數學(xué)教案設計：二次函數y=ax2+bx+c 的圖象
教學(xué)目標：
1、使學(xué)生進(jìn)一步理解二次函數的基本性質(zhì)；
2、滲透解析幾何，數形結合，函數等數學(xué)思想.培養學(xué)生發(fā)現問(wèn)題解決問(wèn)題，及邏輯思維的能力.
3、使學(xué)生參與教學(xué)過(guò)程，通過(guò)主體的積極思維，體驗感悟數學(xué).逐步建立數學(xué)的觀(guān)念，培養學(xué)生獨立地獲取知識的能力.
教學(xué)重點(diǎn)：初步理解數形結合的數學(xué)思想
教學(xué)難點(diǎn)：初步理解數形結合的數學(xué)思想
教學(xué)用具：微機
教學(xué)方法：探究式、小組合作學(xué)習
教學(xué)過(guò)程：
例1、已知：拋物線(xiàn)y=x2－（m2－1）x－2m2－2
�、徘笞C：無(wú)論m取什么實(shí)數，拋物線(xiàn)與x軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)
�、苖取什么實(shí)數時(shí)，兩交點(diǎn)間距離最短？是多少？
解：
△ =(m2－1)2＋4(2m2＋2)
=m4－2m2＋1＋8m2＋8
=m4＋6m2＋9
=(m2＋3)2
m2≥0
∴m2＋3＞0
∴△＞0
∴拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)
問(wèn)題：為什么說(shuō)當△＞0時(shí)，拋物線(xiàn)y =ax2+bx+c與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).（能否從數和形兩方面說(shuō)明）
設計意圖：在課堂上創(chuàng )設讓學(xué)生說(shuō)數學(xué)的機會(huì )，學(xué)會(huì )合作學(xué)習，以達到①經(jīng)驗共享，在思維的碰撞中共同提高.②學(xué)會(huì )合作，消除個(gè)人中心.③發(fā)現自我，提高參與度.④弘揚個(gè)體的主體性，形成健康，豐富的個(gè)性.
數：點(diǎn)在曲線(xiàn)上，點(diǎn)的坐標滿(mǎn)足曲線(xiàn)的方程.反之，曲線(xiàn)方程的.每一個(gè)實(shí)數解對應的點(diǎn)都在曲線(xiàn)上.拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)，既在拋物線(xiàn)上，又在x軸上.所以交點(diǎn)的坐標既滿(mǎn)足拋物線(xiàn)的解析式，也滿(mǎn)足x軸的解析式.設交點(diǎn)坐標為（x，y）
∴
這樣交點(diǎn)問(wèn)題就轉化成求這個(gè)二元二次方程組的解.代入y =0，消去y，轉化成ax2+bx+c=0這個(gè)一元二次方程求根問(wèn)題.根據以前學(xué)過(guò)的知識，當△＞0時(shí)， ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根.∴y =ax2+bx+c
y =0
有兩個(gè)不等的實(shí)數解
∴拋物線(xiàn)與ｘ軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn).
形：頂點(diǎn)在ｘ軸上方，且開(kāi)口向下.或者頂點(diǎn)在ｘ軸下方，且開(kāi)口向上.
設計意圖：滲透解析幾何的基本思想
使學(xué)生掌握轉化思想使學(xué)生在解題過(guò)程中，感知數學(xué)的直觀(guān)性和形式化這二重性.掌握數形結合，分類(lèi)討論的思想方法.逐步學(xué)會(huì )數學(xué)的思維.
轉化成代數語(yǔ)言為：
小結：第一種方法，根據解析幾何的基本思想.將求曲線(xiàn)的交點(diǎn)問(wèn)題，轉化成求方程組的解的問(wèn)題.
第二種方法，借助于圖象思考問(wèn)題，比較直觀(guān).發(fā)現規律后，再用數學(xué)的符號語(yǔ)言將其形式化.這既體現了數學(xué)中的數形結合的思想方法，也是探索解數學(xué)問(wèn)題的一般方法.
思考：試從數、形兩方面說(shuō)明拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數與判別 式的符號的關(guān)系.
設計意圖：數學(xué)學(xué)習是一個(gè)再創(chuàng )造的過(guò)程，不能等同于數學(xué)知識的匯集，而要讓學(xué)生經(jīng)歷數學(xué)知識的創(chuàng )造過(guò)程.使主體積極地參與到學(xué)習中去.以數學(xué)知識為載體，揭示出蘊涵于其中的數學(xué)思想方法，逐步形成數學(xué)觀(guān)念.
�、苖取什么實(shí)數時(shí),兩交點(diǎn)間距離最短?是多少?
