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三角函數教案
作為一位不辭辛勞的人民教師,常常需要準備教案,教案有利于教學(xué)水平的提高,有助于教研活動(dòng)的開(kāi)展。那么教案應該怎么寫(xiě)才合適呢?以下是小編整理的三角函數教案,歡迎閱讀,希望大家能夠喜歡。
三角函數教案1
本文題目:高三數學(xué)教案:三角函數的周期性
一、學(xué)習目標與自我評估
1 掌握利用單位圓的幾何方法作函數 的圖象
2 結合 的圖象及函數周期性的定義了解三角函數的周期性,及最小正周期
3 會(huì )用代數方法求 等函數的周期
4 理解周期性的幾何意義
二、學(xué)習重點(diǎn)與難點(diǎn)
周期函數的概念, 周期的求解。
三、學(xué)法指導
1、 是周期函數是指對定義域中所有 都有
,即 應是恒等式。
2、周期函數一定會(huì )有周期,但不一定存在最小正周期。
四、學(xué)習活動(dòng)與意義建構
五、重點(diǎn)與難點(diǎn)探究
例1、若鐘擺的高度 與時(shí)間 之間的函數關(guān)系如圖所示
(1)求該函數的周期;
(2)求 時(shí)鐘擺的高度。
例2、求下列函數的周期。
(1) (2)
總結:(1)函數 (其中 均為常數,且
的周期T= 。
(2)函數 (其中 均為常數,且
的周期T= 。
例3、求證: 的`周期為 。
例4、(1)研究 和 函數的圖象,分析其周期性。
(2)求證: 的周期為 (其中 均為常數,
且
總結:函數 (其中 均為常數,且
的周期T= 。
例5、(1)求 的周期。
(2)已知 滿(mǎn)足 ,求證: 是周期函數
課后思考:能否利用單位圓作函數 的圖象。
六、作業(yè):
七、自主體驗與運用
1、函數 的周期為 ( )
A、 B、 C、 D、
2、函數 的最小正周期是 ( )
A、 B、 C、 D、
3、函數 的最小正周期是 ( )
A、 B、 C、 D、
4、函數 的周期是 ( )
A、 B、 C、 D、
5、設 是定義域為R,最小正周期為 的函數,
若 ,則 的值等于 ()
A、1 B、 C、0 D、
6、函數 的最小正周期是 ,則
7、已知函數 的最小正周期不大于2,則正整數
的最小值是
8、求函數 的最小正周期為T(mén),且 ,則正整數
的最大值是
9、已知函數 是周期為6的奇函數,且 則
10、若函數 ,則
11、用周期的定義分析 的周期。
12、已知函數 ,如果使 的周期在 內,求
正整數 的值
13、一機械振動(dòng)中,某質(zhì)子離開(kāi)平衡位置的位移 與時(shí)間 之間的
函數關(guān)系如圖所示:
(1) 求該函數的周期;
(2) 求 時(shí),該質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)平衡位置的位移。
14、已知 是定義在R上的函數,且對任意 有
成立,
(1) 證明: 是周期函數;
(2) 若 求 的值。
三角函數教案2
三角函數的誘導公式
一、指導思想與理論依據
數學(xué)是一門(mén)培養人的思維,發(fā)展人的思維的重要學(xué)科。因此,在教學(xué)中,不僅要使學(xué)生“知其然”而且要使學(xué)生“知其所以然”。所以在學(xué)生為主體,教師為主導的原則下,要充分揭示獲取知識和方法的思維過(guò)程。因此本節課我以建構主義的“創(chuàng )設問(wèn)題情境——提出數學(xué)問(wèn)題——嘗試解決問(wèn)題——驗證解決方法”為主,主要采用觀(guān)察、啟發(fā)、類(lèi)比、引導、探索相結合的教學(xué)方法。在教學(xué)手段上,則采用多媒體輔助教學(xué),將抽象問(wèn)題形象化,使教學(xué)目標體現的更加完美。
二.教材分析
三角函數的誘導公式是普通高中課程標準實(shí)驗教科書(shū)(人教a版)數學(xué)必修四,第一章第三節的內容,其主要內容是三角函數誘導公式中的公式(二)至公式(六).本節是第一課時(shí),教學(xué)內容為公式(二)、(三)、(四).教材要求通過(guò)學(xué)生在已經(jīng)掌握的任意角的三角函數的定義和誘導公式(一)的基礎上,利用對稱(chēng)思想發(fā)現任意角 與終邊的對稱(chēng)關(guān)系,發(fā)現他們與單位圓的交點(diǎn)坐標之間關(guān)系,進(jìn)而發(fā)現他們的三角函數值的關(guān)系,即發(fā)現、掌握、應用三角函數的誘導公式公式(二)、(三)、(四).同時(shí)教材滲透了轉化與化歸等數學(xué)思想方法,為培養學(xué)生養成良好的學(xué)習習慣提出了要求.為此本節內容在三角函數中占有非常重要的地位.
三.學(xué)情分析
本節課的授課對象是本校高一(1)班全體同學(xué),本班學(xué)生水平處于中等偏下,但本班學(xué)生具有善于動(dòng)手的良好學(xué)習習慣,所以采用發(fā)現的教學(xué)方法應該能輕松的完成本節課的教學(xué)內容.
四.教學(xué)目標
(1).基礎知識目標:理解誘導公式的發(fā)現過(guò)程,掌握正弦、余弦、正切的誘導公式;
(2).能力訓練目標:能正確運用誘導公式求任意角的正弦、余弦、正切值,以及進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角函數求值與化簡(jiǎn);
(3).創(chuàng )新素質(zhì)目標:通過(guò)對公式的推導和運用,提高三角恒等變形的能力和滲透化歸、數形結合的數學(xué)思想,提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力;
(4).個(gè)性品質(zhì)目標:通過(guò)誘導公式的學(xué)習和應用,感受事物之間的普通聯(lián)系規律,運用化歸等數學(xué)思想方法,揭示事物的本質(zhì)屬性,培養學(xué)生的唯物史觀(guān).
五.教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)
1.教學(xué)重點(diǎn)
理解并掌握誘導公式.
2.教學(xué)難點(diǎn)
正確運用誘導公式,求三角函數值,化簡(jiǎn)三角函數式.
六.教法學(xué)法以及預期效果分析
“授人以魚(yú)不如授之以魚(yú)”, 作為一名老師,我們不僅要傳授給學(xué)生數學(xué)知識,更重要的是傳授給學(xué)生數學(xué)思想方法, 如何實(shí)現這一目的,要求我們每一位教者苦心鉆研、認真探究.下面我從教法、學(xué)法、預期效果等三個(gè)方面做如下分析.
1.教法
數學(xué)教學(xué)是數學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué),而不僅僅是數學(xué)活動(dòng)的結果,數學(xué)學(xué)習的目的.不僅僅是為了獲得數學(xué)知識,更主要作用是為了訓練人的思維技能,提高人的思維品質(zhì).
在本節課的教學(xué)過(guò)程中,本人以學(xué)生為主題,以發(fā)現為主線(xiàn),盡力滲透類(lèi)比、化歸、數形結合等數學(xué)思想方法,采用提出問(wèn)題、啟發(fā)引導、共同探究、綜合應用等教學(xué)模式,還給學(xué)生“時(shí)間”、“空間”, 由易到難,由特殊到一般,盡力營(yíng)造輕松的學(xué)習環(huán)境,讓學(xué)生體味學(xué)習的快樂(lè )和成功的喜悅.
2.學(xué)法
“現代的文盲不是不識字的人,而是沒(méi)有掌握學(xué)習方法的人”,很多課堂教學(xué)常常以高起點(diǎn)、大容量、快推進(jìn)的做法,以便教給學(xué)生更多的知識點(diǎn),卻忽略了學(xué)生接受知識需要時(shí)間消化,進(jìn)而泯滅了學(xué)生學(xué)習的興趣與熱情.如何能讓學(xué)生最大程度的消化知識,提高學(xué)習熱情是教者必須思考的問(wèn)題.
在本節課的教學(xué)過(guò)程中,本人引導學(xué)生的學(xué)法為思考問(wèn)題 共同探討 解決問(wèn)題 簡(jiǎn)單應用 重現探索過(guò)程 練習鞏固.讓學(xué)生參與探索的全部過(guò)程,讓學(xué)生在獲取新知識及解決問(wèn)題的方法后,合作交流、共同探索,使之由被動(dòng)學(xué)習轉化為主動(dòng)的自主學(xué)習.
3.預期效果
本節課預期讓學(xué)生能正確理解誘導公式的發(fā)現、證明過(guò)程,掌握誘導公式,并能熟練應用誘導公式了解一些簡(jiǎn)單的化簡(jiǎn)問(wèn)題.
