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圓錐曲線(xiàn)方程教學(xué)的改進(jìn)
人教版《全日制普通高級中學(xué)教科書(shū)·數學(xué)》第二冊（上）在第八章介紹了“圓錐曲線(xiàn)方程”。在對“雙曲線(xiàn)”教學(xué)的處理上，筆者有三處改進(jìn)意見(jiàn)。
一、一個(gè)教學(xué)實(shí)驗
對教材第106頁(yè)例2的教學(xué)，筆者在所任教的兩個(gè)班做了這樣一個(gè)實(shí)驗：在甲班按教材上的解法向學(xué)生講解，不到10分時(shí)間完成該題的講解；在乙班提前兩天布置了這樣一道作業(yè)題：
解方程組
學(xué)生對此方程組的解法有下列6種：
解法1：
由①×＋②，得a2＝16。
把a2＝16代入①，得b2＝9（下略）。
解法2：
由①－②，得－＝0，
即a2＝。
把a2＝代入①，得b2＝9，把b2＝9代入a2＝，得a2＝16（下略）。
解法3：
由①，得32b2－9a2＝a2b2。③
由②，得400b2－81a2＝16a2b2。④
由③×16－④，得16b2－9a2＝0，即a2＝（下略）。
解法4：
由①，得＝。
把＝代入②，得－＝1，即a2＝16（下略）。
解法5：令m＝a2，n＝b2，
則原方程組化為
�。ㄏ侣裕�。
解法6：令x＝，y＝，則原方程組化為
解這個(gè)方程組，得
即a2＝16，b2＝9（下略）。
當講到教材第106頁(yè)例2時(shí)，與學(xué)生一起列出方程組
學(xué)生看到這個(gè)方程組后，聯(lián)想到兩天前所做的作業(yè)，他們議論紛紛，有的學(xué)生的解法與教材一致，有的學(xué)生的解法與教材不一致。筆者用投影儀顯示作業(yè)中6種不同的解法，學(xué)生認真分析6種不同的解法。──通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題調動(dòng)了他們學(xué)習數學(xué)的積極性。筆者沒(méi)有就此罷休，及時(shí)提出對例題解法有沒(méi)有值得改進(jìn)的地方，教室一下子就安靜下來(lái)了，大家都在積極思考著(zhù)這個(gè)問(wèn)題。過(guò)了一會(huì )兒，有的學(xué)生就抬起頭看著(zhù)老師，這說(shuō)明他們已經(jīng)找到了答案。學(xué)生受教材中方程組的啟發(fā)，認為此題可以直接設所求雙曲線(xiàn)方程為my2－nx2＝1（m＞0，n＞0），這樣設計計算量較小。其實(shí)當橢圓或雙曲線(xiàn)中心在原點(diǎn)且對稱(chēng)軸為坐標軸時(shí)，設為Ａx2＋by2＝1的形式計算量更小。在乙班完成這一例題的講解用的時(shí)間是甲班的2倍，而乙班課堂氣氛和學(xué)習效果是甲班所不能比的。
在甲班的教學(xué)基本上照本宣科，僅用了待定系數法和換元法；而在乙班，除了用待定系數法和換元法，還用了整體代換思想、加減消元法、消常數法等數學(xué)思想方法，更可貴的是，學(xué)生受教材解題過(guò)程的啟示，認為直接設my2－nx2＝1（m＞0，n＞0）可使計算量減小。
通過(guò)這一實(shí)驗，可以得到一些有益的啟示：1．可不時(shí)將后學(xué)內容置前。將學(xué)生還沒(méi)有學(xué)到但可以解決的局部問(wèn)題置前，讓他們自己解決，這樣做可以充分調動(dòng)學(xué)生的學(xué)習積極性，避免教材和教師的局限性，還可以培養學(xué)生的創(chuàng )造性思維能力，學(xué)生對某些問(wèn)題的解決，往往可以超出教師的想象。2．要充分重視教材中例題的教學(xué)。當前高中數學(xué)教學(xué)有一種不良傾向，認為教材中的例習題太容易，而高考題目太難，于是在上新課時(shí)，對教材例題講解不夠重視，而是草草了事，然后補充大量較難例題占用課堂時(shí)間。其實(shí)這樣做不可取，教材例題是教材編者精心挑選的，是數學(xué)題目的精品，如果不好好利用它們，實(shí)在是巨大浪費。對教材例題不深入鉆研就不知道它的價(jià)值。3．學(xué)生自己能夠解決的問(wèn)題要堅決讓學(xué)生自己解決。由于學(xué)生解決問(wèn)題的途徑多而且有些十分巧妙，如果教師代替學(xué)生來(lái)解決問(wèn)題，往往會(huì )淹沒(méi)學(xué)生很多好的解法。一定要相信學(xué)生是聰明的。
二、雙曲線(xiàn)漸近方程的證明改進(jìn)
對于雙曲線(xiàn)漸近方程的證明，教材采用的是間接法，也可以直接證明。
先取雙曲線(xiàn)在第一象限內的部分，這一部分的方程可寫(xiě)為
y＝（x＞a）。
設Ｍ（m＞a）是它上面的點(diǎn)，由點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式，可得Ｍ到直線(xiàn)y＝x的距離
d＝
�。�。
當x逐漸增大時(shí)，m逐漸增大，m＋逐漸增大，當m無(wú)限增大，m＋無(wú)限增大，d接近于0，就是說(shuō)，雙曲線(xiàn)在第一象限的部分從射線(xiàn)ＯＮ的下方逐漸接近于射線(xiàn)ＯＮ。
在其他象限內，也可以證明類(lèi)似的情況。我們把兩條直線(xiàn)y＝±x叫做雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)。
三、一個(gè)例題教學(xué)設計的改進(jìn)
例雙曲線(xiàn)型自然通風(fēng)塔的外形，是雙曲線(xiàn)的一部分繞其虛軸旋轉所成的曲面（圖1），它的最小半徑為12m，上口半徑為13m，下口半徑為25m，高55m，選擇適當的坐標，求出此雙曲線(xiàn)的方程（精確到1m）（教材第111頁(yè)例2）。
解：如圖2建立直角坐標系xＯy，使小圓的直徑ＡＡ′在x軸上，圓心與原點(diǎn)重合。這時(shí)，上、下口的直徑ＣＣ′、ＢＢ′平行于x軸，且｜ＣＣ′｜＝13×2，｜ＢＢ′｜＝25×2。
設雙曲線(xiàn)的方程為－＝1（a＞0，b＞0），令點(diǎn)Ｃ的坐標為（13，y1），點(diǎn)Ｂ的坐標為（25，y2），因為點(diǎn)Ｂ、Ｃ在雙曲線(xiàn)上，所以－＝1，－＝1。
又y1＞0，y2＜0，所以y1＝b，y2＝b。
而y1－y2＝55，所以b＝55，
即b＝≈25。
從而所求雙曲線(xiàn)方程為－＝1。
上述解法與教材的區別是：設Ｂ點(diǎn)和Ｃ點(diǎn)方式不一樣，教材中解方程時(shí)計算量相當大，而上面的解法只需用計算器算出即可。
在解析幾何中，解題計算量是一個(gè)難點(diǎn)，合理設所求曲線(xiàn)方程或點(diǎn)的坐標，可以減少計算量。
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