高二數學(xué)等比數列的前n項和教學(xué)設計
作為一名教職工，很有必要精心設計一份教學(xué)設計，教學(xué)設計把教學(xué)各要素看成一個(gè)系統，分析教學(xué)問(wèn)題和需求，確立解決的程序綱要，使教學(xué)效果最優(yōu)化。你知道什么樣的教學(xué)設計才能切實(shí)有效地幫助到我們嗎？以下是小編精心整理的高二數學(xué)等比數列的前n項和教學(xué)設計，歡迎閱讀，希望大家能夠喜歡。
一、教學(xué)背景分析
1、教學(xué)內容分析
本節課是高中數學(xué)（北師大版必修5）第一章第3節第二課時(shí),是“等差數列的前n項和”與“等比數列”內容的延續，與函數等知識有著(zhù)密切的聯(lián)系，也為以后學(xué)數列的求和，數學(xué)歸納法等做好鋪墊。而且公式推導過(guò)程中所滲透的類(lèi)比、化歸、分類(lèi)討論、整體變換和方程等思想方法，都是學(xué)生今后學(xué)習和工作中必備的數學(xué)素養，如在“分期付款”等實(shí)際問(wèn)題中也經(jīng)常涉及到。本節以數學(xué)文化背境引入課題有助于提升學(xué)生的創(chuàng )新思維和探索精神,是提高數學(xué)文化素養和培養學(xué)生應用意識的良好載體。
2、學(xué)情分析
從學(xué)生的思維特點(diǎn)看，很容易把本節內容與等差數列前n項和從公式的形成、特點(diǎn)等方面進(jìn)行類(lèi)比，這是積極因素，應因勢利導。不利因素是，本節公式的推導與等差數列前n項和公式的推導有著(zhù)本質(zhì)的不同，這對學(xué)生的思維是一個(gè)突破，另外，對于q = 1這一特殊情況，學(xué)生往往容易忽視，尤其是在后面使用的過(guò)程中容易出錯。教學(xué)對象是高二理科班的學(xué)生，雖然具有一定的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，邏輯思維能力也初步形成，但由于年齡的原因，思維盡管活躍、敏捷，卻缺乏冷靜、深刻，因此片面、不完全。
二、教學(xué)目標
依據新課程標準及教材內容，結合學(xué)生的認知發(fā)展水平和心理特點(diǎn)，確定本節課的教學(xué)目標如下：
1、知識與技能目標: 理解等比數列前n項和公式推導方法；掌握等比數列前n項和公式并能運用公式解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。
2、過(guò)程與方法目標：感悟并理解公式的推導過(guò)程，感受公式探求過(guò)程所蘊涵的從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類(lèi)討論思想及轉化思想，優(yōu)化思維品質(zhì)，初步提高學(xué)生的建模意識和探究、分析與解決問(wèn)題的能力。
3、情感與態(tài)度目標：通過(guò)經(jīng)歷對公式的探索過(guò)程，對學(xué)生進(jìn)行思維嚴謹性的訓練，激發(fā)學(xué)生的求知欲，鼓勵學(xué)生大膽嘗試、勇于探索、敢于創(chuàng )新，磨練思維品質(zhì)，從中獲得成功的體驗，感受數學(xué)的奇異美、結構的對稱(chēng)美、形式的簡(jiǎn)潔美和數學(xué)的嚴謹美。
三、重點(diǎn),難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：等比數列前“等比數列的前n項和”項和公式的推導及其簡(jiǎn)單應用。
教學(xué)難點(diǎn)：公式的推導思想方法及公式應用中q與1的關(guān)系。
四、教學(xué)方法
啟發(fā)引導，探索發(fā)現，類(lèi)比。
五、 教學(xué)過(guò)程
（一）借助數學(xué)文化背境提出問(wèn)題
在古印度，有個(gè)名叫西薩的人，發(fā)明了國際象棋，當時(shí)的印度國王大為贊賞，對他說(shuō)：我可以滿(mǎn)足你的任何要求。
西薩說(shuō)：請給我棋盤(pán)的64個(gè)方格上，第一格放1粒小麥，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的兩倍，直至第64格。國王令宮廷數學(xué)家計算，結果出來(lái)后，國王大吃一驚。為什么呢？