七.教學(xué)流程設計
(一)創(chuàng )設情景
1.復習銳角300,450,600的三角函數值;
2.復習任意角的三角函數定義;
3.問(wèn)題:由 ,你能否知道sin2100的值嗎?引如新課.
設計意圖
自信的鼓勵是增強學(xué)生學(xué)習數學(xué)的自信,簡(jiǎn)單易做的題加強了每個(gè)學(xué)生學(xué)習的熱情,具體數據問(wèn)題的出現,讓學(xué)生既有好像會(huì )做的心理但又有迷惑的茫然,去發(fā)掘潛力期待尋找機會(huì )證明我能行,從而思考解決的辦法.
(二)新知探究
1. 讓學(xué)生發(fā)現300角的終邊與2100角的終邊之間有什么關(guān)系;
2.讓學(xué)生發(fā)現300角的終邊和2100角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為 、 的坐標有什么關(guān)系;
3.sin2100與sin300之間有什么關(guān)系.
設計意圖
由特殊問(wèn)題的引入,使學(xué)生容易了解,實(shí)現教學(xué)過(guò)程的平淡過(guò)度,為同學(xué)們探究發(fā)現任意角 與 的三角函數值的關(guān)系做好鋪墊.
(三)問(wèn)題一般化
三角函數教案3
一、教學(xué)目標:
1、知識與技能
。1) 使學(xué)生掌握同角三角函數的基本關(guān)系;
。2)已知某角的一個(gè)三角函數值,求它的其余各三角函數值;
。3)利用同角三角函數關(guān)系式化簡(jiǎn)三角函數式;
。4)利用同角三角函數關(guān)系式證明三角恒等式;
。5)牢固掌握同角三角函數的三個(gè)關(guān)系式并能靈活運用于解題,提高學(xué)生分析,解決三角問(wèn)題的能力;
。6)靈活運用同角三角函數關(guān)系式的不同變形,提高三角恒等變形的能力,進(jìn)一步樹(shù)立化歸思想方法;
。7)掌握恒等式證明的一般方法。
2、過(guò)程與方法
由圓的幾何性質(zhì)出發(fā),利用三角函數線(xiàn),探究同一個(gè)角的不同三角函數之間的關(guān)系;學(xué)習已知一個(gè)三角函數值,求它的其余各三角函數值;利用同角三角函數關(guān)系式化簡(jiǎn)三角函數式;利用同角三角函數關(guān)系式證明三角恒等式等。通過(guò)例題講解,總結方法。通過(guò)做練習,鞏固所學(xué)知識。
3、情態(tài)與價(jià)值
通過(guò)本節的學(xué)習,牢固掌握同角三角函數的三個(gè)關(guān)系式并能靈活運用于解題,提高學(xué)生分析,解決三角問(wèn)題的`能力;進(jìn)一步樹(shù)立化歸思想方法和證明三角恒等式的一般方法。
二、教學(xué)重、難點(diǎn)
重點(diǎn):公式及的推導及運用:
。1)已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一個(gè),求其余兩個(gè);
。2)化簡(jiǎn)三角函數式;
。3)證明簡(jiǎn)單的三角恒等式。
難點(diǎn): 根據角α終邊所在象限求出其三角函數值;選擇適當的方法證明三角恒等式。
三、學(xué)法與教學(xué)用具
利用三角函數線(xiàn)的定義, 推導同角三角函數的基本關(guān)系式: 及,并靈活應用求三角函數值,化減三角函數式,證明三角恒等式等。
教學(xué)用具:圓規、三角板、投影
四、教學(xué)設想
【創(chuàng )設情境】
與初中學(xué)習銳角三角函數一樣,本節課我們來(lái)研究同角三角函數之間關(guān)系,弄清同角各不同三角函數之間的聯(lián)系,實(shí)現不同函數值之間的互相轉化.
【探究新知】
1、探究:三角函數是以單位圓上點(diǎn)的坐標來(lái)定義的,你能從圓的幾何性質(zhì)出發(fā),討論一
下同一個(gè)角不同三角函數之間的關(guān)系嗎?
如圖:以正弦線(xiàn),余弦線(xiàn)和半徑三者的長(cháng)構成直角三角形,而且。由勾股定理由,因此,即。
根據三角函數的定義,當時(shí),有。
這就是說(shuō),同一個(gè)角的正弦、余弦的平方等于1,商等于角的正切。
2、例題講評
例6。已知,求的值。
三者知一求二,熟練掌握。
3、鞏固練習頁(yè)第1,2,3題
4、例題講評
例7。求證: 。
通過(guò)本例題,總結證明一個(gè)三角恒等式的方法步驟。
5、鞏固練習頁(yè)第4,5題
6、學(xué)習小結
。1)同角三角函數的關(guān)系式的前提是“同角”,因此,.
。2)利用平方關(guān)系時(shí),往往要開(kāi)方,因此要先根據角所在象限確定符號,即要就角所在象限進(jìn)行分類(lèi)討論.
五、評價(jià)設計
。1)作業(yè):習題1。2A組第10,13題。
。2)熟練掌握記憶同角三角函數的關(guān)系式,試將關(guān)系式變形等,得到其他幾個(gè)常用的關(guān)系式;注意三角恒等式的證明方法與步驟。
三角函數教案4
【教學(xué)目標:】
1.通過(guò)對初中銳角三角函數定義的回憶,掌握任意角三角函數的定義法,并掌握用單位圓中的有向線(xiàn)段表示三角函數值.
2.掌握已知角 終邊上一點(diǎn)坐標,求四個(gè)三角函數值.(即給角求值問(wèn)題)
【教學(xué)重點(diǎn):】
任意角的三角函數的定義.
【教學(xué)難點(diǎn):】
任意角的三角函數的定義,正弦、余弦、正切這三種三角函數的幾何表示.
【教學(xué)用具:】
直尺、圓規、投影儀.
【教學(xué)步驟:】
1.設置情境
角的范圍已經(jīng)推廣,那么對任一角 是否也能像銳角一樣定義其四種三角函數呢?本節課就來(lái)討論這一問(wèn)題.
2.探索研究
。1)復習回憶銳角三角函數
我們已經(jīng)學(xué)習過(guò)銳角三角函數,知道它們都是以銳角 為自變量,以比值為函數值,定義了角 的正弦、余弦、正切、余切的三角函數,本節課我們研究當角 是一個(gè)任意角時(shí),其三角函數的定義及其幾何表示.
。2)任意角的三角函數定義
如圖1,設 是任意角, 的終邊上任意一點(diǎn) 的坐標是 ,當角 在第一、二、三、四象限時(shí)的'情形,它與原點(diǎn)的距離為 ,則 .
定義:①比值 叫做 的正弦,記作 ,即 .
、诒戎 叫做 的余弦,記作 ,即 .
圖1
、郾戎 叫做 的正切,記作 ,即 .
同時(shí)提供顯示任意角的三角函數所在象限的課件
提問(wèn):對于確定的角 ,這三個(gè)比值的大小和 點(diǎn)在角 的終邊上的位置是否有關(guān)呢?
利用三角形相似的知識,可以得出對于角 ,這三個(gè)比值的大小與 點(diǎn)在角 的終邊上的位置無(wú)關(guān),只與角 的大小有關(guān).
請同學(xué)們觀(guān)察當 時(shí), 的終邊在 軸上,此時(shí)終邊上任一點(diǎn) 的橫坐標 都等于0,所以 無(wú)意義,除此之外,對于確定的角 ,上面三個(gè)比值都是惟一確定的.把上面定義中三個(gè)比的前項、后項交換,那么得到另外三個(gè)定義.
、鼙戎 叫做 的余切,記作 ,則 .
、荼戎 叫做 的正割,記作 ,則 .
、薇戎 叫做 的余割,記作 ,則 .
可以看出:當 時(shí), 的終邊在 軸上,這時(shí) 的縱坐標 都等于0,所以 與 的值不存在,當 時(shí), 的值不存在,除此之外,對于確定的角 ,比值 , , 分別是一個(gè)確定的實(shí)數,所以我們把正弦、余弦,正切、余切,正割及余割都看成是以角為自變量,以比值為函數值的函數,以上六種函數統稱(chēng)三角函數.
。3)三角函數是以實(shí)數為自變量的函數
對于確定的角 ,如圖2所示, , , 分別對應的比值各是一個(gè)確定的實(shí)數,因此,正弦,余弦,正切分別可看成從一個(gè)角的集合到一個(gè)比值的集合的映射,它們都是以角為自變量,以比值為函數值的函數,當采用弧度制來(lái)度量角時(shí),每一個(gè)確定的角有惟一確定的弧度數,這是一個(gè)實(shí)數,所以這幾種三角函數也都可以看成是以實(shí)數為自變量,以比值為函數值的函數.
