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三角函數教案
作為一位不辭辛勞的人民教師，常常需要準備教案，教案有利于教學(xué)水平的提高，有助于教研活動(dòng)的開(kāi)展。那么教案應該怎么寫(xiě)才合適呢？以下是小編整理的三角函數教案，歡迎閱讀，希望大家能夠喜歡。
三角函數教案1
本文題目：高三數學(xué)教案：三角函數的周期性
一、學(xué)習目標與自我評估
1 掌握利用單位圓的幾何方法作函數 的圖象
2 結合 的圖象及函數周期性的定義了解三角函數的周期性，及最小正周期
3 會(huì )用代數方法求 等函數的周期
4 理解周期性的幾何意義
二、學(xué)習重點(diǎn)與難點(diǎn)
周期函數的概念， 周期的求解。
三、學(xué)法指導
1、 是周期函數是指對定義域中所有 都有
，即 應是恒等式。
2、周期函數一定會(huì )有周期，但不一定存在最小正周期。
四、學(xué)習活動(dòng)與意義建構
五、重點(diǎn)與難點(diǎn)探究
例1、若鐘擺的高度 與時(shí)間 之間的函數關(guān)系如圖所示
(1)求該函數的周期;
(2)求 時(shí)鐘擺的高度。
例2、求下列函數的周期。
(1) (2)
總結：(1)函數 (其中 均為常數，且
的周期T= 。
(2)函數 (其中 均為常數，且
的周期T= 。
例3、求證： 的`周期為 。
例4、(1)研究 和 函數的圖象，分析其周期性。
(2)求證： 的周期為 (其中 均為常數，
且
總結：函數 (其中 均為常數，且
的周期T= 。
例5、(1)求 的周期。
(2)已知 滿(mǎn)足 ，求證： 是周期函數
課后思考：能否利用單位圓作函數 的圖象。
六、作業(yè)：
七、自主體驗與運用
1、函數 的周期為 ( )
A、 B、 C、 D、
2、函數 的最小正周期是 ( )
A、 B、 C、 D、
3、函數 的最小正周期是 ( )
A、 B、 C、 D、
4、函數 的周期是 ( )
A、 B、 C、 D、
5、設 是定義域為R,最小正周期為 的函數，
若 ，則 的值等于 ()
A、1 B、 C、0 D、
6、函數 的最小正周期是 ，則
7、已知函數 的最小正周期不大于2，則正整數
的最小值是
8、求函數 的最小正周期為T(mén)，且 ，則正整數
的最大值是
9、已知函數 是周期為6的奇函數，且 則
10、若函數 ，則
11、用周期的定義分析 的周期。
12、已知函數 ，如果使 的周期在 內，求
正整數 的值
13、一機械振動(dòng)中，某質(zhì)子離開(kāi)平衡位置的位移 與時(shí)間 之間的
函數關(guān)系如圖所示：
(1) 求該函數的周期;
(2) 求 時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)平衡位置的位移。
14、已知 是定義在R上的函數，且對任意 有
成立，
(1) 證明： 是周期函數;
(2) 若 求 的值。
三角函數教案2
三角函數的誘導公式
一、指導思想與理論依據
數學(xué)是一門(mén)培養人的思維，發(fā)展人的思維的重要學(xué)科。因此，在教學(xué)中，不僅要使學(xué)生“知其然”而且要使學(xué)生“知其所以然”。所以在學(xué)生為主體，教師為主導的原則下，要充分揭示獲取知識和方法的思維過(guò)程。因此本節課我以建構主義的“創(chuàng )設問(wèn)題情境——提出數學(xué)問(wèn)題——嘗試解決問(wèn)題——驗證解決方法”為主，主要采用觀(guān)察、啟發(fā)、類(lèi)比、引導、探索相結合的教學(xué)方法。在教學(xué)手段上，則采用多媒體輔助教學(xué)，將抽象問(wèn)題形象化，使教學(xué)目標體現的更加完美。
二.教材分析
三角函數的誘導公式是普通高中課程標準實(shí)驗教科書(shū)(人教a版)數學(xué)必修四，第一章第三節的內容，其主要內容是三角函數誘導公式中的公式(二)至公式(六).本節是第一課時(shí),教學(xué)內容為公式(二)、(三)、(四).教材要求通過(guò)學(xué)生在已經(jīng)掌握的任意角的三角函數的定義和誘導公式(一)的基礎上，利用對稱(chēng)思想發(fā)現任意角 與終邊的對稱(chēng)關(guān)系，發(fā)現他們與單位圓的交點(diǎn)坐標之間關(guān)系，進(jìn)而發(fā)現他們的三角函數值的關(guān)系，即發(fā)現、掌握、應用三角函數的誘導公式公式(二)、(三)、(四).同時(shí)教材滲透了轉化與化歸等數學(xué)思想方法，為培養學(xué)生養成良好的學(xué)習習慣提出了要求.為此本節內容在三角函數中占有非常重要的地位.
三.學(xué)情分析
本節課的授課對象是本校高一(1)班全體同學(xué)，本班學(xué)生水平處于中等偏下，但本班學(xué)生具有善于動(dòng)手的良好學(xué)習習慣，所以采用發(fā)現的教學(xué)方法應該能輕松的完成本節課的教學(xué)內容.
四.教學(xué)目標
(1).基礎知識目標：理解誘導公式的發(fā)現過(guò)程，掌握正弦、余弦、正切的誘導公式;
(2).能力訓練目標：能正確運用誘導公式求任意角的正弦、余弦、正切值，以及進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角函數求值與化簡(jiǎn);
(3).創(chuàng )新素質(zhì)目標：通過(guò)對公式的推導和運用，提高三角恒等變形的能力和滲透化歸、數形結合的數學(xué)思想，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力;
(4).個(gè)性品質(zhì)目標：通過(guò)誘導公式的學(xué)習和應用，感受事物之間的普通聯(lián)系規律，運用化歸等數學(xué)思想方法，揭示事物的本質(zhì)屬性，培養學(xué)生的唯物史觀(guān).
五.教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)
1.教學(xué)重點(diǎn)
理解并掌握誘導公式.
2.教學(xué)難點(diǎn)
正確運用誘導公式，求三角函數值，化簡(jiǎn)三角函數式.
六.教法學(xué)法以及預期效果分析
“授人以魚(yú)不如授之以魚(yú)”， 作為一名老師,我們不僅要傳授給學(xué)生數學(xué)知識,更重要的是傳授給學(xué)生數學(xué)思想方法, 如何實(shí)現這一目的,要求我們每一位教者苦心鉆研、認真探究.下面我從教法、學(xué)法、預期效果等三個(gè)方面做如下分析.
1.教法
數學(xué)教學(xué)是數學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)，而不僅僅是數學(xué)活動(dòng)的結果，數學(xué)學(xué)習的目的.不僅僅是為了獲得數學(xué)知識，更主要作用是為了訓練人的思維技能，提高人的思維品質(zhì).
在本節課的教學(xué)過(guò)程中，本人以學(xué)生為主題，以發(fā)現為主線(xiàn)，盡力滲透類(lèi)比、化歸、數形結合等數學(xué)思想方法，采用提出問(wèn)題、啟發(fā)引導、共同探究、綜合應用等教學(xué)模式，還給學(xué)生“時(shí)間”、“空間”， 由易到難，由特殊到一般，盡力營(yíng)造輕松的學(xué)習環(huán)境，讓學(xué)生體味學(xué)習的快樂(lè )和成功的喜悅.
2.學(xué)法
“現代的文盲不是不識字的人，而是沒(méi)有掌握學(xué)習方法的人”，很多課堂教學(xué)常常以高起點(diǎn)、大容量、快推進(jìn)的做法，以便教給學(xué)生更多的知識點(diǎn)，卻忽略了學(xué)生接受知識需要時(shí)間消化，進(jìn)而泯滅了學(xué)生學(xué)習的興趣與熱情.如何能讓學(xué)生最大程度的消化知識，提高學(xué)習熱情是教者必須思考的問(wèn)題.
在本節課的教學(xué)過(guò)程中，本人引導學(xué)生的學(xué)法為思考問(wèn)題 共同探討 解決問(wèn)題 簡(jiǎn)單應用 重現探索過(guò)程 練習鞏固.讓學(xué)生參與探索的全部過(guò)程，讓學(xué)生在獲取新知識及解決問(wèn)題的方法后，合作交流、共同探索，使之由被動(dòng)學(xué)習轉化為主動(dòng)的自主學(xué)習.
3.預期效果
本節課預期讓學(xué)生能正確理解誘導公式的發(fā)現、證明過(guò)程，掌握誘導公式，并能熟練應用誘導公式了解一些簡(jiǎn)單的化簡(jiǎn)問(wèn)題.
