圓與方程數學(xué)教案
作為一位無(wú)私奉獻的人民教師，時(shí)常會(huì )需要準備好教案，編寫(xiě)教案有利于我們弄通教材內容，進(jìn)而選擇科學(xué)、恰當的教學(xué)方法。教案應該怎么寫(xiě)才好呢？下面是小編收集整理的圓與方程數學(xué)教案，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。
本章在“第三章 直線(xiàn)與方程”的基礎上，在直角坐標系中建立圓的方程，并通過(guò)圓的方程，研究直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系。
在直角坐標系中，建立幾何對象的方程，并通過(guò)方程研究幾何對象，這是研究幾何問(wèn)題的重要方法。通過(guò)坐標系，把點(diǎn)與坐標、曲線(xiàn)與方程聯(lián)系起來(lái)，實(shí)現空間形式與數量關(guān)系的結合。
一、內容與課程學(xué)習目標
本章主要內容是在直角坐標系中建立圓的方程，并通過(guò)圓的方程，研究直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系。通過(guò)本章學(xué)習，要使學(xué)生達到如下學(xué)習目標：
1．回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，探索并掌握圓的標準方程與一般方程。
2．能根據給定直線(xiàn)、圓的方程，判斷直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系。
3．能用直線(xiàn)和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題。
4．進(jìn)一步體會(huì )用代數方法處理幾何問(wèn)題的思想。
5．通過(guò)具體情境，感受建立空間直角坐標系的必要性，了解空間直角坐標系，會(huì )用空間直角坐標系刻畫(huà)點(diǎn)的位置。
6．通過(guò)表示特殊長(cháng)方體（所有棱分別與坐標軸平行）頂點(diǎn)的坐標，探索并得出空間兩點(diǎn)間的距離公式。
二、內容安排
本章內容共分三節，約需9課時(shí)，具體課時(shí)分配如下（僅供參考）：
4．1 圓的方程 約2課時(shí)
4．2 直線(xiàn)、圓的位置關(guān)系 約4課時(shí)
4．3 空間直角坐標系 約2課時(shí)
小 結 約1課時(shí)
本章知識結構如下：
1．“直線(xiàn)與方程”一章研究了直線(xiàn)方程的各種形式、直線(xiàn)之間的位置關(guān)系以及直線(xiàn)之間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單應用。本章在第三章的基礎上，學(xué)習圓的有關(guān)知識——圓的標準方程、圓的一般方程；繼續運用“坐標法”研究直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系等幾何問(wèn)題；學(xué)習空間直角坐標系的有關(guān)知識，用坐標表示簡(jiǎn)單的空間的幾何對象。
2．“圓的方程”一節包括圓的標準方程、圓的一般方程兩部分。首先提出確定圓的幾何要素這個(gè)問(wèn)題，指出圓心和半徑是確定一個(gè)圓最基本的要素，然后引導學(xué)生用代數的語(yǔ)言（方程）描述圓，進(jìn)而得到圓心為C（a，b ），半徑為r的圓的標準方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2。對圓的標準方程進(jìn)行變形，可以得出圓的一般方程，它們是表示圓的方程的兩種形式。
3．“直線(xiàn)、圓的位置關(guān)系”中，先從幾何角度指出它們之間的直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，然后用方程去描述它們，通過(guò)方程研究直線(xiàn)、圓的位置關(guān)系。最后安排了直線(xiàn)與圓的方程在解決實(shí)際問(wèn)題和平面幾何問(wèn)題方面的應用。
通過(guò)方程，研究直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系是本章的主要內容之一。判斷直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系可以從兩個(gè)方面入手：