即:實(shí)數→角(其弧度數等于這個(gè)實(shí)數)→三角函數值(實(shí)數)
。4)三角函數的一種幾何表示
利用單位圓有關(guān)的有向線(xiàn)段,作出正弦線(xiàn),余弦線(xiàn),正切線(xiàn),如下圖3.
圖3
設任意角 的頂點(diǎn)在原點(diǎn) ,始邊與 軸的非負半軸重合,終邊與單位圓相交于點(diǎn) ,過(guò) 作 軸的垂線(xiàn),垂足為 ;過(guò)點(diǎn) 作單位圓的切線(xiàn),這條切線(xiàn)必然平行于軸,設它與角 的終邊(當 為第一、四象限時(shí))或其反向延長(cháng)線(xiàn)(當 為第二、三象限時(shí))相交于 ,當角 的終邊不在坐標軸上時(shí),我們把 , 都看成帶有方向的線(xiàn)段,這種帶方向的線(xiàn)段叫有向線(xiàn)段.由正弦、余弦、正切函數的定義有:
這幾條與單位圓有關(guān)的有向線(xiàn)段 叫做角 的正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)、正切線(xiàn).當角 的終邊在 軸上時(shí),正弦線(xiàn)、正切線(xiàn)分別變成一個(gè)點(diǎn);當角 的終邊在 軸上時(shí),余弦線(xiàn)變成一個(gè)點(diǎn),正切線(xiàn)不存在.
。5)例題講評
三角函數教案5
教學(xué)目的:
、闭莆胀侨呛瘮档幕娟P(guān)系式,理解同角公式都是恒等式的特定意義;
2 通過(guò)運用公式的訓練過(guò)程,培養學(xué)生解決三角函數求值、化簡(jiǎn)、恒等式證明的解題技能,提高運用公式的靈活性;
3 注意運用數形結合的思想解決有關(guān)求值問(wèn)題;在解決三角函數化簡(jiǎn)問(wèn)題過(guò)程中,注意培養學(xué)生思維的靈活性及思維的深化;在恒等式證明的教學(xué)過(guò)程中,注意培養學(xué)生分析問(wèn)題的能力,從而提高邏輯推理能力.
教學(xué)重點(diǎn):
同角三角函數的`基本關(guān)系
教學(xué)難點(diǎn):
(1)已知某角的一個(gè)三角函數值,求它的其余各三角函數值時(shí)正負號的選擇;
(2)三角函數式的化簡(jiǎn);(3)證明三角恒等式.
授課類(lèi)型:
新授課
知識回顧:
同角三角函數的基本關(guān)系公式:
典型例題:
例1.已知sin =2,求α的其余三個(gè)三角函數值.
例2.已知: 且 ,試用定義求 的其余三個(gè)三角函數值.
例3.已知角 的終邊在直線(xiàn)=3x上,求sin 和cs 的值.
說(shuō)明:已知某角的一個(gè)三角函數值,求該角的其他三角函數值時(shí)要注意:
(1)角所在的象限;
(2)用平方關(guān)系求值時(shí),所求三角函數的符號由角所在的象限決定;
(3)若題設中已知角的某個(gè)三角函數值是用字母給出的,則求其他函數值時(shí),要對該字母分類(lèi)討論.
小結:
幾種技巧
課后作業(yè):
板書(shū)設計(略)
課后記:
三角函數教案6
一、知識與技能
1. 會(huì )用三角函數線(xiàn)分別表示任意角的正弦、余弦、正切函數值
2.借助單位圓理解任意角三角函數(正弦、余弦、正切)的定義;
3.能利用三角函數線(xiàn)解決一些簡(jiǎn)單的三角函數問(wèn)題
二、過(guò)程與方法
1.借助幾何畫(huà)板讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過(guò)程,提高學(xué)生觀(guān)察、發(fā)現、類(lèi)比、猜想和實(shí)驗探索的能力;
2.讓學(xué)生從所學(xué)知識基礎上發(fā)現新問(wèn)題,并加以解決,提高學(xué)生抽象概括、分析歸納、數學(xué)表述等基本數學(xué)思維能力.
三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀(guān)
1.通過(guò)學(xué)生之間、師生之間的交流合作,實(shí)現共同探究獲取知識.
2.通過(guò)三角函數線(xiàn)學(xué)習,使學(xué)生進(jìn)一步加深對數形結合思想的理解,培養良好的思維習慣,拓展思維空間
教學(xué)重點(diǎn):三角函數線(xiàn)的作法及其簡(jiǎn)單應用
教學(xué)難點(diǎn):利用與單位圓有關(guān)的.有向線(xiàn)段,將任意角的正弦、余弦、正切函數值分別用它們的幾何形式表示出來(lái).
三角函數教案7
一.教學(xué)目標
1.知識與技能
。1)能夠借助三角函數的定義及單位圓中的三角函數線(xiàn)推導三角函數的誘導公式。
。2)能夠運用誘導公式,把任意角的三角函數的化簡(jiǎn)、求值問(wèn)題轉化為銳角三角函數的化簡(jiǎn)、求值問(wèn)題。
2.過(guò)程與方法
。1)經(jīng)歷由幾何直觀(guān)探討數量關(guān)系式的過(guò)程,培養學(xué)生數學(xué)發(fā)現能力和概括能力。
。2)通過(guò)對誘導公式的探求和運用,培養化歸能力,提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。
3.情感、態(tài)度、價(jià)值觀(guān)
。1)通過(guò)對誘導公式的探求,培養學(xué)生的探索能力、鉆研精神和科學(xué)態(tài)度。
。2)在誘導公式的探求過(guò)程中,運用合作學(xué)習的方式進(jìn)行,培養學(xué)生團結協(xié)作的精神。
二.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn):探求π-a的誘導公式。π+a與-a的誘導公式在小結π-a的誘導公式發(fā)現過(guò)程的基礎上,教師引導學(xué)生推出。
教學(xué)難點(diǎn):π+a,-a與角a終邊位置的幾何關(guān)系,發(fā)現由終邊位置關(guān)系導致(與單位圓交點(diǎn))的坐標關(guān)系,運用任意角三角函數的定義導出誘導公式的“研究路線(xiàn)圖”。
三.教學(xué)方法與教學(xué)手段
問(wèn)題教學(xué)法、合作學(xué)習法,結合多媒體課件
四.教學(xué)過(guò)程
角的概念已經(jīng)由銳角擴充到了任意角,前面已經(jīng)學(xué)習過(guò)任意角的三角函數,那么任意角的三角函數值怎么求呢?先看一個(gè)具體的問(wèn)題。
。ㄒ唬﹩(wèn)題提出
如何將任意角三角函數求值問(wèn)題轉化為0°~360°角三角函數求值問(wèn)題。
【問(wèn)題1】求390°角的正弦、余弦值.
一般地,由三角函數的定義可以知道,終邊相同的角的同一三角函數值相等,三角函數看重的就是終邊位置關(guān)系。即有:sin(a+k·360°) = sinα,cos(a+k·360°) = cosα, (k∈Z)
tan(a+k·360°) = tanα。
這組公式用弧度制可以表示成sin(a+2kπ) = sinα,cos(a+2kπ) = cosα, (k∈Z) (公式一)
tan(a+2kπ) = tanα。
。ǘ﹪L試推導
如何利用對稱(chēng)推導出角π-a與角a的三角函數之間的關(guān)系。
由上一組公式,我們知道,終邊相同的角的同一三角函數值一定相等。反過(guò)來(lái)呢?如果兩個(gè)角的.三角函數值相等,它們的終邊一定相同嗎?比如說(shuō):
【問(wèn)題2】你能找出和30°角正弦值相等,但終邊不同的角嗎?
角π-a與角a的終邊關(guān)于y軸對稱(chēng),有
sin(π-a) = sina,cos(π-a) =-cosa,(公式二)
tan(π-a) =-tana。
〖思考〗請大家回顧一下,剛才我們是如何獲得這組公式(公式二)的?
因為與角a終邊關(guān)于y軸對稱(chēng)是角π-a,利用這種對稱(chēng)關(guān)系,得到它們的終邊與單位圓的交點(diǎn)的縱坐標相等,橫坐標互為相反數。于是,我們就得到了角π-a與角a的三角函數值之間的關(guān)系:正弦值相等,余弦值互為相反數,進(jìn)而,就得到我們研究三角函數誘導公式的路線(xiàn)圖:角間關(guān)系→對稱(chēng)關(guān)系→坐標關(guān)系→三角函數值間關(guān)系。
。ㄈ┳灾魈骄
如何利用對稱(chēng)推導出π+a,-a與a的三角函數值之間的關(guān)系。
剛才我們利用單位圓,得到了終邊關(guān)于y軸對稱(chēng)的角π-a與角a的三角函數值之間的關(guān)系,下面我們還可以研究什么呢?