七.教學(xué)流程設計
(一)創(chuàng )設情景
1.復習銳角300，450，600的三角函數值;
2.復習任意角的三角函數定義;
3.問(wèn)題:由 ，你能否知道sin2100的值嗎?引如新課.
設計意圖
自信的鼓勵是增強學(xué)生學(xué)習數學(xué)的自信，簡(jiǎn)單易做的題加強了每個(gè)學(xué)生學(xué)習的熱情，具體數據問(wèn)題的出現，讓學(xué)生既有好像會(huì )做的心理但又有迷惑的茫然，去發(fā)掘潛力期待尋找機會(huì )證明我能行，從而思考解決的辦法.
(二)新知探究
1. 讓學(xué)生發(fā)現300角的終邊與2100角的終邊之間有什么關(guān)系;
2.讓學(xué)生發(fā)現300角的終邊和2100角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為 、 的坐標有什么關(guān)系;
3.sin2100與sin300之間有什么關(guān)系.
設計意圖
由特殊問(wèn)題的引入，使學(xué)生容易了解，實(shí)現教學(xué)過(guò)程的平淡過(guò)度,為同學(xué)們探究發(fā)現任意角 與 的三角函數值的關(guān)系做好鋪墊.
(三)問(wèn)題一般化
三角函數教案3
一、教學(xué)目標：
1、知識與技能
�。�1） 使學(xué)生掌握同角三角函數的基本關(guān)系；
�。�2）已知某角的一個(gè)三角函數值，求它的其余各三角函數值；
�。�3）利用同角三角函數關(guān)系式化簡(jiǎn)三角函數式；
�。�4）利用同角三角函數關(guān)系式證明三角恒等式；
�。�5）牢固掌握同角三角函數的三個(gè)關(guān)系式并能靈活運用于解題，提高學(xué)生分析，解決三角問(wèn)題的能力；
�。�6）靈活運用同角三角函數關(guān)系式的不同變形，提高三角恒等變形的能力，進(jìn)一步樹(shù)立化歸思想方法；
�。�7）掌握恒等式證明的一般方法。
2、過(guò)程與方法
由圓的幾何性質(zhì)出發(fā)，利用三角函數線(xiàn)，探究同一個(gè)角的不同三角函數之間的關(guān)系；學(xué)習已知一個(gè)三角函數值，求它的其余各三角函數值；利用同角三角函數關(guān)系式化簡(jiǎn)三角函數式；利用同角三角函數關(guān)系式證明三角恒等式等。通過(guò)例題講解，總結方法。通過(guò)做練習，鞏固所學(xué)知識。
3、情態(tài)與價(jià)值
通過(guò)本節的學(xué)習，牢固掌握同角三角函數的三個(gè)關(guān)系式并能靈活運用于解題，提高學(xué)生分析，解決三角問(wèn)題的`能力；進(jìn)一步樹(shù)立化歸思想方法和證明三角恒等式的一般方法。
二、教學(xué)重、難點(diǎn)
重點(diǎn)：公式及的推導及運用：
�。�1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一個(gè)，求其余兩個(gè)；
�。�2）化簡(jiǎn)三角函數式；
�。�3）證明簡(jiǎn)單的三角恒等式。
難點(diǎn)： 根據角α終邊所在象限求出其三角函數值；選擇適當的方法證明三角恒等式。
三、學(xué)法與教學(xué)用具
利用三角函數線(xiàn)的定義， 推導同角三角函數的基本關(guān)系式： 及，并靈活應用求三角函數值，化減三角函數式，證明三角恒等式等。
教學(xué)用具：圓規、三角板、投影
四、教學(xué)設想
【創(chuàng )設情境】
與初中學(xué)習銳角三角函數一樣，本節課我們來(lái)研究同角三角函數之間關(guān)系，弄清同角各不同三角函數之間的聯(lián)系，實(shí)現不同函數值之間的互相轉化．
【探究新知】
1、探究：三角函數是以單位圓上點(diǎn)的坐標來(lái)定義的，你能從圓的幾何性質(zhì)出發(fā)，討論一
下同一個(gè)角不同三角函數之間的關(guān)系嗎？
如圖：以正弦線(xiàn)，余弦線(xiàn)和半徑三者的長(cháng)構成直角三角形，而且。由勾股定理由，因此，即。
根據三角函數的定義，當時(shí)，有。
這就是說(shuō)，同一個(gè)角的正弦、余弦的平方等于1，商等于角的正切。
2、例題講評
例6。已知，求的值。
三者知一求二，熟練掌握。
3、鞏固練習頁(yè)第1，2，3題
4、例題講評
例7。求證： 。
通過(guò)本例題，總結證明一個(gè)三角恒等式的方法步驟。
5、鞏固練習頁(yè)第4，5題
6、學(xué)習小結
�。�1）同角三角函數的關(guān)系式的前提是“同角”，因此，．
�。�2）利用平方關(guān)系時(shí)，往往要開(kāi)方，因此要先根據角所在象限確定符號，即要就角所在象限進(jìn)行分類(lèi)討論．
五、評價(jià)設計
�。�1）作業(yè)：習題1。2A組第10，13題。
�。�2）熟練掌握記憶同角三角函數的關(guān)系式，試將關(guān)系式變形等，得到其他幾個(gè)常用的關(guān)系式；注意三角恒等式的證明方法與步驟。
三角函數教案4
【教學(xué)目標：】
1．通過(guò)對初中銳角三角函數定義的回憶，掌握任意角三角函數的定義法，并掌握用單位圓中的有向線(xiàn)段表示三角函數值．
2．掌握已知角 終邊上一點(diǎn)坐標，求四個(gè)三角函數值．（即給角求值問(wèn)題）
【教學(xué)重點(diǎn)：】
任意角的三角函數的定義．
【教學(xué)難點(diǎn)：】
任意角的三角函數的定義，正弦、余弦、正切這三種三角函數的幾何表示．
【教學(xué)用具：】
直尺、圓規、投影儀．
【教學(xué)步驟：】
1．設置情境
角的范圍已經(jīng)推廣，那么對任一角 是否也能像銳角一樣定義其四種三角函數呢？本節課就來(lái)討論這一問(wèn)題．
2．探索研究
�。�1）復習回憶銳角三角函數
我們已經(jīng)學(xué)習過(guò)銳角三角函數，知道它們都是以銳角 為自變量，以比值為函數值，定義了角 的正弦、余弦、正切、余切的三角函數，本節課我們研究當角 是一個(gè)任意角時(shí)，其三角函數的定義及其幾何表示．
�。�2）任意角的三角函數定義
如圖1，設 是任意角， 的終邊上任意一點(diǎn) 的坐標是 ，當角 在第一、二、三、四象限時(shí)的'情形，它與原點(diǎn)的距離為 ，則 ．
定義：①比值 叫做 的正弦，記作 ，即 ．
�、诒戎� 叫做 的余弦，記作 ，即 ．
圖1
�、郾戎� 叫做 的正切，記作 ，即 ．
同時(shí)提供顯示任意角的三角函數所在象限的課件
提問(wèn)：對于確定的角 ，這三個(gè)比值的大小和 點(diǎn)在角 的終邊上的位置是否有關(guān)呢？
利用三角形相似的知識，可以得出對于角 ，這三個(gè)比值的大小與 點(diǎn)在角 的終邊上的位置無(wú)關(guān)，只與角 的大小有關(guān)．
請同學(xué)們觀(guān)察當 時(shí)， 的終邊在 軸上，此時(shí)終邊上任一點(diǎn) 的橫坐標 都等于0，所以 無(wú)意義，除此之外，對于確定的角 ，上面三個(gè)比值都是惟一確定的．把上面定義中三個(gè)比的前項、后項交換，那么得到另外三個(gè)定義．
�、鼙戎� 叫做 的余切，記作 ，則 ．
�、荼戎� 叫做 的正割，記作 ，則 ．
�、薇戎� 叫做 的余割，記作 ，則 ．
可以看出：當 時(shí)， 的終邊在 軸上，這時(shí) 的縱坐標 都等于0，所以 與 的值不存在，當 時(shí)， 的值不存在，除此之外，對于確定的角 ，比值 ， ， 分別是一個(gè)確定的實(shí)數，所以我們把正弦、余弦，正切、余切，正割及余割都看成是以角為自變量，以比值為函數值的函數，以上六種函數統稱(chēng)三角函數．
�。�3）三角函數是以實(shí)數為自變量的函數
對于確定的角 ，如圖2所示， ， ， 分別對應的比值各是一個(gè)確定的實(shí)數，因此，正弦，余弦，正切分別可看成從一個(gè)角的集合到一個(gè)比值的集合的映射，它們都是以角為自變量，以比值為函數值的函數，當采用弧度制來(lái)度量角時(shí)，每一個(gè)確定的角有惟一確定的弧度數，這是一個(gè)實(shí)數，所以這幾種三角函數也都可以看成是以實(shí)數為自變量，以比值為函數值的函數．
