的結果來(lái)設置密碼,當取x=9,y=9時(shí),可得一個(gè)六位數的密碼“018162”.你想知道這是怎么來(lái)的嗎?

　　小明選用多項式4x3-xy2，取x=10,y=10時(shí)。用上述方法產(chǎn)生的密碼是什么?(寫(xiě)出一個(gè)即可)

　　拓展提高：

若n為整數，則(2n+1)2-(2n-1)2能被8整除嗎?請說(shuō)明理由.

　　教后反思考察利用公式法因式分解的題目不會(huì )很難，但是需要學(xué)生記住公式的形式，之后利用公式把式子進(jìn)行變形，從而達到進(jìn)行因式分解的目的。

因式分解教案8

　　因式分解

　　教材分析

　　因式分解是進(jìn)行代數式恒等變形的重要手段之一，因式分解是在學(xué)習整式四則運算的基礎上進(jìn)行的，它不僅僅在多項式的除法、簡(jiǎn)便運算中等有直接的應用，也為以后學(xué)習分式的約分與通分、解方程（組）及三解函數式的恒等變形帶給了必要的基礎，因此學(xué)好因式分解對于代數知識的后續學(xué)習，具有相當重要的好處。由于本節課后學(xué)習提取公因式法，運用公式法，分組分解法來(lái)進(jìn)行因式分解，務(wù)必以理解因式分解的概念為前提，所以本節資料的重點(diǎn)是因式分解的概念。由整式乘法尋求因式分解的方法是一種逆向思維過(guò)程，而逆向思維對初一學(xué)生還比較生疏，理解起來(lái)有必須難度，再者本節還沒(méi)涉及因式分解的具體方法，所以理解因式分解與整式乘法的相互關(guān)系，并運用它們之間的相互關(guān)系尋求因式分解的方法是教學(xué)中的難點(diǎn)。

　　教學(xué)目標

　　認知目標：（1）理解因式分解的概念和好處

　�。�2）認識因式分解與整式乘法的相互關(guān)系——相反變形，并會(huì )運用它們之間的相互關(guān)系尋求因式分解的方法。

　　潛力目標：由學(xué)生自行探求解題途徑，培養學(xué)生觀(guān)察、分析、決定潛力和創(chuàng )新潛力，發(fā)展學(xué)生智能，深化學(xué)生逆向思維潛力和綜合運用潛力。

　　情感目標：培養學(xué)生理解矛盾的對立統一觀(guān)點(diǎn)，獨立思考，勇于探索的精神和實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度。

　　目標制定的思想

　　1．目標具體化、明確化，從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，具有針對性和可行性，同時(shí)便于上課操作，便于檢測和及時(shí)反饋。

　　2．課堂教學(xué)體現潛力立意。

　　3．寓德育教育于教學(xué)之中。

　　教學(xué)方法

　　1．采用以設疑探究的引課方式，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，提高學(xué)生的學(xué)習興趣和學(xué)習用心性。

　　2．把因式分解概念及其與整式乘法的關(guān)系作為主線(xiàn)，訓練學(xué)生思維，以設疑——感知——概括——運用為教學(xué)程序，充分遵循學(xué)生的認知規律，使學(xué)生能順利地掌握重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，提高潛力。

　　3．在課堂教學(xué)中，引導學(xué)生體會(huì )知識的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，堅持啟發(fā)式，鼓勵學(xué)生充分地動(dòng)腦、動(dòng)口、動(dòng)手，用心參與到教學(xué)中來(lái)，充分體現了學(xué)生的主動(dòng)性原則。

　　4．在充分尊重教材的前提下，融教材練習、想一想于教學(xué)過(guò)程中，增設了由淺入深、各不相同卻又緊密相關(guān)的訓練題目，為學(xué)生順利掌握因式分解概念及其與整式乘法關(guān)系創(chuàng )造了有利條件。

　　5．改變傳統言傳身教的方式，利用計算機輔助教學(xué)手段進(jìn)行教學(xué)，增大教學(xué)的容量和直觀(guān)性，提高教學(xué)效率和教學(xué)質(zhì)量。

　　教學(xué)過(guò)程安排

　　一、提出問(wèn)題，創(chuàng )設情境

　　問(wèn)題：看誰(shuí)算得快？（計算機出示問(wèn)題）

　�。�1）若a=101，b=99，則a2—b2=（a+b）（a—b）=（101+99）（101—99）=400

　�。�2）若a=99，b=—1，則a2—2ab+b2=（a—b）2=（99+1）2=10000

　�。�3）若x=—3，則20x2+60x=20x（x+3）=20x（—3）（—3+3）=0

　　二、觀(guān)察分析，探究新知

　�。�1）請每題想得最快的同學(xué)談思路，得出最佳解題方法（同時(shí)計算機出示答案）

　�。�2）觀(guān)察：a2—b2=（a+b）（a—b）①的左邊是一個(gè)什么式子？右邊又是什么形式？

　　a2—2ab+b2=（a—b）2②

　　20x2+60x=20x（x+3）③

　�。�3）類(lèi)比小學(xué)學(xué)過(guò)的因數分解概念，（例42=2×3×7④）得出因式分解概念。

　　板書(shū)課題：§7。1因式分解

　　1．因式分解概念：把一個(gè)多項式化成幾個(gè)整式的積的形式叫做因式分解，也叫分解因式。

　　三、獨立練習，鞏固新知

　　練習

　　1．下列由左邊到右邊的變形，哪些是因式分解？哪些不是？為什么？（計算機演示）

　�、伲▁+2）（x—2）=x2—4

　�、趚2—4=（x+2）（x—2）

　�、踑2—2ab+b2=（a—b）2

　�、�3a（a+2）=3a2+6a

　�、�3a2+6a=3a（a+2）

　�、辺2—4+3x=（x—2）（x+2）+3x

　�、遦2++2=（k+）2

　�、鄕—2—1=（x—1+1）（x—1—1）

　�、�18a3bc=3a2b·6ac

　　2．因式分解與整式乘法的關(guān)系：

　　因式分解

　　結合：a2—b2=========（a+b）（a—b）

　　整式乘法

　　說(shuō)明：從左到右是因式分解其特點(diǎn)是：由和差形式（多項式）轉化成整式的積的形式；從右到左是整式乘法其特點(diǎn)是：由整式積的形式轉化成和差形式（多項式）。

　　結論：因式分解與整式乘法正好相反。

　　問(wèn)題：你能利用因式分解與整式乘法正好相反這一關(guān)系，舉出幾個(gè)因式分解的例子嗎？

　�。ㄈ纾河桑▁+1）（x—1）=x2—1得x2—1=（x+1）（x—1）

　　由（x+2）（x—1）=x2+x—2得x2+x—2=（x+2）（x—1）等等）

　　四、例題教學(xué)，運用新知：

　　例：把下列各式分解因式：（計算機演示）

　�。�1）am+bm（2）a2—9（3）a2+2ab+b2

　�。�4）2ab—a2—b2（5）8a3+b6

　　練習2：填空：（計算機演示）

　�。�1）∵2xy=2x2y—6xy2

　　∴2x2y—6xy2=2xy

　�。�2）∵xy=2x2y—6xy2

　　∴2x2y—6xy2=xy

　�。�3）∵2x=2x2y—6xy2

　　∴2x2y—6xy2=2x

　　五、強化訓練，掌握新知：

　　練習3：把下列各式分解因式：（計算機演示）

　�。�1）2ax+2ay（2）3mx—6nx（3）x2y+xy2

　�。�4）x2+—x（5）x2—0。01（6）a3—1

　�。ㄗ寣W(xué)生上來(lái)板演）

　　六、變式訓練，擴展新知（計算機演示）

　　1。若x2+mx—n能分解成（x—2）（x—5），則m=，n=

　　2．機動(dòng)題：（填空）x2—8x+m=（x—4），且m=

　　七、整理知識，構成結構（即課堂小結）

　　1．因式分解的概念因式分解是整式中的一種恒等變形

　　2．因式分解與整式乘法是兩種相反的恒等變形，也是思維方向相反的兩種思維方式，因此，因式分解的思維過(guò)程實(shí)際也是整式乘法的逆向思維的過(guò)程。