�。�1）曲線(xiàn)C1與C2有無(wú)公共點(diǎn)，等價(jià)于由它們的方程組成的方程組有無(wú)實(shí)數解．方程組有幾組實(shí)數解，曲線(xiàn)C1與C2就有幾個(gè)公共點(diǎn)；方程組沒(méi)有實(shí)數解，C1與C2就沒(méi)有公共點(diǎn)。
�。�2）運用平面幾何知識，把直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系的結論轉化為相應的代數問(wèn)題。
在本節的最后，進(jìn)一步指出用坐標方法解決幾何問(wèn)題的“三部曲”：
第一步：建立適當的平面直角坐標系，用坐標和方程表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉化為代數問(wèn)題；
第二步：通過(guò)代數運算，解決代數問(wèn)題；
第三步：把代數運算結果“翻譯”成幾何結論。
4．“空間直角坐標系”包括空間直角坐標系的概念，用坐標表示空間中簡(jiǎn)單的幾何對象，以及空間中兩點(diǎn)間的距離公式。
5．為了使學(xué)生更好地了解“坐標法”，認識信息技術(shù)在探求軌跡方面的作用，本章安排了“閱讀與思考 坐標法與機器證明”和“探究與發(fā)現 用《幾何畫(huà)板》探求點(diǎn)的軌跡（圓）”�！伴喿x與思考 坐標法與機器證明”介紹了坐標法、笛卡兒、坐標法與機器證明之間的關(guān)系、機器證明的思想，以及在機器證明方面作出重大貢獻的的我國著(zhù)名數學(xué)家吳文俊先生。目的是拓廣學(xué)生的知識面，了解我國數學(xué)家作出的重大貢獻，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步深入學(xué)習數學(xué)的興趣�！疤骄颗c發(fā)現 用《幾何畫(huà)板》探求點(diǎn)的軌跡（圓）”介紹了《幾何畫(huà)板》在探求點(diǎn)的軌跡，幫助學(xué)生猜想、發(fā)現方面的作用。
三、編寫(xiě)中考慮的幾個(gè)問(wèn)題
1．始終貫穿“坐標法”的思想
解析幾何的特點(diǎn)是用代數的方法研究幾何圖形。對于義務(wù)教育階段中判斷圓與直線(xiàn)、圓與圓之間的位置關(guān)系的方法，學(xué)生并不陌生。這里研究問(wèn)題的方法與以前不同，這就是坐標法．
在建立圓的標準方程時(shí)，首先幫助學(xué)生回顧確定圓的要素，然后利用坐標法來(lái)刻畫(huà)圓，建立了圓的標準方程；判斷圓與直線(xiàn)、圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，首先回顧義務(wù)教育階段如何判斷圓與直線(xiàn)、圓與圓的位置關(guān)系，然后利用坐標法研究它們。從另一個(gè)角度看，既然圓、直線(xiàn)都可以用方程來(lái)刻畫(huà)，那么就可以通過(guò)對方程的研究來(lái)研究直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系，這就是兩曲線(xiàn)是否有公共點(diǎn)的問(wèn)題，即它們的方程組成的方程組有沒(méi)有實(shí)數解的問(wèn)題。本章在進(jìn)行圓與直線(xiàn)、圓與圓的位置關(guān)系判斷時(shí)，常常采用這兩種方法．
2．從一個(gè)或幾個(gè)數學(xué)問(wèn)題展開(kāi)知識內容
問(wèn)題是數學(xué)的心臟。引入知識內容時(shí)，常設置一個(gè)或幾個(gè)問(wèn)題，創(chuàng )設一種情境，一方面引起學(xué)生的興趣，另一方面引起學(xué)生解決問(wèn)題的求知欲望。
比如“4. 1.2 圓的一般方程”，提出了兩個(gè)思考題
思考：方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0表示什么圖形？方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0表示什么圖形？
實(shí)際上，對方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0配方，得（x－1）2＋（y－2）2＝－1，這個(gè)方程不表示任何圖形。
