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[精選]函數知識點(diǎn)
在平平淡淡的學(xué)習中，大家都背過(guò)不少知識點(diǎn)，肯定對知識點(diǎn)非常熟悉吧！知識點(diǎn)是知識中的最小單位，最具體的內容，有時(shí)候也叫“考點(diǎn)”。你知道哪些知識點(diǎn)是真正對我們有幫助的嗎？以下是小編為大家整理的函數知識點(diǎn)，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。
![[精選]函數知識點(diǎn)](https://p.9136.com/00/l/d6aacab602_5fbf7ec45de25.jpg)
函數知識點(diǎn)1
一、指數函數
(一)指數與指數冪的運算
1.根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根(nthroot)，其中1，且*.
當是奇數時(shí)，正數的次方根是一個(gè)正數，負數的次方根是一個(gè)負數.此時(shí)，的次方根用符號表示.式子叫做根式(radical)，這里叫做根指數(radicalexponent)，叫做被開(kāi)方數(radicand).
當是偶數時(shí)，正數的次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數互為相反數.此時(shí)，正數的正的次方根用符號表示，負的次方根用符號-表示.正的次方根與負的次方根可以合并成(0).由此可得：負數沒(méi)有偶次方根;0的任何次方根都是0，記作。
注意：當是奇數時(shí)，，當是偶數時(shí)，
2.分數指數冪
正數的分數指數冪的意義，規定：
0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪沒(méi)有意義
指出：規定了分數指數冪的意義后，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數，那么整數指數冪的運算性質(zhì)也同樣可以推廣到有理數指數冪.
3.實(shí)數指數冪的運算性質(zhì)
(二)指數函數及其性質(zhì)
1、指數函數的概念：一般地，函數叫做指數函數(exponential)，其中x是自變量，函數的定義域為R.
注意：指數函數的底數的取值范圍，底數不能是負數、零和1.
2、指數函數的'圖象和性質(zhì)
a1
圖象特征
函數性質(zhì)
向x、y軸正負方向無(wú)限延伸
函數的定義域為R
圖象關(guān)于原點(diǎn)和y軸不對稱(chēng)
非奇非偶函數
函數圖象都在x軸上方
函數的值域為R+
函數圖象都過(guò)定點(diǎn)(0，1)
自左向右看，
圖象逐漸上升
自左向右看，
圖象逐漸下降
增函數
減函數
在第一象限內的圖象縱坐標都大于1
在第一象限內的圖象縱坐標都小于1
在第二象限內的圖象縱坐標都小于1
在第二象限內的圖象縱坐標都大于1
圖象上升趨勢是越來(lái)越陡
圖象上升趨勢是越來(lái)越緩
函數值開(kāi)始增長(cháng)較慢，到了某一值后增長(cháng)速度極快;
函數值開(kāi)始減小極快，到了某一值后減小速度較慢;
注意：利用函數的單調性，結合圖象還可以看出：
(1)在[a，b]上，值域是或;
(2)若，則;取遍所有正數當且僅當;
(3)對于指數函數，總有;
(4)當時(shí)，若，則;
二、對數函數
(一)對數
1.對數的概念：一般地，如果，那么數叫做以為底的對數，記作：(底數，真數，對數式)
說(shuō)明：1注意底數的限制，且;
2;
3注意對數的書(shū)寫(xiě)格式.
兩個(gè)重要對數：
1常用對數：以10為底的對數;
2自然對數：以無(wú)理數為底的對數的對數.
對數式與指數式的互化
對數式指數式
對數底數冪底數
對數指數
真數冪
(二)對數函數
1、對數函數的概念：函數，且叫做對數函數，其中是自變量，函數的定義域是(0，+).
注意：1對數函數的定義與指數函數類(lèi)似，都是形式定義，注意辨別。
如：，都不是對數函數，而只能稱(chēng)其為對數型函數.
2對數函數對底數的限制：，且.
2、對數函數的性質(zhì)：
a1
圖象特征
函數性質(zhì)
函數圖象都在y軸右側
函數的定義域為(0，+)
圖象關(guān)于原點(diǎn)和y軸不對稱(chēng)
非奇非偶函數
向y軸正負方向無(wú)限延伸
函數的值域為R
函數圖象都過(guò)定點(diǎn)(1，0)
自左向右看，
圖象逐漸上升
自左向右看，
圖象逐漸下降
增函數
減函數
第一象限的圖象縱坐標都大于0
第一象限的圖象縱坐標都大于0
第二象限的圖象縱坐標都小于0
第二象限的圖象縱坐標都小于0
(三)冪函數
1、冪函數定義：一般地，形如的函數稱(chēng)為冪函數，其中為常數.
2、冪函數性質(zhì)歸納.
(1)所有的冪函數在(0，+)都有定義，并且圖象都過(guò)點(diǎn)(1，1);
(2)時(shí)，冪函數的圖象通過(guò)原點(diǎn)，并且在區間上是增函數.特別地，當時(shí)，冪函數的圖象下凸;當時(shí)，冪函數的圖象上凸;
(3)時(shí)，冪函數的圖象在區間上是減函數.在第一象限內，當從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在軸右方無(wú)限地逼近軸正半軸，當趨于時(shí)，圖象在軸上方無(wú)限地逼近軸正半軸.
函數知識點(diǎn)2
反比例函數
y=k/x(k≠0)的圖象叫做雙曲線(xiàn).
當k>0時(shí)，雙曲線(xiàn)在一、三象限(在每一象限內，從左向右降);
當k<0時(shí)，雙曲線(xiàn)在二、四象限(在每一象限內，從左向右上升).
因此，它的增減性與一次函數相反.
以上對反比例函數知識點(diǎn)的講解，相信同學(xué)們能很好的掌握了，希望同學(xué)們能很好的學(xué)習知識點(diǎn)。
初中數學(xué)知識點(diǎn)總結：平面直角坐標系
下面是對平面直角坐標系的內容學(xué)習，希望同學(xué)們很好的掌握下面的內容。
平面直角坐標系
平面直角坐標系：在平面內畫(huà)兩條互相垂直、原點(diǎn)重合的數軸，組成平面直角坐標系。
水平的數軸稱(chēng)為x軸或橫軸，豎直的數軸稱(chēng)為y軸或縱軸，兩坐標軸的交點(diǎn)為平面直角坐標系的原點(diǎn)。
平面直角坐標系的要素：①在同一平面②兩條數軸③互相垂直④原點(diǎn)重合
三個(gè)規定：
�、僬较虻囊幎M軸取向右為正方向，縱軸取向上為正方向
�、趩挝婚L(cháng)度的規定;一般情況，橫軸、縱軸單位長(cháng)度相同;實(shí)際有時(shí)也可不同，但同一數軸上必須相同。
�、巯笙薜囊幎ǎ河疑蠟榈谝幌笙�、左上為第二象限、左下為第三象限、右下為第四象限。
相信上面對平面直角坐標系知識的講解學(xué)習，同學(xué)們已經(jīng)能很好的掌握了吧，希望同學(xué)們都能考試成功。
初中數學(xué)一次函數知識點(diǎn)
1、函數概念：在一個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x、y，如果對于x的每一個(gè)值，y都有惟一的值與它對應，那么就說(shuō)x是自變量，y是x的函數。
2、一次函數和正比例函數的概念
若兩個(gè)變量x，y間的關(guān)系式可以表示成y=kx+b(k，b為常數，k0)的形式，則稱(chēng)y是x的一次函數(x為自變量)，特別地，當b=0時(shí)，稱(chēng)y是x的正比例函數。
說(shuō)明：(1)一次函數的自變量的取值范圍是一切實(shí)數，但在實(shí)際問(wèn)題中要根據函數的實(shí)際意義來(lái)確定。
(2)一次函數y=kx+b(k，b為常數，b0)中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意義相同，即自變量x的次數為1，一次項系數k必須是不為零的常數，b可為任意常數。
(3)當b=0，k0時(shí)，y=b仍是一次函數。
(4)當b=0，k=0時(shí)，它不是一次函數。
3、一次函數的圖象(三步畫(huà)圖象)
由于一次函數y=kx+b(k，b為常數，k0)的圖象是一條直線(xiàn)，所以一次函數y=kx+b的圖象也稱(chēng)為直線(xiàn)y=kx+b.
由于兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)，因此在今后作一次函數圖象時(shí)，只要描出適合關(guān)系式的兩點(diǎn)，再連成直線(xiàn)即可，一般選取兩個(gè)特殊點(diǎn)：直線(xiàn)與y軸的'交點(diǎn)(0，b)，直線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)(—，0)。但也不必一定選取這兩個(gè)特殊點(diǎn)。畫(huà)正比例函數y=kx的圖象時(shí)，只要描出點(diǎn)(0，0)，(1，k)即可。
4、一次函數y=kx+b(k，b為常數，k0)的性質(zhì)(正比例函數的性質(zhì)略)
(1)k的正負決定直線(xiàn)的傾斜方向;①k>0時(shí)，y的值隨x值的增大而增大;
�、趉
(2)|k|大小決定直線(xiàn)的傾斜程度，即|k|越大，直線(xiàn)與x軸相交的銳角度數越大(直線(xiàn)陡)，|k|越小，直線(xiàn)與x軸相交的銳角度數越小(直線(xiàn)緩);
(3)b的正、負決定直線(xiàn)與y軸交點(diǎn)的'位置;
�、佼攂>0時(shí)，直線(xiàn)與y軸交于正半軸上;
�、诋攂<0時(shí)，直線(xiàn)與y軸交于負半軸上;
�、郛攂=0時(shí)，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，是正比例函數.