解：設二次函數與x軸的兩交點(diǎn)為(x1,0)，(x2,0)
解法㈠ 由⑴可知m為任何實(shí)數時(shí), 都有△＞0
解①
∴ x1＋x2=m2－1
x1·x2=－2(m2＋1)
∴│x2－x1│=
=
=
=
=m2＋3
∴當m =0時(shí),兩交點(diǎn)最小距離為3
這里兩交點(diǎn)間距離是m的函數
設計意圖：培養學(xué)生的問(wèn)題意識.在解題過(guò)程中，發(fā)現問(wèn)題，并能運用已有的數學(xué)知識，將其一般化，形式化，解決問(wèn)題，體會(huì )數學(xué)問(wèn)題解決的一般方法.培養學(xué)生獨立地獲取數學(xué)知識的能力.滲透函數思想
問(wèn)題： 觀(guān)察本題兩交點(diǎn)間距離與判別式的值之間有何異同？具有一般的規律嗎？如何說(shuō)明.
設x1、x2 為ax2+bx+c =0的兩根
可以推出：
還可以理解為頂點(diǎn)到x軸距離最短.
設計意圖：在對比、分析中，明確概念，揭示知識間的聯(lián)系，幫助學(xué)生建立良好的認知結構.
小結：觀(guān)察這道題的結論，我們猜測出規律，將其一般化，推導出這個(gè)公式，這是學(xué)習數學(xué)知識的一般方法.
解法㈡：用十字相乘法或求根公式法求根.
思考：一元二次方程與二次函數的關(guān)系.
思考：求m取什么實(shí)數時(shí)，y =x2－（m2－1）x －2 m2－2被直線(xiàn)y =2所截得的線(xiàn)段最短？是多少？
練習：
觀(guān)察函數 的圖象，回答：
�。�1）y>0時(shí)，x的取值范圍如何？
�。�2）y=0時(shí)，x取什么值？
�。�1）y<0時(shí)，x的取值范圍如何？
小結：數與形是數學(xué)中相互依賴(lài)的兩個(gè)方面.圖形比較直觀(guān)，可以啟發(fā)思路；而數學(xué)的嚴格證明也是必不可少的.直觀(guān)性和形式化是數學(xué)的兩重性.
探究活動(dòng)
探究問(wèn)題：
欣欣日用品零售商店，從某公司批發(fā)部每月按銷(xiāo)售合同以批發(fā)單價(jià)每把8元購進(jìn)雨傘（數量至少為100把），欣欣商店根據銷(xiāo)售記錄，這批雨傘以零售單價(jià)每把為14元出售時(shí)，月銷(xiāo)售量為100把，數學(xué)教案－二次函數y=ax2+bx+c 的圖象，初中數學(xué)教案《數學(xué)教案－二次函數y=ax2+bx+c 的圖象》。如果零售單價(jià)每降價(jià)0.1元 , 月銷(xiāo)售量就要增加5把.
(1) 欣欣日用品零售商店以零售單價(jià)14元出售時(shí)，一個(gè)月的利潤為多少元？
(2) 欣欣日用品零售商店為了擴大銷(xiāo)售記錄,現實(shí)行降價(jià)銷(xiāo)售,問(wèn)分別降價(jià)0.2元、0.8元、1.2元、1.6元、2.4元、3元時(shí)的利潤是多少？
(3) 欣欣日用品零售商店實(shí)行降價(jià)銷(xiāo)售后，問(wèn)降價(jià)多少元時(shí)利潤最大？最大利潤為多少元？
(4) 現在該公司的批發(fā)部為了再次擴大這種雨傘的銷(xiāo)售量，給零售商制定如下優(yōu)惠措施：如果零售商每月從批發(fā)部購進(jìn)雨傘的數量超過(guò)100把，其超過(guò)100把的部分每把按原價(jià)九五折（即百分之95）付費，但零售價(jià)每把不能低于10元。欣欣日用品零售商店應將這種雨傘的零售單價(jià)定為每把多少元出售時(shí)，才能使這種雨傘的月銷(xiāo)售利潤最大？最大月銷(xiāo)售利潤是多少元？（銷(xiāo)售利潤=銷(xiāo)售款額—進(jìn)貨款額）
解：（1）（14—8） （元）
�。�2）638元、728元、748元、792元、792元、750元。
�。�3）設降價(jià) 元時(shí)利潤最大，最大利潤為 元
=
=
=
∴ 當 時(shí)， 有最大值
元
�。�4）設降價(jià) 元時(shí)利潤最大，利潤為 元
�。ㄆ渲� ）。
化簡(jiǎn)，得 。
，
∴ 當 時(shí)， 有最大值。
∴ 。
數學(xué)教案－二次函數y=ax2+bx+c 的圖象
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