緊接著(zhù)，教科書(shū)又提出一個(gè)讓學(xué)生探究的問(wèn)題。
探究：形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程在什么條件下表示圓？
教科書(shū)環(huán)環(huán)相扣，把學(xué)生引入一個(gè)又一個(gè)“憤”與“悱”的境地，使得學(xué)生通過(guò)問(wèn)題的解決學(xué)習新的知識。
3．關(guān)注結論形成的過(guò)程，通過(guò)思考、探究，得出結論
本章在編寫(xiě)時(shí)注意呈現方式，不直接給出結論，讓學(xué)生證明。而是把結論放在學(xué)生經(jīng)過(guò)一系列數學(xué)活動(dòng)之后，通過(guò)思考、探究，得出結論。比如，用“坐標法”解決問(wèn)題的“三部曲”就是通過(guò)解決一系列問(wèn)題后得出。在例題的呈現時(shí)，增加了分析的過(guò)程，重點(diǎn)分析解題的思路。在探求點(diǎn)的軌跡時(shí)，提倡先用信息技術(shù)工具探究軌跡的形狀，對問(wèn)題有一個(gè)直觀(guān)的了解，然后再分析軌跡形成的原因，找出解決問(wèn)題的方法，使得學(xué)生抓住問(wèn)題的本質(zhì)，理清思路，制訂合理的解題策略。
4．充分利用教科書(shū)邊空，提出具有一定思考價(jià)值的問(wèn)題，強調重要的數學(xué)思想方法
利用教科書(shū)邊空不失時(shí)機地提出一些具有一定思考價(jià)值的問(wèn)題，例如：
�。�1）當一個(gè)問(wèn)題解決之后，詢(xún)問(wèn)“還有其他不同的解法嗎？”或者是“有更好的解法嗎？”
�。�2）當同一個(gè)問(wèn)題有兩種解法時(shí)，要求比較它們的優(yōu)劣。如“請同學(xué)們比較這兩種證明方法，并指出各自的特點(diǎn)？”在比較中加深理解，促使學(xué)生養成解題后反思的良好習慣．
�。�3）當同一個(gè)問(wèn)題有多種解法時(shí)，要求學(xué)生在教科書(shū)已經(jīng)給出一種或兩種解法的基礎上再給出一種。
歸納、抽象是重要的數學(xué)思想方法。在問(wèn)題解決之后，要求學(xué)生進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的歸納。例如，“4. 1.1 圓的標準方程”，在學(xué)習了例2與例3之后，提出“比較例2和例3，你能歸納出求任意三角形外接圓的標準方程的兩種方法嗎？”
通過(guò)問(wèn)題的開(kāi)放性，觸類(lèi)旁通地提出問(wèn)題。比如，研究圓C1：x2＋2＋2x＋8y－8＝0與圓C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0的關(guān)系時(shí)，把它們的方程相減，得到 x＋2y－1＝0。在邊空處要求“畫(huà)出圓C1與2以及方程x＋2y－1＝0表示的直線(xiàn)，你發(fā)現了什么？你能說(shuō)明為什么嗎？”更進(jìn)一步，能否說(shuō)，要研究圓C1與圓C2的關(guān)系只要研究直線(xiàn)x＋2y－1＝0與C1（或C2）的關(guān)系就可以了呢？這一問(wèn)題，不僅體現了“化歸”的思想，而且是頗具思考價(jià)值的．
5．注意加強與實(shí)際問(wèn)題、其他學(xué)科的聯(lián)系
本章內容的選擇盡可能加強與學(xué)生的生活、生產(chǎn)實(shí)際的聯(lián)系。比如，為說(shuō)明研究直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的必要性，設置了一個(gè)漁船能否避開(kāi)臺風(fēng)的問(wèn)題：
一艘輪船在沿直線(xiàn)返回港口的途中，接到氣象臺的臺風(fēng)預報：臺風(fēng)中心位于輪船正西70 km處，受影響的范圍是半徑長(cháng)為30 km的圓形區域. 已知港口位于臺風(fēng)中心正北40 km處，如果這艘輪船不改變航線(xiàn)，那么它是否會(huì )受到臺風(fēng)的影響？
在直線(xiàn)與圓的方程的應用部分，設置了與圓拱橋有關(guān)的計算題。學(xué)習空間直角坐標系時(shí)，要求寫(xiě)出食鹽晶胞中鈉原子在空間直角坐標系中的位置（坐標）等等。