(4)由于k，b的符號不同，直線(xiàn)所經(jīng)過(guò)的象限也不同;
5、確定正比例函數及一次函數表達式的條件
(1)由于正比例函數y=kx(k0)中只有一個(gè)待定系數k，故只需一個(gè)條件(如一對x，y的值或一個(gè)點(diǎn))就可求得k的值.
(2)由于一次函數y=kx+b(k0)中有兩個(gè)待定系數k，b，需要兩個(gè)獨立的條件確定兩個(gè)關(guān)于k，b的方程，求得k，b的值，這兩個(gè)條件通常是兩個(gè)點(diǎn)或兩對x，y的值.
6、待定系數法
先設待求函數關(guān)系式(其中含有未知常數系數)，再根據條件列出方程(或方程組)，求出未知系數，從而得到所求結果的方法，叫做待定系數法.其中未知系數也叫待定系數.例如：函數y=kx+b中，k，b就是待定系數.
7、用待定系數法確定一次函數表達式的一般步驟
(1)設函數表達式為y=kx+b;
(2)將已知點(diǎn)的坐標代入函數表達式，解方程(組);
(3)求出k與b的值，得到函數表達式.
8、本章思想方法
(1)函數方法。函數方法就是用運動(dòng)、變化的觀(guān)點(diǎn)來(lái)分析題中的數量關(guān)系，函數的實(shí)質(zhì)是研究?jì)蓚�(gè)變量之間的對應關(guān)系。
(2)數形結合法。數形結合法是指將數與形結合，分析、研究、解決問(wèn)題的一種思想方法。
初中數學(xué)二次函數知識點(diǎn)
一、定義與定義表達式
一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=ax2+bx+c(a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開(kāi)口方向，a>0時(shí)，開(kāi)口方向向上，a<0時(shí)，開(kāi)口方向向下，IaI還可以決定開(kāi)口大小，IaI越大開(kāi)口就越小，IaI越小開(kāi)口就越大)，則稱(chēng)y為x的二次函數。
二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。
二、二次函數的三種表達式
一般式：y=ax2+bx+c(a，b，c為常數，a≠0)
頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k[拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P(h，k)]
交點(diǎn)式：y=a(x-x?)(x-x?)[僅限于與x軸有交點(diǎn)A(x?，0)和B(x?，0)的拋物線(xiàn)]
注：在3種形式的互相轉化中，有如下關(guān)系：
h=-b/2a
k=(4ac-b2)/4a
x?,x?=(-b±√b2-4ac)/2a
三、二次函數的圖像
在平面直角坐標系中作出二次函數y=x^2的圖像，可以看出，二次函數的圖像是一條拋物線(xiàn)。
四、拋物線(xiàn)的性質(zhì)
1.拋物線(xiàn)是軸對稱(chēng)圖形。對稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-b/2a。
對稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P。特別地，當b=0時(shí)，拋物線(xiàn)的對稱(chēng)軸是y軸(即直線(xiàn)x=0)。
2.拋物線(xiàn)有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標為：P(-b/2a，(4ac-b2)/4a)。當-b/2a=0時(shí)，P在y軸上;當Δ=b2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。
3.二次項系數a決定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向和大小。
當a>0時(shí)，拋物線(xiàn)向上開(kāi)口;當a<0時(shí)，拋物線(xiàn)向下開(kāi)口。|a|越大，則拋物線(xiàn)的開(kāi)口越小。
4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱(chēng)軸的位置。
當a與b同號時(shí)(即ab>0)，對稱(chēng)軸在y軸左;當a與b異號時(shí)(即ab<0)，對稱(chēng)軸在y軸右。
5.常數項c決定拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)。拋物線(xiàn)與y軸交于(0，c)。
6.拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)個(gè)數：
Δ=b2-4ac>0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。
Δ=b2-4ac=0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。
Δ=b2-4ac<0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。X的取值是虛數(x=-b±√b2-4ac的值的相反數，乘上虛數i，整個(gè)式子除以2a)
五、二次函數與一元二次方程
特別地，二次函數(以下稱(chēng)函數)y=ax2+bx+c。
當y=0時(shí)，二次函數為關(guān)于x的一元二次方程(以下稱(chēng)方程)，即ax2+bx+c=0。
此時(shí)，函數圖像與x軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數根。函數與x軸交點(diǎn)的橫坐標即為方程的根。
1.二次函數y=ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k，y=ax2+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同。
它們的頂點(diǎn)坐標及對稱(chēng)軸如下表：
當h>0時(shí)，y=a(x-h)2的圖象可由拋物線(xiàn)y=ax2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位得到。
當h<0時(shí)，則向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位得到。
當h>0，k>0時(shí)，將拋物線(xiàn)y=ax2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位，就可以得到y=a(x-h)2+k的圖象。
當h>0，k<0時(shí)，將拋物線(xiàn)y=ax2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到y=a(x-h)2+k的圖象。
當h<0，k>0時(shí)，將拋物線(xiàn)向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位可得到y=a(x-h)2+k的圖象。
當h<0,k<0時(shí)，將拋物線(xiàn)向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位，再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到y=a(x-h)2+k的圖象。
因此，研究拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象，通過(guò)配方，將一般式化為y=a(x-h)2+k的形式，可確定其頂點(diǎn)坐標、對稱(chēng)軸，拋物線(xiàn)的大體位置就很清楚了.這給畫(huà)圖象提供了方便.
2.拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象：當a>0時(shí)，開(kāi)口向上，當a<0時(shí)開(kāi)口向下，對稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=-b/2a，頂點(diǎn)坐標是(-b/2a，[4ac-b2]/4a).
3.拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c(a≠0)，若a>0，當x≤-b/2a時(shí)，y隨x的增大而減小;當x≥-b/2a時(shí)，y隨x的增大而增大.若a<0，當x≤-b/2a時(shí)，y隨x的增大而增大;當x≥-b/2a時(shí)，y隨x的增大而減小.
4.拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c的圖象與坐標軸的交點(diǎn)：
(1)圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標為(0，c);
(2)當△=b^2-4ac>0，圖象與x軸交于兩點(diǎn)A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根.這兩點(diǎn)間的距離AB=|x?-x?|。
當△=0.圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn);當△<0.圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn).當a>0時(shí)，圖象落在x軸的上方，x為任何實(shí)數時(shí)，都有y>0;當a<0時(shí)，圖象落在x軸的下方，x為任何實(shí)數時(shí)，都有y<0.
5.拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，則當x=-b/2a時(shí)，y最小(大)值=(4ac-b2)/4a.
頂點(diǎn)的橫坐標，是取得最值時(shí)的自變量值，頂點(diǎn)的縱坐標，是最值的取值.
6.用待定系數法求二次函數的解析式
(1)當題給條件為已知圖象經(jīng)過(guò)三個(gè)已知點(diǎn)或已知x、y的三對對應值時(shí)，可設解析式為一般形式：y=ax2+bx+c(a≠0).
(2)當題給條件為已知圖象的頂點(diǎn)坐標或對稱(chēng)軸時(shí)，可設解析式為頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k(a≠0).
(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標時(shí)，可設解析式為兩根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0).
7.二次函數知識很容易與其它知識綜合應用，而形成較為復雜的綜合題目。因此，以二次函數知識為主的綜合性題目是中考的熱點(diǎn)考題，往往以大題形式出現.
