應用性試題的類(lèi)型及解題思路
應用性試題的類(lèi)型及解題思路
《課程標準》中指出：“讓親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成模型并進(jìn)行解釋的同時(shí)，在、情感態(tài)度與價(jià)值觀(guān)等方面得到進(jìn)步和發(fā)展�！睘槁鋵�(shí)這一理念，近年來(lái)加強了對應用意識及解決實(shí)際問(wèn)題的考查，其份量有越來(lái)越重的趨勢。應用問(wèn)題有多種類(lèi)型，下面著(zhù)重展示如下六種應用性，并對其解題思路加以分析。
一、方程（組）應用題
這類(lèi)問(wèn)題是研究現實(shí)世界數量關(guān)系的最基本的問(wèn)題，它可以幫助人們從數量關(guān)系的角度更準確、更清晰地認識、描述和把握現實(shí)世界。諸如行程、增長(cháng)率、儲蓄、利息、稅率、工程施工及勞力分配等問(wèn)題，都可以通過(guò)列方程（組）來(lái)解決。
例1. 某共有5個(gè)大餐廳和2個(gè)小餐廳，經(jīng)過(guò)測試：同時(shí)開(kāi)放1個(gè)大餐廳、2個(gè)小餐廳，可供1680名學(xué)生就餐：同時(shí)開(kāi)放2個(gè)大餐廳、1個(gè)小餐廳，可供2280名學(xué)生就餐。
�。�1）求1個(gè)大餐廳、1個(gè)小餐廳分別可供多少名學(xué)生就餐；
�。�2）若7個(gè)餐廳同時(shí)開(kāi)放，能否供全校的5300名學(xué)生就餐？請說(shuō)明理由。
解：（1）設1個(gè)大餐廳可供x名學(xué)生就餐，1個(gè)小餐廳可供y名學(xué)生就餐，根據題意
得
解這個(gè)方程組，得
所以1個(gè)大餐廳可供960名學(xué)生就餐，1個(gè)小餐廳可供360名學(xué)生就餐。
�。�2）因為，所以如果同時(shí)開(kāi)放7個(gè)餐廳，能夠供全校的5300名學(xué)生就餐。
二、不等式（組）應用題
生活中的不等關(guān)系是普遍存在的，許多現實(shí)問(wèn)題很難確定具體的數值，但可以求出或確定某個(gè)量的變化范圍，從而對所研究的問(wèn)題有一個(gè)比較清楚的認識。市場(chǎng)營(yíng)銷(xiāo)、生產(chǎn)決策和社會(huì )生活中有關(guān)統籌安排、最佳決策、最優(yōu)化等問(wèn)題常用不等式（組）應用題來(lái)解決。
例2. 市“康智”牛奶乳業(yè)有限公司經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調研，決定從明年起對甲、乙兩種產(chǎn)品實(shí)行“限量生產(chǎn)”，要求這兩種產(chǎn)品全年共新增產(chǎn)量20件，這20件的總產(chǎn)值p（萬(wàn)元）滿(mǎn)足；110
。已知有關(guān)數據如下表所示，那么該公司明年應怎樣安排新增產(chǎn)品的產(chǎn)量？
解：設該公司安排生產(chǎn)新增甲產(chǎn)品x件，那么生產(chǎn)新增乙產(chǎn)品件，由題意，得。
解這個(gè)不等式組，得
依題意，得
當時(shí)，
當時(shí)，
當時(shí)，
所以該公司明年可安排生產(chǎn)新增甲產(chǎn)品11件，乙產(chǎn)品9件；或生產(chǎn)新增甲產(chǎn)品12件，乙產(chǎn)品8件；或生產(chǎn)新增甲產(chǎn)品13件，乙產(chǎn)品7件。
三、函數應用題
函數反映了事物間的廣泛聯(lián)系，提示了現實(shí)世界眾多的數量關(guān)系及變化規律，日常生活中的許多問(wèn)題，諸如造價(jià)成本最低、生產(chǎn)利潤最大、風(fēng)險決策、股市期貨、開(kāi)源節流、扭虧增盈、方案最優(yōu)化等問(wèn)題的研究，都可以通過(guò)建立函數關(guān)系來(lái)解決。
例3. 甲、乙兩個(gè)工程隊分別同時(shí)開(kāi)挖兩段河渠，所挖河渠的長(cháng)度y(m)與挖掘時(shí)間x(h)之間的關(guān)系如圖所示，請根據圖像所提供的信息解答下列問(wèn)題：
�。�1）乙隊開(kāi)挖到30m時(shí)，用了____________________________h。開(kāi)挖6h時(shí)甲隊比乙隊多挖了____________________________m；
�。�2）請你求出：