　　3．利用2中關(guān)系，能夠從整式乘法探求因式分解的結果。

　　4．教學(xué)中滲透對立統一，以不變應萬(wàn)變的辯證唯物主義的思想方法。

　　八、布置作業(yè)

　　1．作業(yè)本（一）中§7。1節

　　2．選做題：①x2+x—m=（x+3），且m=。

　�、趚2—3x+k=（x—5），且k=。

　　評價(jià)與反饋

　　1．透過(guò)由學(xué)生自己得出因式分解概念及其與整式乘法的關(guān)系的結論，了解學(xué)生觀(guān)察、分析問(wèn)題的潛力和逆向思維潛力及創(chuàng )新潛力。發(fā)現問(wèn)題，及時(shí)反饋。

　　2．透過(guò)例題及練習，了解學(xué)生對概念的理解程度和實(shí)際運用潛力，最大限度地讓學(xué)生暴露問(wèn)題和認知誤差，及時(shí)發(fā)現和彌補教與學(xué)中的遺漏和不足，從而及時(shí)調控教與學(xué)。

　　3．透過(guò)機動(dòng)題，了解學(xué)生對概念的熟練程度和思維的靈敏性、深刻性、廣闊性及探研創(chuàng )造潛力，及時(shí)評價(jià)，及時(shí)矯正。

　　4．透過(guò)課后作業(yè)，了解學(xué)生對知識的掌握狀況與綜合運用知識及靈活運用知識的潛力，教師及時(shí)批閱，及時(shí)反饋講評，同時(shí)對個(gè)別學(xué)生面批作業(yè)，能夠更及時(shí)、更準確地了解學(xué)生思維發(fā)展的狀況，矯正的針對性更強。

　　5．透過(guò)課堂小結，了解學(xué)生對概念的熟悉程度和歸納概括潛力、語(yǔ)言表達潛力、知識運用潛力，教師恰當地給予引導和啟迪。

　　6．課堂上反饋信息除了語(yǔ)言和練習外，學(xué)生神情也是信息來(lái)源，而且這些信息更真實(shí)。學(xué)生神態(tài)、表情、坐姿都反映出學(xué)生對教師教學(xué)資料的理解和理解程度。教師應用心捕捉學(xué)生在知識掌握、思維發(fā)展、潛力培養等各方面全方位的反饋信息，隨時(shí)評價(jià)，及時(shí)矯正，隨時(shí)調節教學(xué)。

因式分解教案9

　　一、背景介紹

　　因式分解是代數式中的重要內容，它與前一章整式和后一章分式聯(lián)系極為密切。因式分解的教學(xué)是在整式四則運算的基礎上進(jìn)行的，因式分解方法的理論依據就是多項式乘法的逆變形。它不僅在多項式的除法、簡(jiǎn)便運算中有直接的應用，也為以后學(xué)習分式的約分與通分、解方程（組）及三角函數式的恒等變形提供了必要的基礎。因此，學(xué)好因式分解對于代數知識的后續學(xué)習，具有相當重要的意義。

　　二、教學(xué)設計

　　【教學(xué)內容分析】

　　因式分解的概念是把一個(gè)多項式化成幾個(gè)整式的積的形式，它是因式分解方法的理論基礎，也是本章中一個(gè)重要概念。教材在引入中是結合剪紙拼圖來(lái)闡述這一概念的，也可以與小學(xué)數學(xué)里因數分解的概念類(lèi)比予以說(shuō)明。在教學(xué)時(shí)對因式分解這一概念不宜要求學(xué)生一次徹底了解，應該在講授因式分解的三種基本方法時(shí)，結合具體例題的分解過(guò)程和分解結果，說(shuō)明這一概念的意義，以達到逐步了解這一概念的教學(xué)目的。

　　【教學(xué)目標】

　　1、認知目標：（1）理解因式分解的概念和意義

　�。�2）認識因式分解與整式乘法的相互關(guān)系——相反變形，并會(huì )運用它們之間的相互關(guān)系尋求因式分解的方法。

　　2、能力目標：由學(xué)生自行探求解題途徑，培養學(xué)生觀(guān)察、分析、判斷能力和創(chuàng )新能力，發(fā)展學(xué)生智能，深化學(xué)生逆向思維能力和綜合運用能力。

　　3、情感目標：培養學(xué)生接受矛盾的對立統一觀(guān)點(diǎn)，獨立思考，勇于探索的精神和實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度。

　　【教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)】

　　重點(diǎn)是因式分解的概念，難點(diǎn)是理解因式分解與整式乘法的相互關(guān)系，并運用它們之間的相互關(guān)系尋求因式分解的方法。

　　【教學(xué)準備】

　　實(shí)物投影儀、多媒體輔助教學(xué)。

　　【教學(xué)過(guò)程】

　�、�、情境導入

　　看誰(shuí)算得快：（搶答）

　　(1)若a=101,b=99,則a2-b2=___________；

　　(2)若a=99,b=-1,則a2-2ab+b2=____________；

　　(3)若x=-3,則20x2+60x=____________。

　　【初一年級學(xué)生活波好動(dòng)，好表現，爭強好勝。情境導入借助搶答的方式進(jìn)行，引進(jìn)競爭機制，可以使學(xué)生在參與的過(guò)程中提高興趣，并增強競爭意識和探究欲望�！�

　�、�、探究新知

　　1、請每題答得最快的同學(xué)談思路，得出最佳解題方法。（多媒體出示答案）(1)a2-b2=(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=400；

　　(2)a2-2ab+b2=(a-b) 2=(99+1)2 =10000；

　　(3)20x2+60x=20x（x+3）=20x(-3)(-3+3)=0。

　　【“與其拉馬喝水，不如讓它口渴”。探索最佳解題方法的過(guò)程，就是學(xué)生“口渴”的地方。由此引起學(xué)生的求知欲�！�

　　2、觀(guān)察：a2-b2=(a+b)(a-b) ，

　　a2-2ab+b2 = (a-b)2 ，

　　20x2+60x=20x(x+3)，找出它們的特點(diǎn)。(等式的左邊是一個(gè)什么式子，右邊又是什么形式？)

　　【利用教師的主導作用，把學(xué)生的無(wú)意識的觀(guān)察轉變?yōu)橛幸庾R的觀(guān)察，同時(shí)教師應鼓勵學(xué)生大膽描述自己的觀(guān)察結果，并及時(shí)予以肯定�！�

　　3、類(lèi)比小學(xué)學(xué)過(guò)的因數分解概念，得出因式分解概念。（學(xué)生概括，老師補充。）

　　【讓學(xué)生自己概括出所感知的知識內容，有利于學(xué)生在實(shí)踐中感悟知識的生成過(guò)程，培養學(xué)生的語(yǔ)言表達能力�！�

　　板書(shū)課題：§6.1因式分解

　　因式分解概念：把一個(gè)多項式化成幾個(gè)整式的積的形式叫做因式分解，也叫分解因式。

　�、�、前進(jìn)一步

　　1、讓學(xué)生繼續觀(guān)察：(a+b)(a-b)= a2-b2 ,

　　(a-b)2= a2-2ab+b2，

　　20x(x+3)= 20x2+60x,它們是什么運算？與因式分解有何關(guān)系？它們有何聯(lián)系與區別？

　�。ㄒ�注意讓學(xué)生區分因式分解與整式乘法的區別，防止學(xué)生出現在進(jìn)行因式分解當中，半路又做乘法的錯誤。）

　　【注重數學(xué)知識間的聯(lián)系，給學(xué)生提供探索與交流的空間，讓學(xué)生經(jīng)歷數學(xué)知識的生成過(guò)程，由學(xué)生發(fā)現整式乘法與因式分解的相互關(guān)系，培養學(xué)生觀(guān)察、分析問(wèn)題的能力和逆向思維能力及創(chuàng )新能力�！�

　　2、因式分解與整式乘法的關(guān)系：

　　因式分解

　　結合：a2-b2=========（a+b）（a-b）

　　整式乘法

　　說(shuō)明：從左到右是因式分解其特點(diǎn)是：由和差形式（多項式）轉化成整式的積的形式；從右到左是整式乘法其特點(diǎn)是：由整式積的形式轉化成和差形式（多項式）。