函數知識點(diǎn)3
高一數學(xué)函數知識點(diǎn)歸納
1、函數：設A、B為非空集合，如果按照某個(gè)特定的對應關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱(chēng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數，寫(xiě)作y=f(x)，x∈A，其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域，與x相對應的y的值叫做函數值，函數值的集合B={f(x)∣x∈A }叫做函數的值域。
2、函數定義域的解題思路：
�、湃魓處于分母位置，則分母x不能為0。
�、婆即畏礁谋婚_(kāi)方數不小于0。
�、菍凳降恼鏀当仨毚笥�0。
�、戎笖祵凳降牡�，不得為1，且必須大于0。
�、芍笖禐�0時(shí)，底數不得為0。
�、嗜绻瘮凳怯梢恍┗竞瘮低ㄟ^(guò)四則運算結合而成的，那么，它的定義域是各個(gè)部分都有意義的x值組成的集合。
�、藢�(shí)際問(wèn)題中的函數的定義域還要保證實(shí)際問(wèn)題有意義。
3、相同函數
�、疟磉_式相同：與表示自變量和函數值的字母無(wú)關(guān)。
�、贫x域一致，對應法則一致。
4、函數值域的求法
�、庞^(guān)察法：適用于初等函數及一些簡(jiǎn)單的由初等函數通過(guò)四則運算得到的函數。
�、茍D像法：適用于易于畫(huà)出函數圖像的函數已經(jīng)分段函數。
�、桥浞椒ǎ褐饕糜诙魏瘮�，配方成y=(x-a)2+b的形式。
�、却鷵Q法：主要用于由已知值域的函數推測未知函數的值域。
5、函數圖像的變換
�、牌揭谱儞Q：在x軸上的變換在x上就行加減，在y軸上的變換在y上進(jìn)行加減。
�、粕炜s變換：在x前加上系數。
�、菍ΨQ(chēng)變換：高中階段不作要求。
6、映射：設A、B是兩個(gè)非空集合，如果按某一個(gè)確定的對應法則f，使對于A(yíng)中的任意儀的元素x，在集合B中都有唯一的確定的y與之對應，那么就稱(chēng)對應f：A→B為從集合A到集合B的映射。
�、偶螦中的每一個(gè)元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的。
�、萍螦中的不同元素，在集合B中對應的象可以是同一個(gè)。
�、遣灰蠹螧中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象。
7、分段函數
�、旁诙x域的不同部分上有不同的解析式表達式。
�、聘鞑糠肿宰兞亢秃瘮抵档�'取值范圍不同。
�、欠侄魏瘮档亩x域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集。
8、復合函數：如果(u∈M)，u=g(x) (x∈A),則，y=f[g(x)]=F(x) (x∈A)，稱(chēng)為f、g的復合函數。
高一數學(xué)函數的性質(zhì)
1、函數的局部性質(zhì)——單調性
設函數y=f(x)的定義域為I，如果對應定義域I內的某個(gè)區間D內的任意兩個(gè)變量x1、x2，當x1< x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)，那么那么y=f(x)在區間D上是減函數，D是函數y=f(x)的單調遞減區間。
�、藕瘮祬^間單調性的判斷思路
�、≡诮o出區間內任取x1、x2，則x1、x2∈D，且x1< x2。
�、⒆霾钪礷(x1)-f(x2)，并進(jìn)行變形和配方，變?yōu)橐子谂袛嗾摰男问健?/p>
�、Ｅ袛嘧冃魏蟮谋磉_式f(x1)-f(x2)的符號，指出單調性。
�、茝秃虾瘮档膯握{性
復合函數y=f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關(guān)，其規律為“同增異減”;多個(gè)函數的復合函數，根據原則“減偶則增，減奇則減”。
�、亲⒁馐马�
函數的單調區間只能是其定義域的子區間，不能把單調性相同的區間和在一起寫(xiě)成并集，如果函數在區間A和B上都遞增，則表示為f(x)的單調遞增區間為A和B，不能表示為A∪B。
2、函數的整體性質(zhì)——奇偶性
對于函數f(x)定義域內的任意一個(gè)x，都有f(x) =f(-x)，則f(x)就為偶函數;
對于函數f(x)定義域內的任意一個(gè)x，都有f(x) =-f(x)，則f(x)就為奇函數。
�、牌婧瘮岛团己瘮档男再|(zhì)
�、o(wú)論函數是奇函數還是偶函數，只要函數具有奇偶性，該函數的定義域一定關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)。
�、⑵婧瘮档膱D像關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)，偶函數的圖像關(guān)于y軸對稱(chēng)。
�、坪瘮灯媾夹耘袛嗨悸�
�、∠却_定函數的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)，若不關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)，則為非奇非偶函數。
�、⒋_定f(x)和f(-x)的關(guān)系：
若f(x) -f(-x)=0，或f(x) /f(-x)=1，則函數為偶函數;
若f(x)+f(-x)=0，或f(x)/ f(-x)=-1，則函數為奇函數。
3、函數的最值問(wèn)題
�、艑τ诙魏瘮�，利用配方法，將函數化為y=(x-a)2+b的形式，得出函數的最大值或最小值。
�、茖τ谝子诋�(huà)出函數圖像的函數，畫(huà)出圖像，從圖像中觀(guān)察最值。
�、顷P(guān)于二次函數在閉區間的最值問(wèn)題
�、∨袛喽魏瘮档捻旤c(diǎn)是否在所求區間內，若在區間內，則接ⅱ，若不在區間內，則接ⅲ。
�、⑷舳魏瘮档捻旤c(diǎn)在所求區間內，則在二次函數y=ax2+bx+c中，a>0時(shí)，頂點(diǎn)為最小值，a<0時(shí)頂點(diǎn)為最大值;后判斷區間的兩端點(diǎn)距離頂點(diǎn)的遠近，離頂點(diǎn)遠的端點(diǎn)的函數值，即為a>0時(shí)的最大值或a<0時(shí)的最小值。
�、Ｈ舳魏瘮档捻旤c(diǎn)不在所求區間內，則判斷函數在該區間的單調性
若函數在[a，b]上遞增，則最小值為f(a)，最大值為f(b);
若函數在[a，b]上遞減，則最小值為f(b)，最大值為f(a)。
高中
函數知識點(diǎn)4
我們稱(chēng)數值變化的量為變量(variable)。
有些量的數值是始終不變的，我們稱(chēng)它們?yōu)槌Ａ?constant)。
在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量x與y，并且對于x的`每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們說(shuō)x是自變量(independentvariable)，y是x的函數(function)。
如果當x=a時(shí)y=b，那么b叫做當自變量的值為a時(shí)的函數值。
形如y=kx(k是常數，k≠0)的函數，叫做正比例函數(proportionalfunction)，其中k叫做比例系數。
形如y=kx+b(k，b是常數，k≠0)的函數，叫做一次函數(linearfunction)。正比例函數是一種特殊的一次函數。
當k>0時(shí)，y隨x的增大而增大;當k<0時(shí)，y隨x的增大而減小。
每個(gè)二元一次方程組都對應兩個(gè)一次函數，于是也對應兩條直線(xiàn)。從“形”的角度看，解方程組相當于確定兩條直線(xiàn)交點(diǎn)的坐標。
函數知識點(diǎn)5
變量：因變量，自變量。
在用圖象表示變量之間的關(guān)系時(shí)，通常用水平方向的數軸上的點(diǎn)自變量，用豎直方向的數軸上的點(diǎn)表示因變量。
一次函數：
�、偃魞蓚�(gè)變量X，Y間的關(guān)系式可以表示成Y=KX+B（B為常數，K不等于0）的形式，則稱(chēng)Y是X的一次函數
�、诋擝=0時(shí)，稱(chēng)Y是X的正比例函數。
一次函數的圖象：
�、侔裏=KX+B個(gè)函數的.自變量X與對應的因變量Y的值分別作為點(diǎn)的橫坐標與縱坐標，在直角坐標系內描出它的對應點(diǎn)，所有這些點(diǎn)組成的圖形叫做該函數的圖象。
�、谡壤瘮礩=KX的圖象是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一條直線(xiàn)。
�、墼谝淮魏瘮抵�，當K〈0，B〈O，則經(jīng)234象限；當K〈0，B〉0時(shí)，則經(jīng)124象限；當K〉0， B〈0時(shí)，則經(jīng)134象限；當K〉0，B〉0時(shí)，則經(jīng)123象限。
�、墚擪〉0時(shí)，Y的值隨X值的增大而增大，當X〈0時(shí)，Y的值隨X值的增大而減少。
二次函數;
�、僮宰兞縳和因變量y之間關(guān)系可表示成y=ax^2+bx+c，則稱(chēng)a是y的二次函數。
二次函數的圖象：
�、偃绻雾椣禂凳钦�，那么開(kāi)口向上，y的范圍為y>=k
�、谌绻雾椣禂凳秦�，那么開(kāi)口向下，y的范圍為y<=k
�、郛攁>0時(shí)，二次函數圖象向上開(kāi)口；當a<0時(shí)，拋物線(xiàn)向下開(kāi)口。
�、墚攟a|越大，則二次函數圖像的開(kāi)口越小。
函數知識點(diǎn)6
一、變量與函數
[變量和常量]
在一個(gè)變化過(guò)程中，數值發(fā)生變化的量，我們稱(chēng)之為變量，而數值始終保持不變的量，我們稱(chēng)之為常量。
[函數]
一般地，在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量 與 ，并且對于 的每一個(gè)確定的值， 都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說(shuō) 是自變量， 是 的函數。如果當 時(shí) ，那么 叫做當自變量的值為 時(shí)的函數值。
[自變量取值范圍的確定方法]
1、 自變量的取值范圍必須使解析式有意義。
當解析式為整式時(shí)，自變量的取值范圍是全體實(shí)數;當解析式為分數形式時(shí)，自變量的取值范圍是使分母不為0的所有實(shí)數;當解析式中含有二次根式時(shí)，自變量的取值范圍是使被開(kāi)方數大于等于0的所有實(shí)數。
2、自變量的取值范圍必須使實(shí)際問(wèn)題有意義。
[函數的圖像]
一般來(lái)說(shuō)，對于一個(gè)函數，如果把自變量與函數的每對對應值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標，那么坐標平面內由這些點(diǎn)組成的圖形，就是這個(gè)函數的圖象.
[描點(diǎn)法畫(huà)函數圖形的一般步驟]
第一步：列表(表中給出一些自變量的值及其對應的函數值);
第二步：描點(diǎn)(在直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標，相應的函數值為縱坐標，描出表格中數值對應的各點(diǎn));
第三步：連線(xiàn)(按照橫坐標由小到大的順序把所描出的各點(diǎn)用平滑曲線(xiàn)連接起來(lái))。
[函數的表示方法]
列表法：一目了然，使用起來(lái)方便，但列出的對應值是有限的，不易看出自變量與函數之間的對應規律。
解析式法：簡(jiǎn)單明了，能夠準確地反映整個(gè)變化過(guò)程中自變量與函數之間的相依關(guān)系，但有些實(shí)際問(wèn)題中的函數關(guān)系，不能用解析式表示。
圖象法：形象直觀(guān)，但只能近似地表達兩個(gè)變量之間的函數關(guān)系。
[正比例函數]
一般地，形如y=kx(k是常數，k≠0)的函數，叫做正比例函數(proportional function)，其中k叫做比例系數.
