高二微積分學(xué)習方法
一、學(xué)習高等數學(xué)，首先要理解知識間的必然聯(lián)系，在頭腦中形成一個(gè)知識網(wǎng)絡(luò )。
《高等數學(xué)》(一)微積分教材共有八章，涉及極限、微分、積分、級數、微分方程等方方面面的知識，需要理解、記憶、掌握、熟練運用大量的定理與公式。這就要求學(xué)習者在學(xué)習的過(guò)程中，理清思路，弄清整本教材的脈絡(luò )。
該課程的核心是微積分，圍繞這一核心，需要了解作為微積分研究對象的一元函數和多元函數的概念。極限理論和方法是微積分建立，無(wú)窮級數學(xué)習的基礎，因而極限論成為重要的基礎內容。而微分方程則是微積分的一個(gè)應用，它與微積分有著(zhù)密切的聯(lián)系。從這些方面來(lái)看，雖然函數、極限、微分、積分、無(wú)窮級數、微分方程各自有各自的特點(diǎn)，但它們又是一個(gè)密不可分的整體。為此，在學(xué)習的過(guò)程中，應該掌握好每一塊內容的重點(diǎn)和要點(diǎn)，由點(diǎn)帶動(dòng)面的學(xué)習，由局部帶動(dòng)整體的理解。
二、學(xué)習高等數學(xué)時(shí)，注意多歸納、勤總結。
歸納總結能幫助學(xué)習者將一些比較分散的知識集中起來(lái)，做到對某一方面的知識有一個(gè)全面、深入的了解，這樣在解決問(wèn)題時(shí)，頭腦中會(huì )形成更多的思路，找到更多的解題方法。
下面是對極限求法的一個(gè)歸納總結，以此說(shuō)明歸納總結的重要性，同時(shí)也希望能對學(xué)習者起到一個(gè)拋磚引玉的作用。
求數列或函數極限，是高等數學(xué)里的一類(lèi)基礎而重要的問(wèn)題。常見(jiàn)的求法歸納起來(lái)有如下幾種：
1.先估計數列或函數的極限值，而后利用定義進(jìn)行驗證，這是求極限的最基本的方法，可用于求一些簡(jiǎn)單的極限。
2.利用有限個(gè)函數的和、差、積、商以及復合函數求極限的運算法則求極限，可以使一些復雜的極限計算問(wèn)題得到簡(jiǎn)化。
3.利用無(wú)窮小的'性質(zhì)求極限。這主要包括：
�、儆邢迋�(gè)無(wú)窮小的和(差、積)仍是無(wú)窮小。
�、谟薪绾瘮蹬c無(wú)窮小的乘積仍是無(wú)窮小。
�、鄯橇銦o(wú)窮小與無(wú)窮大互為倒數。
�、艿葍r(jià)無(wú)窮小代換。當求兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限時(shí)，分子與分母都可用等價(jià)無(wú)窮小代替。正因為等價(jià)無(wú)窮小的這一性質(zhì)，所以在求極限時(shí)，可以簡(jiǎn)化計算，減少運算量，快速地解決問(wèn)題，起到事半功倍的效果。要用好此性質(zhì)，當然需要適當掌握一些等價(jià)的無(wú)窮小量。
4.兩個(gè)重要極限及其推廣形式 (這里f(x)為一自變量同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小量)。
5.利用準則I(兩邊夾法則)和準則Ⅱ(單調有界數列必有極限)求極限。
6.利用洛必達法則求0/0型，(無(wú)窮)/(無(wú)窮)型，0，無(wú)窮，無(wú)窮-無(wú)窮，0的0次方，1的無(wú)窮次方，無(wú)窮的0次方型函數極限。
需要說(shuō)明的是，求函數極限的方法很多，到底用哪一種方法簡(jiǎn)單，這需要具體問(wèn)題具體分析。有時(shí)對一個(gè)問(wèn)題，我們需要兩種或兩種以上的方法才能簡(jiǎn)便、快捷地計算出結果。同時(shí)運用洛必達法則和等價(jià)無(wú)窮小代換，可以大大減少計算量，同時(shí)也減少了出錯的可能。
三、學(xué)習高等數學(xué)，注意自始至終要做到學(xué)習與思考相結合。
整個(gè)學(xué)習的過(guò)程就是思考的過(guò)程。我們在中學(xué)就知道，“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆”的道理。這句話(huà)提醒我們只有把學(xué)習與思考結合起來(lái)，才能不斷發(fā)現問(wèn)題，有所收獲。遇到一些典型問(wèn)題要多加考慮，追根溯源，這樣不管問(wèn)題如何變化，都能做到游刃有余。
