平面向量教學(xué)課件
平面向量是在二維平面內既有方向又有大小的量，物理學(xué)中也稱(chēng)作矢量，與之相對的是只有大小、沒(méi)有方向的數量（標量）。平面向量用a,b,c上面加一個(gè)小箭頭表示，也可以用表示向量的有向線(xiàn)段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字母表示。
【學(xué)習目標】
1、理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示；
2、掌握向量加、減法的運算，并理解其幾何意義；
3、掌握向量數乘的運算，并理解其幾何意義，以及兩個(gè)向量共線(xiàn)的含義；
4、了解向量線(xiàn)性運算的性質(zhì)及其幾何意義。
【學(xué)習要點(diǎn)】
1、向量概念
________________________________________________________叫零向量，記作 ；長(cháng)度為_(kāi)_____的向量叫做單位向量；方向___________________的向量叫做平行向量。
規定： 與______向量平行；長(cháng)度_______且方向_______的向量叫做相等向量；平行向量也叫______向量。
2、向量加法
求兩個(gè)向量和的運算，叫做向量的加法，向量加法有___________法則與______________法則。
3、向量減法
向量 加上 的相反向量叫做 與 的差，記作_________________________，求兩個(gè)向量差的運算，叫做向量的減法。
4、實(shí)數與向量的積
實(shí)數 與向量 的積是一個(gè)_______，記作________，其模及方向與____的值密切相關(guān)。
5、兩向量共線(xiàn)的充要條件
向量 與非零向量 共線(xiàn)的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數 ，使得__________。
【典型例題】
例1 在四邊形ABCD中， 等于 （ ）
A、 B、 C、 D、
例2 若平行四邊形ABCD的對角線(xiàn)AC和BD相交于O，且 ， ，則 、 表示向量 為 （ ）
A、 + B、 — C、— + D、— —
例3 設 、 是兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，則向量 與向量 共線(xiàn)的充要條件是 （ ）
A、 0 B、 C、 1 D、 2
例4 下列命題中：
�。�1） = ， = 則 =
�。�2）| |=| |是 = 的必要不充分條件
�。�3） = 的充要條件是
�。�4） = （ ）的充要條件是 =
其中真命題的有__________________。
例5 如圖5-1-1，以向量 ，為邊作平行四邊形AOBD，又 ，，用 、 表示 、 和 。
【課堂練習】
1、 （ ）
A、 B、 C、 D、
2、“兩向量相等”是“兩向量共線(xiàn)”的（ ）
A、充分不必要條件 B、必要不充分條件
C、充要條件 D、既不充分也不必要條件
3、 已知四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)P在對角線(xiàn)AC上（不包括端點(diǎn)A、C），則 等于 （ ）
A、
B、
C、
D、
4、若| |=1，| |=2， =且 ，則向量 與 的夾角為（ ）
A、300 B、600 C、1200 D、1500
【課堂反思】
2.2 平面向量的坐標運算
【學(xué)習目標】
1、知識與技能：了解平面向量的基本定理及其意義、掌握平面向量的正交分解及其坐標表示；理解用坐標表示的平面向量共線(xiàn)的條件。
2、能力目標：會(huì )用坐標表示平面向量的加、減與數乘運算；
3、情感目標：通過(guò)對平面向量的基本定理來(lái)理解坐標，實(shí)現從圖形到坐標的轉換過(guò)程，鍛煉學(xué)生的轉化能力。
【學(xué)習過(guò)程】
1、平面向量基本定理
如果 、 是同一平面內的兩個(gè) 的向量，那么對這一平面內的任一向量 ，有且只有一對實(shí)數 、 使 ，其中不共線(xiàn)的向量 、 叫做表示這一平面內所有向量的'一組 。
2、平面向量的正交分解及坐標表示