6．介紹科技成果，滲透數學(xué)文化
本章通過(guò)設置“閱讀與思考 坐標法與機器證明”欄目，介紹科學(xué)家、數學(xué)史、數學(xué)在現代生活中的應用等，機器證明幾何定理是坐標法的精彩應用，我國數學(xué)家吳文俊先生在這方面有著(zhù)重要的貢獻，較為詳細地介紹了機器證明幾何定理研究的歷史。
四、對教學(xué)的幾個(gè)建議
1．認真把握教學(xué)要求
教學(xué)中，注意控制教學(xué)的難度，避免進(jìn)行綜合性強、難度較大的數學(xué)題的訓練，避免在解題技巧上做文章。比如，義務(wù)教育階段“空間與圖形”部分涉及的許多結論都可以用坐標法來(lái)加以證明，而義務(wù)教育階段的教學(xué)要求已經(jīng)有所改變。因此，用坐標法證明平面幾何題要求不宜過(guò)高，適可而止。再如，教科書(shū)不介紹圓的切線(xiàn)方程x0x+y0y＝r2，這并不是說(shuō)不涉及圓與直線(xiàn)相切這一位置關(guān)系。與直線(xiàn)相切這一位置關(guān)系的判斷可以有兩種方法，一種是利用圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑長(cháng)；另一種是利用它們的方程組成的方程組只有一組實(shí)數解。
2．關(guān)注重要數學(xué)思想方法的教學(xué)
重要的數學(xué)思想方法不怕重復�！镀胀ǜ咧袛祵W(xué)課程標準（實(shí)驗）》要求“坐標法”應貫穿平面解析幾何教學(xué)的始終，幫助學(xué)生不斷地體會(huì )“數形結合”的思想方法。在教學(xué)中應自始至終強化這一思想方法，這是解析幾何的特點(diǎn)。教學(xué)中注意“數”與“形”的結合，在通過(guò)代數方法研究幾何對象的位置關(guān)系以后，還可以畫(huà)出其圖形，驗證代數結果；同時(shí)，通過(guò)觀(guān)察幾何圖形得到的數學(xué)結論，對結論進(jìn)行代數證明，不應割斷它們之間的聯(lián)系，只強調其一方面。
3．關(guān)注學(xué)生的動(dòng)手操作和主動(dòng)參與
學(xué)習方式的轉變是課程改革的重要目標之一。教學(xué)中，注意提供充分的數學(xué)活動(dòng)和交流的機會(huì )，引導他們在自主探索的過(guò)程中獲得知識、增強技能、掌握基本的數學(xué)思想方法。例如，判斷直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系以及它們的簡(jiǎn)單應用，探究點(diǎn)的軌跡等內容，可以先讓學(xué)生畫(huà)一畫(huà)、想一想，然后進(jìn)行代數論證�！坝^(guān)察”“思考”“探究”等欄目設置目的之一就是想讓學(xué)生參與到數學(xué)活動(dòng)中來(lái)。
4．關(guān)注信息技術(shù)的應用
平面解析幾何是一門(mén)典型的數與形結合的學(xué)科，信息技術(shù)在加強幾何直觀(guān)，促使數與形結合方面有著(zhù)特殊的作用。借助信息技術(shù)，可以形象、直觀(guān)地幫助學(xué)生認識所研究的曲線(xiàn)。在動(dòng)態(tài)演示中，觀(guān)察曲線(xiàn)的性質(zhì)，在直觀(guān)了解的基礎上，尋求形成這些性質(zhì)的原因以及代數表示。通過(guò)對方程的研究，了解曲線(xiàn)與曲線(xiàn)的關(guān)系時(shí)，運用信息技術(shù)，可以進(jìn)一步驗證得到的結果，為抽象的認識增添了形象的支持。在探究點(diǎn)的軌跡時(shí)，可以借助信息技術(shù)，探究軌跡的形狀等等。
【圓與方程數學(xué)教案】相關(guān)文章：
數學(xué)教案：圓的認識02-12
數學(xué) -橢圓及其標準方程教案03-20
《橢圓及其標準方程》的教學(xué)反思02-24
數學(xué)教學(xué)之方程教學(xué)反思03-20
夢(mèng)圓飛天的教案設計08-22
夢(mèng)圓飛天教案例子07-13
《圓的整理與復習》教學(xué)設計（精選17篇）09-14
《實(shí)際問(wèn)題與方程二》的教學(xué)反思（精選10篇）11-29
列方程解應用題的常用公式總結12-07