　　結論：因式分解與整式乘法的相互關(guān)系——相反變形。（多媒體展示學(xué)生得出的成果）

　�、�、鞏固新知

　　1、 下列代數式變形中，哪些是因式分解？哪些不是？為什么？

　　(1)x2-3x+1=x(x-3)+1 ；

　　(2)(m＋n)(a＋b)＋(m＋n)(x＋y)＝(m＋n)(a＋b＋x＋y)；

　　(3)2m(m-n)=2m2-2mn；

　　(4)4x2-4x+1=(2x-1)2；

　　(5)3a2+6a=3a（a+2）；

　　(6)x2-4+3x=（x-2）（x+2）+3x；

　　(7)k2+ +2=（k+ ）2；

　　(8)18a3bc=3a2b?6ac。

　　【針對學(xué)生易犯的錯誤，制造認知沖突，讓學(xué)生充分暴露錯誤，然后通過(guò)分析、討論，達到理解的效果�！�

　　2、你能寫(xiě)出整式相乘（其中至少一個(gè)是多項式）的兩個(gè)例子，并由此得到相應的兩個(gè)多項式的因式分解嗎？把結果與你的同伴交流。

　　【學(xué)生出題熱情、積極性高，因初一學(xué)生好表現，因而能激發(fā)學(xué)生學(xué)習興趣，激活學(xué)生的思維�！�

　�、�、應用解釋

　　例 檢驗下列因式分解是否正確：

　　(1)x2y-xy2=xy(x-y)；

　　(2)2x2-1=(2x+1)(2x-1)；

　　(3)x2+3x+2=(x+1)(x+2).

　　分析：檢驗因式分解是否正確，只要看等式右邊幾個(gè)整式相乘的積與右邊的多項式是否相等。

　　練習 計算下列各題，并說(shuō)明你的算法：(請學(xué)生板演)

　　(1)872+87×13

　　(2)1012-992

　�、�、思維拓展

　　1.若 x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5),則m= ,n=

　　2．機動(dòng)題：（填空）x2-8x+m=(x-4)( ),且m=

　　【進(jìn)一步拓展學(xué)生在數學(xué)領(lǐng)域內的視野，增強學(xué)生對數學(xué)的興趣，使學(xué)生從小熱衷于數學(xué)的學(xué)習和探索。通過(guò)機動(dòng)題，了解學(xué)生對概念的熟練程度和思維的靈敏性、深刻性、廣闊性及探研創(chuàng )造能力，及時(shí)評價(jià)，及時(shí)矯正�！�

　�、�、課堂回顧

　　今天這節課，你學(xué)到了哪些知識？有哪些收獲與感受？說(shuō)出來(lái)大家分享。

　　【課堂小結交給學(xué)生， 讓學(xué)生總結本節課中概念的發(fā)現過(guò)程，運用概念分析問(wèn)題的過(guò)程，養成學(xué)生學(xué)習——總結——學(xué)習的良好習慣。唯有總結反思，才能控制思維操作，才能促進(jìn)理解，提高認知水平，從而促進(jìn)數學(xué)觀(guān)點(diǎn)的形成和發(fā)展，更好地進(jìn)行知識建構，實(shí)現良性循環(huán)�！�

　�、�、布置作業(yè)

　　教科書(shū)第153的作業(yè)題。

　　【設計思想】

　　葉圣陶先生曾說(shuō)過(guò)課堂教學(xué)的最高藝術(shù)是看學(xué)生，而不是看教師，看學(xué)生能否在課堂中煥發(fā)生命的活力。因此本教學(xué)是按“投疑——感知——概括——鞏固、應用和拓展”的敘述模式呈現教學(xué)內容的，這種呈現方式符合七年級學(xué)生的認知規律和學(xué)習規律，使學(xué)生從被動(dòng)的學(xué)習到主動(dòng)探索和發(fā)現的轉化中感受到學(xué)習與探索的樂(lè )趣。本堂課先采用以設疑探究的引課方式，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，提高學(xué)生的學(xué)習興趣和學(xué)習積極性，再把因式分解概念及其與整式乘法的關(guān)系作為主線(xiàn)，訓練學(xué)生思維，使學(xué)生能順利地掌握重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，提高能力。并在課堂教學(xué)中，引導學(xué)生體會(huì )知識的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，堅持啟發(fā)式的教學(xué)方法，鼓勵學(xué)生充分地動(dòng)腦、動(dòng)口、動(dòng)手，積極參與到教學(xué)中來(lái)，充分體現了學(xué)生的主動(dòng)性原則。并改變了傳統的言傳身教的方式，恰當地運用了現代教育技術(shù)，展現了一個(gè)平等、互動(dòng)的民主課堂。

因式分解教案10

　　15．1．1 整式

　　教學(xué)目標

　　1．單項式、單項式的定義．

　　2．多項式、多項式的次數．

　　3、理解整式概念．

　　教學(xué)重點(diǎn)

　　單項式及多項式的有關(guān)概念．

　　教學(xué)難點(diǎn)

　　單項式及多項式的有關(guān)概念．

　　教學(xué)過(guò)程

　�、瘢�提出問(wèn)題，創(chuàng )設情境

　　在七年級，我們已經(jīng)學(xué)習了用字母可以表示數，思考下列問(wèn)題

　　1．要表示△ABC的周長(cháng)需要什么條件？要表示它的面積呢？

　　2．小王用七小時(shí)行駛了Skm的路程，請問(wèn)他的平均速度是多少？

　　結論：

　　1、要表示△ABC的周長(cháng)，需要知道它的各邊邊長(cháng)．要表示△ABC的面積需要知道一條邊長(cháng)和這條邊上的高．如果設BC=a，AC=b，AB=c．AB邊上的高為h，那么△ABC的周長(cháng)可以表示為a+b+c；△ABC的面積可以表示為 ?c?h．

　　2．小王的平均速度是 ．

　　問(wèn)題：這些式子有什么特征呢？

　�。�1）有數字、有表示數字的字母．

　�。�2）數字與字母、字母與字母之間還有運算符號連接．

　　歸納：用基本的運算符號（運算包括加、減、乘、除、乘方與開(kāi)方）把數和表示數的字母連接起來(lái)的式子叫做代數式．

　　判斷上面得到的三個(gè)式子：a+b+c、 ch、 是不是代數式？（是）

　　代數式可以簡(jiǎn)明地表示數量和數量的關(guān)系．今天我們就來(lái)學(xué)習和代數式有關(guān)的整式．

　�、颍�明確和鞏固整式有關(guān)概念

　�。ǔ鍪就队埃�

　　結論：（1）正方形的周長(cháng)：4x．

　�。�2）汽車(chē)走過(guò)的路程：vt．

　�。�3）正方體有六個(gè)面，每個(gè)面都是正方形，這六個(gè)正方形全等，所以它的表面積為6a2；正方體的體積為長(cháng)×寬×高，即a3．

　�。�4）n的相反數是－n．

　　分析這四個(gè)數的特征．

　　它們符合代數式的定義．這五個(gè)式子都是數與字母或字母與字母的積，而a+b+c、 ch、 中還有和與商的運算符號．還可以發(fā)現這五個(gè)代數式中字母指數各不相同，字母的個(gè)數也不盡相同．

　　請同學(xué)們閱讀課本P160～P161單項式有關(guān)概念．

　　根據這些定義判斷4x、vt、6a2、a3、-n、a+b+c、 ch、 這些代數式中，哪些是單項式？是單項式的，寫(xiě)出它的系數和次數．

　　結論:4x、vt、6a2、a3、-n、 ch是單項式．它們的系數分別是4、1、6、1、-1、 ．它們的次數分別是1、2、2、3、1、2．所以4x、-n都是一次單項式；vt、6a2、 ch都是二次單項式；a3是三次單項式．

　　問(wèn)題:vt中v和t的指數都是1，它不是一次單項式嗎？

　　結論:不是．根據定義，單項式vt中含有兩個(gè)字母，所以它的次數應該是這兩個(gè)字母的指數的和，而不是單個(gè)字母的指數，所以vt是二次單項式而不是一次單項式．

