高中數學(xué)函數的設計思路和教學(xué)建議
高中數學(xué)函數的設計思路和教學(xué)建議
一、高中數學(xué)新課程中的函數設計思路
�。ㄒ唬┮话阌袃煞N方法，一種是先學(xué)習映射，再學(xué)習函數，即從一般到特殊的方法；另一種是通過(guò)具體函數實(shí)例的分析，歸納總結出數集之間的一種特殊對應關(guān)系――函數，即從特殊到一般的方法。例如，對于函數概念，先引導學(xué)生梳理已經(jīng)掌握的具體函數（如，初中學(xué)過(guò)的一次函數、二次函數、反比例函數、簡(jiǎn)單分段函數等），通過(guò)分析這些具體函數的特征，構建函數的一般概念，再由函數概念抽象出映射概念。
�。ǘ┨岢\用信息技術(shù)研究函數運用信息技術(shù)可以呈現函數的直觀(guān)圖像，迅速精確地實(shí)施函數運算，通過(guò)函數圖像和函數運算，可以幫助學(xué)生加深對函數所表示的變化規律的理解。信息技術(shù)還為運用函數模型解決問(wèn)題提供了便利，高中數學(xué)新課程提倡運用信息技術(shù)研究函數。
二、高中數學(xué)新課程中函數教學(xué)建議
�。ㄒ唬┱w把握函數的內容與要求，在與函數有關(guān)的內容的教學(xué)進(jìn)程中不斷加深學(xué)生對函數思想的理解。函數是學(xué)生在數學(xué)學(xué)習過(guò)程中第一次遇到的具有一般意義的抽象概念，在這個(gè)概念下可以派生出許多不同層次的具體函數。學(xué)生對于這種多層次的抽象概念的理解是需要時(shí)間和經(jīng)驗積累的，需要多次接觸、反復體會(huì )、螺旋上升，逐步理解，才能真正掌握，靈活運用。因此，函數教學(xué)應整體設計，分步實(shí)施。教師應整體規劃整個(gè)高中階段函數的教學(xué)，對函數教學(xué)有一個(gè)整體的全面的設計，明確不同時(shí)段、不同內容中學(xué)生對函數理解應達到的程度，在與函數有關(guān)的內容的教學(xué)進(jìn)程中，通過(guò)運用函數不斷加深學(xué)生對函數思想的理解。
�。ǘ╆P(guān)注認識函數的三個(gè)維度，引導學(xué)生全面理解函數的本質(zhì)。第一，函數是刻畫(huà)變量與變量之間依賴(lài)關(guān)系的模型，即變量說(shuō)。在現實(shí)生活和其他學(xué)科中，存在著(zhù)大量的變量和變量之間的依賴(lài)關(guān)系。例如：郵局收取郵資時(shí)，郵資（變量）隨著(zhù)郵件的重量（變量）的變化而變化。這種變量之間的依賴(lài)關(guān)系具有一個(gè)突出的特征，即當一個(gè)變量取定一個(gè)值時(shí)，依賴(lài)于這個(gè)變量的另一個(gè)變量有唯一確定的值�；谶@種認識，就可以用函數來(lái)表示和刻畫(huà)自然規律，這是我們認識現實(shí)世界的重要視角，也是數學(xué)聯(lián)系實(shí)際的基礎。第二，函數是連接兩類(lèi)對象的橋梁，即映射說(shuō)。對函數的這種認識反映了數學(xué)中的一種基本思想，在數學(xué)的后續學(xué)習中具有基礎作用。數學(xué)中的許多重要概念都是這種認識的推廣和拓展。例如，代數學(xué)中的同構、同態(tài)是構架兩個(gè)代數結構的橋梁，拓撲學(xué)中的同胚也是構架兩個(gè)拓撲結構的橋梁等。第三，函數是“圖形”，即關(guān)系說(shuō)。函數關(guān)系是平面上點(diǎn)的集合，因而可以看作平面上的一個(gè)“圖形”。在很多情況下，函數是滿(mǎn)足一定條件的曲線(xiàn)。因此，從某種意義上說(shuō)，研究函數就是研究曲線(xiàn)的變化、曲線(xiàn)的性質(zhì)�；谶@種認識，函數可以看作數形結合的載體之一。實(shí)際上，解析幾何、向量幾何、函數是高中數學(xué)課程中數形結合的三個(gè)主要載體。
�。ㄈ┲匾暫瘮的Ｐ偷淖饔�，幫助學(xué)生在頭腦中“留住”一批函數模型理解函數的一個(gè)重要方法，就是在頭腦中“留住”一批具體函數的模型。那些優(yōu)秀的數學(xué)工作者，對于每一個(gè)抽象的數學(xué)概念，在他們的頭腦中都會(huì )有一批具體的“模型”。這是很好的數學(xué)學(xué)習習慣。高中數學(xué)課程中有許多基本函數模型，高中數學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)之一就是把這些基本函數模型留在學(xué)生頭腦中，這些模型是理解函數和思考其他函數問(wèn)題的基礎。在教學(xué)中，對于上述基本函數模型應有一個(gè)全面的設計，要幫助學(xué)生在頭腦中留下三方面的東西：第一，背景，即要熟悉這些函數模型的實(shí)際背景，從實(shí)際背景的角度把握函數；第二，圖像，即從幾何直觀(guān)的角度把握函數；第三，基本變化，即從代數的角度把握函數的變化情況。只有在學(xué)生頭腦中“留住”這樣一批具體的函數模型，才能逐步實(shí)現對函數本質(zhì)的理解，并靈活運用函數思考和解決問(wèn)題。
�。ㄋ模┙沂竞瘮蹬c其他內容的內在聯(lián)系，強化學(xué)生對函數思想的認識。函數作為高中數學(xué)的一條主線(xiàn)，貫穿于整個(gè)高中數學(xué)課程中，在方程、不等式、線(xiàn)性規劃、算法、隨機變量等內容中都突出地體現了函數思想。用函數的觀(guān)點(diǎn)看待方程，可以把方程的根看成函數圖像與軸交點(diǎn)的橫坐標，解方程就是求函數的零點(diǎn)的橫坐標，從而解方程問(wèn)題可以歸結為研究函數局部性質(zhì)的問(wèn)題，即研究函數圖像與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題。這樣，如果一個(gè)函數在閉區間[a，b]上連續，且端點(diǎn)函數值異號，則就可以運用二分法求方程的近似解。還可以用切線(xiàn)法（函數在閉區間有一階導數）、割線(xiàn)法（函數在閉區間有二階導數）等求方程的近似解。在坐標系中，函數的圖像把橫坐標軸分成若干區域。一部分是函數值等于0的區域，另一部分是函數值大于0的區域，再一部分是函數值小于0的區域，用函數的觀(guān)點(diǎn)看，解不等式就是確定使函數的圖像在x軸上方或下方的的x區域。這樣，就可以先確定函數圖像與x軸的交點(diǎn)（方程的解），再根據函數的圖像來(lái)求解不等式。
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