[正比例函數圖象和性質(zhì)]
一般地，正比例函數y=kx(k是常數，k≠0)的圖象是一條經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和(1，k)的直線(xiàn).我們稱(chēng)它為直線(xiàn)y=kx.當k>0時(shí)，直線(xiàn)y=kx經(jīng)過(guò)三、一象限，從左向右上升，即隨x的增大y也增大;當k<0時(shí)，直線(xiàn)y=kx經(jīng)過(guò)二、四象限，從左向右下降，即隨x增大y反而減小.
(1) 解析式：y=kx(k是常數，k≠0)
(2) 必過(guò)點(diǎn)：(0，0)、(1，k)
(3) 走向：k>0時(shí)，圖像經(jīng)過(guò)一、三象限;k<0時(shí)，圖像經(jīng)過(guò)二、四象限
(4) 增減性：k>0，y隨x的增大而增大;k<0，y隨x增大而減小
(5) 傾斜度：|k|越大，越接近y軸;|k|越小，越接近x軸
[正比例函數解析式的確定]——待定系數法
1. 設出含有待定系數的函數解析式y=kx(k≠0)
2. 把已知條件(一個(gè)點(diǎn)的坐標)代入解析式，得到關(guān)于k的一元一次方程
3. 解方程，求出系數k
4. 將k的值代回解析式
二、一次函數
[一次函數]
一般地，形如y=kx+b(k、b是常數，k 0)函數，叫做一次函數. 當b=0時(shí)，y=kx+b即y=kx，所以正比例函數是一種特殊的一次函數.
[一次函數的圖象及性質(zhì)]
一次函數y=kx+b的圖象是經(jīng)過(guò)(0，b)和(- ，0)兩點(diǎn)的一條直線(xiàn)，我們稱(chēng)它為直線(xiàn)y=kx+b,它可以看作由直線(xiàn)y=kx平移|b|個(gè)單位長(cháng)度得到.(當b>0時(shí)，向上平移;當b<0時(shí)，向下平移)
(1)解析式：y=kx+b(k、b是常數，k 0)
(2)必過(guò)點(diǎn)：(0，b)和(- ，0)
(3)走向： k>0，圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限;k<0，圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限
b>0，圖象經(jīng)過(guò)第一、二象限;b<0，圖象經(jīng)過(guò)第三、四象限
直線(xiàn)經(jīng)過(guò)第一、二、三象限
直線(xiàn)經(jīng)過(guò)第一、三、四象限
直線(xiàn)經(jīng)過(guò)第一、二、四象限
直線(xiàn)經(jīng)過(guò)第二、三、四象限
(4)增減性： k>0，y隨x的增大而增大;k<0，y隨x增大而減小.
(5)傾斜度：|k|越大，圖象越接近于y軸;|k|越小，圖象越接近于x軸.
(6)圖像的平移： 當b>0時(shí)，將直線(xiàn)y=kx的圖象向上平移b個(gè)單位;
當b<0時(shí)，將直線(xiàn)y=kx的圖象向下平移b個(gè)單位.
[直線(xiàn)y=k1x+b1與y=k2x+b2的位置關(guān)系]
(1)兩直線(xiàn)平行：k1=k2且b1 b2
(2)兩直線(xiàn)相交：k1 k2
(3)兩直線(xiàn)重合：k1=k2且b1=b2
[確定一次函數解析式的方法]
(1)根據已知條件寫(xiě)出含有待定系數的函數解析式;
(2)將x、y的幾對值或圖象上的幾個(gè)點(diǎn)的坐標代入上述函數解析式中得到以待定系數為未知數的方程;
(3)解方程得出未知系數的值;
(4)將求出的待定系數代回所求的函數解析式中得出結果.
[一次函數建模]
函數建模的關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題數學(xué)化，從而解決最佳方案、最佳策略等問(wèn)題. 建立一次函數模型解決實(shí)際問(wèn)題，就是要從實(shí)際問(wèn)題中抽象出兩個(gè)變量，再尋求出兩個(gè)變量之間的關(guān)系，構建函數模型，從而利用數學(xué)知識解決實(shí)際問(wèn)題.
正比例函數的圖象和一次函數的圖象在賦予實(shí)際意義時(shí)，其圖象大多為線(xiàn)段或射線(xiàn). 這是因為在實(shí)際問(wèn)題中，自變量的取值范圍是有一定的限制條件的`，即自變量必須使實(shí)際問(wèn)題有意義.
從圖象中獲取的信息一般是：(1)從函數圖象的形狀判定函數的類(lèi)型;
(2)從橫、縱軸的實(shí)際意義理解圖象上點(diǎn)的坐標的實(shí)際意義.
解決含有多個(gè)變量的問(wèn)題時(shí)，可以分析這些變量的關(guān)系，選取其中某個(gè)變量作為自變量，再根據問(wèn)題的條件尋求可以反映實(shí)際問(wèn)題的函數.
三、用函數觀(guān)點(diǎn)看方程(組)與不等式
[一元一次方程與一次函數的關(guān)系]
任何一元一次方程到可以轉化為ax+b=0(a，b為常數，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以轉化為：當某個(gè)一次函數的值為0時(shí)，求相應的自變量的值. 從圖象上看，相當于已知直線(xiàn)y=ax+b確定它與x軸的交點(diǎn)的橫坐標的值.
[一次函數與一元一次不等式的關(guān)系]
任何一個(gè)一元一次不等式都可以轉化為ax+b>0或ax+b<0(a，b為常數，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當一次函數值大(小)于0時(shí)，求自變量的取值范圍.
[一次函數與二元一次方程組]
(1)以二元一次方程ax+by=c的解為坐標的點(diǎn)組成的圖象與一次函數y= 的圖象相同.
(2)二元一次方程組 的解可以看作是兩個(gè)一次函數y= 和y= 的圖象交點(diǎn).
三個(gè)重要的數學(xué)思想
1.方程的思想。數學(xué)是研究事物的空間形式和數量關(guān)系的，初中數學(xué)最重要的就是等量關(guān)系，其次是不等量關(guān)系。最常見(jiàn)的等量關(guān)系就是方程。
2.數形結合的思想。任何一道題，只要與形沾邊，就應該根據題意中的草圖分析一番。這樣做，不但直觀(guān)，而且全面，整體性強。
3.對應的思想。
初中生數學(xué)成績(jì)的提高，需要靠自己勤加練習和腳踏實(shí)地的去接受數學(xué)。
合數的概念
合數指自然數中除了能被1和本身整除外，還能被其他數(0除外)整除的數。與之相對的是質(zhì)數，而1既不屬于質(zhì)dao數也不屬于合數。最小的合數是4。其中，完全數與相親數是以它為基礎的。
函數知識點(diǎn)7
三角函數
正角:按逆時(shí)針?lè )较蛐D形成的角
1、任意角負角:按順時(shí)針?lè )较蛐D形成的角
零角:不作任何旋轉形成的角
2、角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱(chēng)為第幾象限角.
第二象限角的集合為k36090k360180,k
第三象限角的集合為k360180k360270,k第四象限角的集合為k360270k360360,k終邊在x軸上的角的集合為k180,k
終邊在y軸上的角的集合為k18090,k終邊在坐標軸上的角的集合為k90,k
第一象限角的集合為k360k36090,k
3、與角終邊相同的角的集合為k360,k
4、長(cháng)度等于半徑長(cháng)的弧所對的圓心角叫做1弧度.
5、半徑為r的圓的圓心角所對弧的長(cháng)為l，則角的弧度數的絕對值是
l.r
180
6、弧度制與角度制的換算公式：2360，1，157.3.180
7、若扇形的'圓心角為
為弧度制，半徑為r，弧長(cháng)為l，周長(cháng)為C，面積為S，則lr，C2rl
數學(xué)判定與性質(zhì)區別
1數學(xué)中的判定
判定多用于數學(xué)的證明概念，通過(guò)事物的本質(zhì)屬性反映出的本質(zhì)性質(zhì)，以此作為依據推知下一步結論，這個(gè)行為叫做判定。
例如：兩組對邊分別平行的四邊形，叫做平行四邊形，這個(gè)作為已證明的定理，揭示了本質(zhì)，可以說(shuō)是“永遠成立”。
以此作為判定依據，這個(gè)依據叫判定定理，我發(fā)現一個(gè)四邊形的一組對邊平行且相等，那么可以斷定此四邊形就是平行四邊形，這個(gè)行為叫判定
2數學(xué)性質(zhì)
數學(xué)性質(zhì)是數學(xué)表觀(guān)和內在所具有的特征，一種事物區別于其他事物的屬性。如：平行四邊形的性質(zhì)：對邊平行，對邊相等，對角線(xiàn)互相平分，中心對稱(chēng)圖形。
垂直平分線(xiàn)定理
性質(zhì)定理：在垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到該線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等;
判定定理：到線(xiàn)段2端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上
角平分線(xiàn)：把一個(gè)角平分的射線(xiàn)叫該角的角平分線(xiàn)。
定義中有幾個(gè)要點(diǎn)要注意一下的，就是角的角平分線(xiàn)是一條射線(xiàn)，不是線(xiàn)段也不是直線(xiàn)，很多時(shí)，在題目中會(huì )出現直線(xiàn)，這是角平分線(xiàn)的對稱(chēng)軸才會(huì )用直線(xiàn)的，這也涉及到軌跡的問(wèn)題，一個(gè)角個(gè)角平分線(xiàn)就是到角兩邊距離相等的點(diǎn)
性質(zhì)定理：角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到該角兩邊的距離相等
判定定理：到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在該角的角平分線(xiàn)上
函數知識點(diǎn)8
【(一)、映射、函數、反函數】
1、對應、映射、函數三個(gè)概念既有共性又有區別，映射是一種特殊的對應，而函數又是一種特殊的映射.
