數學(xué)教案－直線(xiàn)的傾斜角和斜率
作為一名教職工，就難以避免地要準備教案，編寫(xiě)教案有利于我們準確把握教材的重點(diǎn)與難點(diǎn)，進(jìn)而選擇恰當的教學(xué)方法。那么什么樣的教案才是好的呢？以下是小編幫大家整理的數學(xué)教案－直線(xiàn)的傾斜角和斜率，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。
教學(xué)目標
�。�1）了解直線(xiàn)方程的概念．
�。�2）正確理解直線(xiàn)傾斜角和斜率概念．理解每條直線(xiàn)的傾斜角是唯一的，但不是每條直線(xiàn)都存在斜率．
�。�3）理解公式的推導過(guò)程，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率公式．
�。�4）通過(guò)直線(xiàn)傾斜角概念的引入和直線(xiàn)傾斜角與斜率關(guān)系的揭示，培養學(xué)生觀(guān)察、探索能力，運用數學(xué)語(yǔ)言表達能力，數學(xué)交流與評價(jià)能力．
�。�5）通過(guò)斜率概念的建立和斜率公式的推導，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解數形結合思想，培養學(xué)生樹(shù)立辯證統一的觀(guān)點(diǎn)，培養學(xué)生形成嚴謹的科學(xué)態(tài)度和求簡(jiǎn)的數學(xué)精神．
教學(xué)建議
1．教材分析
�。�1）知識結構
本節內容首先根據一次函數與其圖像——直線(xiàn)的關(guān)系導出直線(xiàn)方程的概念；其次為進(jìn)一步研究直線(xiàn)，建立了直線(xiàn)傾斜角的概念，進(jìn)而建立直線(xiàn)斜率的概念，從而實(shí)現了直線(xiàn)的方向或者說(shuō)直線(xiàn)的傾斜角這一直線(xiàn)的幾何屬性向直線(xiàn)的斜率這一代數屬性的轉變；最后推導出經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率公式．這些充分體現了解析幾何的思想方法．
�。�2）重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
�、俦竟澋闹攸c(diǎn)是斜率的概念和斜率公式．直線(xiàn)的斜率是后繼內容展開(kāi)的主線(xiàn)，無(wú)論是建立直線(xiàn)的方程，還是研究?jì)蓷l直線(xiàn)的位置關(guān)系，以及討論直線(xiàn)與二次曲線(xiàn)的位置關(guān)系，直線(xiàn)的斜率都發(fā)揮著(zhù)重要作用．因此，正確理解斜率概念，熟練掌握斜率公式是學(xué)好這一章的關(guān)鍵．
�、诒竟澋碾y點(diǎn)是對斜率概念的理解．學(xué)生對于用直線(xiàn)的傾斜角來(lái)刻畫(huà)直線(xiàn)的方向并不難接受，但是，為什么要定義直線(xiàn)的斜率，為什么把斜率定義為傾斜角的正切兩個(gè)問(wèn)題卻并不容易接受．
2．教法建議
�。�1）本節課的教學(xué)任務(wù)有三大項：傾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式．學(xué)生思維也對應三個(gè)高潮：傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式如何建立．相應的教學(xué)過(guò)程也有三個(gè)階段
�、僭诮虒W(xué)中首先是創(chuàng )設問(wèn)題情境，然后通過(guò)討論明確用角來(lái)刻畫(huà)直線(xiàn)的方向，如何定義這個(gè)角呢，學(xué)生在討論中逐漸明確傾斜角的概念．