即：實(shí)數→角（其弧度數等于這個(gè)實(shí)數）→三角函數值（實(shí)數）
�。�4）三角函數的一種幾何表示
利用單位圓有關(guān)的有向線(xiàn)段，作出正弦線(xiàn)，余弦線(xiàn)，正切線(xiàn)，如下圖3．
圖3
設任意角 的頂點(diǎn)在原點(diǎn) ，始邊與 軸的非負半軸重合，終邊與單位圓相交于點(diǎn) ，過(guò) 作 軸的垂線(xiàn)，垂足為 ；過(guò)點(diǎn) 作單位圓的切線(xiàn)，這條切線(xiàn)必然平行于軸，設它與角 的終邊（當 為第一、四象限時(shí)）或其反向延長(cháng)線(xiàn)（當 為第二、三象限時(shí)）相交于 ，當角 的終邊不在坐標軸上時(shí)，我們把 ， 都看成帶有方向的線(xiàn)段，這種帶方向的線(xiàn)段叫有向線(xiàn)段．由正弦、余弦、正切函數的定義有：
這幾條與單位圓有關(guān)的有向線(xiàn)段 叫做角 的正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)、正切線(xiàn)．當角 的終邊在 軸上時(shí)，正弦線(xiàn)、正切線(xiàn)分別變成一個(gè)點(diǎn)；當角 的終邊在 軸上時(shí)，余弦線(xiàn)變成一個(gè)點(diǎn)，正切線(xiàn)不存在．
�。�5）例題講評
三角函數教案5
教學(xué)目的：
�、闭莆胀侨呛瘮档幕娟P(guān)系式，理解同角公式都是恒等式的特定意義；
2 通過(guò)運用公式的訓練過(guò)程，培養學(xué)生解決三角函數求值、化簡(jiǎn)、恒等式證明的解題技能，提高運用公式的靈活性；
3 注意運用數形結合的思想解決有關(guān)求值問(wèn)題；在解決三角函數化簡(jiǎn)問(wèn)題過(guò)程中，注意培養學(xué)生思維的靈活性及思維的深化；在恒等式證明的教學(xué)過(guò)程中，注意培養學(xué)生分析問(wèn)題的能力，從而提高邏輯推理能力．
教學(xué)重點(diǎn)：
同角三角函數的`基本關(guān)系
教學(xué)難點(diǎn)：
(1)已知某角的一個(gè)三角函數值，求它的其余各三角函數值時(shí)正負號的選擇；
(2)三角函數式的化簡(jiǎn)；(3)證明三角恒等式．
授課類(lèi)型：
新授課
知識回顧：
同角三角函數的基本關(guān)系公式:
典型例題：
例1．已知sin =2，求α的其余三個(gè)三角函數值．
例2．已知： 且 ，試用定義求 的其余三個(gè)三角函數值．
例3．已知角 的終邊在直線(xiàn)=3x上，求sin 和cs 的值．
說(shuō)明：已知某角的一個(gè)三角函數值，求該角的其他三角函數值時(shí)要注意：
(1)角所在的象限；
(2)用平方關(guān)系求值時(shí)，所求三角函數的符號由角所在的象限決定；
(3)若題設中已知角的某個(gè)三角函數值是用字母給出的，則求其他函數值時(shí)，要對該字母分類(lèi)討論．
小結：
幾種技巧
課后作業(yè)：
板書(shū)設計（略）
課后記：
三角函數教案6
一、知識與技能
1. 會(huì )用三角函數線(xiàn)分別表示任意角的正弦、余弦、正切函數值
2.借助單位圓理解任意角三角函數(正弦、余弦、正切)的定義;
3.能利用三角函數線(xiàn)解決一些簡(jiǎn)單的三角函數問(wèn)題
二、過(guò)程與方法
1.借助幾何畫(huà)板讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過(guò)程，提高學(xué)生觀(guān)察、發(fā)現、類(lèi)比、猜想和實(shí)驗探索的能力;
2.讓學(xué)生從所學(xué)知識基礎上發(fā)現新問(wèn)題，并加以解決，提高學(xué)生抽象概括、分析歸納、數學(xué)表述等基本數學(xué)思維能力.
三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀(guān)
1.通過(guò)學(xué)生之間、師生之間的交流合作，實(shí)現共同探究獲取知識.
2.通過(guò)三角函數線(xiàn)學(xué)習，使學(xué)生進(jìn)一步加深對數形結合思想的理解，培養良好的思維習慣，拓展思維空間
教學(xué)重點(diǎn)：三角函數線(xiàn)的作法及其簡(jiǎn)單應用
教學(xué)難點(diǎn)：利用與單位圓有關(guān)的.有向線(xiàn)段，將任意角的正弦、余弦、正切函數值分別用它們的幾何形式表示出來(lái).
三角函數教案7
一.教學(xué)目標
1．知識與技能
�。�1）能夠借助三角函數的定義及單位圓中的三角函數線(xiàn)推導三角函數的誘導公式。
�。�2）能夠運用誘導公式，把任意角的三角函數的化簡(jiǎn)、求值問(wèn)題轉化為銳角三角函數的化簡(jiǎn)、求值問(wèn)題。
2．過(guò)程與方法
�。�1）經(jīng)歷由幾何直觀(guān)探討數量關(guān)系式的過(guò)程，培養學(xué)生數學(xué)發(fā)現能力和概括能力。
�。�2）通過(guò)對誘導公式的探求和運用，培養化歸能力，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。
3．情感、態(tài)度、價(jià)值觀(guān)
�。�1）通過(guò)對誘導公式的探求，培養學(xué)生的探索能力、鉆研精神和科學(xué)態(tài)度。
�。�2）在誘導公式的探求過(guò)程中，運用合作學(xué)習的方式進(jìn)行，培養學(xué)生團結協(xié)作的精神。
二.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn):探求π－a的誘導公式。π＋a與－a的誘導公式在小結π－a的誘導公式發(fā)現過(guò)程的基礎上，教師引導學(xué)生推出。
教學(xué)難點(diǎn):π＋a，－a與角a終邊位置的幾何關(guān)系，發(fā)現由終邊位置關(guān)系導致（與單位圓交點(diǎn)）的坐標關(guān)系，運用任意角三角函數的定義導出誘導公式的“研究路線(xiàn)圖”。
三.教學(xué)方法與教學(xué)手段
問(wèn)題教學(xué)法、合作學(xué)習法，結合多媒體課件
四.教學(xué)過(guò)程
角的概念已經(jīng)由銳角擴充到了任意角，前面已經(jīng)學(xué)習過(guò)任意角的三角函數，那么任意角的三角函數值怎么求呢？先看一個(gè)具體的問(wèn)題。
�。ㄒ唬﹩�(wèn)題提出
如何將任意角三角函數求值問(wèn)題轉化為0°~360°角三角函數求值問(wèn)題。
【問(wèn)題1】求390°角的正弦、余弦值.
一般地，由三角函數的定義可以知道，終邊相同的角的同一三角函數值相等，三角函數看重的就是終邊位置關(guān)系。即有：sin(a+k·360°) = sinα，cos(a+k·360°) = cosα， (k∈Z)
tan(a+k·360°) = tanα。
這組公式用弧度制可以表示成sin(a+2kπ) = sinα，cos(a+2kπ) = cosα， (k∈Z) (公式一)
tan(a+2kπ) = tanα。
�。ǘ﹪L試推導
如何利用對稱(chēng)推導出角π-a與角a的三角函數之間的關(guān)系。
由上一組公式，我們知道，終邊相同的角的同一三角函數值一定相等。反過(guò)來(lái)呢？如果兩個(gè)角的.三角函數值相等，它們的終邊一定相同嗎?比如說(shuō)：
【問(wèn)題2】你能找出和30°角正弦值相等，但終邊不同的角嗎？
角π-a與角a的終邊關(guān)于y軸對稱(chēng),有
sin(π-a) = sina，cos(π-a) =-cosa，（公式二）
tan(π-a) =-tana。
〖思考〗請大家回顧一下，剛才我們是如何獲得這組公式(公式二)的?