　　生活中不僅僅有單項式，像a+b+c，它不是單項式，和單項式有什么聯(lián)系呢？

　　寫(xiě)出下列式子（出示投影）

　　結論:（1）t-5．（2）3x+5y+2z．

　�。�3）三角尺的面積應是直角三角形的面積減去圓的面積，即 ab-3.12r2．

　�。�4）建筑面積等于四個(gè)矩形的面積之和．而右邊兩個(gè)已知矩形面積分別為3×2、4×3，所以它們的面積和是18．于是得這所住宅的建筑面積是x2+2x+18．

　　我們可以觀(guān)察下列代數式：

　　a+b+c、t-5、3x+5y+2z、 ab-3.12r2、x2+2x+18．發(fā)現它們都是由單項式的和組成的式子．是多個(gè)單項式的和，能不能叫多項式？

　　這樣推理合情合理．請看投影，熟悉下列概念．

　　根據定義，我們不難得出a+b+c、t-5、3x+5y+2z、 ab-3.12r2、x2+2x+18都是多項式．請分別指出它們的項和次數．

　　a+b+c的項分別是a、b、c．

　　t-5的項分別是t、-5，其中-5是常數項．

　　3x+5y+2z的項分別是3x、5y、2z．

　　ab-3.12r2的項分別是 ab、-3.12r2．

　　x2+2x+18的項分別是x2、2x、18． 找多項式的次數應抓住兩條，一是找準每個(gè)項的次數，二是取每個(gè)項次數的最大值．根據這兩條很容易得到這五個(gè)多項式中前三個(gè)是一次多項式，后兩個(gè)是二次多項式．

　　這節課，通過(guò)探究我們得到單項式和多項式的有關(guān)概念，它們可以反映變化的世界．同時(shí)，我們也到符號的魅力所在．我們把單項式與多項式統稱(chēng)為整式．

　�、螅�隨堂練習

　　1．課本P162練習

　�、簦�課時(shí)小結

　　通過(guò)探究，我們了解了整式的概念．理解并掌握單項式、多項式的有關(guān)概念是本節的重點(diǎn)，特別是它們的次數．在現實(shí)情景中進(jìn)一步理解了用字母表示數的意義，發(fā)展符號感．

　�、酰�課后作業(yè)

　　1．課本P165～P166習題15．1─1、5、8、9題．

　　2．預習“整式的加減”．

　　課后作業(yè)：《課堂感悟與探究》

　　15．1．2 整式的加減（1）

　　教學(xué)目的：

　　1、解字母表示數量關(guān)系的過(guò)程，發(fā)展符號感。

　　2、會(huì )進(jìn)行整式加減的運算，并能說(shuō)明其中的算理，發(fā)展有條理的思考及語(yǔ)言表達能力。

　　教學(xué)重點(diǎn)：

　　會(huì )進(jìn)行整式加減的運算，并能說(shuō)明其中的算理。

　　教學(xué)難點(diǎn)：

　　正確地去括號、合并同類(lèi)項，及符號的正確處理。

　　教學(xué)過(guò)程：

　　一、課前練習：

　　1、填空：整式包括 和

　　2、單項式 的系數是 、次數是

　　3、多項式 是 次 項式，其中二次項

　　系數是 一次項是 ，常數項是

　　4、下列各式，是同類(lèi)項的一組是（ ）

　�。ˋ） 與 （B） 與 （C） 與

　　5、去括號后合并同類(lèi)項：

　　二、探索練習：

　　1、如果用a 、b分別表示一個(gè)兩位數的十位數字和個(gè)位數字，那么這個(gè)兩位數可以表示為 交換這個(gè)兩位數的十位數字和個(gè)位數字后得到的兩位數為

　　這兩個(gè)兩位數的和為

　　2、如果用a 、b、c分別表示一個(gè)三位數的百位數字、十位數字和個(gè)位數字，那么這個(gè)三位數可以表示為 交換這個(gè)三位數的百位數字和個(gè)位數字后得到的三位數為

　　這兩個(gè)三位數的差為

　　●議一議：在上面的兩個(gè)問(wèn)題中，分別涉及到了整式的什么運算？

　　說(shuō)說(shuō)你是如何運算的？

　　▲整式的加減運算實(shí)質(zhì)就是

　　運算的結果是一個(gè)多項式或單項式。

　　三、鞏固練習：

　　1、填空：（1） 與 的差是

　�。�2）、單項式 、 、 、 的和為

　�。�3）如圖所示，下面為由棋子所組成的三角形，

　　一個(gè)三角形需六個(gè)棋子，三個(gè)三角形需

　�。� ）個(gè)棋子，n個(gè)三角形需 個(gè)棋子

　　2、計算：

　�。�1）

　�。�2）

　�。�3）

　　3、（1）求 與 的和

　　(2)求 與 的差

　　4、先化簡(jiǎn)，再求值： 其中

　　四、提高練習：

　　1、若A是五次多項式，B是三次多項式，則A+B一定是

　�。ˋ）五次整式 （B）八次多項式

　�。–）三次多項式 （D）次數不能確定

　　2、足球比賽中，如果勝一場(chǎng)記3a分，平一場(chǎng)記a分，負一場(chǎng)

　　記0分，那么某隊在比賽勝5場(chǎng)，平3場(chǎng)，負2場(chǎng)，共積多

　　少分？

　　3、一個(gè)兩位數與把它的數字對調所成的數的和，一定能被14

　　整除，請證明這個(gè)結論。

　　4、如果關(guān)于字母x的二次多項式 的值與x的取值無(wú)關(guān)，

　　試求m、n的值。

　　五、小結：整式的加減運算實(shí)質(zhì)就是去括號和合并同類(lèi)項。

　　六、作業(yè)：第8頁(yè)習題1、2、3

　　15．1．2整式的加減（2）

　　教學(xué)目標：1.會(huì )進(jìn)行整式加減的運算，并能說(shuō)明其中的算理，發(fā)展有條理的思考及其語(yǔ)言表達能力。

　　2.通過(guò)探索規律的問(wèn)題，進(jìn)一步符號表示的意義，發(fā)展符號感，發(fā)展推理能力。

　　教學(xué)重點(diǎn)：整式加減的運算。

　　教學(xué)難點(diǎn)：探索規律的猜想。

　　教學(xué)方法：嘗試練習法，討論法，歸納法。

　　教學(xué)用具：投影儀

　　教學(xué)過(guò)程：

　　I探索練習：

　　擺第1個(gè)“小屋子”需要5枚棋子，擺第2個(gè)需要 枚棋子，擺第3個(gè)需要 枚棋子。按照這樣的方式繼續擺下去。

　�。�1）擺第10個(gè)這樣的“小屋子”需要 枚棋子

　�。�2）擺第n個(gè)這樣的“小屋子”需要多少枚棋子？你是如何得到的？你能用不同的方法解決這個(gè)問(wèn)題嗎？小組討論。

　　二、例題講解：

　　三、鞏固練習：

　　1、計算：

　�。�1）（14x3－2x2）＋2（x3－x2） （2）（3a2＋2a－6）－3（a2－1）

　�。�3）x－（1－2x＋x2）+（－1－x2） （4）（8xy－3x2）－5xy－2（3xy－2x2）

　　2、已知：A=x3－x2－1，B=x2－2，計算：（1）B－A （2）A－3B

　　3、列方程解應用題：三角形三個(gè)內角的和等于180°，如果三角形中第一個(gè)角等于第二個(gè)角的3倍，而第三個(gè)角比第二個(gè)角大15°，那么

