數學(xué) -橢圓及其標準方程教案
數學(xué) -橢圓及其標準方程教案
數學(xué) -橢圓及其標準方程教案
教學(xué)目標
1．掌握橢圓的定義，掌握橢圓標準方程的兩種形式及其推導過(guò)程；
2．能根據條件確定橢圓的標準方程，掌握運用待定系數法求橢圓的標準方程；
3．通過(guò)對橢圓概念的引入教學(xué)，培養學(xué)生的觀(guān)察能力和探索能力；
4．通過(guò)橢圓的標準方程的推導，使學(xué)生進(jìn)一步掌握求曲線(xiàn)方程的一般方法，并滲透數形結合和等價(jià)轉化的思想方法，提高運用坐標法解決幾何問(wèn)題的能力；
5．通過(guò)讓學(xué)生大膽探索橢圓的定義和標準方程，激發(fā)學(xué)生學(xué)習數學(xué)的積極性，培養學(xué)生的學(xué)習興趣和創(chuàng )新意識．
教學(xué)建議
教材分析
1． 知識結構
2．重點(diǎn)難點(diǎn)分析
重點(diǎn)是橢圓的定義及橢圓標準方程的兩種形式．難點(diǎn)是橢圓標準方程的建立和推導．關(guān)鍵是掌握建立坐標系與根式化簡(jiǎn)的方法．
橢圓及其標準方程這一節教材整體來(lái)看是兩大塊內容：一是橢圓的定義；二是橢圓的標準方程．橢圓是圓錐曲線(xiàn)這一章所要研究的三種圓錐曲線(xiàn)中首先遇到的，所以教材把對橢圓的研究放在了重點(diǎn)，在雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)的教學(xué)中鞏固和應用．先講橢圓也與第七章的圓的方程銜接自然．學(xué)好橢圓對于學(xué)生學(xué)好圓錐曲線(xiàn)是非常重要的．
�。�1）對于橢圓的定義的理解，要抓住橢圓上的點(diǎn)所要滿(mǎn)足的條件，即橢圓上點(diǎn)的幾何性質(zhì)，可以對比圓的定義來(lái)理解．
另外要注意到定義中對“常數”的限定即常數要大于 ．這樣規定是為了避免出現兩種特殊情況，即：“當常數等于 時(shí)軌跡是一條線(xiàn)段；當常數小于 時(shí)無(wú)軌跡”．這樣有利于集中精力進(jìn)一步研究橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)．但講解橢圓的定義時(shí)注意不要忽略這兩種特殊情況，以保證對橢圓定義的準確性．
�。�2）根據橢圓的定義求標準方程，應注意下面幾點(diǎn)：
�、偾�(xiàn)的方程依賴(lài)于坐標系，建立適當的坐標系，是求曲線(xiàn)方程首先應該注意的地方．應讓學(xué)生觀(guān)察橢圓的圖形或根據橢圓的定義進(jìn)行推理，發(fā)現橢圓有兩條互相垂直的對稱(chēng)軸，以這兩條對稱(chēng)軸作為坐標系的兩軸，不但可以使方程的推導過(guò)程變得簡(jiǎn)單，而且也可以使最終得出的方程形式整齊和簡(jiǎn)潔．
�、谠O橢圓的焦距為 ，橢圓上任一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離為，令 ，這些措施，都是為了簡(jiǎn)化推導過(guò)程和最后得到的方程形式整齊、簡(jiǎn)潔，要讓學(xué)生認真領(lǐng)會(huì )．
�、墼诜匠痰耐茖н^(guò)程中遇到了無(wú)理方程的化簡(jiǎn)，這既是我們今后在求軌跡方程時(shí)經(jīng)常遇到的問(wèn)題，又是學(xué)生的難點(diǎn)．要注意說(shuō)明這類(lèi)方程的化簡(jiǎn)方法：①方程中只有一個(gè)根式時(shí)，需將它單獨留在方程的一側，把其他項移至另一側；②方程中有兩個(gè)根式時(shí)，需將它們分別放在方程的兩側，并使其中一側只有一項．
�、芙炭茣�(shū)上對橢圓標準方程的推導，實(shí)際上只給出了“橢圓上點(diǎn)的坐標都適合方程 “而沒(méi)有證明，”方程 的解為坐標的點(diǎn)都在橢圓上”．這實(shí)際上是方程的同解變形問(wèn)題，難度較大，對同學(xué)們不作要求．
�。�3）兩種標準方程的橢圓異同點(diǎn)
中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)分別在 軸上， 軸上的橢圓標準方程分別為： ， ．它們的相同點(diǎn)是：形狀相同、大小相同，都有 ， ．不同點(diǎn)是：兩種橢圓相對于坐標系的位置不同，它們的焦點(diǎn)坐標也不同．
橢圓的焦點(diǎn)在軸上 標準方程中 項的分母較大；
橢圓的焦點(diǎn)在軸上 標準方程中 項的分母較大．
另外，形如 中，只要 ， 同號，就是橢圓方程，它可以化為 ．
�。�4）教科書(shū)上通過(guò)例3介紹了另一種求軌跡方程的常用方法——中間變量法．例3有三個(gè)作用：第一是教給學(xué)生利用中間變量求點(diǎn)的軌跡的方法；第二是向學(xué)生說(shuō)明，如果求得的點(diǎn)的軌跡的方程形式與橢圓的標準方程相同，那么這個(gè)軌跡是橢圓；第三是使學(xué)生知道，一個(gè)圓按某一個(gè)方向作伸縮變換可以得到橢圓．
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