2、對于函數的概念，應注意如下幾點(diǎn)：
(1)掌握構成函數的三要素，會(huì )判斷兩個(gè)函數是否為同一函數.
(2)掌握三種表示法——列表法、解析法、圖象法，能根實(shí)際問(wèn)題尋求變量間的函數關(guān)系式，特別是會(huì )求分段函數的解析式.
(3)如果y=f(u)，u=g(x)，那么y=f[g(x)]叫做f和g的復合函數，其中g(shù)(x)為內函數，f(u)為外函數.
3、求函數y=f(x)的反函數的一般步驟：
(1)確定原函數的值域，也就是反函數的定義域;
(2)由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y);
(3)將x，y對換，得反函數的習慣表達式y=f-1(x)，并注明定義域.
注意①：對于分段函數的反函數，先分別求出在各段上的反函數，然后再合并到一起.
�、谑煜さ膽�，求f-1(x0)的值，合理利用這個(gè)結論，可以避免求反函數的過(guò)程，從而簡(jiǎn)化運算.
【(二)、函數的解析式與定義域】
1、函數及其定義域是不可分割的整體，沒(méi)有定義域的函數是不存在的，因此，要正確地寫(xiě)出函數的解析式，必須是在求出變量間的對應法則的同時(shí)，求出函數的定義域.求函數的定義域一般有三種類(lèi)型：
(1)有時(shí)一個(gè)函數來(lái)自于一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，這時(shí)自變量x有實(shí)際意義，求定義域要結合實(shí)際意義考慮;
(2)已知一個(gè)函數的解析式求其定義域，只要使解析式有意義即可.如：
�、俜质降姆帜覆坏脼榱�;
�、谂即畏礁谋婚_(kāi)方數不小于零;
�、蹖岛瘮档恼鏀当仨毚笥诹�;
�、苤笖岛瘮岛蛯岛瘮档牡讛当仨毚笥诹闱也坏扔�1;
�、萑呛瘮抵械恼泻瘮祔=tanx(x∈R，且k∈Z)，余切函數y=cotx(x∈R，x≠kπ，k∈Z)等.
應注意，一個(gè)函數的解析式由幾部分組成時(shí)，定義域為各部分有意義的自變量取值的公共部分(即交集).
(3)已知一個(gè)函數的定義域，求另一個(gè)函數的定義域，主要考慮定義域的深刻含義即可.
已知f(x)的定義域是[a，b]，求f[g(x)]的定義域是指滿(mǎn)足a≤g(x)≤b的x的取值范圍，而已知f[g(x)]的定義域[a，b]指的是x∈[a，b]，此時(shí)f(x)的定義域，即g(x)的值域.
2、求函數的解析式一般有四種情況
(1)根據某實(shí)際問(wèn)題需建立一種函數關(guān)系時(shí)，必須引入合適的變量，根據數學(xué)的有關(guān)知識尋求函數的解析式.
(2)有時(shí)題設給出函數特征，求函數的解析式，可采用待定系數法.比如函數是一次函數，可設f(x)=ax+b(a≠0)，其中a，b為待定系數，根據題設條件，列出方程組，求出a，b即可.
(3)若題設給出復合函數f[g(x)]的表達式時(shí)，可用換元法求函數f(x)的表達式，這時(shí)必須求出g(x)的值域，這相當于求函數的定義域.
(4)若已知f(x)滿(mǎn)足某個(gè)等式，這個(gè)等式除f(x)是未知量外，還出現其他未知量(如f(-x)，等)，必須根據已知等式，再構造其他等式組成方程組，利用解方程組法求出f(x)的表達式.
【(三)、函數的值域與最值】
1、函數的值域取決于定義域和對應法則，不論采用何種方法求函數值域都應先考慮其定義域，求函數值域常用方法如下：
(1)直接法：亦稱(chēng)觀(guān)察法，對于結構較為簡(jiǎn)單的函數，可由函數的解析式應用不等式的性質(zhì)，直接觀(guān)察得出函數的值域.
(2)換元法：運用代數式或三角換元將所給的復雜函數轉化成另一種簡(jiǎn)單函數再求值域，若函數解析式中含有根式，當根式里一次式時(shí)用代數換元，當根式里是二次式時(shí)，用三角換元.
(3)反函數法：利用函數f(x)與其反函數f-1(x)的定義域和值域間的關(guān)系，通過(guò)求反函數的定義域而得到原函數的值域，形如(a≠0)的函數值域可采用此法求得.
(4)配方法：對于二次函數或二次函數有關(guān)的函數的值域問(wèn)題可考慮用配方法.
(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函數的值域，不過(guò)應注意條件“一正二定三相等”有時(shí)需用到平方等技巧.
(6)判別式法：把y=f(x)變形為關(guān)于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其題型特征是解析式中含有根式或分式.
(7)利用函數的單調性求值域：當能確定函數在其定義域上(或某個(gè)定義域的子集上)的單調性，可采用單調性法求出函數的值域.
(8)數形結合法求函數的值域：利用函數所表示的幾何意義，借助于幾何方法或圖象，求出函數的值域，即以數形結合求函數的值域.
2、求函數的最值與值域的區別和聯(lián)系
求函數最值的常用方法和求函數值域的方法基本上是相同的，事實(shí)上，如果在函數的值域中存在一個(gè)最小(大)數，這個(gè)數就是函數的最小(大)值.因此求函數的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的，只是提問(wèn)的角度不同，因而答題的方式就有所相異.
如函數的值域是(0，16]，值是16，無(wú)最小值.再如函數的值域是(-∞，-2]∪[2，+∞)，但此函數無(wú)值和最小值，只有在改變函數定義域后，如x>0時(shí)，函數的最小值為2.可見(jiàn)定義域對函數的值域或最值的影響.
3、函數的最值在實(shí)際問(wèn)題中的應用
函數的最值的應用主要體現在用函數知識求解實(shí)際問(wèn)題上，從文字表述上常常表現為“工程造價(jià)最低”，“利潤”或“面積(體積)(最小)”等諸多現實(shí)問(wèn)題上，求解時(shí)要特別關(guān)注實(shí)際意義對自變量的制約，以便能正確求得最值.
【(四)、函數的奇偶性】
1、函數的奇偶性的定義：對于函數f(x)，如果對于函數定義域內的任意一個(gè)x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))，那么函數f(x)就叫做奇函數(或偶函數).
正確理解奇函數和偶函數的定義，要注意兩點(diǎn)：(1)定義域在數軸上關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)是函數f(x)為奇函數或偶函數的必要不充分條件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定義域上的恒等式.(奇偶性是函數定義域上的整體性質(zhì)).
2、奇偶函數的定義是判斷函數奇偶性的主要依據。為了便于判斷函數的'奇偶性，有時(shí)需要將函數化簡(jiǎn)或應用定義的等價(jià)形式：
注意如下結論的運用：
(1)不論f(x)是奇函數還是偶函數，f(|x|)總是偶函數;
(2)f(x)、g(x)分別是定義域D1、D2上的奇函數，那么在D1∩D2上，f(x)+g(x)是奇函數，f(x)·g(x)是偶函數，類(lèi)似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”，“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”;
(3)奇偶函數的復合函數的奇偶性通常是偶函數;
(4)奇函數的導函數是偶函數，偶函數的導函數是奇函數。
3、有關(guān)奇偶性的幾個(gè)性質(zhì)及結論
(1)一個(gè)函數為奇函數的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng);一個(gè)函數為偶函數的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對稱(chēng).
(2)如要函數的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)且函數值恒為零，那么它既是奇函數又是偶函數.
(3)若奇函數f(x)在x=0處有意義，則f(0)=0成立.
(4)若f(x)是具有奇偶性的區間單調函數，則奇(偶)函數在正負對稱(chēng)區間上的單調性是相同(反)的。
(5)若f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)，則F(x)=f(x)+f(-x)是偶函數，G(x)=f(x)-f(-x)是奇函數.
(6)奇偶性的推廣
函數y=f(x)對定義域內的任一x都有f(a+x)=f(a-x)，則y=f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=a對稱(chēng)，即y=f(a+x)為偶函數.函數y=f(x)對定義域內的任-x都有f(a+x)=-f(a-x)，則y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，0)成中心對稱(chēng)圖形，即y=f(a+x)為奇函數。
【(五)、函數的單調性】
1、單調函數
對于函數f(x)定義在某區間[a，b]上任意兩點(diǎn)x1，x2，當x1>x2時(shí)，都有不等式f(x1)>(或<)f(x2)成立，稱(chēng)f(x)在[a，b]上單調遞增(或遞減);增函數或減函數統稱(chēng)為單調函數.
對于函數單調性的定義的理解，要注意以下三點(diǎn)：
(1)單調性是與“區間”緊密相關(guān)的概念.一個(gè)函數在不同的區間上可以有不同的單調性.