　�。�1）第一個(gè)角是多少度？

　�。�2）其他兩個(gè)角各是多少度？

　　四、提高練習：

　　1、已知A＝a2＋b2－c2，B＝－4a2＋2b2＋3c2，并且A＋B＋C＝0，問(wèn)C是什么樣的多項式？

　　2、設A＝2x2－3xy＋y2－x＋2y，B＝4x2－6xy＋2y2－3x－y，若│x－2a│＋

　�。▂＋3）2＝0，且B－2A＝a，求A的值。

　　3、已知有理數a、b、c在數軸上（0為數軸原點(diǎn)）的對應點(diǎn)如圖：

　　試化簡(jiǎn)：│a│－│a＋b│＋│c－a│＋│b＋c│

　　小 結：要善于在圖形變化中發(fā)現規律，能熟練的對整式加減進(jìn)行運算。

　　作 業(yè)：課本P14習題1.3：1（2）、（3）、（6），2。

因式分解教案11

　　一、教材分析

　　1、教材的地位與作用

　　“整式的乘法”是整式的加減的后續學(xué)習從冪的運算到各種整式的乘法，整章教材都突出了學(xué)生的自主探索過(guò)程，依據原有的知識基礎，或運用乘法的各種運算規律，或借助直觀(guān)而又形象的圖形面積，得到各種運算的基本法則、兩個(gè)主要的乘法公式及因式分解的基本方法學(xué)生自己對知識內容的探索、認識與體驗，完全有利于學(xué)生形成合理的知識結構，提高數學(xué)思維能力．利用公式法進(jìn)行因式分解時(shí)，注意把握多項式的特點(diǎn)，對比乘法公式乘積結果的形式，選擇正確的分解方法。

　　因式分解是一種常用的代數式的恒等變形，因式分解是多項式乘法公式的逆向變形，它是將一個(gè)多項式變形為多項式與多項式的乘積。

　　2、教學(xué)目標

　�。�1）會(huì )推導乘法公式

　�。�2）在應用乘法公式進(jìn)行計算的基礎上，感受乘法公式的作用和價(jià)值。

　�。�3）會(huì )用提公因式法、公式法進(jìn)行因式分解。

　�。�4）了解因式分解的一般步驟。

　�。�5）在因式分解中，經(jīng)歷觀(guān)察、探索和做出推斷的過(guò)程，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

　　3、重點(diǎn)、難點(diǎn)和關(guān)鍵

　　重點(diǎn)：乘法公式的意義、分式的由來(lái)和正確運用；用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解。

　　難點(diǎn)：正確運用乘法公式；正確分解因式。

　　關(guān)鍵：正確理解乘法公式和因式分解的意義。

　　二、本單元教學(xué)的方法和策略：

　　1．注重知識形成的探索過(guò)程，讓學(xué)生在探索過(guò)程中領(lǐng)悟知識，在領(lǐng)悟過(guò)程中建構體系，從而更好地實(shí)現知識體系的更新和知識的正向遷移．

　　2．知識內容的呈現方式力求與學(xué)生已有的知識結構相聯(lián)系，同時(shí)兼顧學(xué)生的思維水平和心理特征．

　　3．讓學(xué)生掌握基本的數學(xué)事實(shí)與數學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗，減輕不必要的記憶負擔．

　　4．注意從生活中選取素材，給學(xué)生提供一些交流、討論的空間，讓學(xué)生從中體會(huì )數學(xué)的應用價(jià)值，逐步養成談數學(xué)、想數學(xué)、做數學(xué)的良好習慣．

　　三、課時(shí)安排：

　　2.1平方差公式 1課時(shí)

　　2.2完全平方公式 2課時(shí)

　　2.3用提公因式法進(jìn)行因式分解 1課時(shí)

　　2.4用公式法進(jìn)行因式分解 2課時(shí)

因式分解教案12

　　教學(xué)目標

　　1、 會(huì )運用因式分解進(jìn)行簡(jiǎn)單的'多項式除法。

　　2、 會(huì )運用因式分解解簡(jiǎn)單的方程。

　　二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：

　　教學(xué)重點(diǎn)

　　因式分解在多項式除法和解方程兩方面的應用。

　　教學(xué)難點(diǎn)：

　　應用因式分解解方程涉及較多的推理過(guò)程。

　　三、教學(xué)過(guò)程

　　（一）引入新課

　　1、 知識回顧（1） 因式分解的幾種方法： ①提取公因式法： ma+mb=m（a+b） ②應用平方差公式： = （a+b） （a—b）③應用完全平方公式：a 2ab+b =（ab） （2） 課前熱身： ①分解因式：（x +4） y — 16x y

　　（二）師生互動(dòng)，講授新課

　　1、運用因式分解進(jìn)行多項式除法例1 計算： （1） （2ab —8a b） （4a—b）（2）（4x —9） （3—2x）解：（1） （2ab —8a b）（4a—b） =—2ab（4a—b） （4a—b） =—2ab （2） （4x —9） （3—2x） =（2x+3）（2x—3） [—（2x—3）] =—（2x+3） =—2x—3

　　一個(gè)小問(wèn)題 ：這里的x能等于3/2嗎 ？為什么？

　　想一想：那么（4x —9） （3—2x） 呢？練習：課本P162課內練習

　　合作學(xué)習

　　想一想：如果已知 （ ）（ ）=0 ，那么這兩個(gè)括號內應填入怎樣的數或代數式子才能夠滿(mǎn)足條件呢？ （讓學(xué)生自己思考、相互之間討論�。┦聦�(shí)上，若AB=0 ，則有下面的結論：（1）A和B同時(shí)都為零，即A=0，且B=0（2）A和B中有一個(gè)為零，即A=0，或B=0

　　試一試：你能運用上面的結論解方程（2x+1）（3x—2）=0 嗎？3、 運用因式分解解簡(jiǎn)單的方程例2 解下列方程： （1） 2x +x=0 （2） （2x—1） =（x+2） 解：x（x+1）=0 解：（2x—1） —（x+2） =0則x=0，或2x+1=0 （3x+1）（x—3）=0原方程的根是x1=0，x2= 則3x+1=0，或x—3=0 原方程的根是x1= ，x2=3注：只含有一個(gè)未知數的方程的解也叫做根，當方程的根多于一個(gè)時(shí)，常用帶足標的字母表示，比如：x1 ，x2

　　等練習：課本P162課內練習2

　　做一做！對于方程：x+2=（x+2） ，你是如何解該方程的，方程左右兩邊能同時(shí)除以（x+2）嗎？為什么？

　　教師總結：運用因式分解解方程的基本步驟（1）如果方程的右邊是零，那么把左邊分解因式，轉化為解若干個(gè)一元一次方程；（2）如果方程的兩邊都不是零，那么應該先移項，把方程的右邊化為零以后再進(jìn)行解方程；遇到方程兩邊有公因式，同樣需要先進(jìn)行移項使右邊化為零，切忌兩邊同時(shí)除以公因式！4、知識延伸解方程：（x +4） —16x =0解：將原方程左邊分解因式，得 （x +4） —（4x） =0（x +4+4x）（x +4—4x）=0（x +4x+4）（x —4x+4）=0 （x+2） （x—2） =0接著(zhù)繼續解方程，5、 練一練 ①已知 a、b、c為三角形的三邊，試判斷 a —2ab+b —c 大于零？小于零？等于零？解： a —2ab+b —c =（a—b） —c =（a—b+c）（a—b—c）∵ a、b、c為三角形的三邊 a+c ﹥b a﹤b+c a—b+c﹥0 a—b—c ﹤0即：（a—b+c）（a—b—c） ﹤0 ，因此 a —2ab+b —c 小于零。6、 挑戰極限①已知：x=20xx，求∣4x —4x+3 ∣ —4 ∣ x +2x+2 ∣ +13x+6的值。解： ∵4x — 4x+3= （4x —4x+1）+2 = （2x—1） +2 0x +2x+2 = （x +2x+1）+1 = （x+1） +10 ∣4x —4x+3 ∣ —4 ∣ x +2x+2 ∣ +13x+6= 4x — 4x+3 —4（x +2x+2 ） +13x+6= 4x — 4x+3 —4x —8x —8+13x+6= x+1即：原式= x+1=20xx+1=20xx

　　（三）梳理知識，總結收獲因式分解的兩種應用：

　�。�1）運用因式分解進(jìn)行多項式除法

　�。�2）運用因式分解解簡(jiǎn)單的方程

　　（四）布置課后作業(yè)

　　作業(yè)本6、42、課本P163作業(yè)題（選做）

因式分解教案13

　　第1課時(shí)

　　1.使學(xué)生了解因式分解的意義,了解因式分解和整式乘法是整式的兩種相反方向的變形.

　　2.讓學(xué)生會(huì )確定多項式中各項的公因式,會(huì )用提公因式法進(jìn)行因式分解.