因為與角a終邊關(guān)于y軸對稱(chēng)是角π-a，利用這種對稱(chēng)關(guān)系，得到它們的終邊與單位圓的交點(diǎn)的縱坐標相等，橫坐標互為相反數。于是，我們就得到了角π-a與角a的三角函數值之間的關(guān)系:正弦值相等，余弦值互為相反數，進(jìn)而，就得到我們研究三角函數誘導公式的路線(xiàn)圖：角間關(guān)系→對稱(chēng)關(guān)系→坐標關(guān)系→三角函數值間關(guān)系。
�。ㄈ┳灾魈骄�
如何利用對稱(chēng)推導出π+a,-a與a的三角函數值之間的關(guān)系。
剛才我們利用單位圓，得到了終邊關(guān)于y軸對稱(chēng)的角π-a與角a的三角函數值之間的關(guān)系，下面我們還可以研究什么呢？
【問(wèn)題3】?jì)蓚�(gè)角的終邊關(guān)于x軸對稱(chēng),你有什么結論?兩個(gè)角的終邊關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)呢？
角-a與角a的終邊關(guān)于x軸對稱(chēng)，有：
sin(-a) =-sina，cos(-a) = cosa，（公式三）
tan(-a) =-tana。
角π+a與角a終邊關(guān)于原點(diǎn)O對稱(chēng)，有：
sin(π +a) =-sina，cos(π +a) =-cosa，（公式四）
tan(π +a) = tana。
上面的公式一~四都稱(chēng)為三角函數的誘導公式。
�。ㄋ模┖�(jiǎn)單應用
例求下列各三角函數值：
(1) sinp； (2) cos(-60°)；（3）tan(-855°)
�。ㄎ澹┗仡櫡此�
【問(wèn)題4】回顧一下，我們是怎樣獲得誘導公式的?研究的過(guò)程中，你有哪些體會(huì )?
知識上，學(xué)會(huì )了四組誘導公式；思想方法層面：誘導公式體現了由未知轉化為已知的化歸思想；誘導公式所揭示的是終邊具有某種對稱(chēng)關(guān)系的兩個(gè)角三角函數之間的關(guān)系。主要體現了化歸和數形結合的數學(xué)思想。具體可以表示如下：
�。┓謱幼鳂I(yè)
1、閱讀課本，體會(huì )三角函數誘導公式推導過(guò)程中的思想方法；
2、必做題 課本23頁(yè)13
3、選做題
�。�1）你能由公式二、三、四中的任意兩組公式推導到另外一組公式嗎？
�。�2）角α和角β的終邊還有哪些特殊的位置關(guān)系，你能探究出它們的三角函數值之間的關(guān)系嗎？
三角函數教案8
【教學(xué)課題】:已知三角函數值求角
【教學(xué)目標】:了解反三角函數的定義，掌握用反三角函數值表示給定區間上的角
【教學(xué)重點(diǎn)】:掌握用反三角函數值表示給定區間上的角
【教學(xué)難點(diǎn)】:反三角函數的定義
【教學(xué)過(guò)程】:
一．問(wèn)題的提出：
在我們的學(xué)習中常遇到知三角函數值求角的情況，如果是特殊值，我們可以立即求出所有的角，如果不是特殊值（），我們如何表示呢？相當于中如何用來(lái)表示，這是一個(gè)反解的過(guò)程，由此想到求反函數。但三角函數由于有周期性，它們不存在反函數，這就要求我們把它們的定義域縮小，并且這個(gè)區間滿(mǎn)足：
�。�1）包含銳角；（2）具有單調性；（3）能取得三角函數值域上的所有值。
顯然對，這樣的.區間是；對，這樣的區間是；對，這樣的區間是；
二．新課的引入：
1．反正弦定義：
反正弦函數：函數，的反函數叫做反正弦函數，記作：.
對于注意：
�。�1）（相當于原來(lái)函數的值域）；
�。�2）（相當于原來(lái)函數的定義域）；
即：相當于內的一個(gè)角，這個(gè)角的正弦值為。
反正弦：符合條件（）的角，叫做實(shí)數的反正弦，記作：。其中，。
例如：
由此可見(jiàn)：書(shū)上的反正弦與反正弦函數是一致的，當然理解了反正弦函數，能使大家更加系統地掌握這部分知識。
�。玻从嘞叶x：
反余弦函數：函數，的反函數叫做反余弦函數，記作：.
對于注意：
�。�1）（相當于原來(lái)函數的值域）；
�。�2）（相當于原來(lái)函數的定義域）；
�。�3）；
即：相當于內的一個(gè)角，這個(gè)角的余弦值為。
反余弦：符合條件（）的角，叫做實(shí)數的反正弦，記作：。其中，。
例如：，，由于，故為負值時(shí)，表示的是鈍角。
�。常凑卸x：
反正切函數：函數，的反函數叫做反正弦函數，記作：.
對于注意：
�。�1）（相當于原來(lái)函數的值域）；
�。�2）（相當于原來(lái)函數的定義域）；
即：相當于內的一個(gè)角，這個(gè)角的正切值為。
反正切：符合條件（）的角，叫做實(shí)數的反正切，記作：。其中，。
對于反三角函數，大家切記：它們不是三角函數的反函數，需要對定義域加以改進(jìn)后才能出現反函數。反三角函數的性質(zhì)，有興趣的同學(xué)可根據互為反函數的函數的圖象關(guān)于對稱(chēng)這一特性，得到反三角函數的性質(zhì)。根據新教材的要求，這里就不再講了。
三角函數教案9
一：【課前預習】
(一)：【知識梳理】
1.直角三角形的邊角關(guān)系(如圖)
(1)邊的關(guān)系(勾股定理)：AC2+BC2=AB2;
(2)角的關(guān)系：B=
(3)邊角關(guān)系：
�、伲�
�、冢轰J角三角函數：
A的正弦= ;
A的余弦= ,
A的正切=
注：三角函數值是一個(gè)比值.
2.特殊角的三角函數值.
3.三角函數的關(guān)系
(1) 互為余角的三角函數關(guān)系.
sin(90○-A)=cosA， cos(90○-A)=sin A tan(90○-A)= cotA
(2) 同角的三角函數關(guān)系.
平方關(guān)系：sin2 A+cos2A=l
4.三角函數的大小比較
�、僬�、正切是增函數.三角函數值隨角的增大而增大，隨角的減小而減小.
�、谟嘞沂菧p函數.三角函數值隨角的增大而減小，隨角的'減小而增大。
(二)：【課前練習】
1.等腰直角三角形一個(gè)銳角的余弦為( )
A. D.l
2.點(diǎn)M(tan60，-cos60)關(guān)于x軸的對稱(chēng)點(diǎn)M的坐標是( )
3.在 △ABC中，已知C=90，sinB=0.6，則cosA的值是( )
4.已知A為銳角，且cosA0.5，那么( )
A.060 B.6090 C.030 D.3090
二：【經(jīng)典考題剖析】
1.如圖，在Rt△ABC中，C=90，A=45，點(diǎn)D在A(yíng)C上，BDC=60，AD=l，求BD、DC的長(cháng).
2.先化簡(jiǎn)，再求其值， 其中x=tan45-cos30
3. 計算：①sin248○+ sin242○-tan44○tan45○tan 46○ ②cos 255○+ cos235○
4.比較大小(在空格處填寫(xiě)或或=)
若=45○，則sin________cos
若45○，則sin cos
若45，則 sin cos.
5.⑴如圖①、②銳角的正弦值和余弦值都隨著(zhù)銳角的確定而確定，變化而變化，試探索隨著(zhù)銳角度數的增大，它的正弦值和余弦值變化的規律;
�、聘鶕闾剿鞯降囊幝�，試比較18○、34○、50○、61○、88○這些銳角的正弦值的大小和余弦值的大小.
三：【課后訓練】
1. 2sin60-cos30tan45的結果為( )
A. D.0
2.在△ABC中，A為銳角，已知 cos(90-A)= ，sin(90-B)= ，則△ABC一定是( )
A.銳角三角形;B.直角三角形;C.鈍角三角形;D.等腰三角形
3.如圖，在平面直角坐標系中，已知A(3，0)點(diǎn)B(0，-4),則cosOAB等于__________
4.cos2+sin242○ =1，則銳角=______.
5.在下列不等式中，錯誤的是( )
A.sin45○sin30○;B.cos60○tan30○;D.cot30○
6.如圖，在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，則tanB的值是()
7.如圖所示，在菱形ABCD中，AEBC于 E點(diǎn)，EC=1，B=30，求菱形ABCD的周長(cháng).