【設計意圖】：設計這個(gè)數學(xué)文化背境目的是在引入課題的同時(shí)激發(fā)學(xué)生的`興趣，調動(dòng)學(xué)習的積極性。故事內容也緊扣本節課的主題與重點(diǎn)。
問(wèn)題1：同學(xué)們，你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎？
引導學(xué)生寫(xiě)出麥�？倲怠暗缺葦盗械那皀項和”。
（二）師生互動(dòng)，探究問(wèn)題
問(wèn)題2：“等比數列的前n項和”
有些學(xué)生會(huì )說(shuō)用計算器來(lái)求。（老師當然肯定這種做法，但學(xué)生很快發(fā)現比較難求。）
問(wèn)題3：同學(xué)們，我們來(lái)分析一下這個(gè)和式有什么特征？
�。▽W(xué)生會(huì )發(fā)現，后一項都是前一項的2倍）
問(wèn)題4：如果我們把（1）式每一項都乘以2，就變成了它的后一項，那么我們若在此等式兩邊同以2，得到（2）式：
“等比數列的前n項和”
比較（1）(2）兩式，你有什么發(fā)現？（學(xué)生經(jīng)過(guò)比較發(fā)現：（1）、（2）兩式有許多相同的項）
問(wèn)題5：將兩式相減，相同的項就消去了，得到什么呢？。（學(xué)生會(huì )發(fā)現：“等比數列的前n項和”
【設計意圖】：這五個(gè)問(wèn)題層層深入，剖析了錯位相減法中減的妙用，使學(xué)生容易接受為什么要錯位相減，經(jīng)過(guò)繁難的計算之后，突然發(fā)現上述解法，也讓學(xué)生感受到這種方法的神奇。
問(wèn)題6：老師指出這就是錯位相減法，并要求學(xué)生縱觀(guān)全過(guò)程，反思為什么（1）式兩邊要同乘以2呢？
【設計意圖】：經(jīng)過(guò)繁難的計算之苦后，突然發(fā)現上述解法，讓學(xué)生對錯位相減法有一個(gè)深刻的認識，也為探究等比數列求和公式的推導做好鋪墊。
（三）類(lèi)比聯(lián)想，構建新知
這時(shí)我再順勢引導學(xué)生將結論一般化。
問(wèn)題7：如何求等比數列“等比數列的前n項和”的前“等比數列的前n項和”項和“等比數列的前n項和”：
即:“等比數列的前n項和”(學(xué)生相互合作,討論交流，老師巡視課堂，并請學(xué)生上臺板演。)
注：學(xué)生已有上面問(wèn)題的處理經(jīng)驗，肯定有不少學(xué)生會(huì )想到“錯位相減法”，教師可放手讓學(xué)生探究。
將“等比數列的前n項和”兩邊同時(shí)乘以公比“等比數列的前n項和”后會(huì )得到“等比數列的前n項和”，兩個(gè)等式相減后，哪些項被消去，還剩下哪些項，剩下項的符號有沒(méi)有改變？這些都是用錯位相減法求等比數列前“等比數列的前n項和”項和的關(guān)鍵所在，讓學(xué)生先思考，再討論，最后師在突出強調，加深印象。
兩式作差得到“等比數列的前n項和”時(shí)，肯定會(huì )有學(xué)生直接得到“等比數列的前n項和”，不忙揭露錯誤，后面再反饋這個(gè)易錯點(diǎn)，從而掌握公式的本質(zhì)。
【設計意圖】：在教師的指導下，讓學(xué)生從特殊到一般，從已知到未知，步步深入，讓學(xué)生自己探究公式，從而體驗到學(xué)習的成就感。增強學(xué)習數學(xué)的興趣和學(xué)好數學(xué)的信心。
問(wèn)題8:由 “等比數列的前n項和” 得 “等比數列的前n項和”對不對呢？這里的“等比數列的前n項和”能不能等于1呀？等比數列中的公比能不能為1？那么“等比數列的前n項和”時(shí)是什么數列？此時(shí)“等比數列的前n項和”？你能歸納出等比數列的前n項和公式嗎？ （這里引導學(xué)生對“等比數列的前n項和” 進(jìn)行分類(lèi)討論，得出公式，同時(shí)為后面的例題教學(xué)打下基礎。）
再次追問(wèn)：結合等比數列的通項公式“等比數列的前n項和” ,如何把“等比數列的前n項和” 用“等比數列的前n項和” “等比數列的前n項和” 、“等比數列的前n項和” 表示出來(lái)？（引導學(xué)生得出公式的另一形式）