　　自主探索,合作交流.

　　1.通過(guò)與因數分解的類(lèi)比,讓學(xué)生感悟數學(xué)中數與式的共同點(diǎn),體驗數學(xué)的類(lèi)比思想.

　　2.通過(guò)對因式分解的教學(xué),培養學(xué)生“換元”的意識.

　　【重點(diǎn)】 因式分解的概念及提公因式法的應用.

　　【難點(diǎn)】 正確找出多項式中各項的公因式.

　　【教師準備】 多媒體.

　　【學(xué)生準備】 復習有關(guān)乘法分配律的知識.

　　導入一:

　　【問(wèn)題】 一塊場(chǎng)地由三個(gè)長(cháng)方形組成,這些長(cháng)方形的長(cháng)分別為,,,寬都是,求這塊場(chǎng)地的面積.

　　解法1:這塊場(chǎng)地的面積=×+×+×=++==2.

　　解法2:這塊場(chǎng)地的面積=×+×+×=×=×4=2.

　　從上面的解答過(guò)程看,解法1是按運算順序:先算乘法,再算加減法進(jìn)行計算的,解法2是先逆用乘法分配律,再進(jìn)行計算的,由此可知解法2要簡(jiǎn)單一些.這個(gè)事實(shí)說(shuō)明,有時(shí)我們需要將多項式化為幾個(gè)整式的積的形式,而提公因式法就是將多項式化為幾個(gè)整式的積的形式的一種方法.

　　[設計意圖] 讓學(xué)生通過(guò)利用乘法分配律的逆運算這一特殊算法,運用類(lèi)比思想自然地過(guò)渡到提公因式法的概念上,從而為提公因式法的掌握打下基礎.

　　導入二:

　　【問(wèn)題】 計算×15-×9+×2采用什么方法?依據是什么?

　　解法1:原式=-+==5.

　　解法2:原式=×(15-9+2)=×8=5.

　　解法1是按運算順序:先算乘法,再算加減法進(jìn)行計算的,解法2是先逆用乘法分配律,再進(jìn)行計算的,由此可知解法2要簡(jiǎn)單一些.這個(gè)事實(shí)說(shuō)明,有時(shí)我們需要將多項式化為幾個(gè)整式的積的形式,而提公因式法就是把多項式化為幾個(gè)整式的積的形式的一種方法.

　　[設計意圖] 讓學(xué)生通過(guò)利用乘法分配律的逆運算這一特殊算法,運用類(lèi)比思想自然地過(guò)渡到提公因式法的概念上,從而為提公因式法的掌握打下基礎.

　　一、提公因式法分解因式的概念

　　思路一

　　[過(guò)渡語(yǔ)] 上一節我們學(xué)習了什么是因式分解,那么怎樣進(jìn)行因式分解呢?我們來(lái)看下面的問(wèn)題.

　　如果一塊場(chǎng)地由三個(gè)長(cháng)方形組成,這三個(gè)長(cháng)方形的長(cháng)分別為a,b,c,寬都是,那么這塊場(chǎng)地的面積為a+b+c或(a+b+c),可以用等號來(lái)連接,即:a+b+c=(a+b+c).

　　大家注意觀(guān)察這個(gè)等式,等式左邊的每一項有什么特點(diǎn)?各項之間有什么聯(lián)系?等式右邊的項有什么特點(diǎn)?

　　分析:等式左邊的每一項都含有因式,等式右邊是與多項式a+b+c的乘積,從左邊到右邊的過(guò)程是因式分解.

　　由于是左邊多項式a+b+c中的各項a,b,c都含有的一個(gè)相同因式,因此叫做這個(gè)多項式各項的公因式.

　　由上式可知,把多項式a+b+c寫(xiě)成與多項式a+b+c的乘積的形式,相當于把公因式從各項中提出來(lái),作為多項式a+b+c的一個(gè)因式,把從多項式a+b+c的各項中提出后形成的多項式a+b+c,作為多項式a+b+c的另一個(gè)因式.

　　總結:如果一個(gè)多項式的各項含有公因式,那么就可以把這個(gè)公因式提出來(lái),從而將多項式化成兩個(gè)因式乘積的形式,這種因式分解的方法叫做提公因式法.

　　[設計意圖] 通過(guò)實(shí)例的教學(xué),使學(xué)生明白什么是公因式和用提公因式法分解因式.

　　思路二

　　[過(guò)渡語(yǔ)] 同學(xué)們,我們來(lái)看下面的問(wèn)題,看看同學(xué)們誰(shuí)先做出來(lái).

　　多項式 ab+ac中,各項都含有相同的因式嗎?多項式 3x2+x呢?多項式b2+nb-b呢?

　　結論:多項式中各項都含有的相同因式,叫做這個(gè)多項式各項的公因式.

　　多項式2x2+6x3中各項的公因式是什么?你能?chē)L試將多項式2x2+6x3因式分解嗎?

　　結論:如果一個(gè)多項式的各項含有公因式,那么就可以把這個(gè)公因式提出來(lái),從而將多項式化成兩個(gè)因式乘積的形式,這種因式分解的方法叫做提公因式法.

　　[設計意圖] 從讓學(xué)生找出幾個(gè)簡(jiǎn)單多項式的公因式,再到讓學(xué)生嘗試將多項式分解因式,使學(xué)生理解公因式以及提公因式法分解因式的概念.

　　二、例題講解

　　[過(guò)渡語(yǔ)] 剛剛我們學(xué)習了因式分解的一種方法,現在我們嘗試下利用這種方法進(jìn)行因式分解吧.

　　(教材例1)把下列各式因式分解:

　　(1)3x+x3;

　　(2)7x3-21x2;

　　(3)8a3b2-12ab3c+ab;

　　(4)-24x3+12x2-28x.

　　〔解析〕 首先要找出各項的公因式,然后再提取出來(lái).要避免提取公因式后,各項中還有公因式,即“沒(méi)提徹底”的現象.

　　解:(1)3x+x3=x3+xx2=x(3+x2).

　　(2)7x3-21x2=7x2x-7x23=7x2(x-3).

　　(3)8a3b2-12ab3c+ab

　　=ab8a2b-ab12b2c+ab1

　　=ab(8a2b-12b2c+1).

　　(4)-24x3+12x2-28x

　　=-(24x3-12x2+28x)

　　=-(4x6x2-4x3x+4x7)

　　=-4x(6x2-3x+7).

　　【學(xué)生活動(dòng)】 通過(guò)剛才的練習,大家互相交流,總結出提取公因式的一般步驟和容易出現的問(wèn)題.

　　總結:提取公因式的步驟:(1)找公因式;(2)提公因式.

　　容易出現的問(wèn)題(以本題為例):(1)第(2)題中只提出7x作為公因式;(2)第(3)題中最后一項提出ab后,漏掉了“+1”;(3)第(4)題提出“-”號時(shí),沒(méi)有把后面的因式中的每一項都變號.

　　教師提醒:

　　(1)各項都含有的字母的最低次冪的積是公因式的字母部分;

　　(2)因式分解后括號內的多項式的項數與原多項式的項數相同;

　　(3)若多項式的首項為“-”,則先提取“-”號,然后再提取其他公因式;

　　(4)將分解因式后的式子再進(jìn)行整式的乘法運算,其積應與原式相等.

　　[設計意圖] 經(jīng)歷用提公因式法進(jìn)行因式分解的過(guò)程,在教師的啟發(fā)與指導下,學(xué)生自己歸納出提公因式的步驟及提取公因式時(shí)容易出現的類(lèi)似問(wèn)題,為提取公因式積累經(jīng)驗.

　　1.提公因式法分解因式的一般形式,如:

　　a+b+c=(a+b+c).

　　這里的字母a,b,c,可以是一個(gè)系數不為1的、多字母的、冪指數大于1的單項式.

　　2.提公因式法分解因式的關(guān)鍵在于發(fā)現多項式的公因式.

　　3.找公因式的一般步驟:

　　(1)若各項系數是整系數,則取系數的最大公約數;

　　(2)取各項中相同的字母,字母的指數取最低的;

　　(3)所有這些因式的乘積即為公因式.