8.如圖所示，在△ABC中，ACB=90，BC=6，AC=8 ，CDAB，求：①sinACD 的值;②tanBCD的值
9.如圖 ，某風(fēng)景區的湖心島有一涼亭A，其正東方向有一棵大樹(shù)B，小明想測量A/B之間的距離，他從湖邊的C處測得A在北偏西45方向上，測得B在北偏東32方向上，且量得B、C之間的距離為100米，根據上述測量結果，請你幫小明計算A山之間的距離是多少?(結果精確至1米.參考數據：sin32○0.5299，cos32○0.8480)
10.某住宅小區修了一個(gè)塔形建筑物AB，如圖所示，在與建筑物底部同一水平線(xiàn)的C處，測得點(diǎn)A的仰角為45，然后向塔方向前進(jìn)8米到達D處，在D處測得點(diǎn)A的仰角為60，求建筑物的高度.(精確0.1米)
三角函數教案10
第二十四教時(shí)
教材：倍角公式，推導和差化積及積化和差公式
目的：繼續復習鞏固倍角公式，加強對公式靈活運用的`訓練;同時(shí)，讓學(xué)生推導出和差化積和積化和差公式，并對此有所了解。
過(guò)程：
一、 復習倍角公式、半角公式和萬(wàn)能公式的推導過(guò)程：
例一、 已知 ， ，tan = ，tan = ，求2 +
(《教學(xué)與測試》P115 例三)
解：
又∵tan2 0，tan 0 ，
2 + =
例二、 已知sin cos = ， ，求 和tan的值
解：∵sin cos =
化簡(jiǎn)得：
∵ 即
二、 積化和差公式的推導
sin( + ) + sin( ) = 2sincos sincos = [sin( + ) + sin( )]
sin( + ) sin( ) = 2cossin cossin = [sin( + ) sin( )]
cos( + ) + cos( ) = 2coscos coscos = [cos( + ) + cos( )]
cos( + ) cos( ) = 2sinsin sinsin = [cos( + ) cos( )]
這套公式稱(chēng)為三角函數積化和差公式，熟悉結構，不要求記憶，它的優(yōu)點(diǎn)在于將積式化為和差，有利于簡(jiǎn)化計算。(在告知公式前提下)
例三、 求證：sin3sin3 + cos3cos3 = cos32
證：左邊 = (sin3sin)sin2 + (cos3cos)cos2
= (cos4 cos2)sin2 + (cos4 + cos2)cos2
= cos4sin2 + cos2sin2 + cos4cos2 + cos2cos2
= cos4cos2 + cos2 = cos2(cos4 + 1)
= cos22cos22 = cos32 = 右邊
原式得證
三、 和差化積公式的推導
若令 + = ， = ，則 ， 代入得：
這套公式稱(chēng)為和差化積公式，其特點(diǎn)是同名的正(余)弦才能使用，它與積化和差公式相輔相成，配合使用。
例四、 已知cos cos = ，sin sin = ，求sin( + )的值
解：∵cos cos = ， ①
sin sin = ， ②
四、 小結：和差化積，積化和差
五、 作業(yè)：《課課練》P3637 例題推薦 13
P3839 例題推薦 13
P40 例題推薦 13
三角函數教案11
一、教學(xué)內容
本節主要內容為：經(jīng)歷探索30°、45°、60°角的三角函數值的過(guò)程，能夠進(jìn)行含有30°、45°、60°角的三角函數值的計算。
二、教學(xué)目標
1、經(jīng)歷探索30°、45°、60°角的三角函數值的過(guò)程，能夠進(jìn)行有關(guān)推理，進(jìn)一步體會(huì )三角函數的意義。
2、能夠進(jìn)行含有30°、45°、60°角的三角函數值的計算。
3、能夠根據30°、45°、60°角的三角函數值，說(shuō)出相應的銳角的大小。
三、過(guò)程與方法
通過(guò)進(jìn)行有關(guān)推理，探索30°、45°、60°角的三角函數值。在具體教學(xué)過(guò)程中，教師可在教材的基礎上適當拓展，使得內容更為豐富，教師可以運用和學(xué)生共同探究式的教學(xué)方法，學(xué)生可以采取自主探討式的.學(xué)習方法．
四、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)
重點(diǎn)：進(jìn)行含有30°、45°、60°角的三角函數值的計算
難點(diǎn)：記住30°、45°、60°角的三角函數值
五、教學(xué)準備
教師準備
預先準備教材、教參以及多媒體課件
學(xué)生準備
教材、同步練習冊、作業(yè)本、草稿紙、作圖工具等
六、教學(xué)步驟
教學(xué)流程設計
教師指導學(xué)生活動(dòng)
1。新章節開(kāi)場(chǎng)白。 1。進(jìn)入學(xué)習狀態(tài)。
2。進(jìn)行教學(xué)。 2。配合學(xué)習。
3�？偨Y和指導學(xué)生練習。 3記錄相關(guān)內容，完成練習。
教學(xué)過(guò)程設計
1、從學(xué)生原有的認知結構提出問(wèn)題
2、師生共同研究形成概念
3、隨堂練習
4、小結
5、作業(yè)
板書(shū)設計
1、敘述三角函數的意義
2、30°、45°、60°角的三角函數值
3、例題
七、課后反思
本節課基本上能夠突出重點(diǎn)、弱化難點(diǎn)，在時(shí)間上也能掌控得比較合理，學(xué)生也比較積極投入學(xué)習中，但是學(xué)生好像并不是掌握得很好，在今后的教學(xué)中應該再加強關(guān)于這方面的學(xué)習。
三角函數教案12
教學(xué)目的：
知識目標：1.理解三角函數定義. 三角函數的定義域，三角函數線(xiàn).
2.理解握各種三角函數在各象限內的符號.?
3.理解終邊相同的角的同一三角函數值相等.
能力目標：
1.掌握三角函數定義. 三角函數的定義域，三角函數線(xiàn).
2.掌握各種三角函數在各象限內的符號.?
3.掌握終邊相同的角的同一三角函數值相等.
授課類(lèi)型：復習課
教學(xué)模式：講練結合
教 具：多媒體、實(shí)物投影儀
教學(xué)過(guò)程：
一、復習引入：
1、三角函數定義. 三角函數的定義域，三角函數線(xiàn)，各種三角函數在各象限內的符號.誘導公式第一組.
2.確定下列各式的符號
(1)sin100°cs240° (2)sin5+tan5
3. .x取什么值時(shí), 有意義?
4．若三角形的兩內角，滿(mǎn)足sincs 0，則此三角形必為……（ ）
A銳角三角形 B鈍角三角形 C直角三角形 D以上三種情況都可能
5．若是第三象限角，則下列各式中不成立的是………………（ ）
A：sin+cs 0 B：tansin 0
C：csct 0 D：ctcsc 0
6．已知是第三象限角且，問(wèn)是第幾象限角？
二、講解新課：
1、求下列函數的`定義域：
�。�1） ； （2）
2、已知 ，則為第幾象限角？
3、（1） 若θ在第四象限，試判斷sin(csθ)cs(sinθ)的符號；
�。�2）若tan(csθ)ct(sinθ)>0,試指出θ所在的象限，并用圖形表示出 的取值范圍.
4、求證角θ為第三象限角的充分必要條件是
證明：必要性：∵θ是第三象限角，?
∴
充分性：∵sinθ＜0，
∴θ是第三或第四象限角或終邊在ｙ軸的非正半軸上
∵tanθ＞0，∴θ是第一或第三象限角.?
∵sinθ＜0，tanθ＞0都成立.?
∴θ為第三象限角.?
5 求值：sin(-1320°)cs1110°+cs(-1020°)sin750°+tan495°．
三、鞏固與練習
1 求函數 的值域
2 設是第二象限的角，且 的范圍.