【問(wèn)題3】?jì)蓚(gè)角的終邊關(guān)于x軸對稱(chēng),你有什么結論?兩個(gè)角的終邊關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)呢?
角-a與角a的終邊關(guān)于x軸對稱(chēng),有:
sin(-a) =-sina,cos(-a) = cosa,(公式三)
tan(-a) =-tana。
角π+a與角a終邊關(guān)于原點(diǎn)O對稱(chēng),有:
sin(π +a) =-sina,cos(π +a) =-cosa,(公式四)
tan(π +a) = tana。
上面的公式一~四都稱(chēng)為三角函數的誘導公式。
。ㄋ模┖(jiǎn)單應用
例求下列各三角函數值:
(1) sinp; (2) cos(-60°);(3)tan(-855°)
。ㄎ澹┗仡櫡此
【問(wèn)題4】回顧一下,我們是怎樣獲得誘導公式的?研究的過(guò)程中,你有哪些體會(huì )?
知識上,學(xué)會(huì )了四組誘導公式;思想方法層面:誘導公式體現了由未知轉化為已知的化歸思想;誘導公式所揭示的是終邊具有某種對稱(chēng)關(guān)系的兩個(gè)角三角函數之間的關(guān)系。主要體現了化歸和數形結合的數學(xué)思想。具體可以表示如下:
。┓謱幼鳂I(yè)
1、閱讀課本,體會(huì )三角函數誘導公式推導過(guò)程中的思想方法;
2、必做題 課本23頁(yè)13
3、選做題
。1)你能由公式二、三、四中的任意兩組公式推導到另外一組公式嗎?
。2)角α和角β的終邊還有哪些特殊的位置關(guān)系,你能探究出它們的三角函數值之間的關(guān)系嗎?
三角函數教案8
【教學(xué)課題】:已知三角函數值求角
【教學(xué)目標】:了解反三角函數的定義,掌握用反三角函數值表示給定區間上的角
【教學(xué)重點(diǎn)】:掌握用反三角函數值表示給定區間上的角
【教學(xué)難點(diǎn)】:反三角函數的定義
【教學(xué)過(guò)程】:
一.問(wèn)題的提出:
在我們的學(xué)習中常遇到知三角函數值求角的情況,如果是特殊值,我們可以立即求出所有的角,如果不是特殊值(),我們如何表示呢?相當于中如何用來(lái)表示,這是一個(gè)反解的過(guò)程,由此想到求反函數。但三角函數由于有周期性,它們不存在反函數,這就要求我們把它們的定義域縮小,并且這個(gè)區間滿(mǎn)足:
。1)包含銳角;(2)具有單調性;(3)能取得三角函數值域上的所有值。
顯然對,這樣的.區間是;對,這樣的區間是;對,這樣的區間是;
二.新課的引入:
1.反正弦定義:
反正弦函數:函數,的反函數叫做反正弦函數,記作:.
對于注意:
。1)(相當于原來(lái)函數的值域);
。2)(相當于原來(lái)函數的定義域);
即:相當于內的一個(gè)角,這個(gè)角的正弦值為。
反正弦:符合條件()的角,叫做實(shí)數的反正弦,記作:。其中,。
例如:
由此可見(jiàn):書(shū)上的反正弦與反正弦函數是一致的,當然理解了反正弦函數,能使大家更加系統地掌握這部分知識。
。玻从嘞叶x:
反余弦函數:函數,的反函數叫做反余弦函數,記作:.
對于注意:
。1)(相當于原來(lái)函數的值域);
。2)(相當于原來(lái)函數的定義域);
。3);
即:相當于內的一個(gè)角,這個(gè)角的余弦值為。
反余弦:符合條件()的角,叫做實(shí)數的反正弦,記作:。其中,。
例如:,,由于,故為負值時(shí),表示的是鈍角。
。常凑卸x:
反正切函數:函數,的反函數叫做反正弦函數,記作:.
對于注意:
。1)(相當于原來(lái)函數的值域);
。2)(相當于原來(lái)函數的定義域);
即:相當于內的一個(gè)角,這個(gè)角的正切值為。
反正切:符合條件()的角,叫做實(shí)數的反正切,記作:。其中,。
對于反三角函數,大家切記:它們不是三角函數的反函數,需要對定義域加以改進(jìn)后才能出現反函數。反三角函數的性質(zhì),有興趣的同學(xué)可根據互為反函數的函數的圖象關(guān)于對稱(chēng)這一特性,得到反三角函數的性質(zhì)。根據新教材的要求,這里就不再講了。
三角函數教案9
一:【課前預習】
(一):【知識梳理】
1.直角三角形的邊角關(guān)系(如圖)
(1)邊的關(guān)系(勾股定理):AC2+BC2=AB2;
(2)角的關(guān)系:B=
(3)邊角關(guān)系:
、伲
、冢轰J角三角函數:
A的正弦= ;
A的余弦= ,
A的正切=
注:三角函數值是一個(gè)比值.
2.特殊角的三角函數值.
3.三角函數的關(guān)系
(1) 互為余角的三角函數關(guān)系.
sin(90○-A)=cosA, cos(90○-A)=sin A tan(90○-A)= cotA
(2) 同角的三角函數關(guān)系.
平方關(guān)系:sin2 A+cos2A=l
4.三角函數的大小比較
、僬、正切是增函數.三角函數值隨角的增大而增大,隨角的減小而減小.
、谟嘞沂菧p函數.三角函數值隨角的增大而減小,隨角的'減小而增大。
(二):【課前練習】
1.等腰直角三角形一個(gè)銳角的余弦為( )
A. D.l
2.點(diǎn)M(tan60,-cos60)關(guān)于x軸的對稱(chēng)點(diǎn)M的坐標是( )
3.在 △ABC中,已知C=90,sinB=0.6,則cosA的值是( )
4.已知A為銳角,且cosA0.5,那么( )
A.060 B.6090 C.030 D.3090
二:【經(jīng)典考題剖析】
1.如圖,在Rt△ABC中,C=90,A=45,點(diǎn)D在A(yíng)C上,BDC=60,AD=l,求BD、DC的長(cháng).
2.先化簡(jiǎn),再求其值, 其中x=tan45-cos30
3. 計算:①sin248○+ sin242○-tan44○tan45○tan 46○ ②cos 255○+ cos235○
4.比較大小(在空格處填寫(xiě)或或=)
若=45○,則sin________cos
若45○,則sin cos
若45,則 sin cos.
5.⑴如圖①、②銳角的正弦值和余弦值都隨著(zhù)銳角的確定而確定,變化而變化,試探索隨著(zhù)銳角度數的增大,它的正弦值和余弦值變化的規律;
、聘鶕闾剿鞯降囊幝,試比較18○、34○、50○、61○、88○這些銳角的正弦值的大小和余弦值的大小.
三:【課后訓練】
1. 2sin60-cos30tan45的結果為( )
A. D.0
2.在△ABC中,A為銳角,已知 cos(90-A)= ,sin(90-B)= ,則△ABC一定是( )
A.銳角三角形;B.直角三角形;C.鈍角三角形;D.等腰三角形
3.如圖,在平面直角坐標系中,已知A(3,0)點(diǎn)B(0,-4),則cosOAB等于__________
4.cos2+sin242○ =1,則銳角=______.
5.在下列不等式中,錯誤的是( )
A.sin45○sin30○;B.cos60○tan30○;D.cot30○
6.如圖,在△ABC中,AC=3,BC=4,AB=5,則tanB的值是()
7.如圖所示,在菱形ABCD中,AEBC于 E點(diǎn),EC=1,B=30,求菱形ABCD的周長(cháng).