(2)單調性是函數在某一區間上的“整體”性質(zhì)，因此定義中的x1，x2具有任意性，不能用特殊值代替.
(3)單調區間是定義域的子集，討論單調性必須在定義域范圍內.
(4)注意定義的兩種等價(jià)形式：
設x1、x2∈[a，b]，那么：
�、僭赱a、b]上是增函數;
在[a、b]上是減函數.
�、谠赱a、b]上是增函數.
在[a、b]上是減函數.
需要指出的是：①的幾何意義是：增(減)函數圖象上任意兩點(diǎn)(x1，f(x1))、(x2，f(x2))連線(xiàn)的斜率都大于(或小于)零.
(5)由于定義都是充要性命題，因此由f(x)是增(減)函數，且(或x1>x2)，這說(shuō)明單調性使得自變量間的不等關(guān)系和函數值之間的不等關(guān)系可以“正逆互推”.
5、復合函數y=f[g(x)]的單調性
若u=g(x)在區間[a，b]上的單調性，與y=f(u)在[g(a)，g(b)](或g(b)，g(a))上的單調性相同，則復合函數y=f[g(x)]在[a，b]上單調遞增;否則，單調遞減.簡(jiǎn)稱(chēng)“同增、異減”.
在研究函數的單調性時(shí)，常需要先將函數化簡(jiǎn)，轉化為討論一些熟知函數的單調性。因此，掌握并熟記一次函數、二次函數、指數函數、對數函數的單調性，將大大縮短我們的判斷過(guò)程.
6、證明函數的單調性的方法
(1)依定義進(jìn)行證明.其步驟為：①任取x1、x2∈M且x1(或<)f(x2);③根據定義，得出結論.
(2)設函數y=f(x)在某區間內可導.
如果f′(x)>0，則f(x)為增函數;如果f′(x)<0，則f(x)為減函數.
【(六)、函數的圖象】
函數的圖象是函數的直觀(guān)體現，應加強對作圖、識圖、用圖能力的培養，培養用數形結合的思想方法解決問(wèn)題的意識.
求作圖象的函數表達式
與f(x)的關(guān)系
由f(x)的圖象需經(jīng)過(guò)的變換
y=f(x)±b(b>0)
沿y軸向平移b個(gè)單位
y=f(x±a)(a>0)
沿x軸向平移a個(gè)單位
y=-f(x)
作關(guān)于x軸的對稱(chēng)圖形
y=f(|x|)
右不動(dòng)、左右關(guān)于y軸對稱(chēng)
y=|f(x)|
上不動(dòng)、下沿x軸翻折
y=f-1(x)
作關(guān)于直線(xiàn)y=x的對稱(chēng)圖形
y=f(ax)(a>0)
橫坐標縮短到原來(lái)的，縱坐標不變
y=af(x)
縱坐標伸長(cháng)到原來(lái)的|a|倍，橫坐標不變
y=f(-x)
作關(guān)于y軸對稱(chēng)的圖形
【例】定義在實(shí)數集上的函數f(x)，對任意x，y∈R，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)，且f(0)≠0.
�、偾笞C：f(0)=1;
�、谇笞C：y=f(x)是偶函數;
�、廴舸嬖诔礳，使求證對任意x∈R，有f(x+c)=-f(x)成立;試問(wèn)函數f(x)是不是周期函數，如果是，找出它的一個(gè)周期;如果不是，請說(shuō)明理由.
思路分析：我們把沒(méi)有給出解析式的函數稱(chēng)之為抽象函數，解決這類(lèi)問(wèn)題一般采用賦值法.
解答：①令x=y=0，則有2f(0)=2f2(0)，因為f(0)≠0，所以f(0)=1.
�、诹顇=0，則有f(x)+f(-y)=2f(0)·f(y)=2f(y)，所以f(-y)=f(y)，這說(shuō)明f(x)為偶函數.
�、鄯謩e用(c>0)替換x、y，有f(x+c)+f(x)=
所以，所以f(x+c)=-f(x).
兩邊應用中的結論，得f(x+2c)=-f(x+c)=-[-f(x)]=f(x)，
所以f(x)是周期函數，2c就是它的一個(gè)周期.
函數知識點(diǎn)9
函數點(diǎn)總結
�。�1）高中函數公式的變量：因變量，自變量。 在用圖象表示變量之間的關(guān)系時(shí)，通常用水平方向的數軸上的點(diǎn)自變量，用豎直方向的數軸上的點(diǎn)表示因變量。
�。�2）一次函數：①若兩個(gè)變量,間的關(guān)系式可以表示成（為常數，不等于0）的形式，則稱(chēng)是的一次函數。②當=0時(shí)，稱(chēng)是的正比例函數。
�。�3）高中函數的一次函數的圖象及性質(zhì)①把一個(gè)函數的自變量與對應的因變量的值分別作為點(diǎn)的橫坐標與縱坐標，在直角坐標系內描出它的對應點(diǎn)，所有這些點(diǎn)組成的`圖形叫做該函數的圖象。②正比例函數=的圖象是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一條直線(xiàn)。③在一次函數中，當0，O，則經(jīng)2、3、4象限；當0，0時(shí)，則經(jīng)1、2、4象限；當0，0時(shí)，則經(jīng)1、3、4象限；當0，0時(shí)，則經(jīng)1、2、3象限。④當0時(shí)，的值隨值的增大而增大，當0時(shí)，的值隨值的增大而減少。
�。�4）高中函數的二次函數：①一般式：()，對稱(chēng)軸是頂點(diǎn)是；②頂點(diǎn)式：()，對稱(chēng)軸是頂點(diǎn)是；③交點(diǎn)式：()，其中（），（）是拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)
�。�5）高中函數的二次函數的性質(zhì)①函數的圖象關(guān)于直線(xiàn)對稱(chēng)。②時(shí)，在對稱(chēng)軸 （）左側，值隨值的增大而減少；在對稱(chēng)軸（）右側；的值隨值的增大而增大。當時(shí)，取得最小值③時(shí)，在對稱(chēng)軸 （）左側，值隨值的增大而增大；在對稱(chēng)軸（）右側；的值隨值的增大而減少。當時(shí)，取得最大值9 高中函數的圖形的對稱(chēng)（1）軸對稱(chēng)圖形：①如果一個(gè)圖形沿一條直線(xiàn)折疊后，直線(xiàn)兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對稱(chēng)圖形，這條直線(xiàn)叫做對稱(chēng)軸。②軸對稱(chēng)圖形上關(guān)于對稱(chēng)軸對稱(chēng)的兩點(diǎn)確定的線(xiàn)段被對稱(chēng)軸垂直平分。（2）中心對稱(chēng)圖形：①在平面內，一個(gè)圖形繞某個(gè)點(diǎn)旋轉180度，如果旋轉前后的圖形互相重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對稱(chēng)圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做他的對稱(chēng)中心。②中心對稱(chēng)圖形上的每一對對應點(diǎn)所連成的線(xiàn)段都被對稱(chēng)中心平分。
函數知識點(diǎn)10
（一）、映射、函數、反函數
1、對應、映射、函數三個(gè)概念既有共性又有區別，映射是一種特殊的對應，而函數又是一種特殊的映射。
2、對于函數的概念，應注意如下幾點(diǎn)：
�。�1）掌握構成函數的三要素，會(huì )判斷兩個(gè)函數是否為同一函數。
�。�2）掌握三種表示法——列表法、解析法、圖象法，能根實(shí)際問(wèn)題尋求變量間的函數關(guān)系式，特別是會(huì )求分段函數的解析式。
�。�3）如果y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做f和g的復合函數，其中g(shù)（x）為內函數，f（u）為外函數、
3、求函數y=f（x）的反函數的一般步驟：
�。�1）確定原函數的值域，也就是反函數的定義域；
�。�2）由y=f（x）的解析式求出x=f—1（y）；
�。�3）將x，y對換，得反函數的習慣表達式y=f—1（x），并注明定義域、
注意①：對于分段函數的反函數，先分別求出在各段上的反函數，然后再合并到一起、
�、谑煜さ膽�，求f—1（x0）的值，合理利用這個(gè)結論，可以避免求反函數的過(guò)程，從而簡(jiǎn)化運算、
（二）、函數的解析式與定義域
1、函數及其定義域是不可分割的整體，沒(méi)有定義域的函數是不存在的，因此，要正確地寫(xiě)出函數的解析式，必須是在求出變量間的對應法則的同時(shí)，求出函數的定義域。求函數的定義域一般有三種類(lèi)型：
�。�1）有時(shí)一個(gè)函數來(lái)自于一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，這時(shí)自變量x有實(shí)際意義，求定義域要結合實(shí)際意義考慮；
�。�2）已知一個(gè)函數的解析式求其定義域，只要使解析式有意義即可。如：
�、俜质降姆帜覆坏脼榱�；
�、谂即畏礁谋婚_(kāi)方數不小于零；
�、蹖岛瘮档恼鏀当仨毚笥诹�；
�、苤笖岛瘮岛蛯岛瘮档牡讛当仨毚笥诹闱也坏扔�1；
�、萑呛瘮抵械恼泻瘮祔=tanx（x∈R，且k∈Z），余切函數y=cotx（x∈R，x≠kπ，k∈Z）等。
應注意，一個(gè)函數的解析式由幾部分組成時(shí)，定義域為各部分有意義的自變量取值的公共部分（即交集）。
�。�3）已知一個(gè)函數的定義域，求另一個(gè)函數的定義域，主要考慮定義域的深刻含義即可。
已知f（x）的定義域是[a，b]，求f[g（x）]的定義域是指滿(mǎn)足a≤g（x）≤b的x的取值范圍，而已知f[g（x）]的定義域[a，b]指的是x∈[a，b]，此時(shí)f（x）的定義域，即g（x）的值域。
2、求函數的解析式一般有四種情況