四、小結：
五、課后作業(yè)：
1、利用單位圓中的三角函數線(xiàn)，確定下列各角的取值范圍：
(1) sinα 2、角α的終邊上的點(diǎn)P與A（a,b）關(guān)于x軸對稱(chēng) ，角β的終邊上的點(diǎn)Q與A關(guān)于直線(xiàn)=x對稱(chēng).求sinαescβ+tanαctβ+secαcscβ的值. 課前預習學(xué)案 一、預習目標： 1.了解三角函數的兩種定義方法； 2.知道三角函數線(xiàn)的基本做法. 二、預習內容： 根據課本本節內容，完成預習目標，完成以下各個(gè)概念的填空. 三、提出疑惑 同學(xué)們，通過(guò)你的自主學(xué)習，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中 疑惑點(diǎn)疑惑內容 課內探究學(xué)案 一、學(xué)習目標 �。�1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數的定義域和函數值在各象限的符號）； �。�2）理解任意角的三角函數不同的定義方法； �。�3）了解如何利用與單位圓有關(guān)的有向線(xiàn)段，將任意角α的正弦、余弦、正切函數值分別用正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)、正切線(xiàn)表示出來(lái)； �。�4）掌握并能初步運用公式一； �。�5）樹(shù)立映射觀(guān)點(diǎn)，正確理解三角函數是以實(shí)數為自變量的函數. 二、重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn): 任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數的定義域和函數值在各象限的符號）；終邊相同的角的同一三角函數值相等（公式一）. 難點(diǎn): 任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數的定義域和函數值在各象限的符號）；三角函數線(xiàn)的正確理解. 三、學(xué)習過(guò)程 �。ㄒ唬⿵土暎� 1、初中銳角的三角函數______________________________________________________ 2、在Rt△ABC中，設A對邊為a，B對邊為b，C對邊為c，銳角A的正弦、余弦、正切依次為_(kāi)______________________________________________ �。ǘ┬抡n： 1．三角函數定義 在直角坐標系中，設α是一個(gè)任意角，α終邊上任意一點(diǎn) （除了原點(diǎn)）的坐標為 ，它與原點(diǎn)的距離為 ，那么 �。�1）比值_______叫做α的正弦，記作_______，即________ �。�2）比值_______叫做α的余弦，記作_______，即_________ �。�3）比值_______叫做α的正切，記作_______，即_________； 2．三角函數的定義域、值域 函 數定 義 域值 域 3．三角函數的符號 由三角函數的定義，以及各象限內點(diǎn)的坐標的符號，我們可以得知： �、僬抑� 對于第一、二象限為_(kāi)____（ ），對于第三、四象限為_(kāi)___（ ）； �、谟嘞抑� 對于第一、四象限為_(kāi)____（ ），對于第二、三象限為_(kāi)___（ ）； �、壅兄� 對于第一、三象限為_(kāi)______（ 同號），對于第二、四象限為_(kāi)_____（ 異號）． 4．誘導公式 由三角函數的定義，就可知道：__________________________ 即有：_________________________ _________________________ _________________________ 5．當角的終邊上一點(diǎn) 的坐標滿(mǎn)足_______________時(shí)，有三角函數正弦、余弦、正切值的幾何表示——三角函數線(xiàn)。 設任意角 的頂點(diǎn)在原點(diǎn) ，始邊與 軸非負半軸重合，終邊與單位圓相交與點(diǎn) 過(guò) 作 軸的垂線(xiàn)，垂足為 ；過(guò)點(diǎn) 作單位圓的切線(xiàn)，它與角 的.終邊或其反向延長(cháng)線(xiàn)交與點(diǎn) . 由四個(gè)圖看出： 當角 的終邊不在坐標軸上時(shí)，有向線(xiàn)段 ，于是有 ，_______ ，________ �。甠________ 我們就分別稱(chēng)有向線(xiàn)段 為正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)、正切線(xiàn)。 �。ㄈ├} 例1．已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn) ，求α的三個(gè)函數制值。 變式訓練1：已知角 的終邊過(guò)點(diǎn) ，求角 的正弦、余弦和正切值. 例2．求下列各角的三個(gè)三角函數值： �。�1） ； （2） ； （3） ． 變式訓練2：求 的正弦、余弦和正切值. 例3．已知角α的終邊過(guò)點(diǎn) ，求α的三個(gè)三角函數值。 變式訓練3： 求函數 的值域 例4．.利用三角函數線(xiàn)比較下列各組數的大�。� 1. 與 2. tan 與tan �。ㄋ模�、小結 課后練習與提高 一、選擇題 1. 是第二象限角，P（ ， ）為其終邊上一點(diǎn)，且 ，則 的值為（ ） A. B. C. D. 2. 是第二象限角，且 ，則 是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 3、如果 那么下列各式中正確的是（ ） A. B. C. D. 二、填空題 4. 已知 的終邊過(guò)（ 9， ）且 ， ，則 的取值范圍是 。 5. 函數 的定義域為 。 6. 的值為 （正數，負數，0，不存在） 三、解答題 7.已知角α的終邊上一點(diǎn)P的坐標為（ ）（ ），且 ，求 參考答案 一、選擇題： 1. A 2 . C 3． D 二、填空題 4. 5. 6. 負數 三、解答題 7. 解：由題意，得： 解得： ，所以 一、教學(xué)內容：橢圓的方程 要求：理解橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)． 重點(diǎn)：橢圓的方程與幾何性質(zhì)． 難點(diǎn)：橢圓的方程與幾何性質(zhì)． 二、點(diǎn)： 1、橢圓的定義、標準方程、圖形和性質(zhì) 定 義 第一定義：平面內與兩個(gè)定點(diǎn) ）的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距 第二定義： 平面內到動(dòng)點(diǎn)距離與到定直線(xiàn)距離的比是常數e．（0 標準方程 焦點(diǎn)在x軸上 焦點(diǎn)在y軸上 圖 形 焦點(diǎn)在x軸上 焦點(diǎn)在y軸上 性 質(zhì) 焦點(diǎn)在x軸上 范 圍： 對稱(chēng)性： 軸、 軸、原點(diǎn)． 頂點(diǎn)： ， ． 離心率：e 概念：橢圓焦距與長(cháng)軸長(cháng)之比 定義式： 范圍： 2、橢圓中a，b，c，e的關(guān)系是：（1）定義：r1＋r2=2a �。�2）余弦定理： ＋ －2r1r2cos（3）面積： = r1r2 sin ?2c y0 （其中P（ ） 三、基礎訓練： 1、橢圓 的標準方程為 ，焦點(diǎn)坐標是 ，長(cháng)軸長(cháng)為_(kāi)__2____，短軸長(cháng)為2、橢圓 的值是__3或5__； 3、兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標分別為 ___； 4、已知橢圓 上一點(diǎn)P到橢圓一個(gè)焦點(diǎn) 的距離是7，則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)5、設F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，B1B是短軸， ，則橢圓的離心率為6、方程 =10，化簡(jiǎn)的結果是 ； 滿(mǎn)足方程7、若橢圓短軸上的兩個(gè)三等分點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構成一個(gè)正方形，則橢圓的離心率為 8、直線(xiàn)y=kx－2與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓9、在平面直角坐標系 頂點(diǎn) ，頂點(diǎn) 在橢圓 上，則10、已知點(diǎn)F是橢圓 的右焦點(diǎn)，點(diǎn)A（4，1）是橢圓內的一點(diǎn)，點(diǎn)P（x，y）（x≥0）是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則 的最大值是 8 ． 【典型例題】 例1、（1）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標軸上，長(cháng)軸長(cháng)是短軸長(cháng)的3倍，短軸長(cháng)為4，求橢圓的方程． 解：設方程為 ． 所求方程為 �。�2）中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，右焦點(diǎn)到短軸端點(diǎn)的距離為2，到右頂點(diǎn)的距離為1，求橢圓的方程． 解：設方程為 ． 所求方程為（3）已知三點(diǎn)P，（5，2），F1 （-6，0），F2 （6，0）．設點(diǎn)P，F1，F2關(guān)于直線(xiàn)y=x的對稱(chēng)點(diǎn)分別為 ，求以 為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn) 的橢圓方程 ． 