知三求二：n q a1 an Sn ；n的含義：項數（通項公式是qn－1）；q的含義：公比（注意q=1，分類(lèi)討論）；
錯位相減法：乘公比（作用是構造許多相同項）后錯開(kāi)一項后再減。
【設計意圖】：通過(guò)反問(wèn)學(xué)生歸納，一方面使學(xué)生加深對知識的認識，完善知識結構，另一方面使學(xué)生由簡(jiǎn)單地模仿和接受，變?yōu)閷χR的主動(dòng)認識，從而進(jìn)一步提高分析、類(lèi)比和綜合的能力。這一環(huán)節非常重要，盡管僅僅幾句話(huà)，然而卻有畫(huà)龍點(diǎn)睛之妙用。
（四）討論交流，延伸拓展
問(wèn)題9: 探究等比數列前n項和公式，還有其它方法嗎？
“等比數列的前n項和”（學(xué)生討論交流，老師指導。依學(xué)生的認知水平可能會(huì )有以下幾種方法）
�。�1）錯位相減法
“等比數列的前n項和”（2）提出公比q。
“等比數列的前n項和”（3）累加法。
【設計意圖】：以疑導思，激發(fā)學(xué)生的探索欲望，營(yíng)造一個(gè)讓學(xué)生主動(dòng)觀(guān)察、思考、討論的氛圍、 這有非常重要的研究?jì)r(jià)值，是研究性學(xué)習和課外拓展的極佳資源，它源于課本，又高于課本，對學(xué)生的思維發(fā)展有促進(jìn)作用。
(五) 應用公式，深化理解
例1：在等比數列{ an }中：
(1)已知a1＝3，q＝2，n＝6，求Sn；
(2)已知a1=8，q=1/2，an =1/2，求Sn；
(3)已知a1=－1、5，a4=96，求q與S4；
(4)已知a1=2，S3＝26，求q與a3。
【設計意圖】：初步應用公式，理解等比數列的基本量也可“知三求二”，體會(huì )方程思想。
例2：等比數列{ an }中，已知a3＝3/2，S3＝9/2，求a1與q。
【設計意圖】：注意公式中的分類(lèi)討論思想。
例3：求數列{n+ }的前n項和。
【設計意圖】：將未知問(wèn)題轉化為已知問(wèn)題，進(jìn)一步體會(huì )等比數列前n項和公式的應用。
練習1：求等比數列“等比數列的前n項和”前8項和；
練習2：a3= ，S9= ，求a1和q；
練習3：求數列{n+an}的前n項和。
�。ㄏ扔蓪W(xué)生獨立求解，然后抽學(xué)生板演，教師巡視、指導，講評學(xué)生完成情況，尋找學(xué)生中的閃光點(diǎn)，給予適時(shí)的表?yè)P。)
【設計意圖】：通過(guò)練習，深化認識，增加思維的梯度的同時(shí)，提高學(xué)生的模式識別能力，滲透轉化思想。
（六）總結歸納，加深理解
問(wèn)題10:這節課你有什么收獲？學(xué)到了哪些知識和方法？
【設計意圖】：以問(wèn)題的形式出現，引導學(xué)生回顧公式、推導方法，鼓勵學(xué)生積極回答，然后老師再從知識點(diǎn)及數學(xué)思想方法等方面總結。以此培養學(xué)生的口頭表達能力，歸納概括能力。
�。▽W(xué)生小結歸納，不足之處老師補充說(shuō)明。）
1、公式：等比數列前n項和。
當q≠1時(shí),Sn=
當q=1時(shí), Sn=na1
2、方法：錯位相減法。（乘以公比）
3、思想：分類(lèi)討論。（公式選擇）
（七）故事結束，首尾呼應
最后我們回到故事中的問(wèn)題，可以計算出國王獎賞的小麥約為1、84×1019粒，大約7000億噸，用這么多小麥能從地球到太陽(yáng)鋪設一條寬10米、厚8米的大道，大約是全世界一年糧食產(chǎn)量的459倍，顯然國王兌現不了他的承諾了。
【設計意圖】：把引入課題時(shí)的懸念給予釋疑，有助于學(xué)生克服疲倦、繼續積極思維。
（八）課后作業(yè)，分層練習
�。�1）閱讀本節內容，預習下一節內容；
�。�2） 書(shū)面作業(yè)：習題P30 8 、10；
【設計意圖】：出選作題的目的是注意分層教學(xué)和因材施教，讓學(xué)有余力的學(xué)生有思考的空間。
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