�。�1）根據某實(shí)際問(wèn)題需建立一種函數關(guān)系時(shí)，必須引入合適的'變量，根據數學(xué)的有關(guān)知識尋求函數的解析式。
�。�2）有時(shí)題設給出函數特征，求函數的解析式，可采用待定系數法。比如函數是一次函數，可設f（x）=ax+b（a≠0），其中a，b為待定系數，根據題設條件，列出方程組，求出a，b即可。
�。�3）若題設給出復合函數f[g（x）]的表達式時(shí)，可用換元法求函數f（x）的表達式，這時(shí)必須求出g（x）的值域，這相當于求函數的定義域。
�。�4）若已知f（x）滿(mǎn)足某個(gè)等式，這個(gè)等式除f（x）是未知量外，還出現其他未知量（如f（—x），等），必須根據已知等式，再構造其他等式組成方程組，利用解方程組法求出f（x）的表達式。
（三）、函數的值域與最值
1、函數的值域取決于定義域和對應法則，不論采用何種方法求函數值域都應先考慮其定義域，求函數值域常用方法如下：
�。�1）直接法：亦稱(chēng)觀(guān)察法，對于結構較為簡(jiǎn)單的函數，可由函數的解析式應用不等式的性質(zhì)，直接觀(guān)察得出函數的值域。
�。�2）換元法：運用代數式或三角換元將所給的復雜函數轉化成另一種簡(jiǎn)單函數再求值域，若函數解析式中含有根式，當根式里一次式時(shí)用代數換元，當根式里是二次式時(shí)，用三角換元。
�。�3）反函數法：利用函數f（x）與其反函數f—1（x）的定義域和值域間的關(guān)系，通過(guò)求反函數的定義域而得到原函數的值域，形如（a≠0）的函數值域可采用此法求得。
�。�4）配方法：對于二次函數或二次函數有關(guān)的函數的值域問(wèn)題可考慮用配方法。
�。�5）不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈（0，+∞）]可以求某些函數的值域，不過(guò)應注意條件“一正二定三相等”有時(shí)需用到平方等技巧。
�。�6）判別式法：把y=f（x）變形為關(guān)于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域。其題型特征是解析式中含有根式或分式。
�。�7）利用函數的單調性求值域：當能確定函數在其定義域上（或某個(gè)定義域的子集上）的單調性，可采用單調性法求出函數的值域。
�。�8）數形結合法求函數的值域：利用函數所表示的幾何意義，借助于幾何方法或圖象，求出函數的值域，即以數形結合求函數的值域。
2、求函數的最值與值域的區別和聯(lián)系
求函數最值的常用方法和求函數值域的方法基本上是相同的，事實(shí)上，如果在函數的值域中存在一個(gè)最�。ù螅⿺�，這個(gè)數就是函數的最�。ù螅┲�。因此求函數的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的，只是提問(wèn)的角度不同，因而答題的方式就有所相異。
如函數的值域是（0，16]，最大值是16，無(wú)最小值。再如函數的值域是（—∞，—2]∪[2，+∞），但此函數無(wú)最大值和最小值，只有在改變函數定義域后，如x>0時(shí)，函數的最小值為2�？梢�(jiàn)定義域對函數的值域或最值的影響。
3、函數的最值在實(shí)際問(wèn)題中的應用
函數的最值的應用主要體現在用函數知識求解實(shí)際問(wèn)題上，從文字表述上常常表現為“工程造價(jià)最低”，“利潤最大”或“面積（體積）最大（最�。钡戎T多現實(shí)問(wèn)題上，求解時(shí)要特別關(guān)注實(shí)際意義對自變量的制約，以便能正確求得最值。
（四）、函數的奇偶性
1、函數的奇偶性的定義：對于函數f（x），如果對于函數定義域內的任意一個(gè)x，都有f（—x）=—f（x）（或f（—x）=f（x）），那么函數f（x）就叫做奇函數（或偶函數）。
正確理解奇函數和偶函數的定義，要注意兩點(diǎn)：（1）定義域在數軸上關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)是函數f（x）為奇函數或偶函數的必要不充分條件；（2）f（x）=—f（x）或f（—x）=f（x）是定義域上的恒等式。（奇偶性是函數定義域上的整體性質(zhì)）。
2、奇偶函數的定義是判斷函數奇偶性的主要依據。為了便于判斷函數的奇偶性，有時(shí)需要將函數化簡(jiǎn)或應用定義的等價(jià)形式。
函數知識點(diǎn)11
1.函數的定義
函數是高考數學(xué)中的重點(diǎn)內容，學(xué)習函數需要首先掌握函數的各個(gè)知識點(diǎn)，然后運用函數的各種性質(zhì)來(lái)解決具體的問(wèn)題。
設A、B是非空的數集，如果按照某種確定的對應關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)數x,在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱(chēng)f:A-B為從集合A到集合B的一個(gè)函數，記作y=f(x),xA
2.函數的定義域
函數的定義域分為自然定義域和實(shí)際定義域兩種，如果給定的函數的解析式（不注明定義域），其定義域應指的是使該解析式有意義的自變量的取值范圍（稱(chēng)為自然定義域），如果函數是有實(shí)際問(wèn)題確定的，這時(shí)應根據自變量的.實(shí)際意義來(lái)確定，函數的值域是由全體函數值組成的集合。
3.求解析式
求函數的解析式一般有三種種情況：
�。�1）根據實(shí)際問(wèn)題建立函數關(guān)系式，這種情況需引入合適的變量，根據數學(xué)的有關(guān)知識找出函數關(guān)系式。
�。�2）有時(shí)體中給出函數特征，求函數的解析式，可用待定系數法。
�。�3）換元法求解析式，f[h(x)]=g(x)求f(x)的問(wèn)題，往往可設h(x)=t，從中解出x,代入g(x)進(jìn)行換元來(lái)解。掌握求函數解析式的前提是，需要對各種函數的性質(zhì)了解且熟悉。
目前我們已經(jīng)學(xué)習了常數函數、指數與指數函數、對數與對數函數、冪函數、三角函數、反比例函數、二次函數以及由以上幾種函數加減乘除，或者復合的一些相對較復雜的函數，但是這種函數也是初等函數。
函數知識點(diǎn)12
1. 函數的奇偶性
(1)若f(x)是偶函數，那么f(x)=f(-x) ;
(2)若f(x)是奇函數，0在其定義域內，則 f(0)=0(可用于求參數);
(3)判斷函數奇偶性可用定義的等價(jià)形式：f(x)±f(-x)=0或 (f(x)≠0);
(4)若所給函數的解析式較為復雜，應先化簡(jiǎn)，再判斷其奇偶性;
(5)奇函數在對稱(chēng)的單調區間內有相同的單調性;偶函數在對稱(chēng)的單調區間內有相反的單調性;
2. 復合函數的有關(guān)問(wèn)題
(1)復合函數定義域求法：若已知 的定義域為[a，b],其復合函數f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定義域為[a,b],求 f(x)的定義域，相當于x∈[a,b]時(shí)，求g(x)的值域(即 f(x)的定義域);研究函數的問(wèn)題一定要注意定義域優(yōu)先的原則。
(2)復合函數的單調性由“同增異減”判定;
3.函數圖像(或方程曲線(xiàn)的對稱(chēng)性)
(1)證明函數圖像的對稱(chēng)性，即證明圖像上任意點(diǎn)關(guān)于對稱(chēng)中心(對稱(chēng)軸)的對稱(chēng)點(diǎn)仍在圖像上;
(2)證明圖像C1與C2的對稱(chēng)性，即證明C1上任意點(diǎn)關(guān)于對稱(chēng)中心(對稱(chēng)軸)的對稱(chēng)點(diǎn)仍在C2上，反之亦然;
(3)曲線(xiàn)C1：f(x,y)=0,關(guān)于y=x+a(y=-x+a)的對稱(chēng)曲線(xiàn)C2的方程為f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);
(4)曲線(xiàn)C1:f(x,y)=0關(guān)于點(diǎn)(a,b)的對稱(chēng)曲線(xiàn)C2方程為：f(2a-x,2b-y)=0;
(5)若函數y=f(x)對x∈R時(shí)，f(a+x)=f(a-x)恒成立，則y=f(x)圖像關(guān)于直線(xiàn)x=a對稱(chēng);
(6)函數y=f(x-a)與y=f(b-x)的圖像關(guān)于直線(xiàn)x= 對稱(chēng);
4.函數的周期性
(1)y=f(x)對x∈R時(shí)，f(x +a)=f(x-a) 或f(x-2a )=f(x) (a0)恒成立,則y=f(x)是周期為2a的周期函數;
(2)若y=f(x)是偶函數，其圖像又關(guān)于直線(xiàn)x=a對稱(chēng)，則f(x)是周期為2︱a︱的周期函數;
(3)若y=f(x)奇函數，其圖像又關(guān)于直線(xiàn)x=a對稱(chēng)，則f(x)是周期為4︱a︱的周期函數;
(4)若y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0),(b,0)對稱(chēng)，則f(x)是周期為2 的`周期函數;
(5)y=f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=a,x=b(a≠b)對稱(chēng)，則函數y=f(x)是周期為2 的周期函數;
(6)y=f(x)對x∈R時(shí)，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)= ，則y=f(x)是周期為2 的周期函數;
5.