解：（1）由題意可設所求橢圓的標準方程為 ∴所以所求橢圓的標準方程為（4）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（ ， 1）的橢圓的標準方程． 解：設方程為 例2、如圖所示，我國發(fā)射的第一顆人造地球衛星運行軌道是以地心（地球的中心） 為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，已知它的近地點(diǎn)A（離地面最近的點(diǎn)）距地面439km，遠地點(diǎn)B（離地面最遠的點(diǎn)）距地面2384km，并且 、A、B在同一直線(xiàn)上，設地球半徑約為6371km，求衛星運行的軌道方程 （精確到1km）． 解：建立如圖所示直角坐標系，使點(diǎn)A、B、 在 軸上， 則 =OA－O = A=6371＋439=6810 解得 =7782.5， =972.5 衛星運行的軌道方程為 例3、已知定圓 分析：由兩圓內切，圓心距等于半徑之差的絕對值 根據圖形，用符號表示此結論： 上式可以變形為 ，又因為 ，所以圓心M的軌跡是以P，Q為焦點(diǎn)的橢圓 解：知圓可化為：圓心Q（3，0）， 設動(dòng)圓圓心為 ，則 為半徑 又圓M和圓Q內切，所以 ， 即 ，故M的軌跡是以P，Q為焦點(diǎn)的橢圓，且PQ中點(diǎn)為原點(diǎn)，所以 ，故動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是： 例4、已知橢圓的焦點(diǎn)是 ｜和｜（1）求橢圓的方程； �。�2）若點(diǎn)P在第三象限，且∠ =120°，求 ． 選題意圖：綜合考查數列與橢圓標準方程的基礎知識，靈活運用等比定理進(jìn)行解題． 解：（1）由題設｜ ｜=2｜ ｜=4 ∴ ， 2c=2， ∴ｂ=∴橢圓的方程為 ． �。�2）設∠ ，則∠ =60°－θ 由正弦定理得： 由等比定理得： 整理得： 故 說(shuō)明：曲線(xiàn)上的點(diǎn)與焦點(diǎn)連線(xiàn)構成的三角形稱(chēng)曲線(xiàn)三角形，與曲線(xiàn)三角形有關(guān)的問(wèn)題常常借助正（余）弦定理，借助比例性質(zhì)進(jìn)行處理．對于第二問(wèn)還可用后面的幾何性質(zhì)，借助焦半徑公式余弦定理把P點(diǎn)橫坐標先求出來(lái)，再去解三角形作答 例5、如圖，已知一個(gè)圓的圓心為坐標原點(diǎn)，半徑為2，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)P向 軸作垂線(xiàn)段PP?@，求線(xiàn)段PP?@的中點(diǎn)M的軌跡（若M分 PP?@之比為 ，求點(diǎn)M的軌跡） 解：（1）當M是線(xiàn)段PP?@的中點(diǎn)時(shí)，設動(dòng)點(diǎn) ，則 的'坐標為 因為點(diǎn) 在圓心為坐標原點(diǎn)半徑為2的圓上， 所以有 所以點(diǎn) �。�2）當M分 PP?@之比為 時(shí)，設動(dòng)點(diǎn) ，則 的坐標為 因為點(diǎn) 在圓心為坐標原點(diǎn)半徑為2的圓上，所以有 ， 即所以點(diǎn) 例6、設向量 =（1， 0）， =（x＋m） ＋y =（x－m） ＋y ＋ （I）求動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡方程； �。↖I）已知點(diǎn)A（－1， 0），設直線(xiàn)y= （x－2）與點(diǎn)P的軌跡交于B、C兩點(diǎn)，問(wèn)是否存在實(shí)數m，使得 ？若存在，求出m的值；若不存在，請說(shuō)明理由． 解：（I）∵ =（1， 0）， =（0， 1）， =6 上式即為點(diǎn)P（x， y）到點(diǎn)（－m， 0）與到點(diǎn)（m， 0）距離之和為6．記F1（－m， 0），F2（m， 0）（0 ∴ PF1＋PF2=6＞F1F2 又∵x＞0，∴P點(diǎn)的軌跡是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓的右半部分． ∵ 2a=6，∴a=3 又∵ 2c=2m，∴ c=m，b2=a2－c2=9－m2 ∴ 所求軌跡方程為 （x＞0，0＜m＜3） �。� II ）設B（x1， y1），C（x2， y2）， ∴∴ 而y1y2= （x1－2）? （x2－2） = [x1x2－2（x1＋x2）＋4] ∴ [x1x2－2（x1＋x2）＋4] = [10x1x2＋7（x1＋x2）＋13] 若存在實(shí)數m，使得 成立 則由 [10x1x2＋7（x1＋x2）＋13]= 可得10x1x2＋7（x1＋x2）＋10=0 ① 再由 消去y，得（10－m2）x2－4x＋9m2－77=0 ② 因為直線(xiàn)與點(diǎn)P的軌跡有兩個(gè)交點(diǎn)． 所以 由①、④、⑤解得m2= ＜9，且此時(shí)△＞0 但由⑤，有9m2－77= ＜0與假設矛盾 ∴ 不存在符合題意的實(shí)數m，使得 例7、已知C1： ，拋物線(xiàn)C2：（y－m）2=2px （p＞0），且C1、C2的公共弦AB過(guò)橢圓C1的右焦點(diǎn)． �。á瘢┊擜B⊥x軸時(shí)，求p、m的值，并判斷拋物線(xiàn)C2的焦點(diǎn)是否在直線(xiàn)AB上； �。á颍┤魀= ，且拋物線(xiàn)C2的焦點(diǎn)在直線(xiàn)AB上，求m的值及直線(xiàn)AB的方程． 解：（Ⅰ）當AB⊥x軸時(shí)，點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對稱(chēng)，所以m=0，直線(xiàn)AB的方程為x=1，從而點(diǎn)A的坐標為（1， ）或（1，－ ）． ∵點(diǎn)A在拋物線(xiàn)上，∴ 此時(shí)C2的焦點(diǎn)坐標為（ ，0），該焦點(diǎn)不在直線(xiàn)AB上． �。á颍┊擟2的焦點(diǎn)在A(yíng)B上時(shí)，由（Ⅰ）知直線(xiàn)AB的斜率存在，設直線(xiàn)AB的方程為y=k（x－1）． 由 （kx－k－m）2= ① 因為C2的焦點(diǎn)F（ ，m）在y=k（x－1）上． 所以k2x2－ （k2＋2）x＋ =0 ② 設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1＋x2= 由 �。�3＋4k2）x2－8k2x＋4k2－12=0 ③ 由于x1、x2也是方程③的兩根，所以x1＋x2= 從而 = k2=6即k=± 又m=－ ∴m= 或m=－ 當m= 時(shí)，直線(xiàn)AB的方程為y=－ （x－1）； 當m=－ 時(shí)，直線(xiàn)AB的方程為y= （x－1）． 例8、已知橢圓C： （a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，離心率為e．直線(xiàn)l：y=ex＋a與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A、B，M是直線(xiàn)l與橢圓C的一個(gè)公共點(diǎn)，P是點(diǎn)F1關(guān)于直線(xiàn)l的對稱(chēng)點(diǎn)，設 = ． �。á瘢┳C明：（Ⅱ）若 ，△MF1F2的周長(cháng)為6，寫(xiě)出橢圓C的方程； �。á螅┐_定解：（Ⅰ）因為A、B分別為直線(xiàn)l：y=ex＋a與x軸、y軸的交點(diǎn)，所以A、B的坐標分別是A（－ ，0），B（0，a）． 由 得 這里∴M = ，a） 即 解得 �。á颍┊� 時(shí)， ∴a=2c 由△MF1F2的周長(cháng)為6，得2a＋2c=6 ∴a=2，c=1，b2=a2－c2=3 故所求橢圓C的方程為 �。á螅逷F1⊥l ∴∠PF1F2=90°＋∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有PF1=F1F2，即 PF1=C． 設點(diǎn)F1到l的距離為d，由 PF1= =得： =e ∴e2= 于是 即當（注：也可設P（x0，y0），解出x0，y0求之） 【模擬】 一、選擇題 1、動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn) 和 的距離的和為8，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為 （ ） A、橢圓 B、線(xiàn)段 C、無(wú)圖形 D、兩條射線(xiàn) 2、設橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)F2作橢圓長(cháng)軸的垂線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是 （ ） A、 C、2－ －1 3、（2004年高考湖南卷）F1、F2是橢圓C： 的焦點(diǎn)，在C上滿(mǎn)足PF1⊥PF2的點(diǎn)P的個(gè)數為（ ） A、2個(gè) B、4個(gè) C、無(wú)數個(gè) D、不確定 4、橢圓 的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，一直線(xiàn)過(guò)F1交橢圓于A(yíng)、B兩點(diǎn)，則△ABF2的周長(cháng)為 （ ） A、32 B、16 C、8 D、4 5、已知點(diǎn)P在橢圓（x－2）2＋2y2=1上，則 的最小值為（ ） A、 C、 6、我們把離心率等于黃金比 是優(yōu)美橢圓，F、A分別是它的左焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)，B是它的短軸的一個(gè)端點(diǎn)，則 等于（ ） A、 C、 二、填空題 7、橢圓 的頂點(diǎn)坐標為 和 ，焦點(diǎn)坐標為 ，焦距為 ，長(cháng)軸長(cháng)為 ，短軸長(cháng)為 ，離心率為 ，準線(xiàn)方程為 ． 