8.如圖所示,在△ABC中,ACB=90,BC=6,AC=8 ,CDAB,求:①sinACD 的值;②tanBCD的值
9.如圖 ,某風(fēng)景區的湖心島有一涼亭A,其正東方向有一棵大樹(shù)B,小明想測量A/B之間的距離,他從湖邊的C處測得A在北偏西45方向上,測得B在北偏東32方向上,且量得B、C之間的距離為100米,根據上述測量結果,請你幫小明計算A山之間的距離是多少?(結果精確至1米.參考數據:sin32○0.5299,cos32○0.8480)
10.某住宅小區修了一個(gè)塔形建筑物AB,如圖所示,在與建筑物底部同一水平線(xiàn)的C處,測得點(diǎn)A的仰角為45,然后向塔方向前進(jìn)8米到達D處,在D處測得點(diǎn)A的仰角為60,求建筑物的高度.(精確0.1米)
三角函數教案10
第二十四教時(shí)
教材:倍角公式,推導和差化積及積化和差公式
目的:繼續復習鞏固倍角公式,加強對公式靈活運用的`訓練;同時(shí),讓學(xué)生推導出和差化積和積化和差公式,并對此有所了解。
過(guò)程:
一、 復習倍角公式、半角公式和萬(wàn)能公式的推導過(guò)程:
例一、 已知 , ,tan = ,tan = ,求2 +
(《教學(xué)與測試》P115 例三)
解:
又∵tan2 0,tan 0 ,
2 + =
例二、 已知sin cos = , ,求 和tan的值
解:∵sin cos =
化簡(jiǎn)得:
∵ 即
二、 積化和差公式的推導
sin( + ) + sin( ) = 2sincos sincos = [sin( + ) + sin( )]
sin( + ) sin( ) = 2cossin cossin = [sin( + ) sin( )]
cos( + ) + cos( ) = 2coscos coscos = [cos( + ) + cos( )]
cos( + ) cos( ) = 2sinsin sinsin = [cos( + ) cos( )]
這套公式稱(chēng)為三角函數積化和差公式,熟悉結構,不要求記憶,它的優(yōu)點(diǎn)在于將積式化為和差,有利于簡(jiǎn)化計算。(在告知公式前提下)
例三、 求證:sin3sin3 + cos3cos3 = cos32
證:左邊 = (sin3sin)sin2 + (cos3cos)cos2
= (cos4 cos2)sin2 + (cos4 + cos2)cos2
= cos4sin2 + cos2sin2 + cos4cos2 + cos2cos2
= cos4cos2 + cos2 = cos2(cos4 + 1)
= cos22cos22 = cos32 = 右邊
原式得證
三、 和差化積公式的推導
若令 + = , = ,則 , 代入得:
這套公式稱(chēng)為和差化積公式,其特點(diǎn)是同名的正(余)弦才能使用,它與積化和差公式相輔相成,配合使用。
例四、 已知cos cos = ,sin sin = ,求sin( + )的值
解:∵cos cos = , ①
sin sin = , ②
四、 小結:和差化積,積化和差
五、 作業(yè):《課課練》P3637 例題推薦 13
P3839 例題推薦 13
P40 例題推薦 13
三角函數教案11
一、教學(xué)內容
本節主要內容為:經(jīng)歷探索30°、45°、60°角的三角函數值的過(guò)程,能夠進(jìn)行含有30°、45°、60°角的三角函數值的計算。
二、教學(xué)目標
1、經(jīng)歷探索30°、45°、60°角的三角函數值的過(guò)程,能夠進(jìn)行有關(guān)推理,進(jìn)一步體會(huì )三角函數的意義。
2、能夠進(jìn)行含有30°、45°、60°角的三角函數值的計算。
3、能夠根據30°、45°、60°角的三角函數值,說(shuō)出相應的銳角的大小。
三、過(guò)程與方法
通過(guò)進(jìn)行有關(guān)推理,探索30°、45°、60°角的三角函數值。在具體教學(xué)過(guò)程中,教師可在教材的基礎上適當拓展,使得內容更為豐富,教師可以運用和學(xué)生共同探究式的教學(xué)方法,學(xué)生可以采取自主探討式的.學(xué)習方法.
四、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)
重點(diǎn):進(jìn)行含有30°、45°、60°角的三角函數值的計算
難點(diǎn):記住30°、45°、60°角的三角函數值
五、教學(xué)準備
教師準備
預先準備教材、教參以及多媒體課件
學(xué)生準備
教材、同步練習冊、作業(yè)本、草稿紙、作圖工具等
六、教學(xué)步驟
教學(xué)流程設計
教師指導學(xué)生活動(dòng)
1。新章節開(kāi)場(chǎng)白。 1。進(jìn)入學(xué)習狀態(tài)。
2。進(jìn)行教學(xué)。 2。配合學(xué)習。
3?偨Y和指導學(xué)生練習。 3記錄相關(guān)內容,完成練習。
教學(xué)過(guò)程設計
1、從學(xué)生原有的認知結構提出問(wèn)題
2、師生共同研究形成概念
3、隨堂練習
4、小結
5、作業(yè)
板書(shū)設計
1、敘述三角函數的意義
2、30°、45°、60°角的三角函數值
3、例題
七、課后反思
本節課基本上能夠突出重點(diǎn)、弱化難點(diǎn),在時(shí)間上也能掌控得比較合理,學(xué)生也比較積極投入學(xué)習中,但是學(xué)生好像并不是掌握得很好,在今后的教學(xué)中應該再加強關(guān)于這方面的學(xué)習。
三角函數教案12
教學(xué)目的:
知識目標:1.理解三角函數定義. 三角函數的定義域,三角函數線(xiàn).
2.理解握各種三角函數在各象限內的符號.?
3.理解終邊相同的角的同一三角函數值相等.
能力目標:
1.掌握三角函數定義. 三角函數的定義域,三角函數線(xiàn).
2.掌握各種三角函數在各象限內的符號.?
3.掌握終邊相同的角的同一三角函數值相等.
授課類(lèi)型:復習課
教學(xué)模式:講練結合
教 具:多媒體、實(shí)物投影儀
教學(xué)過(guò)程:
一、復習引入:
1、三角函數定義. 三角函數的定義域,三角函數線(xiàn),各種三角函數在各象限內的符號.誘導公式第一組.
2.確定下列各式的符號
(1)sin100°cs240° (2)sin5+tan5
3. .x取什么值時(shí), 有意義?
4.若三角形的兩內角,滿(mǎn)足sincs 0,則此三角形必為……( )
A銳角三角形 B鈍角三角形 C直角三角形 D以上三種情況都可能
5.若是第三象限角,則下列各式中不成立的是………………( )
A:sin+cs 0 B:tansin 0
C:csct 0 D:ctcsc 0
6.已知是第三象限角且,問(wèn)是第幾象限角?
二、講解新課:
1、求下列函數的`定義域:
。1) ; (2)
2、已知 ,則為第幾象限角?
3、(1) 若θ在第四象限,試判斷sin(csθ)cs(sinθ)的符號;
。2)若tan(csθ)ct(sinθ)>0,試指出θ所在的象限,并用圖形表示出 的取值范圍.
4、求證角θ為第三象限角的充分必要條件是
證明:必要性:∵θ是第三象限角,?
∴
充分性:∵sinθ<0,
∴θ是第三或第四象限角或終邊在y軸的非正半軸上
∵tanθ>0,∴θ是第一或第三象限角.?
∵sinθ<0,tanθ>0都成立.?
∴θ為第三象限角.?
5 求值:sin(-1320°)cs1110°+cs(-1020°)sin750°+tan495°.
三、鞏固與練習
1 求函數 的值域
2 設是第二象限的角,且 的范圍.