把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相 的向量，叫做把向量正交分解。在平面直角坐標系內，分別取與 軸、 軸正方向相同的兩個(gè) 向量 、 作為基底，對任一向量 ，有且只有一對實(shí)數 、 使得 ，則實(shí)數對（ ， ）叫做向量 的直角坐標，記作 = ，其中 、 分別叫做 在 軸、 軸上的坐標， 叫做向量 的 表示。相等向量其坐標 ，坐標相同的向量是 向量。
3、平面向量的坐標運算
�。�1）若 = ， = ，則 =
�。�2）若A ，B ，則
�。�3）若 =（ ， ），則
4、平面向量共線(xiàn)的坐標表示
若 = ， = ， 則 // 的充要條件是
5、若 ，其中 ，則有：
【典型例題】
例1 設 、 分別為與 軸、 軸正方向相同的兩個(gè)單位向量，若 則向量 的坐標是（ ）
A、（2，3） B、（3，2） C、（—2，—3） D、（—3，—2）
例2 已知向量 ，且 // 則 等于( )
A、 B、— C、 D、—
分析 同共線(xiàn)向量的充要條件易得答案。
例3 若已知 、 是平面上的一組基底，則下列各組向量中不能作為基底的一組是 ( )
A、 與— B、3 與2 C、 + 與 — D、 與2
例4 已知 當實(shí)數 取何值時(shí)， +2 與2 —4 平行？
【課堂練習】
1、已知 =（1，2）， =（—2，3）若 且
則 ____________, _________________。
2、已知點(diǎn)A（ ，1）、B（0，0）、C（ ，0），設∠BAC的平分線(xiàn)AE與BC相交于E，那么有 其中 等于( )
A、2 B、 C、—3 D、
3、平面直角坐標系中，O為坐標原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A 若點(diǎn)C滿(mǎn)足 ，其中 、 且 + 則點(diǎn)C的軌跡方程為 ( )
A、 B、
C、 D、
4、已知A（—2，4）、B（3，—1）、C（—3，—4）且 ， 求點(diǎn)M、N的坐標及向量 的坐標。
【課堂反思】
2.3 平面向量的數量積及其運算
【學(xué)習目標】
1．知識與技能：
�。�1）理解向量數量積的定義與性質(zhì)；
�。�2）理解一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影的定義；
�。�3）掌握向量數量積的運算律；
�。�4）理解兩個(gè)向量的夾角定義；
2．過(guò)程與方法：
�。�1）能用投影的定義求一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影；
�。�2）能區別數乘向量與向量的數量積；
�。�3）掌握兩向量垂直、平行和反向時(shí)的數量積；
3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀(guān)：
�。�1）培養學(xué)生用數形結合的思想理解向量的數量積及它的幾何意義；
�。�2）使學(xué)生體會(huì )周?chē)挛镏芷谧兓膴W秘，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習數學(xué)的興趣；
�。�3）培養數形結合的數學(xué)思想；
【學(xué)習過(guò)程】
1、請寫(xiě)出平面向量的坐標運算公式：
�。�1）若 = ， = ，則 =
�。�2）若A ，B ，則
�。�3）若 =（ ， ），則
2、平面向量共線(xiàn)的坐標表示
若 = ， = ， 則 // 的充要條件是
3、兩個(gè)非零向量夾角的概念
已知非零向量 與 ，作 ＝ ， ＝ ，則_________________________叫 與 的夾角.
4、我們知道，如果一個(gè)物體在力F（與水平方向成θ角）的作用下產(chǎn)生位移s，那么力F所做的功W=
5、數量積的概念：
�。�1）兩個(gè)非零向量 、 ，過(guò)O作 = ， = ，則∠AOB叫做向量 與 的夾角，顯然，夾角
�。�2）若 與 的夾角為90 ，則稱(chēng) 與 垂直，記作 ⊥
�。�3） 、 是兩個(gè)非零向量，它們的夾角為 ，則 叫做 與 的數量積（或內積），記作 。
即 =| || |cos
規定 =0，顯然，數量積的公式與物理學(xué)中力所做功的運算密切相關(guān)。
特別提醒：
�。�1）（０≤θ≤π）.并規定 與任何向量的數量積為0
�。�2）兩個(gè)向量的數量積的性質(zhì)：
設 、 為兩個(gè)非零向量，
1) = 0
2)當 與 同向時(shí)， = | || |；當 與 反向時(shí)， = | || |
特別的 = | |2或.