8、設F是橢圓 的右焦點(diǎn)，且橢圓上至少有21個(gè)不同的點(diǎn)Pi（i=1，2， ），使得FP1、FP2、FP3…組成公差為d的等差數列，則d的取值范圍是 ． 9、設 ， 是橢圓 的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且 ，則得 ． 10、若橢圓 =1的準線(xiàn)平行于x軸則m的取值范圍是 三、解答題 11、根據下列條件求橢圓的標準方程 �。�1）和橢圓 共準線(xiàn)，且離心率為 ． �。�2）已知P點(diǎn)在以坐標軸為對稱(chēng)軸的橢圓上，點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離分別為 和 ，過(guò)P作長(cháng)軸的垂線(xiàn)恰好過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)． 12、已知 軸上的一定點(diǎn)A（1，0），Q為橢圓 上的動(dòng)點(diǎn)，求AQ中點(diǎn)M的軌跡方程 13、橢圓 的焦點(diǎn)為 =（3， －1）共線(xiàn)． �。�1）求橢圓的離心率； �。�2）設M是橢圓上任意一點(diǎn)，且 = 、 ∈R），證明 為定值． 【試題答案】 1、B 2、D 3、A 4、B 5、D（法一：設 ，則y=kx代入橢圓方程中得：（1＋2k2）x2－4x＋3=0，由△≥0得： ．法二：用橢圓的參數方程及三角函數的有界性求解） 6、C 7、（ ；（0， ）；6；10；8； ； ． 8、 ∪ 9、 10、m＜ 且m≠0． 11、（1）設橢圓方程 ． 解得 ， 所求橢圓方程為（2）由 ． 所求橢圓方程為 的坐標為 因為點(diǎn) 為橢圓 上的動(dòng)點(diǎn) 所以有 所以中點(diǎn) 13、解：設P點(diǎn)橫坐標為x0，則 為鈍角．當且僅當 ． 14、（1）解：設橢圓方程 ，F（c，0），則直線(xiàn)AB的方程為y=x－c，代入 ，化簡(jiǎn)得： x1x2= 由 =（x1＋x2，y1＋y2）， 共線(xiàn)，得：3（y1＋y2）＋（x1＋x2）=0， 又y1=x1－c，y2=x2－c ∴ 3（x1＋x2－2c）＋（x1＋x2）=0，∴ x1＋x2= 即 = ，∴ a2=3b2 ∴ 高中地理 ，故離心率e= ． �。�2）證明：由（1）知a2=3b2，所以橢圓 可化為x2＋3y2=3b2 設 = （x2，y2），∴ ， ∵M(jìn)∴ （ ）2＋3（ ）2=3b2 即： ）＋ （由（1）知x1＋x2= ，a2= 2，b2= c2． x1x2= = 2 x1x2＋3y1y2=x1x2＋3（x1－c）（x2－c） =4x1x2－3（x1＋x2）c＋3c2= 2－ 2＋3c2=0 又 =3b2代入①得 為定值，定值為1． 教學(xué)目標 1、知識與技能 (1)了解周期現象在現實(shí)中廣泛存在;(2)感受周期現象對實(shí)際工作的意義;(3)理解周期函數的概念;(4)能熟練地判斷簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題的周期;(5)能利用周期函數定義進(jìn)行簡(jiǎn)單運用。 2、過(guò)程與方法 通過(guò)創(chuàng )設情境：?jiǎn)螖[運動(dòng)、時(shí)鐘的圓周運動(dòng)、潮汐、波浪、四季變化等，讓學(xué)生感知周期現象;從數學(xué)的角度分析這種現象，就可以得到周期函數的定義;根據周期性的定義，再在實(shí)踐中加以應用。 3、情感態(tài)度與價(jià)值觀(guān) 通過(guò)本節的學(xué)習，使同學(xué)們對周期現象有一個(gè)初步的認識，感受生活中處處有數學(xué)，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習積極性，培養學(xué)生學(xué)好數學(xué)的信心，學(xué)會(huì )運用聯(lián)系的觀(guān)點(diǎn)認識事物。 教學(xué)重難點(diǎn) 重點(diǎn):感受周期現象的存在，會(huì )判斷是否為周期現象。 難點(diǎn):周期函數概念的理解，以及簡(jiǎn)單的應用。 教學(xué)工具 投影儀 教學(xué)過(guò)程 創(chuàng )設情境，揭示課題 同學(xué)們：我們生活在海南島非常幸福，可以經(jīng)�？吹酱蠛�，陶冶我們的情操。眾所周知，海水會(huì )發(fā)生潮汐現象，大約在每一晝夜的時(shí)間里，潮水會(huì )漲落兩次，這種現象就是我們今天要學(xué)到的`周期現象。再比如，[取出一個(gè)鐘表,實(shí)際操作]我們發(fā)現鐘表上的時(shí)針、分針和秒針每經(jīng)過(guò)一周就會(huì )重復，這也是一種周期現象。所以，我們這節課要研究的主要內容就是周期現象與周期函數。(板書(shū)課題) 探究新知 1.我們已經(jīng)知道，潮汐、鐘表都是一種周期現象，請同學(xué)們觀(guān)察錢(qián)塘江潮的圖片(投影圖片)，注意波浪是怎樣變化的?可見(jiàn)，波浪每隔一段時(shí)間會(huì )重復出現，這也是一種周期現象。請你舉出生活中存在周期現象的例子。(單擺運動(dòng)、四季變化等) (板書(shū)：一、我們生活中的周期現象) 2.那么我們怎樣從數學(xué)的角度研究周期現象呢?教師引導學(xué)生自主學(xué)習課本P3——P4的相關(guān)內容，并思考回答下列問(wèn)題： �、偃绾卫斫狻吧Ⅻc(diǎn)圖”? �、趫D1-1中橫坐標和縱坐標分別表示什么? �、廴绾卫斫鈭D1-1中的“H/m”和“t/h”? �、軐τ谥芷诤瘮档亩x，你的理解是怎樣? 以上問(wèn)題都由學(xué)生來(lái)回答，教師加以點(diǎn)撥并總結：周期函數定義的理解要掌握三個(gè)條件，即存在不為0的常數T;x必須是定義域內的任意值;f(x+T)=f(x)。 (板書(shū)：二、周期函數的概念) 3.[展示投影]練習: (1)已知函數f(x)滿(mǎn)足對定義域內的任意x，均存在非零常數T，使得f(x+T)=f(x)。 求f(x+2T)，f(x+3T) 略解：f(x+2T)=f[(x+T)+T]=f(x+T)=f(x) f(x+3T)=f[(x+2T)+T]=f(x+2T)=f(x) 本題小結，由學(xué)生完成，總結出“周期函數的周期有無(wú)數個(gè)”，教師指出一般情況下，為避免引起混淆，特指最小正周期。 (2)已知函數f(x)是R上的周期為5的周期函數，且f(1)=20xx,求f(11) 略解：f(11)=f(6+5)=f(6)=f(1+5)=f(1)=20xx (3)已知奇函數f(x)是R上的函數，且f(1)=2，f(x+3)=f(x)，求f(8) 略解：f(8)=f(2+2×3)=f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-f(1)=-2 鞏固深化，發(fā)展思維 1.請同學(xué)們先自主學(xué)習課本P4倒數第五行——P5倒數第四行，然后各個(gè)學(xué)習小組之間展開(kāi)合作交流。 2.例題講評 例1.地球圍繞著(zhù)太陽(yáng)轉，地球到太陽(yáng)的距離y是時(shí)間t的函數嗎?如果是，這個(gè)函數 y=f(t)是不是周期函數? 例2.圖1-4(見(jiàn)課本)是鐘擺的示意圖，擺心A到鉛垂線(xiàn)MN的距離y是時(shí)間t的函數，y=g(t)。根據鐘擺的知識，容易說(shuō)明g(t+T)=g(t),其中T為鐘擺擺動(dòng)一周(往返一次)所需的時(shí)間，函數y=g(t)是周期函數。若以鐘擺偏離鉛垂線(xiàn)MN的角θ的度數為變量，根據物理知識，擺心A到鉛垂線(xiàn)MN的距離y也是θ的周期函數。 例3.圖1-5(見(jiàn)課本)是水車(chē)的示意圖，水車(chē)上A點(diǎn)到水面的距離y是時(shí)間t的函數。假設水車(chē)5min轉一圈，那么y的值每經(jīng)過(guò)5min就會(huì )重復出現，因此，該函數是周期函數。 3.小組課堂作業(yè) (1)課本P6的思考與交流 (2)(回答)今天是星期三那么7k(k∈Z)天后的那一天是星期幾?7k(k∈Z)天前的那一天是星期幾?100天后的那一天是星期幾? 五、歸納整理，整體認識 (1)請學(xué)生回顧本節課所學(xué)過(guò)的知識內容有哪些?所涉及到的主要數學(xué)思想方法有那些? (2)在本節課的學(xué)習過(guò)程中，還有那些不太明白的地方，請向老師提出。 (3)你在這節課中的表現怎樣?你的體會(huì )是什么? 六、布置作業(yè) 1.作業(yè)：習題1.1第1,2,3題. 2.多觀(guān)察一些日常生活中的周期現象的例子，進(jìn)一步理解它的特點(diǎn). 課后小結 歸納整理，整體認識 (1)請學(xué)生回顧本節課所學(xué)過(guò)的知識內容有哪些?所涉及到的主要數學(xué)思想方法有那些? (2)在本節課的學(xué)習過(guò)程中，還有那些不太明白的地方，請向老師提出。 (3)你在這節課中的表現怎樣?你的體會(huì )是什么? 課后習題 作業(yè) 1.作業(yè)：習題1.1第1,2,3題. 2.多觀(guān)察一些日常生活中的周期現象的例子，進(jìn)一步理解它的特點(diǎn). 板書(shū) 【三角函數教案】相關(guān)文章： 三角函數復習教案06-02 數學(xué)三角函數教案與習題06-20 高三數學(xué)三角函數復習教案01-15 三角函數教學(xué)設計05-06 三角函數說(shuō)課稿08-12 三角函數解題方法總結05-16 反三角函數公式總結11-03 《任意角三角函數定義》說(shuō)課稿07-06 高中三角函數公式總結08-08三角函數教案13
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