四、小結:
五、課后作業(yè):
1、利用單位圓中的三角函數線(xiàn),確定下列各角的取值范圍:
(1) sinα 2、角α的終邊上的點(diǎn)P與A(a,b)關(guān)于x軸對稱(chēng) ,角β的終邊上的點(diǎn)Q與A關(guān)于直線(xiàn)=x對稱(chēng).求sinαescβ+tanαctβ+secαcscβ的值. 課前預習學(xué)案 一、預習目標: 1.了解三角函數的兩種定義方法; 2.知道三角函數線(xiàn)的基本做法. 二、預習內容: 根據課本本節內容,完成預習目標,完成以下各個(gè)概念的填空. 三、提出疑惑 同學(xué)們,通過(guò)你的自主學(xué)習,你還有哪些疑惑,請把它填在下面的表格中 疑惑點(diǎn)疑惑內容 課內探究學(xué)案 一、學(xué)習目標 。1)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義(包括這三種三角函數的定義域和函數值在各象限的符號); 。2)理解任意角的三角函數不同的定義方法; 。3)了解如何利用與單位圓有關(guān)的有向線(xiàn)段,將任意角α的正弦、余弦、正切函數值分別用正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)、正切線(xiàn)表示出來(lái); 。4)掌握并能初步運用公式一; 。5)樹(shù)立映射觀(guān)點(diǎn),正確理解三角函數是以實(shí)數為自變量的函數. 二、重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn): 任意角的正弦、余弦、正切的定義(包括這三種三角函數的定義域和函數值在各象限的符號);終邊相同的角的同一三角函數值相等(公式一). 難點(diǎn): 任意角的正弦、余弦、正切的定義(包括這三種三角函數的定義域和函數值在各象限的符號);三角函數線(xiàn)的正確理解. 三、學(xué)習過(guò)程 。ㄒ唬⿵土暎 1、初中銳角的三角函數______________________________________________________ 2、在Rt△ABC中,設A對邊為a,B對邊為b,C對邊為c,銳角A的正弦、余弦、正切依次為_(kāi)______________________________________________ 。ǘ┬抡n: 1.三角函數定義 在直角坐標系中,設α是一個(gè)任意角,α終邊上任意一點(diǎn) (除了原點(diǎn))的坐標為 ,它與原點(diǎn)的距離為 ,那么 。1)比值_______叫做α的正弦,記作_______,即________ 。2)比值_______叫做α的余弦,記作_______,即_________ 。3)比值_______叫做α的正切,記作_______,即_________; 2.三角函數的定義域、值域 函 數定 義 域值 域 3.三角函數的符號 由三角函數的定義,以及各象限內點(diǎn)的坐標的符號,我們可以得知: 、僬抑 對于第一、二象限為_(kāi)____( ),對于第三、四象限為_(kāi)___( ); 、谟嘞抑 對于第一、四象限為_(kāi)____( ),對于第二、三象限為_(kāi)___( ); 、壅兄 對于第一、三象限為_(kāi)______( 同號),對于第二、四象限為_(kāi)_____( 異號). 4.誘導公式 由三角函數的定義,就可知道:__________________________ 即有:_________________________ _________________________ _________________________ 5.當角的終邊上一點(diǎn) 的坐標滿(mǎn)足_______________時(shí),有三角函數正弦、余弦、正切值的幾何表示——三角函數線(xiàn)。 設任意角 的頂點(diǎn)在原點(diǎn) ,始邊與 軸非負半軸重合,終邊與單位圓相交與點(diǎn) 過(guò) 作 軸的垂線(xiàn),垂足為 ;過(guò)點(diǎn) 作單位圓的切線(xiàn),它與角 的.終邊或其反向延長(cháng)線(xiàn)交與點(diǎn) . 由四個(gè)圖看出: 當角 的終邊不在坐標軸上時(shí),有向線(xiàn)段 ,于是有 ,_______ ,________ 。甠________ 我們就分別稱(chēng)有向線(xiàn)段 為正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)、正切線(xiàn)。 。ㄈ├} 例1.已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn) ,求α的三個(gè)函數制值。 變式訓練1:已知角 的終邊過(guò)點(diǎn) ,求角 的正弦、余弦和正切值. 例2.求下列各角的三個(gè)三角函數值: 。1) ; (2) ; (3) . 變式訓練2:求 的正弦、余弦和正切值. 例3.已知角α的終邊過(guò)點(diǎn) ,求α的三個(gè)三角函數值。 變式訓練3: 求函數 的值域 例4..利用三角函數線(xiàn)比較下列各組數的大。 1. 與 2. tan 與tan 。ㄋ模、小結 課后練習與提高 一、選擇題 1. 是第二象限角,P( , )為其終邊上一點(diǎn),且 ,則 的值為( ) A. B. C. D. 2. 是第二象限角,且 ,則 是( ) A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 3、如果 那么下列各式中正確的是( ) A. B. C. D. 二、填空題 4. 已知 的終邊過(guò)( 9, )且 , ,則 的取值范圍是 。 5. 函數 的定義域為 。 6. 的值為 (正數,負數,0,不存在) 三、解答題 7.已知角α的終邊上一點(diǎn)P的坐標為( )( ),且 ,求 參考答案 一、選擇題: 1. A 2 . C 3. D 二、填空題 4. 5. 6. 負數 三、解答題 7. 解:由題意,得: 解得: ,所以 一、教學(xué)內容:橢圓的方程 要求:理解橢圓的標準方程和幾何性質(zhì). 重點(diǎn):橢圓的方程與幾何性質(zhì). 難點(diǎn):橢圓的方程與幾何性質(zhì). 二、點(diǎn): 1、橢圓的定義、標準方程、圖形和性質(zhì) 定 義 第一定義:平面內與兩個(gè)定點(diǎn) )的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓,這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距 第二定義: 平面內到動(dòng)點(diǎn)距離與到定直線(xiàn)距離的比是常數e.(0 標準方程 焦點(diǎn)在x軸上 焦點(diǎn)在y軸上 圖 形 焦點(diǎn)在x軸上 焦點(diǎn)在y軸上 性 質(zhì) 焦點(diǎn)在x軸上 范 圍: 對稱(chēng)性: 軸、 軸、原點(diǎn). 頂點(diǎn): , . 離心率:e 概念:橢圓焦距與長(cháng)軸長(cháng)之比 定義式: 范圍: 2、橢圓中a,b,c,e的關(guān)系是:(1)定義:r1+r2=2a 。2)余弦定理: + -2r1r2cos(3)面積: = r1r2 sin ?2c y0 (其中P( ) 三、基礎訓練: 1、橢圓 的標準方程為 ,焦點(diǎn)坐標是 ,長(cháng)軸長(cháng)為_(kāi)__2____,短軸長(cháng)為2、橢圓 的值是__3或5__; 3、兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標分別為 ___; 4、已知橢圓 上一點(diǎn)P到橢圓一個(gè)焦點(diǎn) 的距離是7,則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)5、設F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),B1B是短軸, ,則橢圓的離心率為6、方程 =10,化簡(jiǎn)的結果是 ; 滿(mǎn)足方程7、若橢圓短軸上的兩個(gè)三等分點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構成一個(gè)正方形,則橢圓的離心率為 8、直線(xiàn)y=kx-2與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓9、在平面直角坐標系 頂點(diǎn) ,頂點(diǎn) 在橢圓 上,則10、已知點(diǎn)F是橢圓 的右焦點(diǎn),點(diǎn)A(4,1)是橢圓內的一點(diǎn),點(diǎn)P(x,y)(x≥0)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則 的最大值是 8 . 【典型例題】 例1、(1)已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標軸上,長(cháng)軸長(cháng)是短軸長(cháng)的3倍,短軸長(cháng)為4,求橢圓的方程. 解:設方程為 . 所求方程為 。2)中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,右焦點(diǎn)到短軸端點(diǎn)的距離為2,到右頂點(diǎn)的距離為1,求橢圓的方程. 解:設方程為 . 所求方程為(3)已知三點(diǎn)P,(5,2),F1 (-6,0),F2 (6,0).設點(diǎn)P,F1,F2關(guān)于直線(xiàn)y=x的對稱(chēng)點(diǎn)分別為 ,求以 為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn) 的橢圓方程 . 