�、诒竟澋碾y點(diǎn)是對斜率概念的理解．學(xué)生認為傾斜角就可以刻畫(huà)直線(xiàn)的方向，而且每一條直線(xiàn)的傾斜角是唯一確定的，而斜率卻不這樣．學(xué)生還會(huì )認為用弧度制表示傾斜角不是一樣可以數量化嗎．再有，為什么要用傾斜角的正切定義斜率，而不用正弦、余弦或余切哪?要解決這些問(wèn)題，就要求教師幫助學(xué)生認識到在直線(xiàn)的方程中體現的不是直線(xiàn)的傾斜角，而是傾斜角的正切，即直線(xiàn)方程（一次函數的形式，下同）中x的系數恰好就是直線(xiàn)傾斜角的正切．為了便于學(xué)生更好的理解直線(xiàn)斜率的概念，可以借助幾何畫(huà)板設計：
(1) α變化→直線(xiàn)變化→中的系數變化（同時(shí)注意的變化）．
(2)中的系數變化→直線(xiàn)變化→α變化（同時(shí)注意的變化）．
運用上述正反兩種變化的動(dòng)態(tài)演示充分揭示直線(xiàn)方程中系數與傾斜角正切的內在關(guān)系，這對幫助學(xué)生理解斜率概念是極有好處的．
�、墼谶M(jìn)行過(guò)兩點(diǎn)的斜率公式推導的教學(xué)中要注意與前后知識的聯(lián)系，課前要對平面向量，三角函數等有關(guān)內容作一定的復習準備．
�、茉�學(xué)習直線(xiàn)方程的概念時(shí)要通過(guò)舉例清晰地指出兩個(gè)條件，最好能用充要條件敘述直線(xiàn)方程的概念，強化直線(xiàn)與相應方程的對應關(guān)系．為將來(lái)學(xué)習曲線(xiàn)方程做好準備．
�。�2）本節內容在教學(xué)中宜采用啟發(fā)引導法和討論法，設計為啟發(fā)、引導、探究、評價(jià)的教學(xué)模式．學(xué)生在積極思維的基礎上，進(jìn)行充分的討論、爭辯、交流、和評價(jià)．傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式的建立，這三項教學(xué)任務(wù)都是在討論、交流、評價(jià)中完成的．在此過(guò)程中學(xué)生的思維和能力得到充分的發(fā)展．教師的任務(wù)是創(chuàng )設問(wèn)題情境，引發(fā)爭論，組織交流，參與評價(jià)．
教學(xué)設計示例
直線(xiàn)的傾斜角和斜率
教學(xué)目標：
�。�1）了解直線(xiàn)方程的概念，正確理解直線(xiàn)傾斜角和斜率概念，
�。�2）理解公式的推導過(guò)程，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率公式．
�。�3）培養學(xué)生觀(guān)察、探索能力，運用數學(xué)語(yǔ)言表達能力，數學(xué)交流與評價(jià)能力．
�。�4）幫助學(xué)生進(jìn)一步理解數形結合思想，培養學(xué)生樹(shù)立辯證統一的觀(guān)點(diǎn)，培養學(xué)生形成嚴謹的科學(xué)態(tài)度和求簡(jiǎn)的數學(xué)精神．
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：直線(xiàn)斜率的概念和公式
教學(xué)用具：計算機
教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)引導法，討論法
教學(xué)過(guò)程：
�。ㄒ唬┲本�(xiàn)方程的概念
如圖1，對于一次函數，和它的圖像——直線(xiàn)有下面關(guān)系：
�。�1）有序數對（0，1）滿(mǎn)足函數，則直線(xiàn)上就有一點(diǎn)A，它的坐標是（0，1）．
�。�2）反過(guò)來(lái)，直線(xiàn)上點(diǎn)B（1，3），則有序實(shí)數對（1，3）就滿(mǎn)足．
一般地，滿(mǎn)足函數式的每一對，的值，都是直線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標（，）；
反之，直線(xiàn)上每一點(diǎn)的坐標（，）都滿(mǎn)足函數式，因此，一次函數的圖象是一條直線(xiàn)，它是以滿(mǎn)足的每一對x，y的值為坐標的點(diǎn)構成的．
從方程的角度看，函數也可以看作是二元一次方程，這樣滿(mǎn)足一次函數的每一對，的值“變成了”二元一次方程的解，使方程和直線(xiàn)建立了聯(lián)系．