�、偌钻犜诘臅r(shí)段內，y與x之間的函數關(guān)系式；
�、谝谊犜诘臅r(shí)段內，y與x之間的函數關(guān)系式；
�。�3）當x為何值時(shí)，甲、乙兩隊在施工過(guò)程中所挖河渠的長(cháng)度相等？
解：（1）2，10；
�。�2）設甲隊在的時(shí)段內，y與x之間的函數關(guān)系式
由圖可知，函數圖像過(guò)點(diǎn)（6，60）
解得
設乙隊在的時(shí)段內y與x之間的函數關(guān)系式為
由圖可知，函數圖像過(guò)點(diǎn)（2，30）、（6，50）
解得
�。�3）由題意，得
解得x=4(h)
∴當x為4h時(shí)，甲、乙兩隊所挖的河渠長(cháng)度相等。
四、幾何應用題
幾何應用題圖文并茂，貼近人類(lèi)生活經(jīng)驗和實(shí)驗需要，如零件加工、殘輪修復、工程選點(diǎn)定位、裁剪方案、美化設計、道路拱橋計算等實(shí)際問(wèn)題中都涉及一定的圖形，在解決這些問(wèn)題時(shí)，我們通常要抓住圖形的幾何性質(zhì)，將實(shí)際問(wèn)題轉化為幾何問(wèn)題來(lái)進(jìn)行解決。
例4. 本市新建的滴水湖是圓形人工湖。為測量該湖的半徑，小杰和小麗沿湖邊選取A、B、C三根木柱，使得A、B之間的距離與A、C之間的距離相等，并測得BC長(cháng)為240米，A到BC的距離為5米，如圖所示。請你幫他們求出滴水湖的半徑。
解：設圓心為點(diǎn)O，連結OB、OA，OA交線(xiàn)段BC于點(diǎn)D
因為AB=AC
所以OA⊥BC
且
由題意，DA=5
利用勾股定理易求出OB=1442.5
所以滴水湖的半徑為1442.5
五、統計應用題
統計的內容具有非常豐富的實(shí)際背景，在現實(shí)生活中有著(zhù)廣泛的應用，要求學(xué)生學(xué)會(huì )如何收集數據和分析數據 初中數學(xué)，深刻理解用樣本估計整體的基本統計思想，掌握描述數據集中趨勢和離散程度的兩類(lèi)基本統計量，并能夠靈活計算。
例5. 為了迎接全市中考，某對全校男生進(jìn)行了立定跳遠項目測試，并從參加測試的500名男生中隨機抽取了部分男生的測試成績(jì)（單位：米，精確到0.01米）作為樣本進(jìn)行分析，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖（每組含最低值，不含最高值），已知圖中從左到右每個(gè)小長(cháng)方形的高的比依次為2：4：6：5：3，其中1.80~2.00這一小組的頻數為8，請根據有關(guān)信息解答下列問(wèn)題：
�。�1）填空：這次調查的樣本容量為_(kāi)_____________________，2.40~2.60這一小組的頻率為_(kāi)____________________。
�。�2）請指出樣本成績(jì)的中位數落在哪一小組內，并說(shuō)明理由。
�。�3）樣本中男生立定跳遠的人均成績(jì)不低于多少米？
�。�4）請估計該校初三男生立定跳遠成績(jì)在2.00米以上（包括2.00米）的約有多少人？
解：（1）40，0.15
�。�2）∵各小組的頻數分別為：
，，，，
而中位數是40個(gè)成績(jì)從小到大排列后第20個(gè)數據和第21個(gè)數據的平均數。
∴中位數落在2.00~2.20這一小組內
�。�3）設樣本人均成績(jì)最低值為x，則
∴樣本中男生立定跳遠的人均成績(jì)不低于2.03米。
�。�4）（人）
所以該校初三男生立定跳遠成績(jì)在2.00米以上的約有350人。
六、三角形應用題
解直角三角形應用問(wèn)題，題目新穎靈活，有利于培養學(xué)生采取多種求解的能力，解題的關(guān)鍵是抓住銳角三角函數以及直角三角形邊與角之間關(guān)系。
例6. 如圖所示，某人在山坡坡腳A處測得電視塔尖點(diǎn)C的仰角為60°，沿山坡向上走到P處再測得點(diǎn)C的仰角為45°，已知OA=100米，山坡坡度i=1：2且O，A，B在同一條直線(xiàn)上，求電視塔OC的高度以及此人所在位置點(diǎn)P的鉛直高度。（測傾器高度忽略不計，結果保留根號形式）
解：作PE⊥OB于點(diǎn)E
PF⊥CO于點(diǎn)F，在Rt△AOC中，AO=100，∠CAO=60°
�。祝�
設PE=x米
解得（米）
所以電視塔OC高為米，人所在位置點(diǎn)P的鉛直高度為（米）。
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