　　1.多項式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是( )

　　A.-6ab2cB.-ab2

　　C.-6ab2D.-6a3b2c

　　解析:根據確定多項式各項的公因式的方法,可知公因式為-6ab2.故選C.

　　2.下列用提公因式法分解因式正確的是( )

　　A.12abc-9a2b2=3abc(4-3ab)

　　B.3x2-3x+6=3(x2-x+2)

　　C.-a2+ab-ac=-a(a-b+c)

　　D.x2+5x-=(x2+5x)

　　解析:A.12abc-9a2b2=3ab(4c-3ab),錯誤;B.3x2-3x+6=3(x2-x+2),錯誤;D.x2+5x-=(x2+5x-1),錯誤.故選C.

　　3.下列多項式中應提取的公因式為5a2b的是( )

　　A.15a2b-20a2b2

　　B.30a2b3-15ab4-10a3b2

　　C.10a2b-20a2b3+50a4b

　　D.5a2b4-10a3b3+15a4b2

　　解析:B.應提取公因式5ab2,錯誤;C.應提取公因式10a2b,錯誤;D.應提取公因式5a2b2,錯誤.故選A.

　　4.填空.

　　(1)5a3+4a2b-12abc=a( );

　　(2)多項式32p2q3-8pq4的公因式是 ;

　　(3)3a2-6ab+a= (3a-6b+1);

　　(4)因式分解:+n= ;

　　(5)-15a2+5a= (3a-1);

　　(6)計算:21×3.14-31×3.14= .

　　答案:(1)5a2+4ab-12bc (2)8pq3 (3)a (4)(+n) (5)-5a (6)-31.4

　　5.用提公因式法分解因式.

　　(1)8ab2-16a3b3;

　　(2)-15x-5x2;

　　(3)a3b3+a2b2-ab;

　　(4)-3a3-6a2+12a.

　　解:(1)8ab2(1-2a2b).

　　(2)-5x(3+x).

　　(3)ab(a2b2+ab-1).

　　(4)-3a(a2+2a-4).

　　第1課時(shí)

　　一、教材作業(yè)

　　【必做題】

　　教材第96頁(yè)隨堂練習.

　　【選做題】

　　教材第96頁(yè)習題4.2.

　　二、課后作業(yè)

　　【基礎鞏固】

　　1.把多項式4a2b+10ab2分解因式時(shí),應提取的公因式是 .

　　2.(20xx淮安中考)因式分解:x2-3x= .

　　3.分解因式:12x3-18x22+24x3=6x .

　　【能力提升】

　　4.把下列各式因式分解.

　　(1)3x2-6x;

　　(2)5x23-25x32;

　　(3)-43+162-26;

　　(4)15x32+5x2-20x23.

　　【拓展探究】

　　5.分解因式:an+an+2+a2n.

　　6.觀(guān)察下列各式:12+1=1×2;22+2=2×3;32+3=3×4;….這列式子有什么規律?請你將猜想到的規律用含有字母n(n為自然數)的式子表示出來(lái).

　　【答案與解析】

　　1.2ab

　　2.x(x-3)

　　3.(2x2-3x+42)

　　4.解:(1)3x(x-2). (2)5x22(-5x). (3)-2(22-8+13). (4)5x2(3x+1-42).

　　5.解:原式=an1+ana2+anan=an(1+a2+an).

　　6.解:由題中給出的幾個(gè)式子可得出規律:n2+n=n(n+1).

　　本節運用類(lèi)比的思想方法,在新概念的提出、新知識點(diǎn)的講授過(guò)程中,使學(xué)生易于理解和掌握.如學(xué)生在接受提公因式法時(shí),由提公因數到提公因式,由整式乘法的逆運算到提公因式法的概念,都是利用了類(lèi)比的數學(xué)思想,從而使得學(xué)生接受新的概念時(shí)顯得輕松自然,容易理解.

　　在小組討論之前,應該留給學(xué)生充分的獨立思考的時(shí)間,不要讓一些思維活躍的學(xué)生的回答代替了其他學(xué)生的思考,掩蓋了其他學(xué)生的疑問(wèn).

　　由于因式分解的主要目的是對多項式進(jìn)行恒等變形,它的作用更多的是應用于多項式的計算和化簡(jiǎn),比如在以后將要學(xué)習的分式運算、解分式方程等中都要用到因式分解的知識,因此應該注重因式分解的概念和方法的教學(xué).

　　隨堂練習(教材第96頁(yè))

　　解:(1)(a+b). (2)52(+4). (3)3x(2-3). (4)ab(a-5). (5)22(2-3). (6)b(a2-5a+9). (7)-a(a-b+c). (8)-2x(x2-2x+3).

　　習題4.2(教材第96頁(yè))

　　1.解:(1)2x2-4x=2x(x-2). (2)82n+2n=2n4+2n1=2n(4+1). (3)a2x2-ax2=axax-ax=ax(ax-). (4)3x3-3x2+9x=3x(x2-x+3). (5)-24x2-12x2-283=-(24x2+12x2+283)=-4(6x2+3x+72). (6)-4a3b3+6a2b-2ab=-(4a3b3-6a2b+2ab)=-2ab(2a2b2-3a+1). (7)-2x2-12x2+8x3=-(2x2+12x2-8x3)=-2x(x+62-43). (8)-3a3+6a2-12a=-(3a3-6a2+12a)=-3a(a2-2a+4).

　　2.解:(1)++=(++)=3.14×(202+162+122)=2512. (2)∵xz-z=z(x-),∴原式=×(17.8-28.8)=×(-11)=-7. (3)∵ab=7,a+b=6,∴a2b+ab2=ab(a+b)=7×6=42.

　　3.解:(1)不正確,因為提取的公因式不對,應為n(2n--1). (2)不正確,因為提取公因式-b后,第三項沒(méi)有變號,應為-b(ab-2a+3). (3)正確. (4)不正確,因為最后的結果不是乘積的形式,應為(a-2)(a+1).

　　提公因式法是本章的第2小節,占兩個(gè)課時(shí),這是第一課時(shí),它主要讓學(xué)生經(jīng)歷從乘法分配律的逆運算到提公因式的過(guò)程,讓學(xué)生體會(huì )數學(xué)中的一種主要思想——類(lèi)比思想.運用類(lèi)比的思想方法,在新概念的提出、新知識點(diǎn)的講授過(guò)程中,可以使學(xué)生易于理解和掌握.如學(xué)生在接受提公因式法時(shí),由整式乘法的逆運算到提公因式法的概念,就利用了類(lèi)比的數學(xué)思想,從而使得學(xué)生接受新的概念時(shí)顯得輕松自然,容易理解,進(jìn)而使學(xué)生進(jìn)一步理解因式分解與整式乘法運算之間的互逆關(guān)系.

　　已知方程組求7(x-3)2-2(3-x)3的值.

　　〔解析〕 將代數式分解因式,產(chǎn)生x-3與2x+兩個(gè)因式,再根據方程組整體代入,使計算簡(jiǎn)便.

　　解:7(x-3)2-2(3-x)3

　　=(x-3)2[7+2(x-3)]

　　=(x-3)2(7+2x-6)

　　=(x-3)2(2x+).

　　由方程組可得原式=12×6=6.