定義：以一個(gè)方程的解為坐標的點(diǎn)都是某條直線(xiàn)上的點(diǎn)，反過(guò)來(lái)，這條直線(xiàn)上的所有點(diǎn)坐標都是這個(gè)方程的解，這時(shí)，這個(gè)方程就叫做這條直線(xiàn)的方程，這條直線(xiàn)就叫做這個(gè)方程的直線(xiàn)．
以上定義改用集合表述：，的二元一次方程的解為坐標的集合，記作．若（1）（2），則．
問(wèn)：你能用充要條件敘述嗎？
答：一條直線(xiàn)是一個(gè)方程的直線(xiàn)，或者說(shuō)這個(gè)方程是這條直線(xiàn)的方程的充要條件是……．
�。ǘ┲本�(xiàn)的傾斜角
【問(wèn)題1】
請畫(huà)出以下三個(gè)方程所表示的直線(xiàn)，并觀(guān)察它們的異同．
過(guò)定點(diǎn)，方向不同．
如何確定一條直線(xiàn)？
兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)．
還有其他方法嗎？或者說(shuō)如果只給出一點(diǎn)，要確定這條直線(xiàn)還應增加什么條件？
學(xué)生：思考、回憶、回答：這條直線(xiàn)的.方向，或者說(shuō)傾斜程度．
【導入】
今天我們就共同來(lái)研究如何刻畫(huà)直線(xiàn)的方向．
【問(wèn)題2】
在坐標系中的一條直線(xiàn)，我們用怎樣的角來(lái)刻畫(huà)直線(xiàn)的方向呢？討論之前我們可以設想這個(gè)角應該是怎樣的呢？它不僅能解決我們的問(wèn)題，同時(shí)還應該是簡(jiǎn)單的、自然的．
學(xué)生：展開(kāi)討論．
學(xué)生討論過(guò)程中會(huì )有錯誤和不嚴謹之處，教師注意引導．
通過(guò)討論認為：應選擇α角來(lái)刻畫(huà)直線(xiàn)的方向．根據三角函數的知識，表明一個(gè)方向可以有無(wú)窮多個(gè)角，這里只需一個(gè)角即可（開(kāi)始時(shí)可能有學(xué)生認為有四個(gè)角或兩個(gè)角），當然用最小的正角．從而得到直線(xiàn)傾斜角的概念．
【板書(shū)】
定義：一條直線(xiàn)l向上的方向與軸的正方向所成的最小正角叫做直線(xiàn)的傾斜角．
�。ń處煆娬{三點(diǎn)：（1）直線(xiàn)向上的方向，（2）軸的正方向，（3）最小正角．）
特別地，當與軸平行或重合時(shí)，規定傾斜角為0°．
由此定義，角的范圍如何？
0°≤α＜180°或0≤α＜π如圖3
至此問(wèn)題2已經(jīng)解決了，回顧一下是怎么解決的．
�。ㄈ┲本�(xiàn)的斜率
【問(wèn)題3】
下面我們在同一坐標系中畫(huà)出過(guò)原點(diǎn)傾斜角分別是30°、45°、135°的直線(xiàn)，并試著(zhù)寫(xiě)出它們的直線(xiàn)方程．然后觀(guān)察思考：
直線(xiàn)的傾斜角在直線(xiàn)方程中是如何體現的？
學(xué)生：在練習本上畫(huà)出直線(xiàn)，寫(xiě)出方程．
30° --à＝
45° --à＝
135°--à＝
�。ㄗⅲ簩W(xué)生對于寫(xiě)出傾斜角是45°、135°的直線(xiàn)方程不會(huì )困難，但對于傾斜角是30°可能有困難，此時(shí)可啟發(fā)學(xué)生借用三角函數中的30°角終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標來(lái)解決．）
【演示動(dòng)畫(huà)】
觀(guān)察直線(xiàn)變化，傾斜角變化，直線(xiàn)方程中系數變化的關(guān)系
(1)直線(xiàn)變化→α變化→中的系數變化（同時(shí)注意α的變化）．
(2)中的x系數k變化→直線(xiàn)變化→α變化（同時(shí)注意α的變化）．
教師引導學(xué)生觀(guān)察，歸納，猜想出傾斜角與的系數的關(guān)系：傾斜角不同，方程中的系數不同，而且這個(gè)系數正是傾斜角的正切！