解:(1)由題意可設所求橢圓的標準方程為 ∴所以所求橢圓的標準方程為(4)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)M( , 1)的橢圓的標準方程. 解:設方程為 例2、如圖所示,我國發(fā)射的第一顆人造地球衛星運行軌道是以地心(地球的中心) 為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓,已知它的近地點(diǎn)A(離地面最近的點(diǎn))距地面439km,遠地點(diǎn)B(離地面最遠的點(diǎn))距地面2384km,并且 、A、B在同一直線(xiàn)上,設地球半徑約為6371km,求衛星運行的軌道方程 (精確到1km). 解:建立如圖所示直角坐標系,使點(diǎn)A、B、 在 軸上, 則 =OA-O = A=6371+439=6810 解得 =7782.5, =972.5 衛星運行的軌道方程為 例3、已知定圓 分析:由兩圓內切,圓心距等于半徑之差的絕對值 根據圖形,用符號表示此結論: 上式可以變形為 ,又因為 ,所以圓心M的軌跡是以P,Q為焦點(diǎn)的橢圓 解:知圓可化為:圓心Q(3,0), 設動(dòng)圓圓心為 ,則 為半徑 又圓M和圓Q內切,所以 , 即 ,故M的軌跡是以P,Q為焦點(diǎn)的橢圓,且PQ中點(diǎn)為原點(diǎn),所以 ,故動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是: 例4、已知橢圓的焦點(diǎn)是 |和|(1)求橢圓的方程; 。2)若點(diǎn)P在第三象限,且∠ =120°,求 . 選題意圖:綜合考查數列與橢圓標準方程的基礎知識,靈活運用等比定理進(jìn)行解題. 解:(1)由題設| |=2| |=4 ∴ , 2c=2, ∴b=∴橢圓的方程為 . 。2)設∠ ,則∠ =60°-θ 由正弦定理得: 由等比定理得: 整理得: 故 說(shuō)明:曲線(xiàn)上的點(diǎn)與焦點(diǎn)連線(xiàn)構成的三角形稱(chēng)曲線(xiàn)三角形,與曲線(xiàn)三角形有關(guān)的問(wèn)題常常借助正(余)弦定理,借助比例性質(zhì)進(jìn)行處理.對于第二問(wèn)還可用后面的幾何性質(zhì),借助焦半徑公式余弦定理把P點(diǎn)橫坐標先求出來(lái),再去解三角形作答 例5、如圖,已知一個(gè)圓的圓心為坐標原點(diǎn),半徑為2,從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)P向 軸作垂線(xiàn)段PP?@,求線(xiàn)段PP?@的中點(diǎn)M的軌跡(若M分 PP?@之比為 ,求點(diǎn)M的軌跡) 解:(1)當M是線(xiàn)段PP?@的中點(diǎn)時(shí),設動(dòng)點(diǎn) ,則 的'坐標為 因為點(diǎn) 在圓心為坐標原點(diǎn)半徑為2的圓上, 所以有 所以點(diǎn) 。2)當M分 PP?@之比為 時(shí),設動(dòng)點(diǎn) ,則 的坐標為 因為點(diǎn) 在圓心為坐標原點(diǎn)半徑為2的圓上,所以有 , 即所以點(diǎn) 例6、設向量 =(1, 0), =(x+m) +y =(x-m) +y + (I)求動(dòng)點(diǎn)P(x,y)的軌跡方程; 。↖I)已知點(diǎn)A(-1, 0),設直線(xiàn)y= (x-2)與點(diǎn)P的軌跡交于B、C兩點(diǎn),問(wèn)是否存在實(shí)數m,使得 ?若存在,求出m的值;若不存在,請說(shuō)明理由. 解:(I)∵ =(1, 0), =(0, 1), =6 上式即為點(diǎn)P(x, y)到點(diǎn)(-m, 0)與到點(diǎn)(m, 0)距離之和為6.記F1(-m, 0),F2(m, 0)(0 ∴ PF1+PF2=6>F1F2 又∵x>0,∴P點(diǎn)的軌跡是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓的右半部分. ∵ 2a=6,∴a=3 又∵ 2c=2m,∴ c=m,b2=a2-c2=9-m2 ∴ 所求軌跡方程為 (x>0,0<m<3) 。 II )設B(x1, y1),C(x2, y2), ∴∴ 而y1y2= (x1-2)? (x2-2) = [x1x2-2(x1+x2)+4] ∴ [x1x2-2(x1+x2)+4] = [10x1x2+7(x1+x2)+13] 若存在實(shí)數m,使得 成立 則由 [10x1x2+7(x1+x2)+13]= 可得10x1x2+7(x1+x2)+10=0 ① 再由 消去y,得(10-m2)x2-4x+9m2-77=0 ② 因為直線(xiàn)與點(diǎn)P的軌跡有兩個(gè)交點(diǎn). 所以 由①、④、⑤解得m2= <9,且此時(shí)△>0 但由⑤,有9m2-77= <0與假設矛盾 ∴ 不存在符合題意的實(shí)數m,使得 例7、已知C1: ,拋物線(xiàn)C2:(y-m)2=2px (p>0),且C1、C2的公共弦AB過(guò)橢圓C1的右焦點(diǎn). 。á瘢┊擜B⊥x軸時(shí),求p、m的值,并判斷拋物線(xiàn)C2的焦點(diǎn)是否在直線(xiàn)AB上; 。á颍┤魀= ,且拋物線(xiàn)C2的焦點(diǎn)在直線(xiàn)AB上,求m的值及直線(xiàn)AB的方程. 解:(Ⅰ)當AB⊥x軸時(shí),點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對稱(chēng),所以m=0,直線(xiàn)AB的方程為x=1,從而點(diǎn)A的坐標為(1, )或(1,- ). ∵點(diǎn)A在拋物線(xiàn)上,∴ 此時(shí)C2的焦點(diǎn)坐標為( ,0),該焦點(diǎn)不在直線(xiàn)AB上. 。á颍┊擟2的焦點(diǎn)在A(yíng)B上時(shí),由(Ⅰ)知直線(xiàn)AB的斜率存在,設直線(xiàn)AB的方程為y=k(x-1). 由 (kx-k-m)2= ① 因為C2的焦點(diǎn)F( ,m)在y=k(x-1)上. 所以k2x2- (k2+2)x+ =0 ② 設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2= 由 。3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0 ③ 由于x1、x2也是方程③的兩根,所以x1+x2= 從而 = k2=6即k=± 又m=- ∴m= 或m=- 當m= 時(shí),直線(xiàn)AB的方程為y=- (x-1); 當m=- 時(shí),直線(xiàn)AB的方程為y= (x-1). 例8、已知橢圓C: (a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2,離心率為e.直線(xiàn)l:y=ex+a與x軸,y軸分別交于點(diǎn)A、B,M是直線(xiàn)l與橢圓C的一個(gè)公共點(diǎn),P是點(diǎn)F1關(guān)于直線(xiàn)l的對稱(chēng)點(diǎn),設 = . 。á瘢┳C明:(Ⅱ)若 ,△MF1F2的周長(cháng)為6,寫(xiě)出橢圓C的方程; 。á螅┐_定解:(Ⅰ)因為A、B分別為直線(xiàn)l:y=ex+a與x軸、y軸的交點(diǎn),所以A、B的坐標分別是A(- ,0),B(0,a). 由 得 這里∴M = ,a) 即 解得 。á颍┊ 時(shí), ∴a=2c 由△MF1F2的周長(cháng)為6,得2a+2c=6 ∴a=2,c=1,b2=a2-c2=3 故所求橢圓C的方程為 。á螅逷F1⊥l ∴∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角,要使△PF1F2為等腰三角形,必有PF1=F1F2,即 PF1=C. 設點(diǎn)F1到l的距離為d,由 PF1= =得: =e ∴e2= 于是 即當(注:也可設P(x0,y0),解出x0,y0求之) 【模擬】 一、選擇題 1、動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn) 和 的距離的和為8,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為 ( ) A、橢圓 B、線(xiàn)段 C、無(wú)圖形 D、兩條射線(xiàn) 2、設橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2,過(guò)F2作橢圓長(cháng)軸的垂線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)P,若△F1PF2為等腰直角三角形,則橢圓的離心率是 ( ) A、 C、2- -1 3、(2004年高考湖南卷)F1、F2是橢圓C: 的焦點(diǎn),在C上滿(mǎn)足PF1⊥PF2的點(diǎn)P的個(gè)數為( ) A、2個(gè) B、4個(gè) C、無(wú)數個(gè) D、不確定 4、橢圓 的左、右焦點(diǎn)為F1、F2,一直線(xiàn)過(guò)F1交橢圓于A(yíng)、B兩點(diǎn),則△ABF2的周長(cháng)為 ( ) A、32 B、16 C、8 D、4 5、已知點(diǎn)P在橢圓(x-2)2+2y2=1上,則 的最小值為( ) A、 C、 6、我們把離心率等于黃金比 是優(yōu)美橢圓,F、A分別是它的左焦點(diǎn)和右頂點(diǎn),B是它的短軸的一個(gè)端點(diǎn),則 等于( ) A、 C、 二、填空題 7、橢圓 的頂點(diǎn)坐標為 和 ,焦點(diǎn)坐標為 ,焦距為 ,長(cháng)軸長(cháng)為 ,短軸長(cháng)為 ,離心率為 ,準線(xiàn)方程為 . 