因式分解教案14

　　第6.4因式分解的簡(jiǎn)單應用

　　背景材料：

　　因式分解是初中數學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)內容，也是一項重要的基本技能和基礎知識，更是一種數學(xué)的變形方法，在今后的學(xué)習中有著(zhù)重要的作用。因此，除了單純的因式分解問(wèn)題外，因式分解在解某些數學(xué)問(wèn)題中有著(zhù)廣泛的作用，因式分解在三角形中的應用，因式分解可以用來(lái)證明代數問(wèn)題，用于代數式的求值，用于求不定方程，用于解應用題解決有關(guān)復雜數值的計算，本節課的例題因式分解在數學(xué)題中的簡(jiǎn)單應用。

　　教材分析：

　　本節課是本章的最后一節，是學(xué)生學(xué)習因式分解初步應用，首先要使學(xué)生體會(huì )到因式分解在數學(xué)中應用，其次給學(xué)生提供更多機會(huì )體驗主動(dòng)學(xué)習和探索的“過(guò)程”與“經(jīng)歷”，使多數學(xué)里擁有一定問(wèn)題解決的經(jīng)驗。

　　教學(xué)目標：

　　1、在整除的情況下，會(huì )應用因式分解，進(jìn)行多項式相除。

　　2、會(huì )應用因式分解解簡(jiǎn)單的一元二次方程。

　　3、體驗數學(xué)問(wèn)題中的矛盾轉化思想。

　　4、培養觀(guān)察和動(dòng)手能力，自主探索與合作交流能力。

　　教學(xué)重點(diǎn)：

　　學(xué)會(huì )應用因式分解進(jìn)行多項式除法和解簡(jiǎn)單一元二次方程。

　　教學(xué)難點(diǎn)：

　　應用因式分解解簡(jiǎn)單的一元二次方程。

　　設計理念：

　　根據本節課的內容特點(diǎn)，主要采用師生合作控討式課堂教學(xué)方法，以教師為主導，學(xué)生為主體，動(dòng)手實(shí)踐訓練為主線(xiàn)，創(chuàng )新思維為核心，態(tài)度情感能力為目標，引導學(xué)生自主探索，動(dòng)手實(shí)踐，合作交流。注重使學(xué)生經(jīng)辦觀(guān)察、操作、推理等探索過(guò)程。這種教學(xué)理念，反映了時(shí)代精神，有利于提高學(xué)生的數學(xué)素養，能有效地激發(fā)學(xué)生的思維積極性，學(xué)生在學(xué)習過(guò)程中調動(dòng)各種感官，進(jìn)行觀(guān)察與抽象、操作與思考、自主與交流等，進(jìn)而改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習方法。

　　教學(xué)過(guò)程：

　　一、創(chuàng )設情境，復習提問(wèn)

　　1、將正式各式因式分解

　�。�1）（a+b）2－10（a+b）+25 （2）－xy+2x2y+x3y

　�。�3）2 a2b－8a2b （4）4x2－9

　　[四位同學(xué)到黑板上演板，本課時(shí)用復習“練習引入”也不失為一種好方法，既先復習因式分解的提取分因式和公式法，又為下面解決多項式除法運算作鋪墊]

　　教師訂正

　　提出問(wèn)題：怎樣計算（2 a2b－8a2b）÷（4a－b）

　　二、導入新課，探索新知

　�。ㄏ茸寣W(xué)生思考上面所提出的問(wèn)題，教師從旁啟發(fā)）

　　師：如果出現豎式計算，教師可以給予肯定；可能出現（2 a2b－8a2b）÷（4a－b）= ab－8a2追問(wèn)學(xué)生怎么得來(lái)的，運算的依據是什么？這樣暴露學(xué)生的思維，讓學(xué)生自己發(fā)現錯誤之處；觀(guān)察2 a2b－8a2b=2 ab（b－4a），其中一個(gè)因式正好是除式4a－b的相反數，如果用“換元”思想，我們就可以把問(wèn)題轉化為單項式除以單項式。

　�。�2 a2b－8a2b）÷（4a－b）

　　=－2ab（4a－b）÷（4a－b）

　　=－2ab

　�。ㄗ寣W(xué)生自己比較哪種方法好）

　　利用上面的數學(xué)解題思路，同學(xué)們嘗試計算

　�。�4x2－9）÷（3－2x）

　　學(xué)生總結解題步驟：1、因式分解；2、約去公因式）

　�。ㄈ�體學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦，然后叫學(xué)生回答，及時(shí)表?yè)P，講練結合， [運用多項式的因式分解和換元的思想，可以把兩個(gè)多項式相除，轉化為單項式的除法]

　　練習計算

　�。�1）（a2－4）÷（a+2）

　�。�2）（x2+2xy+y2）÷（x+y）

　�。�3）[(a－b)2+2（b－a）] ÷（a－b）

　　三、合作學(xué)習

　　1、以四人為一組討論下列問(wèn)題

　　若A?B=0，下面兩個(gè)結論對嗎？

　�。�1）A和B同時(shí)都為零，即A=0且B=0

　�。�2）A和B至少有一個(gè)為零即A=0或B=0

　　[合作學(xué)習，四個(gè)小組討論，教師逐步引導，讓學(xué)生講自己的想法，及解題步驟，培養語(yǔ)言表達能力，體會(huì )運用因式分解的實(shí)際運用作用，增加學(xué)習興趣]

　　2、你能用上面的結論解方程

　�。�1）（2x+3）（2x－3）=0 （2）2x2+x=0

　　解：

　　∵（2x+3）（2x－3）=0

　　∴2x+3=0或2x－3=0

　　∴方程的解為x=－3/2或x=3/2

　　解：x（2x+1）=0

　　則x=0或2x+1=0

　　∴原方程的解是x1=0，x2=-1/2

　　[讓學(xué)生先獨立完成，再組織交流，最后教師針對性地講解，讓學(xué)生總結步驟：1、移項，使方程一邊變形為零；2、等式左邊因式分解；3、轉化為解一元一次方程]

　　3、練習，解下列方程

　�。�1）x2－2x=0 4x2=（x－1）2

　　四、小結

　�。�1）應用因式分解和換元思想可以把某些多項式除法轉化為單項式除法。

　�。�2）如果方程的等號一邊是零，另一邊含有未知數x的多項式可以分解成若干個(gè)x的一次式的積，那么就可以應用因式分解把原方程轉化成幾個(gè)一元一次方程來(lái)解。

　　設計理念：

　　根據本節課的內容特點(diǎn)，主要采用師生合作討論式課堂教學(xué)方法，以教師為主導，學(xué)生為主體，動(dòng)手實(shí)踐訓練為主線(xiàn)，創(chuàng )新思維為核心，態(tài)度情感能力為目標，引導學(xué)生自主探索，動(dòng)手實(shí)踐，合作交流。注重使學(xué)生經(jīng)辦觀(guān)察、操作、推理等探索過(guò)程。這種教學(xué)理念，反映了時(shí)代精神，有利于提高學(xué)生的數學(xué)素養，能有效地激發(fā)學(xué)生的思維積極性，學(xué)生在學(xué)習過(guò)程中調動(dòng)各種感官，進(jìn)行觀(guān)察與抽象、操作與思考、自主與交流等，進(jìn)而改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習方法。

因式分解教案15

　　教學(xué)目標：運用平方差公式和完全平方公式分解因式，能說(shuō)出平方差公式和完全平方公式的特點(diǎn)，會(huì )用提公因式法與公式法分解因式．培養學(xué)生的觀(guān)察、聯(lián)想能力，進(jìn)一步了解換元的思想方法．并能說(shuō)出提公因式在這類(lèi)因式分解中的作用，能靈活應用提公因式法、公式法分解因式以及因式分解的標準．

　　教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：1．平方差公式；2．完全平方公式；3．靈活運用3種方法.

　　教學(xué)過(guò)程：

　　一、提出問(wèn)題，得到新知

　　觀(guān)察下列多項式：x24和y225

　　學(xué)生思考，教師總結：

　　(1)它們有兩項，且都是兩個(gè)數的平方差；(2)會(huì )聯(lián)想到平方差公式.

　　公式逆向：a2b2=(a+b)(ab)

　　如果多項式是兩數差的形式，并且這兩個(gè)數又都可以寫(xiě)成平方的形式，那么這個(gè)多項式可以運用平方差公式分解因式.

　　二、運用公式

　　例1：填空

　�、�4a2=()2②b2=()2③0.16a4=()2

　�、�1.21a2b2=()2⑤2x4=()2⑥5x4y2=()2

　　解答：①4a2=(2a)2；②b2=(b)2③0.16a4=(0.4a2)2

　�、�1.21a2b2=(1.1ab)2⑤2x4=(x2)2⑥5x4y2=(x2y)2

　　例2：下列多項式能否用平方差公式進(jìn)行因式分解

　�、�1.21a2+0.01b2②4a2+625b2③16x549y4④4x236y2

　　解答：①1.21a2+0.01b2能用

　�、�4a2+625b2不能用

　�、�16x549y4不能用

　�、�4x236y2不能用

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