對于有些函數在高等數學(xué)里被稱(chēng)為變上、下限的積分函數。這類(lèi)函數在極限問(wèn)題和微分問(wèn)題中是常見(jiàn)的，由于該函數較為抽象，學(xué)習和理解起來(lái)難度相對來(lái)說(shuō)大一點(diǎn)。教材中已給出當積分上限為變量x時(shí)，有公式，我們可以進(jìn)一步考慮到當積分下限為變量x時(shí)，應該有對應的公式成立。再往深處思考，我們還能想到當積分上限為變量x的函數b(x)，積分下限為變量x的函數a(x)時(shí)，應該有更相對應的公式成立。通過(guò)思考若能掌握這些要點(diǎn)，那么再次遇到有關(guān)變上、下限的積分函數的問(wèn)題，都可輕松解決了。
四、學(xué)習高等數學(xué)時(shí)，還要多加注意問(wèn)題與問(wèn)題之間的聯(lián)系，做到自覺(jué)靈活地分析和解決問(wèn)題。
對于1/x的不定積分，其一個(gè)原函數為lnx，這是一個(gè)大家都很熟悉的公式，再有我們還熟知f(x)導數的不定積分=f(x)+c。如果將這兩個(gè)知識點(diǎn)聯(lián)系起來(lái)，便可組成一個(gè)求解不定積分的問(wèn)題。解決不定積分的根本出路是用公式積分，教材中列出了13個(gè)基本積分公式。但直接套用公式的積分問(wèn)題是很少的。我們所遇到的大多數問(wèn)題與積分表中所列公式存在差異，因此求解不定積分的基本方向是改變被積分的形式，從而達到能夠運用基本積分公式的目的。于是教材中列出了三種常用的基本積分法。一是直接積分法;二是換元積分法，具體地又分為第一換元法(又稱(chēng)為湊微分法)和第二換元法;三是分部積分法。積分時(shí)選用哪一種方法，這就要根據題目的特點(diǎn)來(lái)定，當然學(xué)習者平時(shí)的經(jīng)驗積累與敏銳的觀(guān)察力也是必不可少的。就此例來(lái)說(shuō)，被積函數中含有1/x和lnx，聯(lián)系它們之間的關(guān)系，我們可選用換元法中的湊微分法，將(1/x)dx寫(xiě)成d(lnx)，此類(lèi)問(wèn)題即可迎刃而解。
五、學(xué)習高等數學(xué)，日常練習是必不可少的。
通過(guò)練習，一方面可以回顧、鞏固所學(xué)知識，另一方面還可以總結解題的關(guān)鍵和思路。但做練習也要適度，不必沿襲中學(xué)的題海戰術(shù)，練習時(shí)盡量找有代表性，少而精的題目。
比如，分段函數是高等數學(xué)里一類(lèi)基礎卻重要的函數為例。所謂分段函數是指在自變量的不同變化范圍中，對應法則用不同式子來(lái)表示的一個(gè)函數。分段函數的定義雖然簡(jiǎn)單，但我們可以利用它聯(lián)系起來(lái)起很多知識。
如已知一分段函數,求:①函數的定義域;②f(1)，f(0)，f(-3/2)，f(1/2);③研究函數在間斷點(diǎn)處的連續性與可導性;④求積分f(x)在某個(gè)范圍的定積分。
通過(guò)練習此題的①②④，可以幫助我們深入理解分段函數的定義。對于③的求解，需要用到左、右連續和左、右導數的定義以及函數在某一點(diǎn)處連續和可導的充要條件。更多地，我們從中還可找出函數極限存在、連續與可導之間的密切關(guān)系�？芍^是一舉多得。
六、學(xué)習高等數學(xué)，講究循序漸進(jìn)，不可急于求成。
這是因為任何知識的學(xué)習都需要一定的消化過(guò)程，高等數學(xué)更是如此。學(xué)習者應根據自己的實(shí)際能力選擇一個(gè)適當的學(xué)習進(jìn)度。不要一味地追求速度，而忽略了學(xué)習的效果，也不要因為某一方面的問(wèn)題不能解決而放棄學(xué)習或停止不前。最好的學(xué)習方法是邊學(xué)習邊復習。不斷地學(xué)習能幫助我們吸收新的知識，而有計劃的復習能鞏固知識，深化知識，達到對知識的深入理解。在學(xué)習過(guò)程中遇到各種各樣的問(wèn)題是在所難免的，如果實(shí)在不能掌握該問(wèn)題，建議大家不妨暫時(shí)把問(wèn)題分成一系列小的問(wèn)題，然后去復習、回顧那些與此相關(guān)的基礎知識，采取各個(gè)擊破的方法排疑解難，直到最終解決該問(wèn)題。比如說(shuō)，在微分學(xué)一章中，以求多元抽象復合函數的高階導數最為困難。為了克服這一難關(guān)，學(xué)習者最好先打牢有關(guān)的基礎，如：什么是多元函數?復合函數以及多元復合函數的含義是什么?什么樣的函數為抽象函數?怎樣正確做出多元復合函數的求導鏈?如何理解多元抽象復合函數的一階導數?解決好這些問(wèn)題，會(huì )對我們掌握好多元抽象復合函數的高階導數起到關(guān)鍵的作用。
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