3)cos = ；
4)| | ≤ | || |
6、“投影”的概念：如圖
定義： _____ _______叫做向量b在a方向上的投影
特別提醒：
投影也是一個(gè)數量，不是向量；當為銳角時(shí)投影為正值；當為鈍角時(shí)投影為負值；當為直角時(shí)投影為0；當 = 0時(shí)投影為 |b|；當 = 180時(shí)投影為 |b|
3、平面向量數量積的運算律
交換律： =______
數乘結合律： =_________=__________
分配律： =_____________
【典型例題】
例1 邊長(cháng)為 的正三角形ABC中，設 ， ， 則=
例2 已知△ABC中， ， ， ， ABC的面積 ，且| |=3，| |=5，則 與 的夾角為
例3 已知 =（1，2）， =（6，—8）則 在 上的投影為
【課堂練習】
1、已知 、 均為單位向量，它們的夾角為 那么 =
2、已知單位向量 與 的夾角為 ，且 ， ，求 及 與 的夾角 。
3、若 ， ，且向量 與 垂直，則一定有( )
A、 B、 C、 D、 且
4、設 是任意的非零平面向量，且它們相互不共線(xiàn)，下列命題
�、�
�、�
�、� 不與 垂直
�、�
其中正確的有（ ）
A、①② B、②③ C、③④ D、②④
5、已知平面上三點(diǎn)A、B、C滿(mǎn)足 ，則
的值等于____ ______
【課后反思】
2.4 平面向量的應用
【學(xué)習目標】
一、知識與技能
1.經(jīng)歷用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題、力學(xué) 問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題的 過(guò)程，體會(huì )向量是一種處理幾何問(wèn)題、物理問(wèn)題等的工具，發(fā)展運算能力
2.運用向量的有關(guān)知識對物理中的問(wèn)題進(jìn)行相關(guān)分析和計算，并在這個(gè)過(guò)程中培養學(xué)生探究問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力
二、過(guò)程與方法
1.通過(guò)例題，研究利用向量知識解決物理中有關(guān)“速度的合成與分解”等問(wèn)題
2.通過(guò)本節課的學(xué)習，讓學(xué)生體會(huì )應用向量知識處理平面幾何問(wèn)題、力學(xué)問(wèn)題與其它一些實(shí)際問(wèn)題是一種行 之有效的工具；和同學(xué)一起總結方法，鞏固強化.[來(lái)源:學(xué)科網(wǎng)]
三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀(guān)
1.以學(xué)生為主體，通過(guò)問(wèn)題和情境的設置，充分調動(dòng)和激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣，培養學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力.
2.通過(guò)本節的學(xué)習，使同學(xué)們對用向量研究幾何以及其它學(xué)科有了一個(gè)初步的認識；提高學(xué)生遷移知 識的能力、運算能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力.
【學(xué)習過(guò)程】
請認真思考后，回答下列問(wèn)題：
1、判斷：
�。�1）若 四點(diǎn)共線(xiàn)，則向量 （ ）
�。�2）若向量 ，則 四點(diǎn)共線(xiàn)（ ）
�。�3）若 ，則向量 （ ）
�。�4）只要向量 滿(mǎn)足 ，就有 （ ）
2、提問(wèn)：
�。�1）兩個(gè)非零向量平行的充要條件是什么？（你能寫(xiě)出幾種表達形式）
�。�2）兩個(gè)非零向量垂直的充要條件是什么？（你能寫(xiě)出幾種表達形式）
【典型例題】
例1 已知⊿ABC中，∠BAC＝60o，AB＝4，AC＝3，求BC長(cháng)．
變式 已知⊿ABC中，∠BAC＝60o，AB＝4，AC＝3，點(diǎn)D在線(xiàn)段BC
上，且BD=2DC求AD長(cháng)．
例２ 如圖，已知Rt⊿OAB中，∠AOB＝90o，OA＝3，OB＝2，M在OB上，且OM=1，N在OA上，且ON=1，P為AM與BN的交點(diǎn)，求∠MPN．
【課堂練習】
⊿ABC中，AD，BE是中線(xiàn)，AD，BE相交于點(diǎn)G
�。�1）求證：AG=2GD
�。�2）若F為AB中點(diǎn)，求證G、F、C三點(diǎn)共線(xiàn)．
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