8、設F是橢圓 的右焦點(diǎn),且橢圓上至少有21個(gè)不同的點(diǎn)Pi(i=1,2, ),使得FP1、FP2、FP3…組成公差為d的等差數列,則d的取值范圍是 . 9、設 , 是橢圓 的兩個(gè)焦點(diǎn),P是橢圓上一點(diǎn),且 ,則得 . 10、若橢圓 =1的準線(xiàn)平行于x軸則m的取值范圍是 三、解答題 11、根據下列條件求橢圓的標準方程 。1)和橢圓 共準線(xiàn),且離心率為 . 。2)已知P點(diǎn)在以坐標軸為對稱(chēng)軸的橢圓上,點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離分別為 和 ,過(guò)P作長(cháng)軸的垂線(xiàn)恰好過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn). 12、已知 軸上的一定點(diǎn)A(1,0),Q為橢圓 上的動(dòng)點(diǎn),求AQ中點(diǎn)M的軌跡方程 13、橢圓 的焦點(diǎn)為 =(3, -1)共線(xiàn). 。1)求橢圓的離心率; 。2)設M是橢圓上任意一點(diǎn),且 = 、 ∈R),證明 為定值. 【試題答案】 1、B 2、D 3、A 4、B 5、D(法一:設 ,則y=kx代入橢圓方程中得:(1+2k2)x2-4x+3=0,由△≥0得: .法二:用橢圓的參數方程及三角函數的有界性求解) 6、C 7、( ;(0, );6;10;8; ; . 8、 ∪ 9、 10、m< 且m≠0. 11、(1)設橢圓方程 . 解得 , 所求橢圓方程為(2)由 . 所求橢圓方程為 的坐標為 因為點(diǎn) 為橢圓 上的動(dòng)點(diǎn) 所以有 所以中點(diǎn) 13、解:設P點(diǎn)橫坐標為x0,則 為鈍角.當且僅當 . 14、(1)解:設橢圓方程 ,F(c,0),則直線(xiàn)AB的方程為y=x-c,代入 ,化簡(jiǎn)得: x1x2= 由 =(x1+x2,y1+y2), 共線(xiàn),得:3(y1+y2)+(x1+x2)=0, 又y1=x1-c,y2=x2-c ∴ 3(x1+x2-2c)+(x1+x2)=0,∴ x1+x2= 即 = ,∴ a2=3b2 ∴ 高中地理 ,故離心率e= . 。2)證明:由(1)知a2=3b2,所以橢圓 可化為x2+3y2=3b2 設 = (x2,y2),∴ , ∵M(jìn)∴ ( )2+3( )2=3b2 即: )+ (由(1)知x1+x2= ,a2= 2,b2= c2. x1x2= = 2 x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1-c)(x2-c) =4x1x2-3(x1+x2)c+3c2= 2- 2+3c2=0 又 =3b2代入①得 為定值,定值為1. 教學(xué)目標 1、知識與技能 (1)了解周期現象在現實(shí)中廣泛存在;(2)感受周期現象對實(shí)際工作的意義;(3)理解周期函數的概念;(4)能熟練地判斷簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題的周期;(5)能利用周期函數定義進(jìn)行簡(jiǎn)單運用。 2、過(guò)程與方法 通過(guò)創(chuàng )設情境:?jiǎn)螖[運動(dòng)、時(shí)鐘的圓周運動(dòng)、潮汐、波浪、四季變化等,讓學(xué)生感知周期現象;從數學(xué)的角度分析這種現象,就可以得到周期函數的定義;根據周期性的定義,再在實(shí)踐中加以應用。 3、情感態(tài)度與價(jià)值觀(guān) 通過(guò)本節的學(xué)習,使同學(xué)們對周期現象有一個(gè)初步的認識,感受生活中處處有數學(xué),從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習積極性,培養學(xué)生學(xué)好數學(xué)的信心,學(xué)會(huì )運用聯(lián)系的觀(guān)點(diǎn)認識事物。 教學(xué)重難點(diǎn) 重點(diǎn):感受周期現象的存在,會(huì )判斷是否為周期現象。 難點(diǎn):周期函數概念的理解,以及簡(jiǎn)單的應用。 教學(xué)工具 投影儀 教學(xué)過(guò)程 創(chuàng )設情境,揭示課題 同學(xué)們:我們生活在海南島非常幸福,可以經(jīng)?吹酱蠛,陶冶我們的情操。眾所周知,海水會(huì )發(fā)生潮汐現象,大約在每一晝夜的時(shí)間里,潮水會(huì )漲落兩次,這種現象就是我們今天要學(xué)到的`周期現象。再比如,[取出一個(gè)鐘表,實(shí)際操作]我們發(fā)現鐘表上的時(shí)針、分針和秒針每經(jīng)過(guò)一周就會(huì )重復,這也是一種周期現象。所以,我們這節課要研究的主要內容就是周期現象與周期函數。(板書(shū)課題) 探究新知 1.我們已經(jīng)知道,潮汐、鐘表都是一種周期現象,請同學(xué)們觀(guān)察錢(qián)塘江潮的圖片(投影圖片),注意波浪是怎樣變化的?可見(jiàn),波浪每隔一段時(shí)間會(huì )重復出現,這也是一種周期現象。請你舉出生活中存在周期現象的例子。(單擺運動(dòng)、四季變化等) (板書(shū):一、我們生活中的周期現象) 2.那么我們怎樣從數學(xué)的角度研究周期現象呢?教師引導學(xué)生自主學(xué)習課本P3——P4的相關(guān)內容,并思考回答下列問(wèn)題: 、偃绾卫斫狻吧Ⅻc(diǎn)圖”? 、趫D1-1中橫坐標和縱坐標分別表示什么? 、廴绾卫斫鈭D1-1中的“H/m”和“t/h”? 、軐τ谥芷诤瘮档亩x,你的理解是怎樣? 以上問(wèn)題都由學(xué)生來(lái)回答,教師加以點(diǎn)撥并總結:周期函數定義的理解要掌握三個(gè)條件,即存在不為0的常數T;x必須是定義域內的任意值;f(x+T)=f(x)。 (板書(shū):二、周期函數的概念) 3.[展示投影]練習: (1)已知函數f(x)滿(mǎn)足對定義域內的任意x,均存在非零常數T,使得f(x+T)=f(x)。 求f(x+2T),f(x+3T) 略解:f(x+2T)=f[(x+T)+T]=f(x+T)=f(x) f(x+3T)=f[(x+2T)+T]=f(x+2T)=f(x) 本題小結,由學(xué)生完成,總結出“周期函數的周期有無(wú)數個(gè)”,教師指出一般情況下,為避免引起混淆,特指最小正周期。 (2)已知函數f(x)是R上的周期為5的周期函數,且f(1)=20xx,求f(11) 略解:f(11)=f(6+5)=f(6)=f(1+5)=f(1)=20xx (3)已知奇函數f(x)是R上的函數,且f(1)=2,f(x+3)=f(x),求f(8) 略解:f(8)=f(2+2×3)=f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-f(1)=-2 鞏固深化,發(fā)展思維 1.請同學(xué)們先自主學(xué)習課本P4倒數第五行——P5倒數第四行,然后各個(gè)學(xué)習小組之間展開(kāi)合作交流。 2.例題講評 例1.地球圍繞著(zhù)太陽(yáng)轉,地球到太陽(yáng)的距離y是時(shí)間t的函數嗎?如果是,這個(gè)函數 y=f(t)是不是周期函數? 例2.圖1-4(見(jiàn)課本)是鐘擺的示意圖,擺心A到鉛垂線(xiàn)MN的距離y是時(shí)間t的函數,y=g(t)。根據鐘擺的知識,容易說(shuō)明g(t+T)=g(t),其中T為鐘擺擺動(dòng)一周(往返一次)所需的時(shí)間,函數y=g(t)是周期函數。若以鐘擺偏離鉛垂線(xiàn)MN的角θ的度數為變量,根據物理知識,擺心A到鉛垂線(xiàn)MN的距離y也是θ的周期函數。 例3.圖1-5(見(jiàn)課本)是水車(chē)的示意圖,水車(chē)上A點(diǎn)到水面的距離y是時(shí)間t的函數。假設水車(chē)5min轉一圈,那么y的值每經(jīng)過(guò)5min就會(huì )重復出現,因此,該函數是周期函數。 3.小組課堂作業(yè) (1)課本P6的思考與交流 (2)(回答)今天是星期三那么7k(k∈Z)天后的那一天是星期幾?7k(k∈Z)天前的那一天是星期幾?100天后的那一天是星期幾? 五、歸納整理,整體認識 (1)請學(xué)生回顧本節課所學(xué)過(guò)的知識內容有哪些?所涉及到的主要數學(xué)思想方法有那些? (2)在本節課的學(xué)習過(guò)程中,還有那些不太明白的地方,請向老師提出。 (3)你在這節課中的表現怎樣?你的體會(huì )是什么? 六、布置作業(yè) 1.作業(yè):習題1.1第1,2,3題. 2.多觀(guān)察一些日常生活中的周期現象的例子,進(jìn)一步理解它的特點(diǎn). 課后小結 歸納整理,整體認識 (1)請學(xué)生回顧本節課所學(xué)過(guò)的知識內容有哪些?所涉及到的主要數學(xué)思想方法有那些? (2)在本節課的學(xué)習過(guò)程中,還有那些不太明白的地方,請向老師提出。 (3)你在這節課中的表現怎樣?你的體會(huì )是什么? 課后習題 作業(yè) 1.作業(yè):習題1.1第1,2,3題. 2.多觀(guān)察一些日常生活中的周期現象的例子,進(jìn)一步理解它的特點(diǎn). 板書(shū) 【三角函數教案】相關(guān)文章: 三角函數復習教案06-02 數學(xué)三角函數教案與習題06-20 高三數學(xué)三角函數復習教案01-15 三角函數教學(xué)設計05-06 三角函數說(shuō)課稿08-12 三角函數解題方法總結05-16 反三角函數公式總結11-03 《任意角三角函數定義》說(shuō)課稿07-06 高中三角函數公式總結08-08三角函數教案13
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