【板書(shū)】
定義：傾斜角不是90°的直線(xiàn)，它的傾斜角的正切叫做這條直線(xiàn)的斜率．記作，即．
這樣我們定義了一個(gè)從“形”的方面刻畫(huà)直線(xiàn)相對于軸（正方向）傾斜程度的量——傾斜角，現在我們又定義一個(gè)從“數”的方面刻畫(huà)直線(xiàn)相對于軸（正方向）傾斜程度的量——斜率．
指出下列直線(xiàn)的傾斜角和斜率：
(2)＝tg60° (3)＝tg(-30°)
學(xué)生思考后回答，師生一起訂正：（1）120°；（2）60°；(3)150°(為什么不是-30°呢？)
畫(huà)圖，指出傾斜角和斜率．
結合圖3（也可以演示動(dòng)畫(huà)），觀(guān)察傾斜角變化時(shí)，斜率的變化情況．
注意：當傾斜角為90°時(shí)，斜率不存在．
α＝0° --à＝0
0°＜α＜90° --à＞0
α＝90° --à不存在
90°＜α＜180°--à＜0
�。ㄋ模┲本�(xiàn)過(guò)兩點(diǎn)斜率公式的推導
【問(wèn)題4】
如果給定直線(xiàn)的傾斜角，我們當然可以根據斜率的定義＝tgα求出直線(xiàn)的斜率；
如果給定直線(xiàn)上兩點(diǎn)坐標，直線(xiàn)是確定的，傾斜角也是確定的，斜率就是確定的，那么又怎么求出直線(xiàn)的斜率呢？
即已知兩點(diǎn)P1(x1，y1)、P2(x2，y2)（其中x1≠x2），求直線(xiàn)P1P2的斜率．
思路分析：
首先由學(xué)生提出思路，教師啟發(fā)、引導：
運用正切定義，解決問(wèn)題．
(1)正切函數定義是什么？（終邊上任一點(diǎn)的縱坐標比橫坐標．）
(2)角α是“標準位置”嗎？（不是．）
(3)如何把角α放在“標準位置”？（平移向量，使P1與原點(diǎn)重合，得到新向量．）
(4)P的坐標是多少？（x2-x1，y2-y1）
(5)直線(xiàn)的斜率是多少？＝tgα=（x1≠x2）
(6)如果P1和P2的順序不同，結果還一樣嗎？（一樣）．
評價(jià)：注意公式中x1≠x2，即直線(xiàn)P1 P2不垂直x軸．因此當直線(xiàn)P1P2不垂直x軸時(shí)，由已知直線(xiàn)上任意兩點(diǎn)的坐標可以求得斜率，而不需要求出傾斜角．
【練習】
(1)直線(xiàn)的傾斜角為α，則直線(xiàn)的斜率為α？
(2)任意直線(xiàn)有傾斜角，則任意直線(xiàn)都有斜率？
(3)直線(xiàn)(-330°)的傾斜角和斜率分別是多少？
(4)求經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(0，0)、 (-1，)直線(xiàn)的傾斜角和斜率．
(5)課本第37頁(yè)練習第2、4題．
教師巡視，觀(guān)察學(xué)生情況，個(gè)別輔導，訂正答案（答案略）．
【總結】
教師引導：首先回顧前邊提出的問(wèn)題是否都已解決．再看下邊的問(wèn)題：
(1)直線(xiàn)傾斜角的概念要注意什么？
(2)直線(xiàn)的傾斜角與斜率是一一對應嗎？
(3)已知兩點(diǎn)坐標，如何求直線(xiàn)的斜率？斜率公式中腳標1和2有順序嗎？
學(xué)生邊討論邊總結：
(1)向上的方向，正方向，最小，正角．(2)不是，當α=90°時(shí)，α不存在．
【作業(yè)】
1．課本第37頁(yè)習題7．1第3、4、5題．
2．思考題
�。�1）方程是單位圓的方程嗎？
�。�2）你能說(shuō)出過(guò)原點(diǎn)，傾斜角是45°的直線(xiàn)方程嗎？
�。�3）你能說(shuō)出過(guò)原點(diǎn)，斜率是2的直線(xiàn)方程嗎？
�。�4）你能說(shuō)出過(guò)（1，1）點(diǎn)，斜率是2的直線(xiàn)方程嗎？
板書(shū)設計
7．1直線(xiàn)的傾斜角和斜率
一、直線(xiàn)方程
二、直線(xiàn)的傾斜角
三、直線(xiàn)的斜率
四、斜率公式
練習
小結
作業(yè)
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