方程k=f(x)有解 k∈D(D為f(x)的值域);
6.
a≥f(x) 恒成立 a≥[f(x)]max,; a≤f(x) 恒成立 a≤[f(x)]min;
7.
(1) (a0,a≠1,b0,n∈R+);
(2) l og a N= ( a0,a≠1,b0,b≠1);
(3) l og a b的符號由口訣“同正異負”記憶;
(4) a log a N= N ( a0,a≠1,N
8. 判斷對應是否為映射時(shí)，抓住兩點(diǎn)：
(1)A中元素必須都有象且唯一;
(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;
9. 能熟練地用定義證明函數的單調性，求反函數，判斷函數的奇偶性。
10.對于反函數，應掌握以下一些結論：
(1)定義域上的單調函數必有反函數;
(2)奇函數的反函數也是奇函數;
(3)定義域為非單元素集的偶函數不存在反函數;
(4)周期函數不存在反函數;
(5)互為反函數的兩個(gè)函數具有相同的單調性;
(5) y=f(x)與y=f-1(x)互為反函數，設f(x)的定義域為A，值域為B，則有f[f--1(x)]=x(x∈B),f--1[f(x)]=x(x∈A).
11.處理二次函數的問(wèn)題勿忘數形結合;二次函數在閉區間上必有最值，求最值問(wèn)題用“兩看法”：一看開(kāi)口方向;二看對稱(chēng)軸與所給區間的相對位置關(guān)系;
12. 依據單調性，利用一次函數在區間上的保號性可解決求一類(lèi)參數的范圍問(wèn)題
13. 恒成立問(wèn)題的處理方法：(1)分離參數法;(2)轉化為一元二次方程的根的分布列不等式(組)求解;
函數知識點(diǎn)13
一：函數及其表示
知識點(diǎn)詳解文檔包含函數的概念、映射、函數關(guān)系的判斷原則、函數區間、函數的三要素、函數的定義域、求具體或抽象數值的函數值、求函數值域、函數的表示方法等
1. 函數與映射的區別：
2. 求函數定義域
常見(jiàn)的用解析式表示的函數f(x)的定義域可以歸納如下：
�、佼攆(x)為整式時(shí)，函數的定義域為R.
�、诋攆(x)為分式時(shí)，函數的定義域為使分式分母不為零的實(shí)數集合。
�、郛攆(x)為偶次根式時(shí)，函數的定義域是使被開(kāi)方數不小于0的實(shí)數集合。
�、墚攆(x)為對數式時(shí)，函數的定義域是使真數為正、底數為正且不為1的實(shí)數集合。
�、萑绻鹒(x)是由幾個(gè)部分的數學(xué)式子構成的，那么函數定義域是使各部分式子都有意義的實(shí)數集合，即求各部分有意義的實(shí)數集合的交集。
�、迯秃虾瘮档亩x域是復合的各基本的函數定義域的交集。
�、邔τ谟蓪�(shí)際問(wèn)題的背景確定的函數，其定義域除上述外，還要受實(shí)際問(wèn)題的制約。
3. 求函數值域
(1)、觀(guān)察法：通過(guò)對函數定義域、性質(zhì)的觀(guān)察，結合函數的解析式，求得函數的值域;
(2)、配方法;如果一個(gè)函數是二次函數或者經(jīng)過(guò)換元可以寫(xiě)成二次函數的形式，那么將這個(gè)函數的右邊配方，通過(guò)自變量的范圍可以求出該函數的值域;
(3)、判別式法：
(4)、數形結合法;通過(guò)觀(guān)察函數的圖象，運用數形結合的方法得到函數的值域;
(5)、換元法;以新變量代替函數式中的某些量，使函數轉化為以新變量為自變量的函數形式，進(jìn)而求出值域;
(6)、利用函數的單調性;如果函數在給出的定義域區間上是嚴格單調的.，那么就可以利用端點(diǎn)的函數值來(lái)求出值域;
(7)、利用基本不等式：對于一些特殊的分式函數、高于二次的函數可以利用重要不等式求出函數的值域;
(8)、最值法：對于閉區間[a,b]上的連續函數y=f(x),可求出y=f(x)在區間[a,b]內的極值,并與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數的最值,可得到函數y的值域;
(9)、反函數法：如果函數在其定義域內存在反函數，那么求函數的值域可以轉化為求反函數的定義域。
函數知識點(diǎn)14
高一數學(xué)上學(xué)期知識點(diǎn)：冪函數
定義：
形如y=x^a(a為常數)的函數，即以底數為自變量?jì)鐬橐蜃兞�，指數為常量的函數稱(chēng)為冪函數。
定義域和值域：
當a為不同的數值時(shí)，冪函數的定義域的不同情況如下：如果a為任意實(shí)數，則函數的定義域為大于0的所有實(shí)數;如果a為負數，則x肯定不能為0，不過(guò)這時(shí)函數的定義域還必須根[據q的奇偶性來(lái)確定，即如果同時(shí)q為偶數，則x不能小于0，這時(shí)函數的定義域為大于0的所有實(shí)數;如果同時(shí)q為奇數，則函數的定義域為不等于0的所有實(shí)數。當x為不同的數值時(shí)，冪函數的值域的不同情況如下：在x大于0時(shí)，函數的值域總是大于0的實(shí)數。在x小于0時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數，函數的值域為非零的實(shí)數。而只有a為正數，0才進(jìn)入函數的值域
性質(zhì)：
對于a的取值為非零有理數，有必要分成幾種情況來(lái)討論各自的特性：
首先我們知道如果a=p/q，q和p都是整數，則x^(p/q)=q次根號(x的p次方)，如果q是奇數，函數的定義域是R，如果q是偶數，函數的定義域是[0，+∞)。當指數n是負整數時(shí)，設a=-k，則x=1/(x^k)，顯然x≠0，函數的定義域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制來(lái)源于兩點(diǎn)，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數次的根號下而不能為負數，那么我們就可以知道：
排除了為0與負數兩種可能，即對于x>0，則a可以是任意實(shí)數;
排除了為0這種可能，即對于x<0 x="">0的所有實(shí)數，q不能是偶數;
排除了為負數這種可能，即對于x為大于且等于0的所有實(shí)數，a就不能是負數。
總結起來(lái)，就可以得到當a為不同的數值時(shí)，冪函數的定義域的不同情況如下：
如果a為任意實(shí)數，則函數的`定義域為大于0的所有實(shí)數;
如果a為負數，則x肯定不能為0，不過(guò)這時(shí)函數的定義域還必須根據q的奇偶性來(lái)確定，即如果同時(shí)q為偶數，則x不能小于0，這時(shí)函數的定義域為大于0的所有實(shí)數;如果同時(shí)q為奇數，則函數的定義域為不等于0的所有實(shí)數。
在x大于0時(shí)，函數的值域總是大于0的實(shí)數。
在x小于0時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數，函數的值域為非零的實(shí)數。
而只有a為正數，0才進(jìn)入函數的值域。
由于x大于0是對a的任意取值都有意義的，因此下面給出冪函數在第一象限的各自情況.
可以看到：
(1)所有的圖形都通過(guò)(1，1)這點(diǎn)。
(2)當a大于0時(shí)，冪函數為單調遞增的，而a小于0時(shí)，冪函數為單調遞減函數。
(3)當a大于1時(shí)，冪函數圖形下凹;當a小于1大于0時(shí)，冪函數圖形上凸。
(4)當a小于0時(shí)，a越小，圖形傾斜程度越大。
(5)a大于0，函數過(guò)(0，0);a小于0，函數不過(guò)(0，0)點(diǎn)。
(6)顯然冪函數無(wú)界。
函數知識點(diǎn)15
1、變量與常量
在某一變化過(guò)程中，可以取不同數值的量叫做變量，數值保持不變的量叫做常量。
一般地，在某一變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x與y，如果對于x的每一個(gè)值，y都有唯一確定的值與它對應，那么就說(shuō)x是自變量，y是x的函數。
2、函數解析式
用來(lái)表示函數關(guān)系的'數學(xué)式子叫做函數解析式或函數關(guān)系式。
使函數有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。
3、函數的三種表示法及其優(yōu)缺點(diǎn)
�。�1）解析法
兩個(gè)變量間的函數關(guān)系，有時(shí)可以用一個(gè)含有這兩個(gè)變量及數字運算符號的等式表示，這種表示法叫做解析法。
�。�2）列表法
把自變量x的一系列值和函數y的對應值列成一個(gè)表來(lái)表示函數關(guān)系，這種表示法叫做列表法。
�。�3）圖像法
用圖像表示函數關(guān)系的方法叫做圖像法。
4、由函數解析式畫(huà)其圖像的一般步驟
�。�1）列表：列表給出自變量與函數的一些對應值。
�。�2）描點(diǎn)：以表中每對對應值為坐標，在坐標平面內描出相應的點(diǎn)。
�。�3）連線(xiàn)：按照自變量由小到大的順序，把所描各點(diǎn)用平滑的曲線(xiàn)連接起來(lái)。
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